12.3.2两数和(差)的平方
12.3.2乘法公式2两数和(或差)的平方
a ab ab b b） （ a a 2 2ab b 2
2 2
2
‖
图13.3.2
a 2ab b
2
2
（2）用等式表示下图中图形面积的运算.
图13.3.2
（a b)
2
______
＝
a2
+
2ab
+
b ___
2
第（2）题
小结
“两数和的平方”公式:
语言描述：
两数和的平方，等于它们的平方和加上积的2倍.
语言表述：两数和（差）的平方，等于它们 的平方和加上（减去）它们乘积的两倍。
公式的结构特征：
（1）公式左边是两数和(差)的平方；
（2）公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方 和加上（减去）左边两数积的两倍。
即：首平方，尾平方，二倍在中央。
（三）达标练习
A组
（1） ( x 3)
2 2
2 2
1、计算：
x 2 x 3 3
2
2
(1)(x 3)
x 6x 9
（2） (2 x y ) 2 (2 x) 2 2 2 x y y 2 4 x 2 4 xy y 2
（2） (2 x y )
（三）达标练习
A组
（1） ( x 3)
2 2
2 2
a 2ab b 2ab
2 2
2
2 4 xy 4 ( x y) __________ _ ( x y) 2 2 2 2 x 2 xy y 4 xy x 2 xy y
(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 2 2 2 (a－b) = a －2ab＋b
华师大版八年级数学上册第十二章第三节12.3.2两数和(差)的平方同步
华师大版数学八年级上册第十二章第三节12.3.2两数和（差）的平方同步练习一、选择题1.下列式子满足完全平方公式的是（）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x）B．（3x﹣y）（3x+y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x）D．（﹣3x﹣y）（y+3x）答案：D解答：完全平方指的是两数的和（差）相乘，即两因式相同，故选D．分析：根据完全平方的定义直接得出答案．2．若x=a2﹣2a+2，则对于所有的x值，一定有（）A．x＜0B．x≤0C．x＞0D．x的正负与a值有关答案：C解答：x=a2﹣2a+2=（a-1）2+1>0,故选C．分析：利用完全平方公式化成一个数的平方加一个常数的形式，既可判断出值的情况．3．若等式（x﹣4）2=x2﹣8x+m2成立，则m的值是（）A．16B．4C．﹣4D．4或﹣4答案：D解答：将等式左边展开：（x﹣4）2=x2﹣8x+16，所以m2=16,m=4或﹣4,故选D．分析：利用完全平方公式使等式左右相等，得到m2的值，进而得到m的值．4．若x2+ax+9=（x+3）2，则a的值为（）A．3B．±3C．6D．±6答案：C解答：（x+3）2=x2+6x+9，所以a=6,故选C．分析：利用完全平方公式将（x+3）2展开即得．5．（x+k）2=x2+2kx+4，则k的值是（）A．﹣2B．2C．±2D．3答案：C解答：解：（x+k）2=x2+2kx+k2 ,所以k2=4,所以k=±2,故选C．分析：利用完全平方公式将等式左边展开，计算得出．6．运算结果为2mn﹣m2﹣n2的是（）A．（m﹣n）2B．﹣（m﹣n）2C．﹣（m+n）2D．（m+n）2。
两数和(差)的平方
两数和（差）的平方要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +- 【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+- ()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”. 对应练习：()2b a -- 知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++ 【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++ 【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）()()y x y x 22++； （2）()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数（式）的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形 例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求下列各式的值：（1）22b a+；（2）()2b a - 【解题思路】此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ； （2）()()ab b a b a 422-+=-=6. 【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
2021-2022年华师大版八年级数学上册《两数和(差)的平方》优质课课件
11、即使是普通孩子，只要教育得法，也会成为不平凡的人。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月19日星期二2021/10/192021/10/192021/10/19 17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/192021/10/192021/10/1910/19/2021 18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/192021/10/19October 19, 2021 19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/192021/10/192021/10/192021/10/19
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
探究新知
活动1 知识准备 计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2＋2pq＋q2 _； (2)(m＋2)(m＋2)＝_ m2＋4m＋4 _； (3)(x－y)(x－y)＝__ x2－2xy＋y_2 _．
12.3.2 两数和（差）的平方
12.3.2 两数和（差）的平方
重难互动探究
