6.1孤立奇点分类
复变函数第六章
推论6.3 设a为f(z)的一阶极点，f (z) (z) ,
za
则 Re s f (z) (a) lim(z a) f (z).
za
推论6.4
za
设a为f(z)的二阶极点，f (z)
(z)
z a2
,
则 Re s f (z) (a) lim[(z a)2 f (z)].
za
za
定理6.5 设a为 f (z) (z) 的一级极点 ，其中(z)，
1. 留数的定义及留数定理
若f(z)在点a解析，周线C包围a,则：C f zdz 0. 若a为 f(z)的孤立奇点，周线C包围a,则：C f zdz一般不为0.
定义6.1 设f(z)以有限点a为孤立奇点，即 f(z)在点a
的某去心邻域0<|z-a|<R内解析，则称积分
1
2i
f
zdz
( :| z a | ,0 R)
f
1 (z
)以点a为m阶零点.
定理5.5 f(z)的孤立奇点a为极点 lim f (z) . za
5. 本性奇点的性质
定理5.6 f(z)的孤立奇点a为本性奇点
lim
za
f
(z)
b(有
限
数)，
即lim za
f
( z )广 义 不 存 在.
第六章 留数理论及其应用 第一节 留数
1. 留数的定义及留数定理 2. 留数的求法 3. 函数在无穷远点的留数
D 内且两两不相交，取逆时针方向，则由柯西积
分定理有
n
f z
n
f zdz 2 i Re s f z.
c
i 1 k
k1 zak
注 留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点
复变函数有许多性质，其中一些比实变函数更加有趣，例如，复变函数的孤立奇点。
在数学中，孤立奇点是复数平面上某个点处的奇点，该点周围的一个充分小的半径范围内函数无定义。
孤立奇点可以被分类为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
这些类型的定义如下：
1.可去奇点：如果一个函数在这个点处的极限是有限的，则该奇点为可去奇点。
孤立奇点的性质不止是一般奇点的性质。
对于孤立奇点，我们可以将整个函数拆分为主函数和解析部分。
主函数在孤立奇点处没有定义，而解析部分可以使用洛朗级数展开式表示。
这种展开式是一种类型的级数，可以帮助我们更好地理解和研究复变函数的行为。
当我们通过洛朗级数展开来研究孤立奇点时，我们发现级数中的常数项是解析部分。
这个解析部分没有奇点，可以扩展到整个复平面上，那么它就是整个函数的主函数。
这种展开式在很多数学和工程应用中都有很好的应用，例如电子电路和信号处理。
对孤立奇点的研究在数学和应用领域都有重要意义。
在数学研究中，这些奇点是理解多复变数函数的关键。
在物理学研究中，例如在量子力学中，对解析函数的研究也是重要的。
而在工程中，对展开式的应用则是帮助我们计算信号的傅立叶变换或者在电子电路中分析振荡器和滤波器的行为。
总结来说，复变函数中的孤立奇点是复杂数学的一个亮点。
它们有着很多有趣的性质和应用，对于研究多元函数和应用技术都有重要的意义。
因此，深入研究复变函数的孤立奇点，不仅只是一个数学课题，也是应用和工程领域探索的前沿。
判断孤立奇点的类型的方法
判断孤立奇点的类型的方法
咱先说说啥是孤立奇点哈。
孤立奇点呢，就是在一个函数的定义域里，有那么一个点，它周围一圈都是函数有定义的地方，就它自己有点特殊。
那怎么判断它是啥类型的孤立奇点呢？
对于可去奇点呢，就像是一个调皮但又很容易改正的小错误。
如果函数在这个奇点处的极限存在，那这个奇点就是可去奇点啦。
比如说，函数在这个点看起来好像没定义，但是只要给它补上一个合适的值，函数就能在这个点变得完美无缺，就像给一个有小缺口的漂亮花瓶补上一点泥，马上就完整了。
再说说极点。
极点就有点像一个比较严重的问题点。
如果函数在这个奇点附近，函数值会变得超级大或者超级小，而且当我们把函数写成一种分式的形式，分子分母都是解析函数的时候，分母在这个点是零，分子在这个点不是零，那这个点就是极点。
