乘法公式
乘法的运算律
乘法的运算律
乘法的运算律
乘法运算定律有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
字母公式：
1、乘法交换率：a×b=b×a。
2、乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
3、乘法分配率：（a-b）×c=a×c+b×c。
乘法交换律：乘法交换律是两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。
乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，和不变。
实数和纯虚数的积等于纯虚数。
实数和实数的和等于实数，纯虚数和纯虚数的和等于纯虚数，实数加纯虚数等于复数。
1。
乘法算式公式
乘法算式公式乘法是咱们数学学习里特别重要的一块儿，就像盖房子的砖头，少了它可不行！先来说说乘法的定义吧，乘法其实就是把相同的数加起来的简便运算。
比如说 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15，写成乘法算式就是 3×5 = 15 。
你看，是不是一下子就简单明了多啦！乘法算式里有两个重要的小伙伴，一个叫乘数，一个叫被乘数。
可别小瞧这俩家伙，它们的位置可是有讲究的。
比如 5×3 ，5 就是被乘数，3 就是乘数。
这就好像两个人排队，谁在前谁在后可不能乱。
还记得我小时候，有一次跟小伙伴们一起去买糖果。
一包糖果 5 块钱，我特别想买 3 包。
那一共得花多少钱呢？我就在心里默默算着，5 + 5 + 5 = 15 块。
这多麻烦呀！旁边的小伙伴提醒我，这可以用乘法算呀，5×3 = 15 块。
哎呀，我一下子恍然大悟，原来乘法这么好用！从那以后，我就更喜欢乘法啦。
再说说乘法口诀，这可是乘法计算的神器！像“一一得一，一二得二……”一直到“九九八十一”，那是一定要背得滚瓜烂熟的。
这就好比咱们走路的腿，没有它，咱们在乘法的世界里可就走不快啦。
比如说计算 7×8 ，如果咱们能马上想起七八五十六，答案一下子就出来了。
而且呀，乘法口诀不仅能帮咱们快速算出答案，还能锻炼咱们的记忆力呢。
还有乘法的交换律，a×b = b×a 。
这就像两个好朋友，换个位置关系还是一样好。
比如 2×3 = 3×2 ，结果都是 6 。
在解决实际问题的时候，乘法算式更是大显身手。
比如说，一个班级里有 40 个同学，每人需要 2 本练习本，那一共需要多少本练习本呢？这时候就要用到乘法啦，40×2 = 80 本。
是不是很简单？乘法在咱们生活里的用处可多啦！去超市买东西算总价，装修房子算面积，都离不开乘法。
所以呀，咱们一定要把乘法算式这个本领学好，这样才能在数学的世界里畅游无阻。
乘法运算律公式大全
乘法运算律是数学中的基本规则，它们帮助我们理解和处理乘法操作。
以下是一些常见的乘法运算律：
1. 乘法交换律（Commutative Law of Multiplication）：
a *
b = b * a
这意味着乘法操作的顺序可以交换，不影响结果。
例如，2 * 3 = 3 * 2。
2. 乘法结合律（Associative Law of Multiplication）：
(a * b) * c = a * (b * c)
这意味着乘法操作的括号分组方式可以改变，不影响结果。
例如，(2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)。
3. 乘法分配律（Distributive Law of Multiplication）：
a * (
b + c) = (a * b) + (a * c)
这个律法表示乘法对加法的分配，或者说，可以将一个数与括号内的每个数相乘，然后将结果相加。
例如，2 * (3 + 4) = (2 * 3) + (2 * 4)。
4. 乘法单位元律（Multiplicative Identity Law）：
a * 1 = a
任何数与1相乘都等于其自身。
5. 乘法零元律（Multiplicative Zero Law）：
a * 0 = 0
任何数与0相乘都等于0。
这些乘法运算律是基础数学原理，它们在解决各种数学问题和代数方程式中都非常有用。
通过应用这些规则，我们可以简化乘法运算、重新排列因子和求解复杂的数学表达式。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
乘法公式知识点总结
乘法公式知识点总结一、基本概念1. 乘法的基本概念乘法是指两个数相乘的运算，其中一个数称为被乘数，另一个数称为乘数，它们的乘积称为积。
在代数中，乘法是一种特殊的运算，它满足交换律、结合律和分配律等法则。
2. 乘法的表示方式乘法运算可以使用不同的符号和表示方法进行表达，常见的表示方式有：用乘号“×” 表示，如：3 × 4 = 12；用点号“·” 表示，如：3 · 4 = 12；用括号“( )” 表示，如：3(4) = 12；用字母表示，如：a × b = ab。