探究问题一 理解两数和(差)的平方公式 例 1 [课本例 4、例 5 变式题] 填空： (1)(a ＋ 2b)2 ＝ (__a__)2 ＋ 2·__a__·__2_b_ ＋ (__2_b_)2 ＝
12.3.2两数和(差)的平方公式教案
§12.3.2两数和（差）的平方（两课时）备课者：林碧玉时间：2015年 月 日【学习目标】：1. 理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征。
2. 熟练地应用公式进行计算。
【学习重点】：推导和运用两数和（差）的平方公式。
【学习难点】：公式的结构特征；公式中各字母既可以是有理数，也可以是单项式、多项式。
【学习过程】：一、回顾：1.平方差的公式是什么？应用平方差的公式计算时应注意什么？2.平方差公式的几何背景：（书第31页）3.计算：（1）(21x+y)(21x-y)（2）(a-b)(-a-b)（3）(x+2y)(x-2y)(x 2+4y 2) 二、新课探究：1. 计算下列各式，仔细观察，发现什么？（1）（a+b ）2 （2）（x+3）2 （3）(3a ＋1)2不计算，直接写出下式的结果：（y+5）2=概括：两数和的平方公式：两数和的平方，等于 ，用字母表示为2. 两数和的平方公式的几何背景：(书第33页)先观察图12.3.2，再用等式表示下图中图形面积的运算：图12.3.2 ＝ ＋ ＋ ．3.露一手：计算：（1） （x ＋3）2； （2） （2x ＋y ）2．（3） （2a ＋3b ）2； （4）（ 2a ＋21b ）2 4.例题学习：计算：（1） （a －b ）2由此可以得出两数差的平方的计算公式= - +能从图12.3.3中的面积关系来解释小题（1）的结果吗?（2）(m-2)2 (3)（2x －3y ）2三、用心做一做：1.计算：（1）()23x - （2）()23b a + （3）（2x+3）2（4）（2m －n ）22. 计算：（说说怎样算更简便？）（1） （－2m ＋n ）2；（2） （－2m －n ）2 （3）100223. 要给一边长为a 米的正方形桌子铺上正方形的桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，问需要多大面积的桌布?4.(1) a 2＋b 2＝（a+b ）2＋ ；（2） a 2＋b 2＝（a －b ）2＋ ；(3) （x ＋y ）2=（x －y ）2＋（4） （x －y ）2＝（x ＋y ）2＋(5) （x ＋y ）2-（x －y ）2=（6）（x-y ）2-（x+y ）2=四、本课小结：本节课你学到什么知识？还有哪些疑惑？五、当堂小测：1. 填空：（1） a 2＋6a ＋ ＝（a ＋ ）2；（2） 4x 2－20x ＋ ＝（2x － ）2；(3)x 2+ +4=( )22.计算（1） （3a ＋b ）2 （2）（2a ＋1）（－2a －1）（3） （2x －4y ）2 （4）（ 21a －31b ）2 六、课外延伸：（一）填空：1.(1) 110199100+⨯＝ .(2) 若x 2＋mx ＋４是一个完全平方公式，则m 的值 (3) 若x 2＋4x ＋m 2是一个完全平方公式，则m 的值2. x 2＋y 2=（x+y ）2－ ＝（x －y ）2＋ .3. m 2＋21m＝（m ＋m 1）2－ . 4. 若x －y ＝３，x ·y ＝１０.则x 2＋y 2＝ .5.已知（a+b ）2=7, （a-b ）2=4,求（1）a 2+b 2（2）ab 的值。
12.3.2 两数和(差)的平方八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)
12.3.2两数和〔差〕的平方根底知识1.2222)(b ab a b a ++=+；即两数和的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。
这个公式叫做两数和的平方公式。
2222)(b ab a b a +-=-；即两数差的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。
这个公式叫做两数差的平方公式。
以上两个公式俗称完全平方公式2．完全平方公式的特点：〔1〕左边是一个二项式的完全平方；〔2〕右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项为哪一项左边二项式中两项积的两倍；〔3〕公式中的字母，可以代表一个数，还可以代表一个代数式。
3.完全平方公式的变化与推广：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+例题例1．计算：2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭． 【答案】224439y x xy -+． 【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】 解：原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=． 【点睛】此题主要考查有理数及整式的运算，属于根底题型.例2．阅读材料：假设2222210x xy y y ++-+=，求x ，y 的值．解：∵2222210x xy y y ++-+=，∴2222210x xy y y y +++-+=，即22()(1)0x y y ++-=．∴0,10x y y +=-=．∴1,1x y =-=．根据你的观察，探究以下问题：〔1〕224428160m mn n n -+++=，求3()m n --的值．〔2〕24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c ++的值．【答案】16．〔1〕18；〔2〕3 【分析】〔1〕将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出m ，n 的值，代入代数式即可得到结论；〔2〕由a -b =4，得到a =b +4，代入的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：〔1〕∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=〔2m -n 〕2+〔n +4〕2=0， ∴2m -n =0，n +4=0，∴m =-2，n =-4，∴〔m -n 〕-3=18； 〔2〕∵a -b =4，即a =b +4，代入得：〔b +4〕b +c 2-6c +13=0，整理得：〔b 2+4b +4〕+〔c 2-6c +9〕=〔b +2〕2+〔c -3〕2=0，∴b +2=0，且c -3=0，即b =-2，c =3，a =2，那么a +b +c =2-2+3=3．