初高中数学衔接导学案

n
n1
n1
4、 x x
x x 1 ………………………………………………………………
3：公式法
（） （） （） （）
例 5 分解因式： （ 1） a 4 16
（ 2） 3 x 2 y 2 x y 2
课堂练习
一、 a 2 2ab b2 ， a2 b 2 ， a3 b 3 的公因式是 ______________________________ 。
（
）
（ A ）总是正数
（ B ）总是负数
（ C）可以是零
（ D ）可以是正数也可以是负数
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根
法及待定系数法．
1．十字相乘法
例 3 分解因式：
（ 1） x2－ 3x＋2；
（ 2） x2＋ 4x－ 12；
（3） x2 (a b) xy aby 2 ； （ 4） xy 1 x y ．
二、判断题： （正确的打上 “√，”错误的打上 “×”）
2
1、 4 x2 0.01 2 x
0.1 2 2 x 0.1 2 x 0.1 ………………………… （ ）
9
3
3
3
2、 9a 2 8b 2 3a 2 4b 2 3a 4b 3a 4b ………………………………… （ ）
3、 25a2 16b 5a 4b 5a 4b …………………………………………………
）
A 、 a b 10 a b 2
B、 a b 5 a b 4
C、 a b 2 a b
2
4、若多项式 x 3x
A 、 a 10 ， b 2 5、若 x2 mx 10
10
D、 a b 4 a b 5
a 可分解为 x 5 x b ，则 a 、 b 的值是（
）
B、 a 10 ， b 2 C、 a 10 ， b 2 D 、 a
）
（D） x 5y
（ 3） x2－ 2x－1；
（ 4） 4( x y 1) y( y 2x) ．
课后作业 1．分解因式：
（1） a3 1；
（ 2） 4 x4 13x2 9 ；
（ 3）
2
b
2
c
2ab
2ac
2bc ；
2
2
（ 4） 3x 5xy 2 y x 9 y 4 ．
2．在实数范围内因式分解：
（ 1） x2 5 x 3 ；
如果 ax2＋ bx＋ c＝ 0（ a≠０）的两根分别是
x 1， x 2，那么 x 1＋ x 2＝
b
， x1·x 2＝
c ． 这一关系
a
a
也被称为 韦达定理 ．
特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2＋ px＋ q＝ 0，若 x1， x2 是其两根，由韦达定
理可知
x1＋ x2＝－ p， x1·x2＝ q，
（ 6） x2 11x 18 __________________________________________________ 。
（ 7） 6 x2 7 x 2 __________________________________________________ 。
（ 8） 4m2 12m 9 __________________________________________________ 。 （ 9） 5 7 x 6 x2 __________________________________________________ 。 （ 10） 12 x2 xy 6 y2 __________________________________________________ 。
（）
4、 x2 y 2
x2 y2
x y x y ………………………………………… （ ）
5、 a2 b c 2 a b c a b c ………………………………………………
（）
五、把下列各式分解
2
2
1、 9 m n m n
21 2、 3x
3
3、 4
x2
2
4x 2
4、 x 4 2x2 1
4．分组分解法
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1
计算： ( x
1)( x
2
1)( x
2
x 1)( x
x 1) ．
例 2 已知 a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求 a2 b2 c2 的值．
课堂练习
1．填空：
1 2 12 1 1 （1） a b ( b a) （
94
23
（ 2） (4 m
) 2 16m2 4m (
(3 ) (a 2b c) 2 a 2 4b2 c2 (
）；
)； )．
2．选择题：
（ 1）若 x 2
1 mx
k 是一个完全平方式，则
k 等于
2
（
）
（ A ） m2
（B） 1 m2 4
（ 2）不论
a ， b 为何实数，
2
a
2
b
（C） 1 m2 3
2a 4b 8 的值
（D） 1 m2 16
（ 3） x 2 （ 4） x 2 （ 5） x 2
5x 6 __________________________________________________ 。 5x 6 __________________________________________________ 。 a 1 x a __________________________________________________ 。
1）是
例 2 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．
x2＋ px
例 3 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋ m2＋ 4＝ 0 有两个实数根， 并且这两个实数根的平方 和比两个根的积大 21，求 m 的值．
例 4 已知两个数的和为 4，积为－ 12，求这两个数．
课后练习 一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（ 1） x2 5x 6 __________________________________________________ 。 （ 2） x2 5x 6 __________________________________________________ 。
例 5 若 x1 和 x2分别是一元二次方程
（ 1）求 | x1－ x2|的值；
（ 2）求 1 x12
1 x22 的值；
（ 3） x13＋ x23．
2x2＋5x－ 3＝0 的两根．
若 x 1 和 x 2 分别是一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c＝ 0（ a≠０），则 | x1－ x 2|＝
（其中 Δ＝ b2－ 4ac）．
解下列方程（ 1） x2 2 x 3 0 (2) x2 2 x 1 0 (3) x2 2 x 3 0
对于一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0（ a≠０），有 （ 1） 当 Δ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根
b
x1，2 ＝
b2 4ac
；
2a
（ 2）当 Δ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根
b
x1＝ x2＝－ ；
例 6 （ 1） x2 xy 3y 3x
（ 2） 2x2 xy y2 4x 5 y 6．
课堂练习： 用分组分解法分解多项式（
（ 2） a2 4ab 4b2 6a 12b 9
1） x 2
y2 a 2 b2 2 ax 2by
5．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠０)的因式分解．
若关于 x 的方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个实数根是 x1 、x2 ，则二次三项式 ax 2 bx c( a 0) 就可分解为 a( x x1 )( x x2 ) .