3. 乘法的运算规则乘法运算有一些基本的运算规则，包括：同号相乘得正，异号相乘得负；零与任何数相乘等于零；任何数与1相乘等于它本身等。
二、性质和规律1. 乘法的交换律乘法的交换律指的是，两个数相乘，乘法因子的位置可以交换，其乘积不变，即 a × b = b × a。
例如：3 × 4 = 4 × 3 = 12。
2. 乘法的结合律乘法的结合律指的是，三个数相乘时，可以先计算任意两个数的乘积，然后再将得到的积与第三个数相乘，其结果不受括号的影响，即 (a × b) × c = a × (b × c)。
例如：(3 × 4) × 5 =3 × (4 × 5) = 60。
3. 乘法的分配律乘法的分配律指的是，一个数与两个数相加的和相乘，等于这个数与这两个数分别相乘后再相加，即 a × (b + c) = a × b + a × c。
例如：3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5。
4. 乘法的其他性质乘法还满足许多其他的性质，如：乘法的零元素，乘法的幂运算法则，乘法的倒数等。
三、乘法的应用1. 计算乘法乘法在日常生活和数学应用中有着广泛的应用，如计算购物、计算面积、计算体积、计算时间、计算速度等。
整式的乘法公式
整式的乘法公式一、整式乘法的基本概念。
1. 单项式乘单项式。
- 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
- 例如：3x^2y· 4xy^2=(3×4)(x^2· x)(y· y^2)=12x^2 + 1y^1+2=12x^3y^3。
2. 单项式乘多项式。
- 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：a(b + c)=ab+ac，具体计算如2x(x^2 - 3x+1)=2x· x^2-2x·3x + 2x·1 = 2x^3-6x^2 + 2x。
3. 多项式乘多项式。
- 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。
计算(x + 2)(x - 3)=x· x+x·(-3)+2· x+2×(-3)=x^2-3x + 2x-6=x^2 - x - 6。
二、乘法公式。
1. 平方差公式。
- 公式：(a + b)(a - b)=a^2 - b^2。
- 推导：(a + b)(a - b)=a· a - a· b+b· a - b· b=a^2 - b^2。
- 应用示例：计算(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2 = 9x^2 - 4y^2。
2. 完全平方公式。
- 完全平方和公式：(a + b)^2=a^2+2ab + b^2。
- 推导：(a + b)^2=(a + b)(a + b)=a· a+a· b+b· a + b· b=a^2+2ab + b^2。
- 应用示例：(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。
乘法的运算公式
乘法的运算公式
一、乘法的定义
乘法是数学的常用运算，乘法运算包括乘数、被乘数和乘积三个基本元素。
乘数又称因数、比数，表示参与乘法运算的数几个或者几次重复；被乘数又称因式、积，表示被乘数所乘的数及其几次重复；乘积是乘数与被乘数乘积而得的结果。
二、乘法原理
乘法运用在同一类事物参与关系等于事物间关系的总和，也就是在同类的量的乘积上，将数变化带来的量的变化的两个原理：乘数的变动原理和积的变动原理。
根据乘数的变动原理，假定有m个被乘数x，那么对于乘积而言，一旦乘数变动，其乘积也随之变动，而乘积变动幅度取决于乘数变动幅度；另外根据积的变动原理，假定有m个乘数y。
当积y变动时，乘积也随之变动，而乘积的变动幅度则取决于积的变动幅度。
三、乘法的运算公式
数学中的乘法运算指的是乘法运算符（×），常用的乘法公式为：A×B=C，其中A是乘数，B是被乘数，C是乘积。
乘法归约公式：A×(B+C)=A×B+A×C，其中A是乘数，B和C是被乘数，A×B和A×C 是乘积。
乘法可以用看成一步乘法，A×B=A×B×1=A×1×B=1×A×B=C，其中A和B是乘数，C是乘积。
四、乘法的应用
乘法在各种科学问题中都可以得到很好的应用，如计算机、管理、生物、政治、地理、物理和社会等；另外乘法运算还可以用于比较物体的大小、实施立体操作和各种数量的测量等。
比如：统计一个事物的结果，比较两组成分的比例，在营销领域计算推广效果等。
乘法公式