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，此题属于中档题．练习1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=，那么通过图2中阴影局部面积的计算验证的恒等式是()A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()(2)2a b a b a ab b -+=+-2．以下各式中，与2(1)x -相等的是()A ．221x x -+B ．221x x --C ．21x -D ．2x 3．9x 2﹣kx ＋4是一个完全平方式，那么常数k 的值为〔〕A ．6B ．±6C ．12D ．±12 4．以下各式中，是完全平方式的是〔〕A ．269x x -+B ．221x x +-C ．2525x x -+D ．216x + 5．m 2+n 2＝1，〔m +n 〕2＝2，那么mn 的值是〔 〕A ．14B ．12C ．1D ．2 6．计算：()22x y +＝_____．7．如果2236x kxy y ++是完全平方式，那么k 的值是________ ．8．22,()1xy x y =-=，那么22x y +=_________．9．x ，y 244y y -=-，假设3axy x y -=，那么实数a 的值为_____________．10．假设()292116x k x --+是完全平方式，那么k 的值为______．11．计算：〔1〕()225a b -+；〔2〕(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12．先化简，再求值：()()()2211x x x -+--，其中12x =-．13．()218x y +=，()26x y -=，求22x y +及xy 的值． 14．化简：22()()a b a b -+15．〔1〕先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-． 〔2〕己知2226100x y x y +-++=，求x y +的值．16．[阅读理解]假设x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值． 解：设80x a -=，60x b -=，那么(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=．[解决问题]假设x 满足22(30)(20)120x x -=+-，求(30)(20)x x --的值．参考答案1．A【详解】解：阴影局部的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．应选：A ．2．A【详解】解：22(1)21x x x -=-+，应选：A ．3．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：∵9x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±12， 解得：k =±12， 应选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．4．A【分析】根据完全平方公式：〔a ±b 〕2=a 2±2ab +b 2分析各个式子． 【详解】解：()22693x x x -+=-，是完全平方式，221x x +-，2525x x -+，216x +不是完全平方式， 应选A ．【点睛】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项，利用公式写成平方的形式．5．B【分析】根据m 2+n 2的值，利用完全平方公式将〔m +n 〕2展开进行计算即可．【详解】解：∵m 2+n 2=1，∴〔m +n 〕2=2，∴m 2+2mn +n 2=2，∴1+2mn =2，∴2mn =1，∴mn =12，应选：B ．【点睛】此题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()222244x y x xy y +=++，故答案为：2244.x xy y ++【点睛】此题考查的是完全平方公式的运用，掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 7．±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵2236x kxy y ++是完全平方公式，∴2236x kxy y ++=〔x+6y 〕2或者2236x kxy y ++=〔x-6y 〕2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12． 【点睛】此题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab ． 8．5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+，代入得出答案．【详解】解：∵22,()1xy x y =-=，∴222()2145x x y y y x =-=+++=，故答案为：5．【点睛】此题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键．9．76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=，可得x ，y 的值，将之代入3axy x y -=中可得结果．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，390,20x y ∴+=-=，解得：3,2x y =-=，代入3axy x y -=，得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=， 解得：76a =， 故答案为：76． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式及非负数的性质，属于根底题，关键是根据非负数的性质求出x ，y 的值再求解．10．11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，求解即可．【详解】解：∵()292116x k x --+是完全平方式，∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，解得11k =-或13，故答案为：11-或13．