）
A 、只有（ 1）（ 2）
B、只有（ 3）（ 4）
C、只有（ 3）（5）
D、（ 1）和（ 2）；（ 3）和（ 4）；（ 3）和（ 5）
2、分解因式 a 2 8ab 33b 2 得（
）
A 、 a 11 a 3
B 、 a 11b a 3b
C、 a 11b a 3b
D 、 a 11b a 3b
3、 a b 2 8 a b 20 分解因式得（
即
p＝－ (x1＋ x2)， q＝ x1·x2，
所以，方程 x2＋ px＋ q＝0 可化为 x2 －(x1＋ x2)x＋ x1·x2＝ 0，由于 x1，x2 是一元二次方程
＋ q＝ 0 的两根，所以， x1， x2 也是一元二次方程 x2－ (x1＋ x2) x＋x1·x2＝ 0．因此有
以两个数 x1， x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为 x 2－ (x 1＋ x2)x ＋ x1·x 2＝ 0．
|a |
例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2－ x＋ a－ 4＝ 0 的一根大于零、另一根小于零，求实数
a的
取值范围．
课堂练习 1．选择题：
（ 1）方程 x2
2 3kx 3k 2
0 的根的情况是
（）
（A ）有一个实数根
（ B）有两个不相等的实数根
（ C）有两个相等的实数根
2a
（ 3）当 Δ＜ 0 时，方程没有实数根．
例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的
实数根．
（ 1） x2－3x＋ 3＝ 0；
（ 2） x2－ ax－1＝ 0；
（ 3） x2－ax＋ (a－ 1)＝ 0； （ 4） x2－2x＋ a＝ 0．
2．根与系数的关系（韦达定理）
x a x b 其中 a 、 b 为整数，则 m 的值为（
）
10 ， b 2
A、 3或 9 B、 3 C、 9
三、把下列各式分解因式
1、 6 2p q 2 11 q 2 p 3
D、 3或 9
2、 a 3 5 a 2b 6ab 2
3、 2 y2 4 y 6
来自百度文库
4、 b 4 2b 2 8
2．提取公因式法 例 4 分解因式：
（1） a2 b 5
a5 b
（2） x3 9 3x2 3x
课堂练习： 一、填空题：
1、多项式 6 x2 y
2 xy 2
4xyz 中各项的公因式是 _______________ 。
2、 m x y n y x x y ? __________________ 。 3、 m x y 2 n y x 2 x y 2 ? ____________________。
第一讲 因式分解
课前预习
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（ 1）平方差公式
(a b)(a b) ________________ ；
（ 2）完全平方公式
(a b) 2 ________________ ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（ 1）立方和公式
(a b)( a2 ab b2 ) ________________ ；
例 7 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：
（ 1） x2 2 x 1 ；
（ 2） x2 4 xy 4 y2 ．
课堂练习 1．选择题：
多项式
2
2x
xy
2
15y 的一个因式为
（A） 2x 5y
（B） x 3y
2．分解因式： （ 1） x2＋ 6x＋8；
（ C） x 3 y
（ 2） 8a3－ b3；
（
（2） x2 2 2x 3 ；
（ 3） 3x2 4xy y2 ；
（4） ( x2 2x) 2 7( x2 2x) 12 ．
3． ABC 三边 a ， b ， c 满足 a2 b2 c2 ab bc ca ，试判定 ABC 的形状．
4．分解因式： x2＋ x－ (a2－ a)．
第二讲 函数与方程
一、一元二次方程 1．根的判别式 课前预习
7．计算 992 99 =
二、判断题： （正确的打上 “√，”错误的打上 “×”）
1、 2a 2b 4 ab2 2 ab a b …………………………………………………………
2、 am bm m m a b ……………………………………………………………
3
2
2
3、 3x 6x 15 x 3x x 2x 5 ……………………………………………
4、 m x y z n y z x x y z ?_____________________ 。
5、 m x y z x y z x y z ? ______________________。 6、 13ab2 x 6 39a 3b 2 x5 分解因式得 _____________________ 。
2、 x2 4 x
x 3x
3、若 x2 ax b x 2 x 4 则 a
，b
。
二、选择题： （每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（ 1） x2 7 x 6 （ 2） x2 4 x 3 （3） x2 6 x 8 （ 4） x2 7 x 10
（ 5） x2 15 x 44 中，有相同因式的是（
（ 2）立方差公式
(a b)( a2 ab b2) ________________ ；
（ 3）三数和平方公式
(a b c)2 ________________ ；
（ 4）两数和立方公式
(a b) 3 ________________ ；
（ 5）两数差立方公式
(a b) 3 ________________ ．