乘法公式1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即 n m n m a a a +=⋅（m,n 都是正整数）2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即 ()mn n m a a = (m,n 都是正整数) 3. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即 ()n n n b a ab = (n 为正整数)4. 单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.5. 单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.6. 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 ()()mn nb am ab m b n a +++=++★7.乘法公式①平方差公式： ()()22b a b a b a -=-+即 两数和与这两数差的积等于这两数的平方差.②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=± 即 两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍. 整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序.能运用乘法公式的则运用乘法公式.8. 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变指数相减.即 n m n m a a a -=÷（a ≠0,m,n 都是正整数，且m>n ）规定：任何不等于零．．．．的数的零次幂都等于1. 即 10=a ()0≠a 任何不等于零的数的-P （P 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数. 即 pp a a 1=- ()是正整数p a ,0≠ 9. 单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.10. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 ()m c m b m a m c b a ÷+÷+÷=÷++ ()0≠m .11.乘法公式的补充：（1）()()3322b a b ab a b a ±=+± ；（2）()3223333b ab b a a b a ±+±=±； （3）()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++； （4）()()()[]22222221c a c b b a ca bc ab c b a -+-+-=---++； （5）()()abc c b a ca bc ab c b a c b a 3333222-++=---++++；练习题1.计算：（1）()()()121-++⋅+⋅+n n n y x y x y x （2）()()m m xy y x --⋅32522.试确定111552⨯是几位正整数.3.（1）已知22-=ab ，求()b ab b a ab ---352的值.（2）已知32=n a ，求()()n n a a 222343-的值.4.先化简，再求值.()()3222325113y x x x y x ⋅+--⋅-,并且有0123432=-+-y x y x .。
积的公式 乘法
积的公式乘法
积的公式是指两个或多个数相乘所得的结果，我们称之为“积”。
在乘法中，我们可以使用不同的方法来求得积，下面是几个常用的积的公式：
1. 两个数的积：a × b = c
其中，a和b为两个任意实数，c为它们的积。
2. 三个数的积：a × b × c = d
其中，a、b和c为三个任意实数，d为它们的积。
3. n个数的积：a1 × a2 × ... × an = p
其中，a1、a2、...、an为n个任意实数，p为它们的积。
4. 一个公式的积：(a + b) × c = ac + bc
其中，a、b和c为任意实数，左边为一个表达式的积，右边为它的展开式。
5. 两个公式的积：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd
其中，a、b、c和d为任意实数，左边为两个表达式的积，右边为它的展开式。
以上是常见的积的公式，在乘法中，掌握这些公式可以帮助我们更加快速和准确地计算出积。
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乘法交换律公式大全
乘法交换律公式大全
1.数的乘法交换律：对于任意实数a和b，有a*b=b*a.
2.自然数的乘法交换律：对于任意自然数n和m，有n*m=m*n.
3.整数的乘法交换律：对于任意整数a和b，有a*b=b*a.
4.有理数的乘法交换律：对于任意有理数a和b，有a*b=b*a.
5.实数的乘法交换律：对于任意实数a和b，有a*b=b*a.
6.零乘法交换律：对于任意实数a。
7.一乘法交换律：对于任意实数a，有a*1=1*a=a.
8.负数与正数的乘法交换律：对于任意实数a和正数b，有a*b=b*a.
