七年级数学下册《9.6因式分解(二)(第1课时)》教案苏科版
苏教版七年级下册数学因式分解
3、把下列各式分解因式
（1） - 2xy - y2 - x2 （2） -1 + p4 （3）x2 - 2xy + y2 + 2x - 2y + 1 （4）( a - b)2n - (b - a)2n+1
4, 把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解。
（二）因式分解的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、分组分解法
（4）、求根法（十字相乘法）
（1）、提取公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提到括号外面，将多项式 写成乘积的形式。这种分解因式的方法 叫做提取公因式。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
2、已知x = 0.67，y=0.33，求x2 ＋y2 ＋ 2xy －x － y的值
三、小结
1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法：
（1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、分组分解法 （4）、求根法（十字相乘法）
概念
因
式
分
解
方法
与整式乘法的关系： 相反变形
提取公因式法
公 平方差公式
完全平方公式
式 立方和（差）公式 十
字
x2+(a+b)x+ab
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ乘
法 =(x+a)(x+b)
法
分组 分组后再提取公因式
分解 法
分组后再运用公式法 或再运用十字相乘法
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
苏科版七年级数学下册：96因式分解二课件
分组分解法
分组分解法是将多项式中的项分成若干组，然后对每组进行因式分解的方法。
例如，对于多项式 $4x^2 - 4xy + y^2$，可以将其分为两组 $4x^2 - 4xy$ 和 $y^2$，然后分别进行因式分解得到 $(2x-y)^2$。
十字相乘法
01
十字相乘法是用于将二次多项式 进行因式分解的一种方法，通过 将二次项和常数项的系数进行交 叉相乘，得到一次项的系数。
几个整式的积的形式，便于解决相关问题。
03 因式分解的方法
提公因式法
提公因式法是因式分解中最常用的方 法之一，其基本步骤是先找到多项式 中的公因式，然后将其提取出来。
例如，对于多项式 $ax^2 + bx + c$， 其中公因式为 $a$，提取公因式后得到 $a(x^2 + frac{b}{a}x + frac{c}{a})$。
形式。
公式法
公式法是因式分解的另一种常用方 法，通过利用平方差公式或完全平 方公式，将多项式进行因式分解。
因式分解的应用
通过因式分解，可以解决一些实际 问题，如计算面积、体积等几何问 题，以及解决一些代数问题。
下节课预告
分组分解法的应用
通过分组分解法，我们可以解决一些 复杂的代数问题，如计算一些复杂的 数学表达式等。
苏科版七年级数学下 册96因式分解二课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 因式分解的方法 • 因式分解的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01 引言
课程目标
掌握因式分解的基本 概念和原理。
培养学生的数学思维 和逻辑推理能力。
学会应用因式分解的 方法解决实际问题。
苏科版数学七下多项式的因式分解第1课时提公因式法课件
因式分解及相关概念
练一练：下列各式由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是?
（1）ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d 不是，等号右边不是几个整式的积的情势.
（2） a2－1＝(a＋1)(a－1)
是
（3） (a＋1)(a－1)＝a2－1
不是，而是整式乘法.
（4） 8a2b3c＝2a2·2b3·2c
2
因式分解及相关概念
问题1.1 你能把多项式ab＋ac＋ad写成积的情势吗？请说明你的理由.
根据乘法分配律 ab＋ac＋ad＝a（b＋c＋d）
换一种看法，就是把单项式乘多项式的法则 a（b＋c＋d）＝ab＋ac＋ad
反过来，就得到 ab＋ac＋ad＝a（b＋c＋d）．
因式分解及相关概念
问题1.2 视察多项式ab＋ac＋ad的每一项，你有什么发现吗？
a 是多项式ab＋ac＋ad各项都含有的因式．
定 义： 一个多项式各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公
因式． 例如：a就是多项式ab＋ac＋ad各项的公因式．
因式分解及相关概念
练一练：找出下列多项式各项的公因式并填写下表：
多项式 4x＋4y A2b2＋ab2 3x2－6x3
公因式 4 b2 3x2
因式分解及相关概念
问题2 填空并说说你的方法： （1）a2b＋ab2＝ab( a＋b )； （2）3x2－6x3＝3x2( 1-2x )； （3）9abc－6a2b2＋12abc2＝3ab(
3c－2ab＋4c2 ).
