周建方版材料力学习题解答[第四章]

G d1
(d 2 d1 ) G (d 2 d1 )
3
d1
G (d 2 d1 ) d13
d
3 2
32Tl (d 2 3G (d 2 d1 )
d
1
)(d
2 1
d1d 2
d
3 1
d
3 2
d
2 2
)
32Tl
3Gd13
d
3 2
(d
2 1
d1d2
d
2 2
)
4-13 求例 3-5 中的单位长度扭转角。已知 G=80Gpa。 解：
23
M3 GI P
6.208102 32 90 109 3.14 0.044
2.746102 rad / m(1.570 / m)
因此 max 2.746 102 rad / m
13 12 0.2 23 0.3 9.589 103 rad (0.550 )
4-10 一钻探机的功率 7.355 kW ，转速 n 180r / min ，钻杆外径 D 60mm ，内径
B1
l 2
B3
l 2
wB1
M x 7.355 9550 /180 3.902 102
l mxdx 0.5ml 2
0 GI P
GI P
其中：ml M x
故：
Mx
l
3.902 102
40 0.481101 rad (8.480 )
GI P 2 5.270 104 2
4-11 一直径 d 25mm的钢圆杆，受轴向拉力 60kN 作用时，在标距为 200mm的长度内 伸长了 0.113mm 。当它受一对矩为 0.2kN m 的外力偶作用而扭转时，在标距 200mm长度 内相对扭转了 0.732 的角度，求钢杆的 E 、 G 、 。
2EI EI
6EI EI
ql3 6EI
M ql 2 B M ql 2 (B')
q c
(1) q
（二）求wB
wB wB1 wB2 wB3 wB4
+
(ql)l 3 (0.5ql 2 )l 2 ql 2l 2 1 ql 4
3EI
2EI
(
2EI
)
8
EI
1 3
1 4
1 2
（a）
q
A FDC
D
D' C C'
求反力： M A 0
B
FDC
2 l q 2l l 0 2
故：FDC
4 ql 2
B'
CD'
4 ql 2
2l 4ql 2
EA
EA
CC' 4 2ql 2 则B点的位移：BB' 2CC' 8 2ql 2
EA
EA
4-5（b）
计算CD杆反力： M A 0
1.157 102 rad / m 0.660 / m
80 109 0.237 0.1 0.0453
4-14 用积分法求图 4-22 所示各梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁 EI
均为常数。 （a）解： 由挠曲线方程：
A
M -
M (x) M
M
B
EIZ M (x)dx C Mdx C Mx C
1 8
ql 4 EI
5ql 4 24EI
4-15(b)解
（一） C C C1 C2 Fl2 Fl2l 3Fl2 2EI EI 2EI
（二）求 wB
wB
wB1
wB2
Fl3 3EI
Ml2 2EI
Fl3 Fl3 Fl3 3EI 2EI 6EI
ql (2)
(B') 1 ql 2 2
即：FA AA rA2 1 l x
FC AC rC2 4
x
则：x 4 l 5
4-4 图 4-16 所示一均质杆，长为 l ，横截面面积为 A ，杆重W ，材料的弹性模量为 E ，求 杆端 B 及中间截面 C 在自重作用下的位移。
解，如图
lB
N(x)dx l EA(x)
l (l x)qdx q
x
当x 0， A 0，故C 0
故： Mx EIZ
max
B
Ml EIZ
EIw 1 Mx2 Cx D 1 Mx2 D
2
2
当x 0时，wA 0，所以D 0
Mx2 w
2EI
Ml2 wmax wB 2EI
（b）解：
q
q/2 1 ql 2 8
M (x) q (xl x2 ) 2
max
பைடு நூலகம்
A
B
ql 3 24EI
4-15 用叠加法求图 4-23 所示梁的C 及 wB 。设 EI 均为已知常数。
（a）解：
求：C , wB . （一）求 C
C C1 C2 C3 C4