9.小数的乘法交换律：对于任意小数a和b，有a*b=b*a.
10.分数的乘法交换律：对于任意分数a和b，有a*b=b*a.
11.百分数的乘法交换律：对于任意百分数a和b，有a*b=b*a.
12.阶乘的乘法交换律：对于任意正整数n和m，有n!*m!=m!*n!.
13.幂的乘法交换律：对于任意非零实数a和正整数n，有
a^n*a^m=a^m*a^n.
14.向量的乘法交换律：对于任意向量a和b，有a*b=b*a.
15.矩阵的乘法交换律：对于任意矩阵A和B，有A*B=B*A.
16.函数的乘法交换律：对于任意函数f(x)和g(x)，有
f(x)*g(x)=g(x)*f(x).
这些乘法交换律公式适用于不同的数学领域和概念，并且具有普适性和重要性。
它们在数学中的广泛应用，使得我们能够更方便地进行计算和推导，也有助于深入理解乘法运算及其性质。
通过熟练掌握和灵活运用这些乘法交换律公式，我们可以更好地解决数学问题，并且在数学学习中取得更好的成绩。
乘法分配律全部公式
乘法分配律全部公式
1.左分配律：对于任何三个数a、b和c，有：a*(b+c)=(a*b)+(a*c)。
2.右分配律：对于任何三个数a、b和c，有：(a+b)*c=(a*c)+(b*c)。
下面我们将详细解释这两个公式及其应用。
1.左分配律：
左分配律可以解释为：数字a与括号中的加法运算的结果b+c相乘，
等于数字a与b相乘再与数字a与c相乘的和。
举个例子来说，假设a=2，b=3，c=4、那么左分配律表明：
2*(3+4)=(2*3)+(2*4)。
简化计算后，我们可以得到：2*7=6+8，这个等式
成立。
左分配律在代数学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于展开和简化
表达式，因为可以将一个括号内的加法运算分别应用于括号内的每一项，
然后将乘法运算应用于整个表达式。
2.右分配律：
右分配律可以解释为：数字a与括号中的3个数之和(b+c)的乘积，
等于数字a与b相乘再与数字a与c相乘的和。
举个例子来说，假设a=2，b=3，c=4、那么右分配律表明：
(2+3)*4=(2*4)+(3*4)。
简化计算后，我们可以得到：5*4=8+12，这个等
式成立。
右分配律与左分配律具有相同的应用。
它可以用于展开和简化表达式，使得可以将乘法运算应用于每一项，并将一个加法运算应用于整个表达式。
1.左分配律：a*(b+c+d)=(a*b)+(a*c)+(a*d)。
2.右分配律：(a+b+c)*d=(a*d)+(b*d)+(c*d)。
这些公式的应用可以帮助我们在代数学中进行计算和简化复杂的表达式。
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14．2乘法公式第1课时平方差公式教学目标1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学重点平方差公式的推导和应用．教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，把这事和邻居们一讲，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？通过本节课的学习，你将能解释这其中的原因！二、自主学习，指向目标自学教材第107页至108页，思考下列问题：1．根据条件列式：(1)a、b两数的平方差可以表示为________；(2) a、b两数差的平方可以表示为________；2．平方差公式的推导依据是________________________________________________________________________．3．平方差公式(乘法)的特征是：左边是__________________，右边是__________________．三、合作探究，达成目标探究点一探索平方差公式活动一：1.填写教材P107三个计算结果，展示点评：(1)二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(二项)(2)观察上列算式的左边的两个二项式，有什么异同？运算出结果后的二项式与等式左边的二项式有什么关系？(等号的左边是两数的和乘以这两数的差，等号的右边是这两数的平方差．)2．归纳：两个数的________与这两个数的差的积，等于这两数的________．用公式表示上述规律为：(a＋b)(a－b) ＝________这就是平方差公式．3．观察教材图14.2－1，请你用两种方法计算图形中阴影部分的面积，得到什么结果？(a＋b)(a－b)＝a2－b24．观察教材P108例1中的两个算式，能否用平方差公式进行计算？若能用，公式中a，b分别代表什么？例1运用平方差公式计算(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．思考：确定能否应用平方差公式进行运算的关键是什么？展示点评：观察算式：①是不是两个二项式相乘；②是不是两数的和乘以两数的差；③若作为因式的二项式的首项是负号的，可以连同符号一起看作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考．