非正弦周期电流电路【好】

1 1 1 u(t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
4A
非正弦周期信号用傅里叶级数表达式表示还不够 直观，而用频谱图进行表示时，各次谐波分量的相对 大小就会一目了然。 图中每一条谱线代 4A 表一个相应频率的谐波 U1m 分量，谱线的高度表示 U 1m 该谐波的振幅大小。显 U 1m 然，频谱图可以非常直 3 观地表示出非正弦周期 5 信号所包含的谐波以及 各次谐波所占的“比重” 0 3 5
第9章 非正弦周期电流电路
9.1非正弦 周期信号 9.4 非正弦周期 信号作用下的 线性电路分析
9.2 谐波 分析和 频谱
9.3 非正弦 周期信号的 有效值、平均值 和平均功率
本章学习目的与要求
了解非正弦周期量与正弦周期量 之间存在的特定关系；理解和掌握非 正弦周期信号的谐波分析法；明确非 正弦周期量的有效值与各次谐波有效 值的关系及其平均功率计算式；掌握 简单线性非正弦周期电流电路的分析 与计算方法。
偶函数： 特点是波形对纵轴对称。偶函数的傅里叶级 数表达式中只含有cos项，一般还包含直流 成分。 奇谐波函数： 特点是波形的后半周与前半周具有镜像 对称性，也称为奇次对称性，奇谐波函 数的傅里叶级数表达式中只含有奇次谐 波。 特点是波形的前、后半周变化相同。也 偶谐波函数： 称为偶次对称性，偶谐波函数的傅里叶 级数表达式中一般只包含偶次谐波。 零次谐波： 非正弦周期波中的直流分量称为零次谐 波。偶次谐波中一般包含零次谐波。
谐波表达式，掌握波形对称性与谐波成分 的关系，理解波形“平滑性”的概念。 9.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式 由上节内容可得：方波信号实际上是由振幅按1， 1/3，1/5，…规律递减、频率按基波频率的1、3、5 …奇数倍递增的u1、u3、u5等正弦波的合成波。因此 方波电压的谐波展开式可表示为： 1 1 u(t ) U1m sin t U1m sin 3t U1m sin 5t 3 5 谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信 号的傅里叶级数表达式。
u(t)
U1m u1 u1与方波同频率, 称为方波的基波 u3的频率是方波的3倍, 称为方波的三次谐波。 u3
1/3U1m
0
u1和u3的合成波, 显然较接近方波
t
u(t)
u5的频率是方波 的5倍,称为方波 的五次谐波。
1/5U1m
u5
0
u135
t
u13和u5的合成波, 显然更接近方波
由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、 9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与 周期性方波电压的波形相重合。 即：一系列振幅不同，频率成整数倍的正弦波， 叠加以后可构成一个非正弦周期波。 分析中的u1、u3、u5等等，这些振幅不同、频率 分别是非正弦周期波频率k次倍的正弦波统称为非正 弦周期波的谐波，并按照k是非正弦周期波频率的倍 数分别称为1次谐波(基波)、3次谐波……。 k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的奇次 谐波；k为偶数时则称为非正弦周期波的偶次谐波。 而把2次以上的谐波均称为高次谐波。
u [50 85 sin(t 30) 56.6 sin(2t 10)V i [1 0.707 sin(t 20) 0.424 sin(2t 50)A
求电路所消耗的平均功率。
85 0.707 56.6 0.404 P 50 1 cos[30 (20)] cos(10 50) 2 2 P0 P1 P2 50 19.3 9.2 78.5W
9.3.2 非正弦周期量的平均功率 非正弦周期量通过负载时也要消耗功率，此功率 与非正弦量的各次谐波有关。即：
P U 0 I 0 U1 I 1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 P0 P P2 1
显然，只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构 成平均功率。 已知有源二端网络的端口电压和电流分别为：
电路中产生非正 弦波的原因是什 么？举例说明。
试述基波、高次谐 波、奇次谐波和偶 次谐波的概念？ “只要电源是正 弦的，电路中各 部分的响应也一 定是正弦波”。 这种说法对吗？
稳恒直流电和正 弦交流电有谐波 吗？什么样的波 形才具有谐波？
9.2 谐波分析和频谱 学习目标： 理解谐波和频谱的概念，熟悉非正弦波的
9.3 非正弦周期信号的有效值、 平均值和平均功率 学习目标： 熟悉非正弦波有效值的计算式，了解它与
正弦量有效值的区别和联系；掌握非正弦 量平均值的含义及平均功率的计算。 9.3.1 非正弦周期量的有效值和平均值 非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值 的定义完全相同：与非正弦周期量热效应相同的直流 电的数值，称为该非正弦周期函数的有效值。 实验和理论都可以证明：非正弦周期量的有效值：
9.2.4 波形的平滑性与谐波成分的关系 观察表9.1中的波形1方波和波形2等腰三角波，不 难发现它们都是奇函数且具有奇次对称性，因此它们 的傅里叶级数表达式中都是仅只含sin项的奇次谐波。 进一步观察又可看出，方波中含有的高效谐波成 分比较严重，而等腰三角波中含有的高次谐波成分相 对较轻。什么原因呢？ 观察波形，方波在一个周期内发生两次正、负之 间的跃变，即波形极不平滑；而等腰三角波则总是在 正、负半周均按直线规律上升或下降，整个周期内并 没有发生跃变，因此其平滑性较方波好得多。 归纳：非正弦周期波中含有的高次谐波成分是否 严重，取决于它们波形的平滑性。即愈不平滑的波形 所含有的高次谐波愈严重。
u(t)
0
t
观察方波波形，它不但具有对原点对称的特点， 还具有奇次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中 只含有sin项中的各奇次谐波。
u(t)
0
t
观察全波整流波的波形，它不但具有对纵轴对称 的特点，还具有偶次对称性，因此在它的傅里叶级数 展开式中只含有cos项中的各偶次谐波，且包含零次 谐波成分。 掌握了波形与谐波成分之间的上述关系，无疑给 谐波分析的步骤带来简化，根据波形的对称性会很快 找出相应的谐波。
傅里叶级数表达式中的A是方波的最大值。 参看课本上P132页中的表9.1，表中所示的一些典 型非正弦周期信号的的傅里叶级数表达式表明，它们 也都是由一系列正弦谐波合成而得。所不同的是，不 同的非正弦周期信号波，它们各自所包含的谐波成分 各不相同。 寻找一个已知非正弦周期波所包含的谐波，并把 它们用傅里叶级数进行表达的过程，我们称为谐波分 析。 9.2.2 非正弦周期信号的频谱 非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在座 标系中，所构成的图形称为振幅频谱图。
五次谐波电压单独作用时：
10 6 Z 5 10 j (5 314 0.05 ) 51.278.7 5 314 22.5 U 5m 2018 I 5m 0.39 60.7A Z 5 51.278.7
电流解析式根据叠加定理可求得：
i(t ) i1 i3 i5 1.43 sin(t 85) 6 sin(3t 45) 0.39 sin(5t 60.7)A
I I 0 I1 I 2
2 2 2
或
U U 0 U1 U 2
2 2 2
即非正弦周期量的有效值等于它的各次谐波有效 值平方和的开方。
正弦量的平均值是按半个周期来计算的，即： 2 f av Fm 0.637Fm