【点睛】此题考查利用完全平方式的定义求参数，掌握完全平方式的定义是解题的关键． 11．〔1〕2242025a ab b -+；〔2〕41x【分析】〔1〕根据完全平方公式直接计算即可；〔2〕根据多项式乘多项式的法那么进行计算即可．【详解】〔1〕解：()225a b -+〔2〕原式2242255x x x x x x =-+-++--41x ．【点睛】此题考查完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规那么．12．3x -，72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法那么、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：()()221(1)x x x -+-- 3x =-， 当12x =-时，原式=17322--=-． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法那么是解题的关键．13．2212x y +=；3xy =．【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将条件整体代入即可．【详解】解：()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=； ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====． 【点睛】此题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．14．42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可；【详解】解：()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+； 【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键．15．〔1〕95x -，8-；〔2〕-2【分析】〔1〕根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答此题．〔2〕将等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得到x 和y 值，代入计算即可．【详解】解：〔1〕2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入， 原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-； 〔2〕∵2226100x y x y +-++=，∴2221690x x y y -++++=，∴()()22130x y -++=，∴x -1=0，y +3=0，∴x =1，y =-3，∴132x y +=-=-．【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用，解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．10【分析】根据题目所给的方法，设30,20x a x b -=-=，那么22120a b +=，再根据222()2a b a b ab +=+-，即可得出答案． 【详解】解：设30,20x a x b -=-=，22(30)(20)120x x --=+，22120a b ∴+=，那么=3020120a b x x +-+-=，222()2a b a b ab +=+-，【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键．。
12.3.2《两数和(差)的平方》
1 / 312.3.2 两数和（差）的平方【教学目标】：1．能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。
3．通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。
重点：掌握公式的特点，牢记公式。
难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算。
【教学建议】：(1)在教学中应在讨论的基础上，从代数运算的角度运用多项式乘法法则，推导出公式()2222b ab a b a ++=+。
(2)关于公式 ()2222b ab a b a ++=+的获得，要鼓励学生自己探索，鼓励学生算法的多样化，学生既要按多项式的乘法 的法则计算；也可以利用公式()2222b ab a b a ++=+来获得结果。
【评价建议】：过程性：（1）公式推导过程中关注学生 对多项式乘法法则的掌握程序；（2）公式得出后关注学生对公式的理解；（3）关注学生算法的合理性及其与同学们进行交流的积极性。
知识性：关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性，熟练运用完全平方公式进行简单的计算。
【教学过程】：1.知识与回顾：（1）两数和的公式是什么？（2）口述多项式乘以多项式法则。
（3）计算 （2x －1）（3x －4）、 （5x ＋3）（5x －3）2.设计活动，导入新课。
师：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们。
来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……2 / 3(1) 第一天有a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？〖设计说明〗从具有现实生活实际的情境设计问题，可以激发生学生学习兴趣，让学生乐于利用所学知识解决实际问题，也可以体现数学的实用性。
（2）第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a ＋b ）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？ 〖设计说明〗通过一系列的问题，不仅可以体现循序渐进的原则，也利于学生更有效地运用所学知识解决实际问题。
12.3.2两数和(差)的平方课件
初 识 完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a+b)2= a2+2ab+b2 几 b 何 解 释: a
(a−b)2 = a2−2ab+b2 .