这就好比是在一个道路上突然出现了一个大坑，所有靠近它的东西都会受到很大的影响。
还有本性奇点呢。
本性奇点就像是一个完全捉摸不透的小怪兽。
函数在这个奇点附近的极限不存在，不管你怎么去研究，它都不会有一个稳定的趋向。
比如说，当你靠近这个点的时候，函数值会跳来跳去，一会儿大得不得了，一会儿又小得可怜，完全没有规律可循。
咱判断的时候啊，就像是在玩一个解谜游戏。
先看看函数在那个孤立奇点的极限存不存在，如果存在，那很可能就是可去奇点。
要是极限不存在，再看看能不能写成那种分式的形式来判断是不是极点。
要是前面两种情况都不是，那大概率就是本性奇点啦。
你看，判断孤立奇点的类型也没有那么难对不对？就像认识不同性格的小伙伴一样，只要了解了它们各自的特点，就能轻松把它们分辨出来啦。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数中的孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，在这篇文章中，我们将对复变函数中的孤立奇点进行一次浅析。
我们需要了解什么是复变函数。
复变函数是指定义在复平面上的函数，它包含了实部和虚部两个变量。
通常表示为f(z)，其中z是复平面上的变量。
复变函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和数学分析等领域中。
在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，它可能是函数的奇点或者极点。
奇点是指函数在该点处不可导，而极点是指函数在该点处具有无穷级数的发散性质。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点是指在该点处函数可以通过改变定义来使之变得连续，极点是指在该点处函数趋于无穷大，本质奇点是指在该点处函数无法通过局部解析式来表示。
在复变函数中，孤立奇点具有许多重要的性质和应用。
对于复变函数f(z)，如果f(z)在孤立奇点处全纯（即在该点的领域内可以展开为幂级数），那么其必为可去奇点。
这一性质为我们研究复变函数的奇点提供了一个很好的判断条件。
孤立奇点也与柯西定理密切相关。
柯西定理是复变函数理论中非常重要的一个定理，它表明了全纯函数沿闭合曲线的积分为零。
在柯西定理中，孤立奇点的存在对于积分路径和积分结果有着重要的影响。
孤立奇点也与洛朗级数展开相关。
洛朗级数是一种复变函数在孤立奇点处的展开形式，它由幂级数和Laurent级数组成。
洛朗级数展开为我们研究复变函数在孤立奇点处的性质提供了一个非常有力的工具。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要而又复杂的概念。
它具有丰富的性质和广泛的应用，对于理解复变函数的性质和行为有着重要的作用。
在实际问题中，对于复变函数的解析和计算都离不开对孤立奇点的研究和分析。
对于复变函数中的孤立奇点有一个深入的理解和掌握是非常有必要的。
有限孤立奇点的类型
有限孤立奇点的类型有限孤立奇点是物理学中一个重要的概念，它指的是在某个函数或方程的定义域内，存在着一个或多个特殊的点，这些点在该函数或方程的周围具有非常特殊的性质。
不同类型的有限孤立奇点可以通过它们在函数或方程中的行为和性质来分类。
1. 可去奇点（Removable Singularities）：可去奇点是指在该点附近，函数或方程在定义域内是有界且连续的。
这意味着函数或方程在可去奇点处有一个孤立的不连续点，但可以通过简单的修补或改变来消除这个不连续点。
例如，函数f(x) = (x-1)/(x-1)在x=1处有一个可去奇点，通过对分子和分母同时除以(x-1)，可以看出该点是可去的。
2. 极点（Poles）：极点是指在该点附近，函数或方程在定义域内发散的情况。
这意味着函数或方程在极点处没有定义或趋于无穷大。
极点是常见的奇点类型，它们通常与分母为零的情况相关联。