非正弦周期量的平均值要按一个周期进行计算。 若非正弦周期量若为奇函数，其平均值一定为零；若 为偶谐波函数，其平均值一定为正值……。 理论和实践都可以证明，非正弦量的平均值： 1 T f av f (t ) dt T 0 显然，非正弦周期量的平均值在分析计算时，数 值上就等于它的傅里叶级数表达式中的零次谐波。
电流的有效值：
1.43 2 6 2 0.39 2 I ( ) ( ) ( ) 4.37A 2 2 2
其中三次谐波电压、电流同相，说明电路在三次 谐波作用下发生了串联谐振。
计算非正弦量作用下的电路时应注意的问题
1.当直流分量单独作用时，遇电容元件按开路处理， 遇电感元件则要按短路处理； 2.任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交 流电路的计算方法完全相同，只是必须注意：不同 谐波频率下电感和电容上的电抗各不相同。 3.用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接 进行叠加的，必须根据相量与正弦量的对应关系表 示成正弦量的解析式后再进行叠加。 4.不同频率的各次谐波响应是不能画在同一个相量图 上，也不能出现在同一个相量表达式中。
9.4 非正弦周期信号作用下 的线性电路分析 学习目标： 了解在一定条件下，非正弦周期信号作用
下的线性电路的分析方法，掌握较为简单 的非正弦周期电流电路的计算。
非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤
1.将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式； 2.将激励分解为直流和一系列正弦谐波(一般计算至 3~5次谐波即可)； 3.对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解； 4.求解出的响应均用解析式进行表示； 5.将电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求 响应。

如果把振幅频谱的顶端用虚线连接起来，则该虚 线就称为振幅频谱的包络线。参看课本图9.3(a)。
9.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系 观察表9.1中各波形可发现：方波、等腰三角波只 含有sin项的奇次谐波；锯齿波和全波整流都含有直流 成分，且锯齿波还包含sin项的各偶次谐波，全波整流 则包含cos项的各偶次谐波……。 显然，非正弦周期信号的谐波成分与其波形有关！ 谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非 正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所 含有的谐波。根据波形的特点我们解释几个名词： 奇函数： 其特点是波形对原点对称。奇函数的傅里叶 级数中只含有sin项，不存在直流和偶次谐 波。

非正弦周期量的波形特点，还常常用波形因数和 波顶因数来描述。 波形因数等于非正弦周期量的有效值与平均值之比： 有效值 Ki 平均值 波顶因数等于非正弦周期量的最大值与有效值之比： 最大值 KA 有效值 波形因数Ki和波顶因数KA均大于1，一般情况下 波顶因数大于波形因数。即非正弦量的波形顶部越尖 时，这两个因数越大，而非正弦周期量波形顶部越趋 于平坦时，这两个因数越小。