关键就是确定是不是两数的和乘以两数的差．解答过程见课本P108例1小组讨论：能运用平方差公式计算的式子有何特征？【反思小结】能运用平方差公式进行计算的式子特征：①二项式与二项式的积；②把两个二项式进行对比：有一项相同，另一项互为相反数．针对训练：1．计算(2a＋5)(2a－5)等于( A )A．4a2－25 B．4a2－5 C．2a2－25 D．2a2－52．计算(1－m)(－m－1)，结果正确的是( B )A．m2－2m－1 B．m2－1 C．1－m2 D．m2－2m＋1探究点二平方差公式的综合应用活动二：计算：(1)102×98；(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．展示点评：(1)例1是数的计算，观察其特征，把两个因数如何变形能够运用平方差公式进行计算？(2)例2中有整式的简单的混合运算，在进行运算时要注意什么？展示点评：第1题可以变为100与2的和乘以100与2的差；第(2)题中多项式的乘法，能运用平方差公式的一定要运用平方差公式进行运算．解答过程见课本P108例2小组讨论：平方差公式与整式乘法有什么关系？在运用时应注意什么问题？【反思小结】(1)可运用平方差公式运算的式子，也属于我们前面所学的多项式乘以多项式的运算，所以说平方差公式适用于特殊形式的该类运算．(2)有些不能直接用平方差公式的题目可向公式形式转化，写成两数和与两数差乘积的形式，再运用公式．(3)在运用平方差公式运算时，一要注意确定好公式中的“a”项，“b”项；二要注意对两个数整体平方，而不是部分平方．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．平方差公式的特征，公式中的字母a和b既可以表示数，也可表示字母，还可以表示多项式；2．能应用平方差公式进行乘法运算，并能进行简单变形应用．3．平方差公式与多项式乘法之间的关系．五、达标检测，反思目标1．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( C )A．(x＋y)(－x－y) B．(2x＋3y)(2x－3z)C．(－a－b)(a－b) D．(m－n)(n－m)2．下列各式运算结果是x2－25y2的是( B )A．(x＋5y)(－x＋5y) B．(－x－5y)(－x＋5y)C．(x－y)(x＋25y) D．(x－5y)(5y－x)3．两个连续奇数的平方差是( B )A．6的倍数B．8的倍数C．12的倍数D．16的倍数4．计算：(2＋3x)(－2＋3x)＝__9x2－4__．5．已知(x－ay)(x＋ay)＝x2－16y2，那么a＝__±4__．6．计算：(1)a(a－5)－(a＋6)(a－6)解：原式＝a2－5a－(a2－36)＝36－5a(2)(x＋y)(x－y)(x2＋y2)解：原式＝(x2－y2)(x2＋y2)＝x4－y4(3)9982－4解：原式＝(998＋2)(998－2)＝1000×996＝996000●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本P112第1题．2．课后作业：见《学生用书》．第2课时完全平方公式教学目标1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．2．熟练应用公式进行计算．教学重点完全平方公式的推导过程、结构特点以及几何解释，并能灵活应用．教学难点理解完全平方方式的结构特征，并能灵活应用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．多项式乘以多项式的法则是什么？(多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．)2．观察下列计算过程及结果：(1)(p＋q)(p＋q)＝________________＝________________；(2)(x－y)(x－y)＝________________＝________________.展示点评：怎样快速的计算形如(2x＋y)2的运算，这就是我们今天所要学习的主要内容．二、自主学习，指向目标自学教材第109页至110页，思考下列问题：1．完全平方公式的推导的依据多项式乘以多项式的乘法法则2．完全平方公式的特征是：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍；与平方差公式的区别是平方差公式是两数的和乘以两数的差，等于这两数的平方差，其结果是一个二项式．3．从几何的角度去理解完全平方公式，观察下图，可以得到：(1)(a＋b)2＝________；(2)(a－b)2＝________．三、合作探究，达成目标探究点一 完全平方公式活动一：1.根据条件列式：(1)a ，b 两数和的平方可以表示为________；(2)a ，b 两数平方的和可以表示为________．2．填写教材P 109四个计算结果．