例如，函数f(x) = 1/(x-1)在x=1处有一个极点，因为当x趋近于1时，函数会发散。
3. 本质奇点（Essential Singularities）：本质奇点是指在该点附近，函数或方程在定义域内无法被修补或改变，也无法通过局部变换来消除的情况。
本质奇点是最复杂的奇点类型，它们通常与函数或方程在定义域内出现的特殊和非常规的行为相关联。
例如，函数f(x) = e^(1/x)在x=0处有一个本质奇点，因为当x趋近于0时，函数会无限增长，并且无法通过任何方式来修复或改变其行为。
除了以上三种常见的有限孤立奇点类型，还存在其他一些特殊类型的奇点，如阶跃奇点（Step Singularity）和震荡奇点（Oscillating Singularity）。
奇点的类型和性质对于理解函数或方程的行为和性质非常重要，它们在物理学、工程学和数学等领域中都有广泛的应用。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数，与实数域上的函数不同，复变函数的值域也是复数域。
当一个复变函数在某一点处的值没有定义时，这个点就被称为该函数的奇点。
奇点按照其性质可以分为孤立奇点和本性奇点，本文将会着重讨论孤立奇点的性质及特征。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指函数在该点的邻域内不存在定义的情况下，该点对函数的解析延拓有着重要的作用。
换言之，孤立奇点是指在该点附近处于解析的函数，在该点却不连续或无定义。
孤立奇点可以分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型，下面分别进行详细解释。
二、可去奇点可去奇点是指当函数在该点处可以解析扩张，即在该点有一个 Laurent 展开式的过程中，a-1 的系数为 0。
例如：函数 f(z)=-sinz/z，在 z=0 处可以解析扩张，因为该函数满足 Laurent 展开式，且 a-1=0，可以看做是在该点处的一个可去奇点。
在一些情况下，可去奇点可以视为函数在该点附近的一个极限。
也就是说，可去奇点并不会导致复变函数在在该点的解析性的丧失，而只是在该点的一个小区域内不连续，可以理解为函数在该点的极限。
三、极点极点是指在一些点附近，函数存在一个无限趋近于某一值的现象，而不是像可去奇点一样在该点处没有定义。
极点又可以分为一阶、二阶，三阶等不同阶次的极点。
四、essential 奇点本性奇点，或称 essential 奇点，是指不能通过解析扩张而消除的奇点，这表明在这些点附近，函数的行为非常难以预测。
比如，当函数 f(z)=exp(1/z) (其中 z=0)，我们无法使用 Laurent 展开式表示它，因此我们可以将这个点视为一个 essential 奇点。
五、总结可以看到，在复变函数中，孤立奇点被分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型。
这些奇点在函数的解析延拓中起着重要的作用，通过对不同类型孤立奇点的认识及使用，可以在复杂且不可解释的情况下对函数进行更加深入的理解。
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：孤立奇点和非孤立奇点是数学分析领域中的重要概念，它们在研究函数的性质和图像的特征时起着至关重要的作用。
对于数学学习者来说，了解孤立奇点和非孤立奇点的判断方法，对于深入理解复变函数、微分方程等数学领域都具有重要意义。
下面将详细介绍关于孤立奇点和非孤立奇点的判断方法。
我们先来介绍孤立奇点的判断方法。
孤立奇点是函数在某点附近出现的奇异行为。
在复变函数中，孤立奇点通常指代的是在某点附近函数不再是解析的点。
判断一个点是否为孤立奇点，可以通过以下方法来进行：1. 极限判别法：计算函数在该点附近的极限，如果极限不存在或为无穷大，则该点为孤立奇点。