因式分解的根 据是什么？
定 义： 这样，把一个多项式写成几个整式的积的情势，叫做多
注意： 1.公因式既可以是一个单项式的情势，也可以是一个多项式的 情势. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
苏科版七年级下册数学课件9.多项式的因式分解-提公因式法
活动探究：运用概念
例2 下列多项式能否用提取公因式法分解因式？ (1) a(x+y)+b(x+y) (2) 3a(x-y)+2b(y-x) (3) a(x+y)+b(-y-x)
活动探究：升华概念
发挥你的创造力，每位同学写出一个多项 式 (要求多项式的每一项都含有公因式，并且 公因式的系数是整数)，并请你的同桌帮忙将这 个多项式进行因式分解．
谢 谢！
苏科版义务教育教科书·数学（七年级下册）
9.5 多项式的因式分解(1)
情境创设：
比一比：看谁算得更快． （1）13×5+13×2+13×3 （2）12.3×16+12.3×3-9×12.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
活动探究：认识概念
把一个多项式分解成几个整式的 积的情势，叫作多项式的因式分解.
活动探究：辨一辨
下列各式由左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
(1) ax-ay=a(x-y) (2) a(x-y)=ax-ay (3) ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d (4) 8a2b3c＝2a2·2b3·2c (5) x2 x x2 1 1
x
活动探究：找一找
找出下列多项式的公因式． (1) 4x＋8y (2) a2b3＋ab2c (3) 3x2－6x3y
活动探究：再识概念
如果多项式的各项含有公因式，那么就 可以把这个公因式提到括号外，把多项式写 成公因式与另一个多项式的积的情势，这种
分解因式的方法叫作提公因式法.
活动探究：运用概念
例1 把5x3－10x2分解因式
活动探究：练一练
把下列各式分解因式： (1) 12a2-6ab (2) 9abc-6a2b3+12ab2 (3) －2m3＋8m2－2m
苏科版七下数学课件：9.5因式分解(2)
9.5 因式分解(2)
温故知新
１、平方差公式如何表示？ (a+b)(a-b)=a2-b2
反过来又如何？
a2-b2 = (a+b)(a-b)
2、你能把分解因式吗？
x2-25
a2-b2 = (a+b)(a-b)
观察上面的式子，你发现其有何 特征？
左边是两数的平方差，右边是 两数和与它们差的积。
的方法，叫做运用公式法。
练一练1：把下列各式分解因式：
1.36-x2 2.a2-1 b2
9
3.x2-16y2
4.x2y2-z2
例2：把下列各式分解因式：
1.(x+y)2-(x-y)2
2.9(a+b)2-4(a-b)2
练一练2：
1.(x-2)2-9
2.(x+a)2-(y-b)2
3.-25(a+b)2+4(ab)2
例3：求圆环绿地的面积
35m 15m
练一练3：如图，在边长为 16.4厘米的正方形纸片的４ 个角各剪去一边长为1.8厘米 的正方形，求余下纸片的面积
课堂小结
1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b) 2.用平方差公式因式分解步骤：
一变、二分解
拓展训练1：因式分解
1.-125x2y2+4 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
填空：
(1)a2-16=a2-( 4 )2 =(a+ 4)(a- 4 )
(2)64-b2=( 8 )2-b2
=( 8 +b)( 8 -b) (3)25x2-49y2=(5x)2-(7y)2
七年级数学下册 9.6《因式分解(二)》(1)练习 苏科版
9.6乘法公式的再认识----因式分解(二)（1）练习『学习目标』会用平方差公式进行因式分解。
『例题精选』1．下列是因式分解的是（ ）A ．()1141442+-=+-a a a aB ．()()y x y x y x 44422-+=-C ．()222y x y x +=+D ．()()()1112-+=-xy xy xy 2．下列多项式中：①22b a --，②2242y x -，③224y x -，④()()22n m ---，⑤22121144b a +-，能用平方差公式分解的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．分解因式：226491625y x +-。
『随堂练习』1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．()()9332-=-+a a aB ．()()x x x x x 322342+-+=+-C ．()()103522--=-+x x x xD ．()22112-=+-x x x 2．填空：⑴()2____169= ⑵ ()2____225196= ⑶ ()246_____41=n m 3．已知:7511=x ，2225=y ，求代数式()()22y x y x --+的值。
『课堂检测』1．把下列各式因式分解：⑴ ()22b a -- ⑵ 224641b a n m -⑶ ()22c b a b -+- ⑷ ()()22c b a c b a ---++2．设n 为整数，试说明()25122-+n 能被4整除。
