图乘法

3）M 图为折线或 M P 在基线两侧时都需分段图乘； ） 在基线两侧时都需分段图乘； 4）图形的
ω 或 yC 很难计算时，不宜用图乘法。 很难计算时，不宜用图乘法。
技巧： 技巧：恰当运用叠加原理
3.常用图形的 3.常用图形的 面积及形心
注意： 注意： “顶点” 顶点”
— 切线与基线平行， 切线与基线平行，
5. 图乘的叠加 (1) 两个直线图形图乘的叠加法
MP图 M图
∫

L
o
M P M ds = A1 y1 + A2 y 2
3 3 2 1 y2 = d + c 3 3
其中 y = 2 c + 1 d 1
(注意代入abcd时上正下负 注意代入abcd时上正下负) 两个直线图形图乘的通用公式: (注意代入abcd时上正下负) L ∆ = (2 ac + 2bd + ad + bc) 6EI
l l
回顾
力场（ 力场（虚）
l
1 × ∆ = Σ[ ∫ M d θ + ∫ F Q dη + ∫ F N d λ ] − Σ F Rk C k
0 0 0
(弯曲) 弯曲)
(剪切) 剪切)
(轴向) 轴向)
(已知支座移动) 已知支座移动)
位移场（ 位移场（实）
仅考虑荷载作用， 仅考虑荷载作用， C k = 0 由材料力学可知 ：
M P M 1 dx = A0 y ∆B = ∫ E I E I −1 2 ql2 1 ql3 = ⋅ l =− × E 3 8 2 I 24E I
1
C
1 2 1 2 l ∆y = C ( 3×l ×8 ql )× 4 E I
B ∆ = 1 (2× l ×1ql2)×(5× l )×2 C y
试求图示刚架在水压力作用下C、 两点的相对水平 [例5] 试求图示刚架在水压力作用下 、D两点的相对水平 位移。设各杆EI为常数 为常数。 位移。设各杆 为常数。 1) 解： 作荷载作用下的弯矩图
M P图
q MA = ∫ q( x) ⋅ dx⋅ ( 1− x) = ∫ q⋅ x⋅ ( 1− x) ⋅ dx = 0 0 6
A
E 3 2 8 I
8 4
l 4
5 ql4 (↓) = 384 E I
分段图乘
[例2] 计算悬臂梁在集中荷载作用下的C点的竖向位移∆ C 。 计算悬臂梁在集中荷载作用下的 点的竖向位移∆ 点的竖向位移 解: yc取自 P图 取自M
∆ =∫ C
M P M 1 dx = Ac y E I E I
5F l3 1 l2 5 = ⋅ ⋅ F ⋅l = P ↓ E 8 6 P I 48E I
第5章 结构位移计算与虚功－能量法 结构位移计算与虚功－
§5-1 刚体体系的虚功原理与位移计算 §5-2 结构位移计算的一般公式 §5-3 荷载作用下的位移计算 §5-4 荷载作用下的位移计算举例 §5-5 图乘法 §5-6 温度变化时的位移计算 §5-7 互等定理
1.荷载作用下的位移计算公式 1.荷载作用下的位移计算公式 位移计算的一般公式： 位移计算的一般公式：
∆=∫
L
o
（曲杆） 曲杆）
L F FN FNP F N MP M NP ds + ∫ ds + L o EI EA EA1
（曲杆） 曲杆）
（拉杆） 拉杆）
§5-5 图乘法
1.图乘原理公式 1.图乘原理公式 y
dω 形心 C A dx
——将积分转变为图形相乘 ——将积分转变为图形相乘
积分式: 积分式: ∆ = ∫
( )
1 l l l2 A= ⋅ ⋅ = 2 2 2 8
点的转角和C点的竖向位移 [例3] 求A点的转角和 点的竖向位移。 点的转角和 点的竖向位移。 EI=1） （EI=1） 解：（1）求A点的转角 ：（1 点的转角
A 6m 300 B
10kN/m
20kN C
∆ Aϕ
300 × 6 1 =− × × 1 = −300 2 3
L
o
MP M ds EI
1 等直杆EI常数: EI常数 等直杆EI常数: ∆ = EI
M P图 B
∫
L
o
M P M ds
考察M 考察 P和M图 图
曲线 MP ——曲线 直线 M ——直线
0
α
M x
A
yC
M图 B x
由图可见： M = x ⋅ tgα 由图可见： 代入积分式有: 代入积分式有:
∫
B A
公式适用所有直线图形的情况， 公式适用所有直线图形的情况，例：
｛
c
a
×
｛
b d
Hale Waihona Puke Baidu
×
｛
×
作用的梁段) (2) 复杂图形的图乘叠加法 (有q作用的梁段)
