乘法公式(一)PPT
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乘法公式ppt
乘法公式
一、学习目标
知识与技能
1.经历探索乘法公式的过程，并能运用公式 进行简单计算；2.能用几何图形解释乘法公式
过程与方法
经历探索乘法公式的过程，培养学生观察， 归纳，概括能力，培养符号感和推理能力
情感态度价值观
在灵活应用公式的过程中激发学习兴趣，培 养探索精神
学习重点： 公式的探究 公式的应用
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一、学习目标
知识与技能
1.经历探索乘法公式的过程，并能运用公式 进行简单计算；2.能用几何图形解释乘法公式
过程与方法
经历探索乘法公式的过程，培养学生观察， 归纳，概括能力，培养符号感和推理能力
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9.4乘法公式(1)
例3 用完全平方公式计算
（1）（ -x + 2y)2
(2) ( -2a - 5)2
想一想：
你能有那些方法可以利用完全平方行观察 和分析，可以得到不同的解决问 题的方法。
例4 用完全平方公式计算
（1）9982
（2） 1012
运用完全平方公式可以起到 简便运算的作用。
(2) 第一项平方时未加括号；（应该是（－m)2 ) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (-m+n)2＝ (-m)2+2•(-m)n +n2; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
a
例题解析
例2 用完全平方公式计算
(1) ( 5 + 3p )2 (2) ( 2x - 7y )2
利用完全平方公式计算，第一步先 选择公 式，明确是哪两数和（或差）的平方；第二步 准确代入公式；第三步化简。
解原式=
第一数 的平方, 5×3p+ (3p)2 + 2× 加上第一数与第二数乘积 2 =25+30p+9p 的2倍, 加上第二数的平方. 52
一个正方形的边长为acm。若 边长减少6cm，则这个正方形的面 积减少了多少？
计算：（a+b+c)2
小兵计算一个二项整式的平方式时,得到
正确结果是4x2+ +25y2,但中间一项
不慎被污染了,这一项应是(
A 10xy B 20xy
)
C±10xy D±20xy
已知a+b=2,ab=1,
求a2+b2、(a－b)2的值.
《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1
分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习 已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例 运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例 运用乘法公式计算： 两数和的完全平方公式： 乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)
乘法公式ppt课件
感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练
2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲
2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝
［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
乘法公式 第一课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
3 4
a
1 3
b
3 4
a
1 3
b
3 4
a
2
1 3
2
b
9 16
a2
1 9
b2 .
(4)
a2
1 2
b2
a2
1 2
b2
a2
2
1 2
b2
2
a4
1 4
b4 .
2 解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ； (2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20. 解：(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
解：(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
4 运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
解：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1 ＝256－1 ＝255.
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
5 已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
解：原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1， 因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
6 探究活动： (1)如图①，可以求出阴影
(2)395×405.
解：(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
11.2 乘法公式(第1课时 平方差公式)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
图①，阴影部分的面积是 a2－ b2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
；比较图①，图②阴影部分的面积，可以
得到乘法公式 ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2
课堂小结
5 −3 − 2 3 − 2
6 − 2 + 2 + 2 − 2 +
=（-2x-3 ）（-2x+3）
=x²-（2y）²+（2x）²-y²
=（-2x）²-3²
= x²-4y ²+4x²-y²
=4x²-9
=5x²-5 y²
分层练习-基础
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( B
= 42 − 92 .
课本例题
例2
计算：
（1） − + 1 − − 1 ;
解（1）（ − + 1 − − 1
= − 2 − 12
= 2 − 1.
2 2 − 3 −2 − 3
2 2 − 3 −2 − 3
= −3 + 2 −3 − 2
=
( − 3)
2
− ( 2)
1. 计算：
（1） 2 + 5 2 − 5 ;
解： 1 2 + 5 2 − 5
= 2 ²- 5²
=4²-25
1 2 1
+
2
3
3
3
1 2 1
+
2
3
1
2
1 4
1
−
4
9
1 2 1
−
;
2
3
1 2 1
−
2
3
1
3
= （ 2 ）²−（ ）²
=
2 1 − 2 1 + 2
图解乘法公式
116
• 面积！
117
• 面积！
118
• The end!