2. 泰勒级数展开：对函数进行泰勒级数展开，如果展开后的级数包含了负幂次项（即有无穷多个非零项），则该点为孤立奇点。
3. 周围点的解析性：观察该点周围的函数是否在该点附近解析，如果不解析，则该点为孤立奇点。
接下来，让我们来介绍非孤立奇点的判断方法。
非孤立奇点是指函数在某点的附近呈现出的非奇异行为。
一般来说，当一个点不是孤立奇点时，它可能是可去奇点、极点或本质奇点。
判断一个点是否为非孤立奇点，可以通过以下方法来进行：1. 极限判别法：计算函数在该点附近的极限，如果极限存在并有限，则该点为非孤立奇点。
2. 函数的特殊性质：观察函数在该点附近的特殊性质，例如可积、有界等。
3. 应用奇异性定理：对于复变函数，可以根据奇异性定理来判断非孤立奇点的性质，这需要结合数学分析的相关知识来进行判断。
判断一个点是孤立奇点还是非孤立奇点需要综合运用极限判别法、泰勒级数展开、函数的特殊性质等方法。
在实际应用中，还需要根据具体函数的特点来选择合适的方法进行判断。
对于复变函数、微分方程等领域的研究者来说，掌握孤立奇点和非孤立奇点的判断方法是至关重要的。
通过深入了解和熟练运用这些方法，可以更好地理解函数的性质，为相关领域的研究工作提供重要的理论支持。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义于复平面上的函数，即自变量和函数值都是复数。
与实变函数不同的是，复变函数的导数可以沿任意方向取值，因此具有许多特殊的性质。
其中最重要的特征之一就是奇点。
奇点是指函数在该点处没有定义或者是不连续的点，可以分为两类：可去奇点和孤立奇点。
本文将重点讨论孤立奇点，探讨其性质和在实际问题中的应用。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指复变函数在某一点处不解析的奇点。
通俗地讲，如果函数在某一点附近有定义，但在该点处没有定义，则该点就是该函数的孤立奇点。
例如，函数f(z)=1/z在z=0处就是其孤立奇点，因为它在z=0附近有定义，但在z=0处没有定义。
孤立奇点有三种分类方法：性质、类型和阶。
这里主要介绍性质和类型。
1、性质孤立奇点的性质取决于该点周围函数的行为。
根据函数的行为，孤立奇点可以分为以下三类：（3）本质奇点：如果函数在孤立奇点处的行为不能用有限阶极限描述，则该点为本质奇点。
例如，函数f(z)=exp(1/z)在z=0处的行为不能用有限阶极限描述，因此z=0是它的本质奇点。
本质奇点的特点是函数在该点附近不能被解析延拓为任何解析函数，任何方法都无法消除奇点。
2、类型（1）一阶孤立奇点：如果孤立奇点的极限存在，则其阶数为1阶。
例如，函数f(z)=(z-1)/((z-2)(z-3))在z=2处有一个一阶极点。
孤立奇点作为复变函数的重要特点，在实际问题中具有广泛的应用。
其中，最常见的应用是在物理和工程学科中。
例如，孤立奇点可以用于描述流体的天然涡旋或分离特性，还可以用于电磁场中的场分布计算，以及通信系统中的信号传输分析等。
此外，在数学中，孤立奇点还被用于研究解析延拓和拓扑，以及在复分析中的一些基础问题中。
总之，孤立奇点作为复变函数中的重要特征，是理解复分析基础理论中不可或缺的概念之一。
掌握孤立奇点的分类和性质对进一步的研究和应用都至关重要。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数的研究涉及到很多复杂的概念和性质，其中之一就是孤立奇点。
孤立奇点就是复变函数在某个复数点处的奇点，即在该点附近函数的数值变化非常剧烈。
具体来说，如果一个函数在某个点处不解析且在该点的某个领域内解析，则该点就是孤立奇点。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点处函数虽然存在奇点，但可以通过定义一个新的函数来消除奇点。
也就是说，在可去奇点处函数可以定义为解析的。
极点是指在该点处函数在极限的意义下无穷大。
极点分为两种类型：一阶和多阶。
一阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是有限的。
多阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是无穷大的。
本性奇点是指在该点处函数在极限的意义下无定义，即在该点处不存在有限的极限。
本性奇点是最复杂的一种奇点，其性质非常多样化。
对于复变函数中的孤立奇点，我们可以通过级数展开来研究其性质。
根据洛朗级数定理，一个复变函数在其孤立奇点处可以展开为洛朗级数。
洛朗级数包含两个部分：主部和副部。
主部是无穷级数的主要部分，副部是无穷级数的次要部分。
对于可去奇点，主部为0，副部为有限项的级数。
对于一阶极点，主部为有限项的级数，副部为无穷项级数。
对于多阶极点，主部为无穷项级数，副部也为无穷项级数。
对于本性奇点，主部和副部都为无穷项级数。
通过洛朗级数的展开，可以更好地了解复变函数在孤立奇点附近的性质。
可以判断其奇点的类型，进而确定函数的解析性质。
复变函数中的孤立奇点是函数在某个点处的奇点，可以分为可去奇点、极点和本性奇点。
孤立奇点的性质可以通过洛朗级数展开来研究。
对于可去奇点、一阶极点和多阶极点，其展开式包含有限项和无穷项级数。
对于本性奇点，展开式全为无穷项级数。
孤立奇点的分类及判断方法
孤立奇点的分类及判断方法
孤立奇点是生活中常见的数学性质，是凸型图形、空间或其他物体上不存在相邻元素点的特定点。
在数学和地理学中，孤立奇点是重要的概念，它可以被用来描述某些景观或结构。
一般来说，孤立奇点可以分为三类：质量型，地理型和形状型。
质量型孤立奇点指的是某些物体的量变，如气温，湿度和压力；地理型孤立奇点是指任何不可能到达的位置，如边缘或悬崖；形状型孤立奇点是指特殊的形状，如正方形、三角形和椭圆形等。
判断是否是孤立奇点，有几种方法。
首先，可以在相关实体附近搜索局部图形，以查看是否有任何不规则形状；其次，可以测量给定点的距离，如果两个相邻点的距离近似零，那么它就是孤立的；最后，可以尝试通过数学模型确定给出点是否具有单独的行为特征。
总的来说，孤立奇点是实体的一个特征，有助于描述景观或结构。
有几种判断方法，可以用来确定一个给定点是否为孤立奇点。
孤立奇点的三种类型及判断
孤立奇点的三种类型及判断
孤立奇点是指在一个函数或方程中存在的与其他点有明显差异的特殊点。
根据函数或方程的定义，孤立奇点可以被分为以下三种类型，并可通过特定方法进行判断。
1. 可移除孤立奇点：这种类型的孤立奇点在其附近存在着有界的、趋近于某个常数的函数值。
判断方法是观察函数的附近是否存在局部平均值或局部积分平均值。
2. 极点：这种类型的孤立奇点会使得函数在该点附近发散，并且无法定义一个有界的近似函数。
判断方法是观察函数在该点附近的增长趋势，如果该点是函数发散的必要条件，那么该点是一个极点。
3. 本质孤立奇点：这种类型的孤立奇点是指在其附近没有趋近于某个常数的函数值，并且函数在该点附近无论如何映射都无法消除其奇异性。
对于这种孤立奇点，判断方法通常涉及复平面或复平面的拓扑性质，例如观察函数的奇点在复平面上的分布。
综上所述，我们可以通过观察函数在孤立奇点附近的行为以及复平面的拓扑性质，来判断孤立奇点的类型。
孤立奇点
z 0 是函数 e z , z 1 是函数
1
sin z z
的孤立奇点.
z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2 指出函数 f ( z ) 解 函数的奇点为
z 0, z 因为 1 k 1 k
z sin
2
在点 z 0 的奇点特性. 1
2
m
,
f ( z ) cm ( z z0 )
c2 ( z z0 )
c 1 ( z z0 )
1
c 0 c1 ( z z 0 )
( m 1, c m 0 )
或写成
f (z)
1 ( z z0 )
m
(z) ,
那么孤立奇点 z 0 称为函数 f ( z ) 的 m 阶(级)极点.