9.6乘法公式的再认识----因式分解(二)（1）——课外作业『基础过关』1．分解下列因式：（1）22161b a -； （2）9)(2-+y x ； （3）2436a -； （4）164-a2．利用因式分解计算：⑴ 229109- ⑵222220931961181--『能力训练』3．如图甲所示，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
多项式的因式分解-第1课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
公因式、因式分解
01 知问识题精引讲入
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9 【解答】 原式=29×(7+2.1+0.9) =29×10 =290
01 知问识题精引讲入
Q2：运用所学的知识填空 (1) m(a+b+c)=_m__a_+_m__b_+_m__c_； (4) ma+mb+mc=( m )(a+b+c) (2) x2(x+1)=____x_3_+_x_2____； (5) x3+x2=( x2)(x+1) (3) ab(x-y)=___a_b_x_-_a_b_y___. (6) abx-aby=(ab)(x-y)
课后总结
【因式分解】 像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
【注意点】 ①因式分解与整式乘法是互逆运算； ②因式分解是两个或几个因式积的形式，且每个因式都是整式；整式乘法是多项式的形式； ③因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验； ④因式分解必须分解彻底．
【提公因式法】 把多项式的公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，
【分析】 b2(x-2)+b(2-x) =b2(x-2)-b(x-2) =b(x-2)·b-b(x-2)·1 =b(x-2)(b-1)．
【利用提公因式法求值】
例5、已知x2y+xy2=42，xy=7，则x+y=____6____．
【分析】 ∵x2y+xy2=42，xy=7， ∴xy(x+y)=42， ∴x+y=6．
提公因式法
02 知识精讲
提公因式法
七年级数学下册知识讲义-9综合应用三种方法分解因式-苏科版
【考点精讲】1. 因式分解知识梳理：（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解。
（2）因式分解的常用方法：提公因式法，运算公式法。
另外，还有十字相乘法、分组分解法，配方法、换元法、待定系数法、拆项添项法等。
（3）特别提醒：多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法来分解，对于有些多项式，有时需要同时用到几种不同的方法，才能分解完全。
2. 因式分解的要求：（1）相同的因式应写成幂的形式，如分解到3（x＋2）（x＋2）不行，必须写成3（x＋2）2；（2）最终的结果一定是积的形式，如多项式x2＋4x＋3分解成x（x ＋4）＋3不行，因为结果还是和的形式，只是局部是积的形式了，整体上不是，应该分解成（x＋3）（x＋1）；（3）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，如分解成（3x＋6）（x2－1）不行，因为前一个因式还有公因式3没有提，后一个因式还能用平方差公式继续分解，应分解成3（x＋2）（x＋1）（x－1）。
【典例精析】例题1 因式分解：（1）36x2－100；（2）2a2b－8ab＋8b；（3）m2（2a＋b）－n2（2a＋b）。
思路导航：本题的多项式都需要先提出公因式后，再进一步运用公式法来分解。
答案：（1）原式＝4（9x2－25）＝4[（3x）2－52]＝4（3x＋5）（3x－5）。
（2）原式＝2b（a2－4a＋4）＝2b（a－2）2。
（3）原式＝（2a＋b）（m2－n2）＝（2a＋b）（m＋n）（m－n）。
点评：将一个多项式因式分解时，首先要观察该多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式的特点，进而发现其能否用公式法继续分解。
另，解答本题的步骤为一提、二套（套用公式继续分解）、三查（分解的结果是否符合要求）。
例题2 因式分解：（1）x4－81；（2）81a4－72a2b2＋16b4；（3）（y2－2y）2＋2（y2－2y）＋1；（4）（m2－6）（m2－2）＋4。
七年级数学下册 9.5因式分解(一)教案1 苏科版
9.5 单项式乘多项式法则的再认识 (教案)——因式分解（一）提公因式法班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:一、教学目标1.理解因式分解的概念.2.掌握从单项式乘多项式的乘法法则得出提公因式法分解因式的方法.3.培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力.4.培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法.5.培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯.二、教学重点和难点学习重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式.