圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质

圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨

数学系20021111班家庆指导教师向长福

摘要：圆锥曲线是现行高中解析几学的重要容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查容。而圆锥曲线的主要容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。

关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点

On the Properties of Conic Focal Point Triangle and Focal Point String Abstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. T o relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems.

Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point

1引言

圆锥曲线是现行高中解析几学的重要容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.

圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献[2]、[7]的不足之处.文献[9]主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力．

2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质

圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形[1].

2.1 椭圆焦点三角形的性质

以椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的两个焦点1F ，2F 及椭圆上任意一点P （除长轴上两个端点外）为顶点的

21PF F ∆，叫做椭圆的焦点三角形[2].

设21PF F ∠=θ，21F PF ∠=α，12F PF ∠=β，椭圆的离心率为e 性质1:θ

cos 122

21+=⋅b PF PF .

证明：在21PF F ∆中，由余弦定理，有2

2

1212

22

1cos 2F F PF PF PF PF =⋅⋅-+θ a PF PF 221=+ 2212

22142a PF PF PF PF

=⋅++∴

2

21212

4cos 224c PF PF PF PF a =⋅⋅-⋅-∴θ 整理，得 .cos 122

21θ

+=

⋅b PF PF 例1 如图：1F 、2F 分别为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为

1的正三角形，求2

b 的值．

分析：此题按常规思路是从12=∆POF S 入手，即=

S 2

24

360sin 21c PO OF =⋅︒