119
93
• 切 水平或垂直 方向？
94
• 切 水平或垂直 方向？
95
• 切 两个 方向，皆可以的样子！
96
• 切 水平 方向，试试看！
97
• 切 水平 方向，试试看！
98
• 切 水平 方向，试试看！
99
• 切 水平 方向，试试看！
100
• 切 水平 方向，试试看！
101
• 切 水平 方向，试试看！
102
• 切 水平 方向，试试看！
103
• 切 水平 方向，试试看！
104
• 切 开后如何拼?
105
• 切开的边长 ?
106
• 测量!
107
• 测量!
108
• 如何移动呢?
109
• 移动
110
• 移动
111
• 移动
112
• 移动
113
• 完成！
114
• 面积！
115
• 面积！
a
c
31
a
b
a
c
32
a
面积=?
b
a
c
33
a
面积=?
b
c
34
a
b
c
35
a
b
c
36
a
b
c
37
a
b
c
38
39
40
a
d
b
41
a
d
面积=?
b
42
华师大版八年级上册1乘法公式课件
感悟新知
特别解读 公式的特征：
知1－讲
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项
完全相同，另一项互为相反数；
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减
去相反项的平方；
3. 理解字母a、b的意义，平方差公式中的a、b既可代表
一个单项式，也可代表一个多项式.
感悟新知
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完 全平方公式进行计算.
感悟新知
解：(x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2 =x2+14xy+49y2. (－4a+5b)2 =(5b－4a)2 =(5b)2－2·5b·4a+(4a)2 =25b2－40ab+16a2.
括号不能漏掉.
知2－练
不能漏掉“2ab”项，且符号 与完全平方中的符号一致.
知2－讲
感悟新知
知2－讲
ab= ［12 (a+b)2－(a2+b2)］= ［14(a+b)2－(a－b)2］； (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； a2+b2+c2+ab+ac+bc= ［1(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2 ］
2
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，
感悟新知
例2 计算： 10.3×9.7；2 022×2 024－2 0232.
知1－练
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式 进行计算.
12.3乘法公式(1)
演练
计算：
⑴ (3x＋4)(3x－4) ⑵ (9x＋y)(y－9x) ⑶ 102×98 ⑷ (21＋1) ( 212＋1) ( 214＋1) ( 218＋1)
思考
思考题：如果(2a＋2b＋1) (2a＋2b－1) ＝63， 那么a＋b的值为多少．
分析：要求a＋b的值，那我们能否把a＋b看成 一个整体，这样的话，条件所给的式子又能不 能用公式去解决
＝(－y)2－(2x)2 ＝y2－4x2 运用例2 先化简，再求值
(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x＝1，y＝2
解：原式＝(2x)2－y2－［(2y)2－x2］ ＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝5x2－5y2 当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12－5×22＝－15
演练
1．(2a＋ 1 2
引入
2．归纳小结： 发现公式中，当a,b互为相反数时，一次
项系数就为零．可得公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
思考
先观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算
(a＋b)(a－b)
＝
a2
－ b2
(a＋b)(a－b) ＝ a2 － b2
运用
例1 计算
(1) (a＋3)(a－3) (2) (2a＋3b)(2a－3b)
12.3 乘法公式
两数和乘以这两数的差
数学是人类知识活动留下来最具 威力的知识工具，是一些现象的根源。 数学是不变的，是客观存在的，上帝 必以数学法则建造宇宙 。
笛卡尔 —————
复习
1．多项式乘以多项式的法则是什么？ 2．利用多项式与多项式的乘法法则说出
(x+a)(x+b)的结果． 3．计算:（利用多项式与多项式的乘法法则）
9.乘法公式 (1)
（2）已知（2015﹣a）（2016﹣a）=2047，试求（a﹣2015）2+ （2016﹣a）2的值．
(a 2015)2 (2016 a)2 (a 2015 2016 a)2 2(2015 a)(2016 a) 1 2 2047 4093
【拓展提高】
第九讲 乘法公式