学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.三、教具、学具硬纸板、投影仪、条件好的可使用ppt展示.四、教学过程（一）设置情境情境1：手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？说明：留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望，这样设置悬念，无疑为课堂内容的学习创设了良好的情绪和氛围.（学生通过交流，会想到水平和竖直两种不同方向的剪拼方法，包括其它方法，都应受到老师的鼓励和肯定）思考：（1）怎样表示左图和右图的面积？你认为这两个图形的面积相等吗？（2）你是怎样想到这种简拼方法的?请解释你的做法.情境2：求999＋9992的值说明：学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高.情境3：观察分析把单项式乘多项式的乘法法则a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①反过来，就得到ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d）②这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？（二）认识公因式1、概念1. 多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common factor）.2、观察分析①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积.分析并猜想确定一个多项式的公因式时，要从和两方面，分别进行考虑.（1）如何确定公因式的数字系数？（2）如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？说明：教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误.练习：写出下列多项式各项的公因式（1）8x－16 （2）a2x2y－axy2（3）4x2－2x （4）6a2b－4a3b3－2ab概念2 把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（factorization factoring）.说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握.这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解.练习（课本）P88练一练第1题1、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？（1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；（2）a2－1=（a＋1）（a－1）（3）（a＋1）（a－1）=a2－12、你能另外举2个因式分解变形的例子吗？说明：学生自己举例，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区.分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形.（三）例题讨论例1：把下列各式分解因式（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m解：（1）6a3b－9a2b2c=3a2b·2a－3a2b·3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）（2）－2m3＋8m2－12m=－（2m·m2－2m·4m＋2m·6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结.（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点.设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性.例2 辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因.（1）分解因式 8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）（2）分解因式 4x4－2x3y=x3（4x－2y）（3）分解因式 a3－a2=a2（a－1）= a3－a2解：（1）错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项.（2）错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式.（3）错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法.说明：这些多是学生易错的，设置例2的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰.本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中.例3（选用）分解因式（a＋b）2－2（a＋b）解：（a＋b）2－2（a＋b）=（a＋b）[（a＋b）－2]=（a＋b）（a＋b－2）说明：公因式（a＋b）是多项式，属较高要求，对学有困难的学生可以用单项式过渡一下，如设a＋b=m即可.