展示点评：(1)一个多项式的平方运算可以看做哪种形式的运算(两个相同的多项式的乘法运算)(2)课本中的二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(三项)(3)上列算式运算的依据是什么？ (依据是多项式乘以多项式的乘法法则)(4)观察上列算式，运算出结果后的三项式与等式左边的二项式有什么关系？(等号的左边是两数的和或差的平方；等号的右边是这两数的平方和，加上或减去这两数积的2倍．)3．归纳：由上述规律可得到公式：(a ＋b)2＝________；(a －b)2＝________．完全平方公式：两数和(或差)的平方等于这两个数的______加上(或减去)这两个数积的______倍．可记作：首平方，尾平方，二倍乘积放中央．4．观察教材图14 .2－2及14 .2－3你通过图形中的面积，得到什么结果？(a ＋b)2＝a 2＋ab ＋b 2＋ab ＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2；5．观察教材P 110例3中的两个算式，能否用完全平方公式进行计算？若能用，公式中a ，b 分别代表什么？例1 运用完全平方公式计算：(1)(4m ＋n)2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122(3)(－2a －3b)2 展示点评：从平方的意义看，⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122与⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y 2的结果一样吗？(－2a －3b)2与(－3b －2a)2的结果相同吗？而(4m ＋n)2与(4m －n)2的结果呢？展示点评：互为相反数的平方结果相等，因此(y －12)2与(12－y)2的结果一样；而4m ＋n 与4m －n 不一定相等或是相反数，因此其平方的结果不一定相等．小组讨论：应用完全平方公式计算应注意什么？解答过程见课本P 110例3反思小结：1.应用公式时，可以先确定两数的平方和，再加上(或减去)两数积的2倍；切记不要漏掉两数积的2倍；2.互为相反数的两个多项式的平方相等．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二 完全平方公式的综合应用活动二：运用完全平方公式计算：(1)1022 (2)992小组讨论：一个较大或较小数的平方运算，如何巧妙地进行变形，应用完全平方公式，快速的进行计算呢？展示点评：把102或99写成两数和或差的形式，再进行计算．反思小结：对于较大数的平方可以转化成两整数和(或差)的平方，再运用完全平方公式进行计算比较简便．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．完全平方公式的推导及其几何意义；2．完全平方公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式；3．应用完全平方公式进行计算，有关数字计算题应用完全平方公式可以使计算简便．4．数学思想：类比、数形结合．五、达标检测，反思目标1．( x ＋3y )2＝x 2＋6xy ＋__9y 2__．2．a 2－kab ＋9b 2是完全平方式，则k ＝__±6__．3．计算(－a －b)2结果是( B )A ．a 2－2ab ＋b 2B ．a 2＋2ab ＋b 2C ．a 2＋b 2D ．a 2－b 24．运用乘法公式计算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12； (2)1052； 解：(1)原式＝14x 2－x ＋1 (2)原式＝(100＋5)2＝1002＋2×100×5＋25＝10000＋1025＝11025 (3)(a －b －3)(a －b ＋3)．解：原式＝[(a －b )－3][(a －3)＋3]＝(a －b )2－9＝a 2－2ab ＋b 2－95．已知x ＋y ＝9，xy ＝20，求(x －y)2的值．解：(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝81－80＝1●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本第112页2、3(2)(3)、7.2．课后作业：见《学生用书》．第3课时 乘法公式的拓展教学目标1．了解添括号法则．2．能应用添括号法则，结合乘法公式，对项数是三项或三项以上的多项式乘法进行运算．教学重点应用添括号法则及乘法公式进行运算．教学难点正确的添加括号后，应用公式进行计算．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．去括号法则是什么？(如果括号前面是正号，去掉括号后，括号里的各项不变号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的各项都要变号．)2．我们学过的乘法公式有哪些，你能完整的叙述出来吗？(平方差公式，完全平方公式)3．对于形如(x＋2y－3)(x－2y＋3)的乘法可以怎样运算呢？你能运用比较简便的方法运算吗？