结构特征: 左边是 二项式 (两数和 (差)) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
语言表述:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用自己的语 言叙述上面 的公式
2
1 (2)( m 1) 2 2
解：(1)(3x - 2y)2 =(3x)2 - 2· 2y+ (2y)2 3x·
(a －b)2 = a2 －2 ab + b2
=9x2-12xy+4y2
1 1 1 (2)( m 1) 2 ( m) 2 2( m) 12 1 2 2 2
完全平方公式
其边长增加 b 米. 形成四块 实验田，以种植不同的新品种.
一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将
探究：用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行化简比较.
b
ab
b2
探索: 你发现了什么?
a
a2
a
ab
b
观察：公式的左边是
直 总面积= (a+b) 2； 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求
公式:
(a+b)2= a2+ 2 ab +b2.
什么？右边是什么？
动脑筋
想一想
完全平方公式 的证明
(a+b)2=a2+2ab+b2 ;
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
12.3.2两数和(差)的平方
纠 错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
例2、利用两数和的平方公式
请说出题中哪 部分相当于公 式中的 哪 部分相当于
计算:
（1） (a+3b)2 (2) (2x+3y)2
（3） (-2x-y)2
（4） (a-b)2
解：
（1） (a+3b)2 ＝ a2 2 a 3b (3b)2 a2 6ab 9b2
(2) (2x+3y)2
两数和（差）的平方
(a b) ?
2
学习六步曲
学习目标
复习回顾
探究新知
例题讲解
巩固练习 课堂小结
学习目标
能根据两数和平方公式的特点，正确运用 两数和的平方公式进行计算；通过两数和 的平方公式的推导，来初步体验数学中相互转 化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背 景。
回顾 & 思考 ☞
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
做一做
研究性学习
两数和(差)的平方公式
b 4a 2 2ab 4
2
练习
1、计算 2 （1）(3x 4 y ) （2）(2 x 5)2 （3）(m 2n)2 （4）(2a b)2 1 2 2 （5） ( x y)
解 : 原式 9 x2 24xy 16y 2 解 : 原式 4 x2 20xy 25 解 : 原式 (m 2n)2 m2 4mn 4n2
两数和（差）的平方：
(a b)2 a2 2ab b2
口诀： 首平方，尾平方，积的2倍在中央， 中间符号照原样。
例题
利用公式计算： 2 ( 2 x 3 y ) （1） 2 2 ( 2 x ) 2 2 x 3 y ( 3 y ) 解：原式=
= 4 x2 12xy 9 y 2
（2） (2m 5n)2 解：原式= (2m)2 2 (2m) 5n (5n)2 2 2 4 m 20 m n 25 n = 2 ( 5 n 2 m ) 或 原式= 2 2 ( 5 n ) 2 5 n 2 m ( 2 m ) =
25n 2 20mn 4m2
探究发现
计算下列各式，你能发现什么规律？
( p 1)2 ( p 1)( p 1) p2 2 p 1
( x 3)2
(a b)2
( x 3)( x 3) x 2 6 x 9
(a b)(a b) a2 2ab b2
两数和的平方
小结
两数和（差）的平方公式： (a b)2 a2 2ab b2 特点：
公式的左边是二项式（两数和（差））的平方； 公式的右边是一个三项式，其中有两项是这两个数的 平方，另一项是这两个数积的2倍。
华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.2.两数和(差)的平方》
华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.2.两数和（差）的平方》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《12.3.2.两数和（差）的平方》这一节主要让学生掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。
这是初中数学中比较重要的一个知识点，也是学习二次函数、解一元二次方程等知识的基础。
本节课的内容在教材中处于承前启后的位置，既是对前面所学平方知识的一个巩固，又是为后面学习二次函数做铺垫。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方、平方差公式等知识，对平方运算有一定的了解。
但是，对于两个数的和的平方、差的平方的计算方法，还需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
同时，学生在学习过程中可能存在对公式死记硬背的现象，缺乏对公式的理解和灵活运用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对平方运算的理解和灵活运用能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。