当 n 0时，令 r 0，得 c n 0．即 ( 1 ) 成立．
由定理可得可去奇点的判定方法：
(1) 由Leabharlann 义判断: 如果 f ( z ) 在 z 0 的洛朗级数无负
幂项，则 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点.
(2) 判断极限 lim f ( z ) : 若极限存在且为有限值, z z
(2) 由定义的等价形式判别
z 0 是 f ( z )的 m 阶极点 f ( z ) lim ( z z 0 )
z z0
(z)
( z z0 )
m m
f ( z ) cm 0.
0
其中 ( z ) 在 z 0 的邻域内解析, 且 ( z ) 0 .
(3) 利用极限 lim f ( z ) 判断 . z z
孤立奇点的分类
孤立奇点的分类
1. 可去奇点呀，就像一个能被轻松解决的小麻烦。
比如说函数
f(x)=1/x 在 x=0 就是可去奇点，它只是表面上有点特别，但其实只要稍微处理一下，就没啥大问题啦！
2. 极点可是很关键的呢！好比一场比赛中的关键时刻。
像函数
f(x)=1/(x-1)² 在 x=1 就是个二阶极点，这可不能小瞧哦！
3. 本性奇点啊，那可真是个神奇的存在！就如同一个捉摸不透的人。
像函数 f(x)=e^(1/x) 在 x=0 就是本性奇点，让人很想深入探究呢。
4. 孤立奇点也有不同性格呀！可去奇点像是个温和的家伙，那极点是不是就像个有点刺头的角色呢。
5. 想想看，孤立奇点的分类多有趣啊！可去奇点不就是像路上的一个小坑，轻易就能跨过去；极点好比小小的山峰，得费点力气才能翻越。
6. 本性奇点呀，真是独特呢！难道不像人群中那个最特别的存在吗？就像函数 f(x)=sin(1/x) 在 x=0 的情况。
7. 三种孤立奇点，各有各的特点呀！可去奇点、极点和本性奇点，不就像三兄弟，各有各的脾气！
8. 孤立奇点的分类大家了解吗？可去奇点是不是很容易理解呢，就跟生活中一些显而易见的事情一样。
9. 孤立奇点的分类可一定要搞清楚呀！在数学的世界里这可是很重要的呢！我觉得它们就像不同的风景，各有各的魅力。
我的观点结论：孤立奇点的分类虽然看似复杂，但只要深入理解，就会发现它们都有着独特的魅力和意义，无论是可去奇点、极点还是本性奇点，都值得我们好好探究。
孤立奇点类型的极限判别法
孤立奇点类型的极限判别法
孤立奇点类型的极限判别法是数学中用于确定函数在某个点附近奇点类型的一种方法。
具体而言，它可以用来判断函数是否具有可去极限、无穷远点奇点或振荡点奇点。
下面是常见的孤立奇点类型的极限判别法：
1.可去极限（Removable Singularity）：
o如果函数在奇点附近的极限存在且有限，且可以通过对函数进行修正或定义一个新函数使其在奇点附
近连续，则该奇点被称为可去极限。
2.无穷远点奇点（Infinite Singularity）：
o如果函数在趋于某个方向的极限为无穷大或无穷小，且无法通过修正或定义一个新函数使其在奇点附近
连续，则该奇点被称为无穷远点奇点。
o常见的无穷远点奇点类型有水平渐近线奇点、垂直渐近线奇点和极坐标奇点等。
3.振荡点奇点（Oscillatory Singularity）：
o如果函数在奇点附近振荡无法趋近于任何有限的数值，且无法通过修正或定义一个新函数使其在奇点
附近连续，则该奇点被称为振荡点奇点。
上述判别法主要适用于复变函数和一些特殊类型的函数，如级数和积分。
在进行奇点类型判别时，可以运用极限运算、级数展开、洛必达法则、留数定理等数学工具进行分析和计算。
需要注意的是，对于复杂函数或特殊情况，判别奇点类型可能需要更加深入的数学分析和技巧，而上述方法为常见情况的概述。
高等数学孤立奇点
课堂练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
阶数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
其中 c0 (z0 ) 0,
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
说明: (1) g(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2 特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 等价于
lim f (z) .
zz0
例5
有理分式函数
f
(z)
z
3z 2 2(z 2)
z
的孤立奇点.
z
z
1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
解析函数的孤立奇点类型判断及应用讲解
解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。
解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。
本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。
并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。
关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。
目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。
但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。
本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。
此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。
在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。
通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
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(3) f (z) z cos 1 z
解 奇点: z 0
f (z) z cos 1 z
z[1
1 2!