M P图
×
M图
=
×
+
×
×
=
×
+
×
6. 举例
[例1] 试用图乘法计算简支梁在均布 荷载q作用下的 端转角∆ 作用下的B端转角 荷载 作用下的 端转角∆ B， 以及AB梁中点的竖向位移 梁中点的竖向位移。 以及 梁中点的竖向位移。 解:
y2 =1m
2 q 2 二次抛物线） A = × m ×2m——（二次抛物线） y3 = 1m 3 3 2 1 q 4 4 ∆ = 2( A y1 ) +( A y2 ) −( A y3 ) =− ⋅ m ( → ← ) 1 2 3 E I E 15 I
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
（链杆） 链杆）
曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形。 （4）三铰拱 — 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形
L
1 EI
其中: 其中:
ω
— —
M P 图的面积 (教材用A表示) 教材用A表示)
yC
2.图乘注意事项 2.图乘注意事项
M P 图形心位置所对应的 M 图中的竖标
1）杆件是直杆，EI必须是常数； 杆件是直杆，EI必须是常数； 必须是常数
均为直线时可互换）； 2） yC 必须取自直线图 （ M P M 均为直线时可互换）；
FQP GA
代入得 ：
l
MP dθ = ds EI
dη = k
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
2. 各种静定结构位移的计算公式 只考虑弯曲变形 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形
若不是则公式无效。 若不是则公式无效。
4. 图乘的分段 示例(1)： 示例(1)： M 图 为折线 (1)
MP图
∫
M图
L
o
M P M ds = A1 y1 + A2 y2 + A3 y3
示例(2)： 示例(2)： M 图 为特殊折线 (2)
C1 C2
M P图
y1 y2=0
M图
∫
L
o
M P M ds = A1 y1 + 0
1 1
2) 在C、D两点加一对 、 两点加一对 反向的单位水平力， 反向的单位水平力， 并作弯矩图
M图
M P图
M图
1 q 2 ——（三次抛物线） y 4 1m 4 m 三次抛物线） 1 = × = A = ×1m× m 1 5 5 4 6
q A = m2 ×2m——（矩形） 矩形） 2 6
ql 2
ql
ql 2
M P图
M图
图面积可分为三块： 解: MP图面积可分为三块： A1、A2 、 A3
1 ql2 ql3 A= ⋅ ⋅l = 1 2 2 4 2 y1 = l 3 ql3 A= 2 4 2 y2 = l 3 2 ql2 ql3 A= ⋅ ⋅l = 3 3 8 12 l y3 = 2
M P M 1 3ql4 ( A y1 ) +( A y2 ) +( A y3 ) = ∆ = ∑∫ ds = ) 2 3 1 8E ( → E I E I I
6m 45
不是顶点
（2）求C点的竖向位移 点的竖向位移
叠加图乘
1 1
6
M P图 M A图
1
∆ CV
300 × 6 2 = × × 6× 2 3 2 2 − × 6 × 45 × 3 3 = 6660 ( ↓ )
M C图
计算图示刚架在分布荷载作用下的B点的水平位移 点的水平位移∆ [例4] 计算图示刚架在分布荷载作用下的 点的水平位移∆ 。 各杆截面为矩形bh，惯性矩相等。只考虑弯曲变形的影响。 各杆截面为矩形 ，惯性矩相等。只考虑弯曲变形的影响。
结 束
（第二版）作业:5—17, 19, 24 第二版）作业
M P M dx = ∫ x ⋅ tgα ⋅ M P dx
A
B
xC
MP图对oy的面积矩 图对 的面积矩
= tgα ∫ x ⋅ M P dx
B
dω
ωP ⋅ xc
yc
= tgα ∫ x ⋅ dω A = tgα ⋅ xc ⋅ ωP = yc ⋅ ωP
A B
得图乘法公式： 得图乘法公式：
1 ∫o M P Mds = ( ± ) EI ω ⋅ yC 乘积“＋、－”规定—— ω 与 yC 同侧为＋，不同侧为－ 同侧为＋， ＋，不同侧为 乘积“＋、－”规定