2.难点：对两个数的和的平方、差的平方的计算方法的灵活运用。
五. 教学方法采用“问题-探究”的教学方法，通过实例引入，引导学生发现问题、探究问题，从而解决问题。
同时，运用小组合作、讨论交流等教学方法，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：已知两个数，求它们的和的平方和差的平方。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）呈现两个数的和的平方和差的平方的计算方法，让学生观察和理解这两个公式的意义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用这两个公式计算一些给定的数的和的平方和差的平方。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）通过一些变式的练习题，让学生进一步巩固这两个公式的运用。
12.3.2两数和(差)的平方
图12.3.2课题： 12.3.2两数和（差）的平方一、【学习目标】1、使学生通过自主探索两数和（差）的平方公式的过程2、了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算。
【学习重点】熟记公式，熟练地运用公式进行简单的计算。
【学习难点】完全平方公式的推理过程 二 、旧知链接：利用多项式乘多项式的方法计算下列各题：（1）（2x+1）(2y-3) (2). 22）（+m (3) 23）（+p三、新知探究： 展示单元一：两数和的平方公式1、观察旧知链接（2）、（3）的规律，你能很快地写出：（a+b ）2 ＝ 。
2、思考：你能说明a ²+b ²与(a+b)²的关系吗？3、图形演示：让学生直观感知：a ²+b ²≠(a+b)²（1）几何探究（整体考虑，分割思考）：试一试：先观察图12.3.2，你能用一个代数式来表示该大正方形的面积吗？还有其他不同的表示方法吗？再用等式表示下图中图形面积的运算：＝ ＋ ＋ ．概括：我们得到了一个非常重要而且十分有用的结果：两数和的平方公式：（a+b ）2 ＝ 。
感悟规律：你发现公式有何特征吗？在代数学习的过程中，常把几何知识运用进来，注意“ ”的思想。
展示单元二：小试牛刀23b)(1)(2a +2)22)(2(b a + 222)23)(3(b a +展示单元三：两数差的平方公式试一试，你一定也能发现：（a －b ）2＝ 同学们大胆进行自主探索或相互讨论，然后发表其思路和结论。
模仿练习： （2x －3y ）2 （2m －5）2我能行：计算：（1）（－2m ＋n ）2 （2）（－2m －n ）2注意：2倍乘积的符号。
总结： （a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．重点识记：1、两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．2、两数差的平方，等于它们的平方和减去这两数积的2倍3、（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 24、识记口诀：首平方，尾平方，首尾2倍放中央。
八年级数学12.3.2：两数和(差)的平方教学设计
12.3.2、两数和的平方【教材分析】本课是华东师大版八年级〔上〕第12章第3节《两数和〔差〕的平方》。
主要研究两数差的平方公式，并对两数和〔差〕的平方进行总结，通过学习能对两数和〔差〕的平方运算能进行顺利的计算，对公示的特点能有较为深刻的认识，也是以后学习因式分解和配方法解题的关键。
【设计思路】本课对两数差的平方公式进行探索，通过现有学生自己自主探索，教师进行观察。
就学生采用的方法进行分析，进一步培养学生的分析和自主探索的习惯，让学生主动从事计算、交流等活动，形成自己对教学知识的理解和有效的学习模式。
【教学目的】知识与能力：能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.过程与方法：能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.情感态度与价值观：通过完全平方公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想.【重点、难点】重点：掌握公式的特点，牢记公式.难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算.【解决方法】对于两数差的平方公式，通过学生自主探索，然后由师生共同总结的方法，形成对问题解决的思路，从而对公式本领的认识。
【教学类型】研究性学习【教学准备】多媒体课件等【课时】1课时【教学准备】边长为a 的正方形纸板3张，边长为b 的正方形纸板3张，宽为b 、长为a 的长方形纸板6张.【教学过程】一、复习活动.1．说出平方差公式.(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差.)2．计算：(x ＋a)(x ＋b)＝＿＿＿＿＿＿.二、引导观察.1．在(x ＋a)(x ＋b)中，假设a ＝b ，那么上述式子将会成为怎样的式子?计算结果是什么?(学生答复：变为(x ＋a)(x ＋a)，计算结果是x 2＋2ax ＋a 2.由此教师指出可得另一个乘法公式即(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2，由引入课题.)2．这个公式的左边和右边各有什么特点?(引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言表达，教师再加以纠正、完善.)3.(a ＋b)2=a 2＋b 2对吗?为什么?