练习：1、课本P88 练一练22、课本P88 练一练33、课本P88 练一练44、（选做）你能根据下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？aa b c五、小结通过学习，（1）你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？（2）你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？（3）公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例尝试. （4）你还有什么新的认识与体会？六、作业必做 1.课本P89页，习题9.5第1题2.课本P89页，习题9.5第2题3.课本P89页，习题9.5第3题选做 4.已知a＋b=7，ab=6，求a2b＋ab2的值.5.已知m、n为自然数，且m（m－n）－n（n－m）=7，求m、n的值.。
七年级数学下册《提公因式法分解因式》教案 苏科版
江苏省灌南县实验中学七年级数学下册《提公因式法分解因式》教案 苏科版一、教学目标：1、经历逆向得出因式分解方法的过程，并会用提公因式法分解因式.2、发展学生逆向思考问题的能力和推理能力.3、在学习过程中获得成功的体验，建立自信心.二、教学重难点：掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解.正确找出公因式，正确用提公因式法把多项式进行因式分解.三、教学过程：（一）预习导航1、如何计算375×2.8+375×4.9+375×2.3，你是怎样想的？依据是什么？2、类比上式，能将ad ac ab ++写成积的形式吗？a 在多项式中的位置有什么特点？3、这里a 是多项式ad ac ab ++中______都含有的______，称为多项式各项的__________.（二）合作探究1、探索研究议一议:下列多项式的各项是否有公因式？若有，是什么？⑴ 22ab b a + ⑵ 3263x x - ⑶ 2221269abc b a abc +-问题：通过上述问题你能否说明如何找出一个多项式各项的公因式.2、找出公因式后，我们就可以将2221269abc b a abc +-写成积的形式，即：2221269abc b a abc +-=______（______________________），像这样，把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个多项式_________.3、因式分解与整式乘法的关系ad ac ab ++)(d c b a ++ 两者是互逆关系（三）例题分析：例 1：把下列各式分解因式：⑴ 6a 3b – 9a 2b 2c ⑵ –2m 3 + 8m 2 –12m例 2： 计算：如何把多项式)(2)(3y x b y x a +-+分解因式？（四）展示交流1、巩固练习⑴ 课本P71练一练 1、2、3、4.⑵ 把下列各式分解因式：① 222xyz z xy yz x +-② y x x 34488--③ 22322483264z xy z xy z y x +--④ n m n m y x y x 212-+（五）提炼总结 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来.把多项式化成_________与另一个多项式的____________，这种分解因式的方法叫做_______________.（六）反馈练习见作业纸。
数学：9.6因式分解（二）（第1课时）教案（苏科版七年级下）
数学：9.6因式分解（⼆）（第1课时）教案（苏科版七年级下）9.6乘法公式再认识——因式分解（⼆）第1课时运⽤平⽅差公式进⾏分解因式⼀、教学⽬标：1. 使学⽣进⼀步理解因式分解的意义.2. 使学⽣理解平⽅差公式的意义，弄清公式的形式和特征.3. 会运⽤平⽅差公式分解因式.4. 通过对⽐整式乘法和分解因式的关系，进⼀步发展学⽣的逆向思维能⼒.5. 感受整式乘法和分解因式⽭盾的对⽴统⼀观点.6. 培养学⽣积极主动参与探索的意识以及观察能⼒.7. 感悟换元的思想⽅法.说明以前学习运⽤公式法分解因式，主要的评价⼿段是能否牢记公式的特点，在运⽤公式解题时过分地追求问题的熟练和技巧，⽆形之中影响了学⽣学习数学的兴趣和信⼼.现在我们试图先通过对具体的数字运算或简单图形的⾯积计算让学⽣对公式有⼀个感性认识，让学⽣在与同伴交流中思考、感悟，使学⽣内⼼产⽣解决问题的欲望，从⽽进⼀步上升到理性认识.这种设计更符合学⽣从“特殊到⼀般”、从“具体到抽象”的认知特点.⼆、教学重点、难点：1. 理解平⽅差公式的意义，弄清公式的形式和特征.2. 会运⽤平⽅差公式对某些多项式进⾏分解因式三、教具、学具：投影仪、条件较好的使⽤多媒体演⽰四、教学过程：（⼀）设置情景：情景1：⼩组讨论：992－1是100的整数倍吗？你是怎样想的？说明：学⽣可能直接计算出结果，应予以肯定.在这⼉可以设计系列问题予以引导：1.判断某个数是否是另⼀个数的整数倍可以怎么判断？如：12是3的整数倍吗？（学⽣知道就是把12分解因数.）2.类似地要判断992－1是100的整数倍呢？也可以想到尝试分解.3.992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？为什么可以这么写？9992－1可以吗？4.a 2－1可以写成（a+1）(a －1)吗？