C1(B')
C 2( B')
C 3( B')
C 4(C ')
ql 3 0.5ql 2l ( ql 3 ) ql 3
F
+
+
+
题 4-1 图
4-2 拉杆如图 4-14 所示，求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模量 E 150GPa 。
解：
题 4-2 图
l FNili 15103 150 15103 250 EAi 150103 20 20 150103 20 10 3.75102 1.25101 1.625101 mm 0.1625mm
4-16（b）解
q
(1) B
A
D l
C
B
l/2 q
B1
q( l )3 2
6EI
ql3 48EI
wB1 θ
B1
θ
B2
wB2
θB3
wB3
B2
ql 3 24EI
B3
1 ql 2 l 8
3EI
ql 3 24EI
B
B1
B2
B3
ql3 48EI
(2)wB
wB
wB1
wB2
wB3
wB1
M C 0 FO1A F
F
M D 0 F 2l FO1C 2l 0
B (二）求变形
因此：FO1C 2F
1
FO1Al EA
Fl EA
2
FO1C 2l EA
2 2
2F 2l EA
2 2 2 Fl EA
δ3 3 1 2( 2 1 )
3
2 2
1
4
2Fl EA
Fl EA
(4
已知：h=100mm，b=45mm，T=2kN·m，G=80GPa；
Mx
其中，和h / b有关
Ghb3
h / b 2.2，插值h / b 2.0， 0.229，h / b 2.5， 0.249
0.229 （0.249 0.229）2.2 2.0 0.237 2.5 2.0
2 103
EIZ
M (x)dx C
q (xl 2
x2 )dx C
q x2l 1 x3q C 1 qlx2 1 qx3 C
46
4
6
q/2
EIZ
w
1 12
qlx3
1 24
qx 4
Cx
D
当x 0时，w 0, D 0
当x l 时， 0，从而，C ql 3
2
24
则, wmax
wl
2
5ql 4 384EIZ
IP
D 4 32
Mx
2.15103 32
3.9 102 rad / m(2.240 / m)
GIP 90109 3.1416 0.054
4-9 求习题 3-7 中的最大单位长度扭转角和齿轮 1 和齿轮 3 的相对扭转角。已知齿轮 1 和 齿轮 2 的间距为 0.2m，齿轮 2 和齿轮 3 的间距为 0.3m，G=90Gpa。 解：
Fl EA
By 2BE
2 HF 2 2
2 Fl Fl (1 2 EA EA
2) Fl EA
4-7 在图 4-19 所示结构中， AB 为水平放置的刚性杆，1、2、3 杆材料相同，其弹性模量
E 210GPa，已知 l 1m ， A1 A2 100 mm 2 ， A3 150 mm 2 ， F 20kN 。试求 C
4-12 全长为 l ，两端面直径分别为 d1 和 d 2 的圆锥形杆，两端各受力偶 T 作用而扭转（图
4-21），求两端面间相对扭转角。 解：
d1 x L
d2
1
1
dx l (xd 2 ld1 xd1 ) d1 l x(d 2 d1 )
lM (x) dx M x l
32
dx 32T l
(3) (B')
q
(4) w'
Fl
B F
C
(1)
Fl
(2)
C
4-16 用叠加法求图 4-24 所示梁的最大挠度和最大转角。 4-16(a) 解
（一）最大转角
2EI
EI F
B
max
F 1B
Fl 1B
2B
A
CF
B
Fl2 Fl l Fl2
1 1 1 Fl2 5 Fl2
( )
C Fl
2(2EI) 2EI 2EI 4 2 2 EI 4 EI
解：
E FN l 200 60103 2.16105 MPa 216GPa l A 0.113 3.14 252 4
IP
D 4 32
3.833108
G M xl
0.2103 0.2
8.1721010 Pa 81.72GPa
I P 3.833108 1.277102
E 1 216 1 0.32 2G 281.72