这就是我们这节课主要学习的内容．二、自主学习，指向目标1．添括号的法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．它和去括号的联系是互逆变形．2．试一试，在括号内添加适当的项：(1) (x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)](2)x－2y－4x＝x－2(y＋2x)三、合作探究，达成目标探究点一添括号法则活动一：去括号：a＋(b＋c)＝________；a－(b－c)＝________反过来，你能给下列多项式添括号吗：a＋b＋c＝a＋(b＋c) a－b－c＝a－(b＋c)展示点评：添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．小组讨论：添括号法则与去括号法则有什么关系？反思小结：添括号法则与去括号法则是互逆变形的过程，其符号变化与去括号法则变化一样．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二乘法公式的推广活动二：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________完全平方公式：(a±b)2＝________公式中的a 和b是一个字母，可以是一个多项式吗？如果a或b是一个多项式，如何运算？(a和b可以代替一个多项式，计算时可以看作一个整体先按照乘法公式进行计算，然后再根据相应的法则，再进行运算．)例1运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)(2)(a＋b＋c)2思考：第(1)题首先要应用添括号法则进行变形，需要应用几次公式，应用的公式相同吗？第(2)题与第(1)题的形式、运算过程和方法有何区别？展示点评：第1小题中先应用添括号法则把两个因式内互为相反数的两项结合变成两数的和乘以两数差的形式，先进行运算，再运用完全平方公式乘开，能合并同类项的一定要合并同类项；第2小题中应用加法交换与结合律，任意结合其中两项，应用两次完全平方公式即可．解答过程见课本P 111例5小组讨论：第(1)(2)题在添括号时，有什么相同点和不同点？【反思小结】两个多项式相乘，若两个多项式中既有相同的项，又有互为相反数的项，且没有其它的项，则要运用添括号法则把相同的项或互为相反数的项，分别括起来，把添到括号内的多项式当做一个整体，再进行计算．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．添括号法则；2．乘法公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式；因此对于项数是三项或三项以上的多项式乘法，根据乘法的形式，添加适当的括号，再运用乘法公式运算．五、达标检测，反思目标1. 判断下列变形是否正确．(1)2a －b －c 2＝2a －(b －c 2) (2)m －3n ＋2a －b ＝m ＋(3n ＋2a －b)(3)2x －3y ＋2＝－(2x ＋3y －2)(4)a －2b －4c ＋5＝(a －4c)－(2b －5)解：(1)(2)(3)都错误，(4)正确2．下列式子：①(3x ＋1)(3x －1)＝(3x －1)2；②(x －3y)2＝x 2－3xy ＋9y 2；③(1－2xy 2)2＝1－4x 2y 4；④(a ＋1a )2＝a 2＋2＋1a 2；其中正确的是( D ) A ．① B ．①② C ．①②③ D ．④3．如果x ＋y ＝－7，xy ＝12, 那么x 2－xy ＋y 2的值为( C )A ．61B ．37C ．13D ．114．运用乘法公式计算(1)(a －b －3)(a －b ＋3) (2)(a ＋2b －1)2解：(1)原式＝[(a －b )－3][(a －b )＋3]＝(a －b )2－9＝a 2－2ab ＋b 2－9 解：原式＝[(a ＋2b )－1]2＝(a ＋2b )2－2(a ＋2b )＋1＝a 2＋4ab ＋4b 2－2a －4b ＋15．求证：无论x ，y 为何值时，多项式x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10的值恒大于负数．解： x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10＝x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝(x －1)2＋(y ＋3)2∵(x －1)2≥0, (y ＋3)2≥0∴x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10≥0即无论x ，y 为何值时，多项式x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10的值恒为非负数．●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本第112页 3(1)(4)、92．课后作业： 见《学生用书》。