5.a 2－4可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样⼦呢？6.a 2－b 2呢？情景2：和⽼师⽐⼀⽐，看谁算的⼜快⼜准确：572－562 962－952 (2517)2－(258)2说明：算式的设计要体现出运⽤分解计算的简便性，以激发学⽣的好奇⼼和求知欲. 问：为什么你们没有⽼师算的快呢？你想知道⽼师是怎么计算的吗？思考：在以上的这些算式中，你发现他们有什么共同点？⽤⾃⼰的语⾔说⼀说. 情景3：计算图中的阴影部分⾯积（⽤a 、b 的代数式表⽰）问题⼀：整体计算可以怎样表⽰？问题⼆：分割成如图两部分可以怎样计算？问题三：⽐较两种计算的结果你有什么发现？说明：学⽣可能先分割再整体得出：(a+b)(a －b)=a 2－b 2 (1)也有的是先整体再分割得出 a 2－b 2=(a+b)(a －b) (2)两种形式加以⽐较进⼀步明确整式乘法和因式分解的关系.思考：1.对于（1）式从左边到右边的变形叫什么？2.对于（2）式从左边到右边的变形叫什么？3.我们已经学习提公因式法分解因式.在（2）式的左边有公因式吗？但它写成右边的形式是分解因式吗？可见，没有公因式的某些多项式也可以⽤别的⽅法分解.（⼆）平⽅差公式的特征辨析：把乘法公式(a+b)(a －b)=a 2－b 2反过来得：a 2－b 2=(a+b)(a －b)我们可以运⽤这个公式对某些多项式进⾏分解因式.这种⽅法叫运⽤平⽅差公式法.[议⼀议]：下列多项式可以⽤平⽅差公式分解吗？（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2（4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2说明：这⾥是学⽣⾃主辨析公式特点的好机会，⼀定让学⽣⾃⼰讨论，只要能辨别哪些能⽤公式就可以，教师在具体使⽤时，可以先出⽰前⾯4道题，为了降低难度可以先把第5题写为82－a 2然后改写成64－a 2形式，让学⽣体会转化的数学思想.对于最后⼀题若学⽣对幂的运算较⽣疏，可以适当补充练习，如：填空：4a 2=( )2 94b 2=( )2 x 2y 2=( )2.进⽽让学⽣⾃⼰体会公式中的a 与b 可以表⽰⼀个数，也可以表⽰⼀个式⼦，渗透换元的思想⽅法.最后，教师可以⽤简练的语⾔总结平⽅差公式的特点：1.左边特征是：⼆项式，每项都是平⽅的形式，两项的符号相反.2.右边特征是：两个⼆项式的积，⼀个是左边两项的底数之和，另⼀个是这两个底数之差.3.在乘法公式中，平⽅差是指计算的结果，在分解因式时，平⽅差是指要分解的多项式.（三）例题教学例1 把下列多项式分解因式：(1) 36－25x 2 (2) 16a 2－9b 2分析：观察是否符合平⽅差公式的形式，应引导学⽣把36、25x 2、16a 2、9b 2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键.解： 36－25x 2=62－(5x)2=(6+5x)(6－5x)16a 2－9b 2=(4a)2－(3b)2=(4a+3b)(4a －3b)说明： (1)对于多项式中的两部分不是明显的平⽅形式,应先变形为平⽅形式,再运⽤公式分解,以免出现16a 2－9b 2=(16a+9b) (16a －9b)的错误.（2）在此还要提醒防⽌出现分解后⼜乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作⽤”所引起的现象.例2 如图，求圆环形绿化区的⾯积.解：352π－152π=π(352－152)=(35+15)(35－15)π=50×20π=1000π(m2)这个绿化区的⾯积是1000πm2说明：在这⾥列出算式后可以让学⽣⾃⼰讨论怎么计算，要让学⽣解释他的解法，可能解释为逆运⽤乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这⼉不要怕浪费时间，通过⽐较得出上述解法和前⼀节的提取公因式是⼀致的，从⽽为分解因式的⼀般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运⽤公式.例3 把下列多项式分解因式：1. (x+p)2－(x+q)22. 9(a+b)2－4(a－b)2分析：在这⾥，尤其要重视对运⽤平⽅差公式前的多项式观察和⼼算，⽽后是进⾏变形.这⼀点在这⼉尤为重要.解：(x+p)2－(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)－(x+q)]=(2x+p+q)(p－q)9(a+b)2－4(a－b)2=[3(a+b)]2－[2(a－b)]2=[3(a+b)+2(a－b)] [3(a+b)－2(a－b)]=(5a+b)(a+5b)说明：设计本题的⽬的是让学⽣加深平⽅差公式中的a、b不仅可以表⽰数字、单项式，也可以是多项式，进⼀步渗透整体、换元的思想.例4.（供选择）观察下列算式回答问题：32－1=852－1=24=8×372－1=48=8×692－1=80=8×10………问：根据上述的式⼦，你发现了什么？你能⽤⾃⼰的语⾔表达你所发现的结论吗？你能⽤数学式⼦来说明你的结论是正确的吗？解：任意⼀个奇数的平⽅与1的差是8的整数倍.(2n+1)2－1 =[(2n+1)+1][(2n+1)－1]= (2n+2)·2n=2(n+1)·2n=4n(n+1)因为n 是整数，所以n 、n+1是两个连续的整数，⽽两个连续的整数⼀定有⼀个是偶数，即n(n+1)是2的倍数，因此4n(n+1)是8的倍数.（四）练习1.