1 z2
1 4!
1 z4
(1)n (2n)!
1 z 2n
]
z 0为f (z)的本性奇点
f (z)在无穷远点 处的性态
设f (z)在 无 穷 远 点z 的 去 心 邻 域R z 内 解 析
)
2
2
(k 0,1,2 )
无穷远点处的留数
设f (z)在 无 穷 远 点z 的 去 心 邻 域R z 内 解 析
L为R z 内任一条逆时针方向的简单闭曲线， 则f (z)在处的留数定义为
Re
s[
f
(z), ]
1
2
i
f
L
( z )dz
C1
其 中C1为f (z)在R z 内 的Laurent 展 式
由留数定理1、2，得：
5
I 2iRes[ f (z), zk ] k 1
2i( Re s[ f (z),3] Re s[ f (z),])
2i( 1 0) i
242
121
其中 Res[ f (z),3] lim(z 3) f (z) 1 ,
z3
242
3 z 时
1
1
(z 3)(z5 1) z(1 3) z5(1 1 )
n
Re s[ f (z), ] Re s[ f (z), zk ] 0
k 1
例1: (1) I
1
dz
L (z 1)2(z2 1)
L : x2 y2 2( x y),逆时针。
解：f (z)
1
的奇点为z 1, z i,
(z 1)2(z2 1)
z 1, z i在L : ( x 1)2 ( y 1)2 2 内.
2 z0
sin z3
z
)//
1 5!
(3) f (z) z cos z
解：令 cos z 0, z k (k 0, 1,2 )
2
(cos z) zk 2
sin z
zk 2
0,k
2
为一级极点
Re s[
f
( z ), k
]
2
k sin(k
2
)
( 1)k 1 ( k
z
z5
1 39
11
(1 )(1 )
z6
z z2
z5 z10
Re s[ f (z),] C1 0.
Res[f (z),] Res[f ( 1) 1 ,0] z z2
1
Res[
,0] 0
(1-3z)(1-z4 )
在z0解 析 且 (z0 ) 0，m为 一 正 整 数, 则 称z0
为f (z)的m级 零 点 。
性质1 若f (z)在z0解析,则z0为f (z)的m级零点
f (n) (z0 ) 0 (n 0,1,, m 1), f (m) (z0 ) 0.
性质2
z0为f
( z )的m级极点
z0为
f
1 的m级零点 (z)
内 ，f (z) 的Laurent 展式为: f (z) Cn (z z0 )n
n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对上式两边积分得 L f (z)dz 2iC1
称 C1
1
2
i
L f (z)dz 为f (z)在z0的 留 数 ， 记 为
Res[ f (z), z0 ],即
Cn z n中z 1的 系 数
n
11 Res[f (z),] Res[f ( ) ,0]
z z2
例3 求下列函数在无穷远处的留数：
3z 2 (1) f (z)
z2(z 2)
解：lim f (z)存在且有界，z 为可去奇点 z
11
3 2z
Res[f (z),] Res[f ( ) ,0] Res[
,0] 0
z z2
1 2z2
(2) f (z) z 1 z
解：1 z 时
f
(z)
z 1
z
1 1 1
11 (1
z z2
)
z
Re s[ f (z),] C1 1.