4-1 图 4-13 所示钢杆横截面面积为 A 100mm2 ，如果 F 20kN ，钢杆的弹性模量 E 200GPa，求端面 A 的水平位移。
解：（一）绘制轴力图 （二）计算：
2F
F
F
l
FNi li EA
F EA
(2l1
l2
2l3 )
2F
2F
20 103 (2 1000 1000 2 1000) 200103 100 5mm(伸长）
F （二）最大挠度
C
B
wB
w1FC
w1FCl
F 1C
l
Fl 1C
l w2B
Fl3 Fl l 2 Fl2 l (Fl)l l Fl3 3(2EI) 2(2EI) 2(2EI) 2EI 3EI
1 1 1 1 1 Fl3 3 Fl3 ( )
6 4 4 2 3 EI 2 EI
2 1) Fl EA
4-6 求图 4-18 所示节点 B 的水平位移和竖向位移。 AB 杆和 BC 杆的抗拉刚度 EA相同。
解：
C
根据静力学容易求得：
FBC
A
FAB B
BD
E GH F
题 4-6 图
FAB F FBC 2 F
由BD Fl BE 2F 2l 2Fl
EA
EA
EA
则：Bx
BD
0 EA
EA
l
(l x)dx
q
[l 2 x 2
0
EA 2
l
]
0
ql 2
2EA
ql W
Wl lB EA
lA
N(x)dx l EA(x)
l 2
q
(l x)dx 3ql 2
3 Wl
0 EA
8EA 8 EA
A dx B x
题 4-4 图
4-5 试计算以下各题刚性梁 AB 的 B 处位移（图 4-17）。其它杆件为弹性杆，刚度 EA。
Mx
9550 P n
M1
9550
30 200
1.432103
N
m
M2
9550
17 200
8.118 10 2
N
m
M3
9550
13 200
6.208 10 2
N
m
12
M1 GI P
1.432103 32 90 109 3.14 0.074
0.755103 rad / m(0.3870 / m)
4-3 相同材料制成的 AB 杆和 CD 杆（图 4-15），其直径之比为 d AB / dCD 1 / 2 ，若使 刚性杆 BD保持水平位置，试求 x 的大小。
解： （一） 求反力
FAB
F
(l
l
x)
（二） 根据条件求解
FCD
F
x l
FAB
x
FCD
题 4-3 图
l AB lCD
FAl A FC lC E A AA EC AC
1
dx
0 GI P
G
0
[d1
1 l
x(d 2
d1
)]4
G
0
[d1
1 l
x(d 2
d1 )]4
令K
d1
1 l
x(d 2
d1 )
则 : x (K d1 )l (d2 d1 )
上面积分转换为：
32T d2 K 4 d (K d1 )l 32T
l
K 3 d2 ( )
32Tl
( 1 1 )
D
FDC 2l
3 F 3l 0 2
故：FDC 3 F
A
C E
B
则：EC' FDC 2l 2 3Fl EA EA
C'
B' 根据图的关系：
CC' 3 EC' CC' 4Fl B点位移：BB' 3 CC' 6Fl
2
EA
2
EA
4-5（c）
D
A
C
FO1A
FO1C
FO2C
δ1 δ2
(一）受力分析，反力计算
d 50mm，钻入土层 40m ，如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶（图 4-20），试
求此杆两端面的相对扭转角。钻杆 G 80GPa。
解：
IP
D 4 32
(1
4)
3.14 0.064 32
[1
(50)4 ] 60
6.587 107 m 4
GI P 80 109 6.587 107 5.270 104
点的水平位移和铅直位移。 解：
1
3
2
A A'
ΔCy
B B'
ΔCx
根据静力学容易求得：
F1
F2
F 2
AA' Fl 200103 0.5 1000 0.476mm
2EA
210103 100
C y 0.476mm
Cx C y tg450 0.476mm
4-8 求习题 3-6 中的单位长度扭转角。已知 G=90Gpa。 解：