下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x+y)(x －y)（2）9－25a 2=(3+25a)(3+25b)（3）－4a 2+9b 2=(－2a+3b)(－2a －3b)2.把下列各式分解因式：（1） 36－x 2 （2） a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2（4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2（7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） 0.25(x+y)2－0.81(x －y)23.在边长为16.4cm 的正⽅形纸⽚的四⾓各剪去⼀边长为1.8cm的正⽅形，求余下的纸⽚的⾯积.4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=21，求x －y 的值. （五）⼩结学⽣⾃⼰说出通过本节课的学习进⼀步理解了整式的乘法与因式分解的关系.能⽤⾃⼰的语⾔说出平⽅差公式的特点.能体会出公式中的字母a 、b 不仅可以表⽰数字，⽽且可以是单项式、多项式.（六）作业1.课本P95习题9.6第⼀题.2.课本P95习题9.6第⼆题.3.课本P95习题9.6第六题的第⼀题选做利⽤因式分解计算：（1）22200120031001 （2）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－291)(1－2101) （3）已知：4m+n=90，2m －3n=10，求(m+2n)2－(3m －n)2的值.。
新苏科版七年级数学下册《9章 整式乘法与因式分解 数学活动 拼图·公式》公开课教案_21
用“数形结合思想”再认识整式乘法与因式分解 教学设计与课后作业【教学目标】1. 理解用不同方法求同一个图形的面积可以得到或验证某些等式；2. 掌握画图与拼图的方法，通过画图与拼图活动理解图形面积与整式乘法、因式分解之间的内在联系，感受数与形的对应关系，会借助图形面积完成整式乘法或因式分解；3. 在知识的探索中，体验从特殊到一般的认识事物的方法，培养观察、归纳、概括的能力；4. 在知识的探索、运用和解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法，发展几何直观；5. 感受数学文化美，学会和他人合作和交流，体会成功的快乐，提升学习数学的兴趣。
教学重点：准确并熟练地借助画图与拼图解决整式乘法与因式分解 教学难点：数形结合思想的渗透 教学准备：A 型纸片（边长为a 的正方形）、B 型纸片（边长为b 的正方形）、C 型纸片（长为a 、宽为b 的长方形）各若干张.教学过程：板块一、回顾从图形面积到整式乘法 【问题1】 （独立思考）设计意图：该问题选自学生练习中的常见错误，从易错点引入本课教学，激发学生对直观方式的渴求。
【问题2】如图，从整体上，正方形的面积可表示为 ，从部分上，它的面积可以表示为 ，于是可以得到整式乘法公式 。
（独立思考后同伴说说）设计意图：回顾新课中用不同方法表示同一个图形的面积，可以得到（或验证）一些有用的等式、法则、公式，为后续探究做好准备。
【问题3】我们知道，代数式(a+b)2的代数意义是a 与b 和的平方，那么它的几何意义是什么？（独立思考后同伴说说）设计意图：明确代数式的几何意义是画图解决问题的前提，引导学生该代数式认识表示边长为a+b 的正方形的面积，从而促进借助画图法求解计算结果的水到渠成。
其中，教师可在此时板演画图方法：根据图形边长先画出外部整体轮廓，再勾勒纵横线条形成组成部分，最后根据各部分面积写出整式乘法结果。
【问题4】你能说出代数式(a+b+c)2的几何意义吗? 再通过画图直接写出它的结果。
七年级数学下册 9.6因式分解(二)(第3课时)教案 苏科版
9.6乘法公式的再认识——因式分解(二)第3课时综合运用法班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:一、教学目标1. 进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.2. 学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法.3. 知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止.4. 通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力.5. 综合运用所学的因式分解的知识和技能，感悟整体代换等数学思想.6. 进一步体会整式乘法和因式分解的对立统一的关系，体会“两分法”看问题的世界观.说明以前这部分内容是渗透到用平方差公式和完全平方公式因式分解的两节中，现在是作为独立的一课时，也就是综合运用提公因式法，运用公式法进行多项式的因式分解，对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地运用各种方法来分解因式.教学时，让学生在观察、练习的过程中，主动归纳因式分解的方法步骤，探求并发现因式分解的最终结果的形式，使学生在主动探索的情境中，学会具体问题具体分析的方法，体会到成功的喜悦.二、教学重点、难点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.