a 2 b2
a 2 2ab b2 a 2 2ab b2
4 x2 4 x 1
x 2 4 xy 4 y 2
8x 2 2
16a 4 8a 2 1
4 x2 1
x2 y2
x8 2 x 4 1
解：原式= x 2 1 x x 2 2 x 1
1952 19 20 100 25 38025
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写
89 81 (80 9) (80 1) 出89×81的简便计算过程和结果．
7209
80 80 80 9 80 1 9 1 80 80 80 (9 1) 9 1
1 1 m 4 m2 2 2 119 m m
a 2017 b2017
【中考专练】
1 、已知a b 1，ab ﹣，则 6 a 2 b2 ﹣ab的值是（ ）
A．19
2
A
B．﹣17
2
C．﹣34
2
D．37
1 2、若 a 3a 1+b +2b+1=0，则a 2 b ______ a
①当ab 2时，代入原式=28 ②当ab -2时，代入原式=36
原式=ab a 2 2ab b 2
(a 2015)2 (2016 a)2 (a 2015 2016 a)2 2(2015 a)(2016 a) 1 2 2047 4093
【拓展提高】
第九讲 乘法公式
a 2 b2
a 2 2ab b2 a 2 2ab b2
4 x2 4 x 1
x 2 4 xy 4 y 2
8x 2 2
16a 4 8a 2 1
4 x2 1
x2 y2
x8 2 x 4 1
解：原式= x 2 1 x x 2 2 x 1
1952 19 20 100 25 38025
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写
89 81 (80 9) (80 1) 出89×81的简便计算过程和结果．
7209
80 80 80 9 80 1 9 1 80 80 80 (9 1) 9 1
1 1 m 4 m2 2 2 119 m m
a 2017 b2017
【中考专练】
1 、已知a b 1，ab ﹣，则 6 a 2 b2 ﹣ab的值是（ ）
A．19
2
A
B．﹣17
2
C．﹣34
2
D．37
1 2、若 a 3a 1+b +2b+1=0，则a 2 b ______ a
①当ab 2时，代入原式=28 ②当ab -2时，代入原式=36
原式=ab a 2 2ab b 2
3.4 乘法公式(1)
5678×5680-56792
=(5679-1)(5679+1)-56792
=56792 -1 -56792 = -1
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
（1）图中的红色部分部分面积是__a__2 __b__2__
（2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？
你拼出的长方形的面积是_(_a____b__)_(_a___b_)__
这里的字母a，b可以是数，或是单 项式，甚至是更复杂的代数式
概念挖掘:
2019/5/7
1.下列式子中哪些可以用平方差公式运算?
原正方形的面积= a2
改建后的长方形的面积= (a+3)(a-3)=a2-9
(a+3)(a-3)-a2 = Hale Waihona Puke 2 -9-a2 =9(1)
1 a 1 b 1 a 1 b 3 2 3 2
1 a2 1 b2 94
(2) (3a +2b)(3a−2b) 9a2－4b2
1.多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一
项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a + n )(b + m)= ab +am + nb +nm.
【课件·1】乘法公式1
(1) (x-y)(y+x) = x2-y2 （ Y ） (2) (-x+y)(x+y) = y2-x2 （ Y ）
Notice： =x2-y2 (4) (x-y)(-x-y)=(-y)2-x2 （ Y ） 要利用平方差公式解题， =y2-x2 必须找到相同的项和符 号相反的项。 (5) (-x+y)(x-y) （ N）
Formula for the difference of squares
Example 1 Calculate (1) (5x+y)(5x-y) (2) (m+2n)(2n-m) 解:(1) 原式=(5x)2-y2
2
平方差公式
(a b)(a b) a b
2
=25x2-y2 (2) 原式=(2n+m)(2n-m) =(2n)2-m2 =4n2-m2
2) 右边是相同“项”的平方减相反“项”的平方。
2、应用平方差公式的注意事项
(1)公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式；
(2) 要符合公式的结构特征才能运用平方差公式； (3) 还需注意最后的结果必须最简.
V
Test
Group A
1.Calculate：
(1)
( x 2 y)( x 2 y)
Notice: 公式中的字母的意义很广泛, 可以代表常数, 单项式或多项式 。
等式左边是两个数的和 乘以这两个数的差. 等式右边是这两个数的 平方差.