(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误.)4.你会用(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2计算(a －b)2.引导学生将“－b 〞看作一个数，将(a －b)2化为[a ＋(－b)]2=a 2＋2a ×(－b)＋(－b)2=a 2－2ab＋b 2，并指出这也是一个乘法公式：(a －b)2= a 2－2ab ＋b 2.5.你能用图形验证：(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2及(a －b)2=a 2－2ab ＋b 2吗?在左图中，大正方形的面积是(a ＋b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a 2、b 2，长方形的面积是ab ，所以有等式(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2.在上图中，大正方形的面积是a 2，两个小正方形的面积分别是(a －b)2、b 2，两个相等的长方形面积都是(a －b)·b ，于是有：a 2=(a －b)2＋2(a －b)·b ＋b 2，即(a －b)2=a 2－2(a －b)·b －b 2=a 2－2ab ＋b 2.6．比拟(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋b 2及(a －b)2=a 2－2ab ＋b 2这两个公式，它们有什么不同?有什么联系? (引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项为哪一项这两个数积的2倍.)〔a ＋b 〕2＝a 2＋2ab ＋b 2．这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．三、举例及应用例1 计算.〔1〕〔2a ＋3b 〕2〔2〕〔2a ＋b/2〕2解〔1〕〔2a ＋3b 〕2＝〔2a 〕2＋2·２a ·3b ＋〔3b 〕2＝4a 2＋12ab ＋9b 2．〔2a ＋b/2〕2＝〔2a 〕2＋2·2a ·b/2＋〔b/2〕2＝4a 2＋2ab ＋b 2/4．练习：课本35页练习的第1题例2 计算〔1〕〔a －b 〕2 〔2〕〔2x －3y 〕2解〔1〕〔a －b 〕2＝［a ＋〔－b 〕］2＝a 2＋2·a ·〔－b 〕＋〔－b 〕2＝a 2－2ab ＋b 2．〔2〕〔2x －3y 〕2＝［２x ＋〔－3y 〕］2＝〔2x 〕2＋2·〔2x 〕·〔－3y 〕＋〔－3y 〕2＝4x 2－12xy ＋9y 2．此题也可直接运用小题〔1〕的结果〔两数差的平方公式〕来计算：〔2x －3y 〕2 ＝〔2x 〕2－2·〔2x 〕·〔3y 〕＋〔3y 〕2＝4x 2－12xy＋9y 2．讨论你能从图中的面积关系来解释小题〔1〕的结果吗?练习：课本第35页练习第2题例3利用完全平方公式进行计算〔1〕1022〔2〕1992你会用乘法公式计算吗？〔1〕〔m ＋n 〕〔m －n 〕〔m 2－n 2〕〔2〕〔a ＋b ＋c〕2先让学生讨论，再解答，交流体会.请你完成下面计算.〔1〕912 〔2〕3012〔3〕〔x ＋2〕2－〔x －2〕2练习P32 3.4.【作业】课堂作业：课后作业：见同步练习册【教学反思】1．这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点.2．公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式.3．在解决具体问题时，要先考察题目是否符合公式条件，假设不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算.4．要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2=a2±b2.。
12.3.2 两数和(差)的平方 课件 2024—2025学年华师大版数学八年级上册
掌握新知
例1 计算：
2
2
(1)(2x+3y) ;(2)(2a+ ) .
2
解：(1)(2x+3y)2
=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2.
2
2
2
(2)(2a+ ) =(2a) +2·2a· +( )
2
2 2
2
2
=4a +2ab+ .
4
注意：把2x看作a，3y
×
x2 -2xy +y2
（4） (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2.
×
4x2+4xy +y2
巩固练习
2.如图，有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干
张．要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先
取甲纸片1张，乙纸片9张，还需取丙纸片 6
张．
巩固练习
3.计算：
(1)(x+3)2;(2)(x-3)2;(3)(-2m+1)2;(4)(-2m-1)2.
试一试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
(a+b)2
a2
2ab
b2
探索新知
试一试
推导两数差的平方公式.
我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2,即
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.
注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算，
变形整体代入求值．
巩固练习