另法：Res[f (z),] Res[f ( 1) 1 ,0]
1
z z2
Res[ z 1
1
1 z2
,0]
Res[ (z
于是
1 (m 1)!
lim zz0
d m1 dzm1
[(z
z0 )m
f
(z)]
(m
1 1)!
lim zz0
(m
1)!C1
m2 C0 (z
z0)
(m
1)3 C1(z
z0 )2
C1 Re s[ f (z), z0]
注：1（. 3）中取m 1,即得（2）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算。这是因为表达式
z 0为一级极点
1 (2) f (z)
z 2 (e z 1) 解：z 0为z2的2级零点,zk 2k i( k 0,1, )为
ez 1的1级零点 z 0为 1 z2( ez 1)的3级零点 f(z)
z 0为f ( z )的3级极点,
zk 2k i( k 1, )为f ( z )的1级极点
z
可去奇点
无负幂项
极点
有限个
负幂项
本性奇点
无穷个 负幂项
可去奇点 极点 本性奇点
无正幂项 存在且有界
有限个 正幂项
为
无穷多个 正幂项
不存在 且不为
练习：1.f (z) z 1 z
1 2.f (z) 1 z z2
z
3. f (z) sin z
二.留数
设 z 0为 f (z) 的孤立奇点,在 z 0的去心邻域 0 z z0
(z), z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
证明
(3) 若z0为f (z)的m级 极 点,则 在z0的 去 心 邻 域 内
f (z) Cm(z z0)m C1(z z0)1 C0 C1(z z0)
Cm 0
(z z0)m f (z) Cm C1(z z0)m1 C0(z z0)m ,
Res[ f
(z), z0 ]
1
2
i
L f (z)dz C1
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的 可 去 奇 点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级 极 点,则
m 1 Re s[ f (z), z0 ] lim (z z0 ) f (z)
z z0
(3) 若z0为f (z)的m级 极 点,则
Res[
f
(z), z0 ]
1 lim (m 1)! zz0
d m1 dz m 1
(z z0 )m
f (z)
(4)
设f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)及Q(z)在z0解析，且P(z0 )
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Re s [ f
f (z) (z z0)m(Cm Cm1(z z0) C1(z z0)m1 C0(z z0) )
的系数C ,C , 中可能有一个或几个为零而已，
m
m1
这不影响证明结果。
例2 求下列函数的有限奇点并计算留数：
(1)
f
z
1 z 2 ( z 1)
解 z 0为f (z)的二级奇点, z 1为一级奇点
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
(1) f (z) z sin z 2
解z：奇0为点分:子z 的 一 0,级 zk 零点 k (k 1, 2, ).
又sin z2 |z0 0,(sin z2 ) |z0 2z cos(z2) |z0 0
((sin z2 )) |z0 2cos z2 4z2 sin z2 |z0 2 0
根据 z z0时f (z)的极 限分类：
可 去 奇 点
极点
本 性 奇 点
lim f (z)存 在 且 有 界 z z0 lim f (z) z z0
lim f (z)不 存 在 且 不 为 z z0
定义2 若f (z0 ) 0, 则 称z0为f (z)的 零 点 。
若f (z)能 表 示 成f (z) (z z0 )m (z),其 中 (z)
f (z) (z z0 )m g(z),其中
g(z) Cm Cm1(z z0 ) C m2 (z z0 )2
在 z z0
解析, lim zz0
f (z)
（3）z 0为 f (z)的本性奇点：Cn (z z0 )n 负幂项无穷多项 n
lim f (z)不存在也不为 zz0
所以0是 f (z) 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得
Re s[ f (z),0] 1 3!
Re s[ f (z),]
zl im0
z4
Cz4
.
(3)
4 3
三.留数定理 由复合闭路定理,得 定理1 设函数 f (z) 在区域D内除有限个孤立奇点
z1, z2 ,, zn 外处处解析，L是D内包围诸奇点的一
lim
zz0
f (z) C0
重新定义 f (z0 ) C0,则f (z)在z0解析.
（2）z 0 为f (z) ( m 级)极点： Cn(z z0)n 负幂项只有m项 n
0 z z0 , f (z) Cn(z z0)n nm
Cm(z z0 )m C1(z z0 )1 C0 C1(z z0 )