Training Excises :
在下列多项式乘法中，能用平方差 公式计算的请填Y，不能用的请填N:
请同学们进一步总结平方差公式 左右两边的特征： 左边是 两个二项式相乘，其中一项完 全相同，另一项符号相反； 右边是 相同“项”的平方减相反 “项”的平方。
初中数学精品课件：乘法公式(1)
1．通过本节课的学习活动，你们认识了什么？ 2．什么样的式子才能使用平方差公式？ 3.你会表述平方差公式的内容吗？
会用字母写出它的表达式吗？ 4.还学到了哪些数学思想方法?
(数形结合思想和整体思想).
思维拓展：
2、观察并计算下列各组算式
4×6 =24 5×5 =25
7×9 =63 8×8 =64
( 可以 ) (y+x)(-x+y) =(y+x)( y-x)=y²-x² ( 可以 ) (-y-x)(x-y) =(-y-x)(-y+x)=y²-x² ( 不可以) (x-y)(-x+y) (不可以 ) (x+y)(-x-y)
两个二项式相乘其中一项相同,另一项互为相反 数,结果是相同项的平方减去相反数项的平方。
如果A=1234567892, B=123456788×123456790, 试比较A与B的大小.
补充练习：
1、运用平方差公式简便计算: 992 - 1
2、(x-y)(x+y)(x2+y2)
3、已知 x2-y2=8 , x+y=-4 ，求x-y的值。
4、如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,求x2-y2
(5ab+1)(5ab-1)
25a2b2－1
(−0.1x+1)(−0.1x−1) 0.01x2－1
(4k 3)(4k 3)
16k2 - 9
(3y − x)(− x − 3y）
x2 9y2
(-2x-y)(-y+2x) y2-4x2
2m n2m n
n2 4m2
3、用平方差公式计算下列各式 (1) ( y2 x)(x y2 )
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a-b
a-b
a
b a+b
b
bb
b a a a baabba ab2 ba2 2 b2
2
创设情境、引出课题
问题3：此等式中的a、b应满足什么条件才成立？对于 任意的a、b此等式成立吗？
a＞b
成立．
a ba b a2 ab ab b2 a2 b2
总结归纳、发现新知
问题4：你能分别用文字语言和符号语言表示所发现的 规律吗？给一个名称．
(2)
(2) 1 x 1 1 x 1 2 3 2 3
(4) 0.2a 0.7b2 0.7b2 0.2a
25x 2 4 y 2 81 a 2
总结概括、自我评价
请你评价一下你在这堂课的表现．
作业
必做题：P184习题15.2 1
选做题：A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，则A的末位数是______．
巩固深化、发展思维
问题9：小明家有一块“L”形的自留地，现在要分成两块 形
状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请 你来帮小明设计，并算出这块自留地的面积．
b
abLeabharlann a小试牛刀、挑战自我
1．计算：
(1) 2x y2x y
(3) b3 3a2 3a2 b3
2．填空：
(1) 5x 2 y
问题7：判断：
（1）2x 3a2x 3b 2x2 3a2
（2）2a 3b2a 3b 2a2 3b2 （3）x 2x 2 x2 2 （4） 3a 23a 2 9a2 4
（× ） （× ） （× ） （× ）
巩固深化、发展思维
问题8：计算：
（1） 99.8 100 .2 ； （2） a b ca b c ．
乘法公式（一）
海门市城北初中樊明 2014年8月
创设情境、引出课题
问题１：你能用计算下列图形的面积吗？你能用图示法 展示上述计算过程吗？
58
58
60
2 62
58× 62
2
22
60
=
602 22
创设情境、引出课题
问题２：将长为（a + b）厘米，宽为（a－b）的长方形，剪 下宽为b厘米的长方形条，拼成有空缺的正方形，并 请用等式表示你拼成图形的面积关系．
问题6：计算：
（1）（2x +3）（2x–3）；
（2）（-x+2y）（-x-2y）； （3）（–1 + 2a ）（–1–2a）．
解：（1）（2x + 3）（2x– 3）=（2x）2－ 32 = 4x2 -9
aaaabbbbaaaabbbbaaa2222bbb2b222
（2）... ...
巩固深化、发展思维
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数 的平方差．
a ba b a 2 b2 平方差公式
平方差公式左边的特征：一项相同，另一项互为相反数． 问题5：分别用多项式乘法法则和平方差公式计算：
（1）（m+2）（m-2）； （2）（2x+1）（2x-1）； （3）（x+5y）（x-5y）．
巩固深化、发展思维