三、教具、学具投影仪，条件较好的用实物投影仪或多媒体演示四、教学过程(一)设置情境情境1 比一比，看谁算得快(投影)(1)65.52－34.52 (2)1012－2×101×1＋1(3)482＋48×24＋122 (4)5×552－5×452说明学生已学过平方差公式、完全平方差公式及提公因式法分解因式.要求学生利用因式分解进行计算，其目的是复习提公因式法及公式法.思考 (1)在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？(3)计算中(3)和(4)能直接用公式吗？((3)需变形为482＋2×48×12＋122，(4)需先提公因式，再用平方差公式)情境2 分解因式①4a4－100(两名学生板演，也可以投影部分学生的答案)②a4－2a2b2＋b4说明由于已学过平方差公式和完全平方公式的分解因式，学生不难想到用公式法分解因式，但很可有会出现分解不完全的情况.如：4a4－100=(2a2＋100)(2a2－100)，a4－2a2b2＋b4=(a2－b2)2，教师正好借此引入本节课课题.思考 (1)在解答这两题的过程中，你用到了哪些公式？(2)你认为(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？(3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？(学生可交流)情境3 把下列各式分解因式(练习)(1)ab2－2a2b－ab (2)a2－1 (3)a2b2－4ab＋4 (4)a3－a说明练习的目的是回顾因式分解的方法，第(4)题学生在解答时可能有困难，教师可给予适当点拨.思考 (1)你是怎样确定一个多项式的公因式的？具体方法由学生简述，教师补充说明.(2)请写出平方差公式和完全平方公式.(3)对于(4)a3－a提公因式a后，你认为a(a2－1)分解完全了吗？情境4 (1)师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法.提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征.(2)整理知识结构图提公因式法：关键是确定公因式因式分解运用公式法平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2说明公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.结论多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才有分解完全.(二)探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：1. 先提取公因式后利用公式例1 把下列各式分解因式(课本P93例5)(1)18a2－50 (2)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y)分析①先观察18a2－50，发现含有公因式2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a2－25，能否再继续分解.②注意(3)的公因式是(x－y)解：(1)18a2－50=2(9a2－25) (2) 2x2y－8xy＋8y=2(3a＋5)(3a－5) =2y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2(3) a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a＋b)(a－b) (2) (3)可由学生口述，教师板书说明 (1)本题要先给学生时间观察，教师不要先说有没有公因式可提，而让学生通过观察，然后说明所采用的方法，公因式提出后，仍然由学生继续观察另一个因式，能否继续分解.(2)当学生尝试将上述多项式分解因式后，教师再引导学生对解题过程进行回顾和总结，培养学生良好的学习惯.(3)归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解.2. 两个公式先后套用例2 (课本P94例6)把下列各式分解因式(1)a4－16 (2)81x4－72x2y2＋16y4解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2)(2)81x4－72x2y2＋16y4=(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2先化成完全平方的形式，认准谁是公式的a，谁是b=(9x2－4y2)2=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2←注意这不是结果=(3x＋2y)2(3x－2y)2说明：(1)本题还是由学生口述分解因式，在第一次用公式法因式分解后，得到的一个因式还可以用平方差公式，这一点在教学中，要让学生自己观察出来，而不是老师直接说，这样在因式分解中，学生才能更深刻地感悟出：分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.例3 (供选择)分解因式(1)(a2＋b2)－4a2b2(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1解：(1)(a2＋b2)－4a2b2 (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1 =(a2＋b2)2－(2ab)2 =[(x2－2x)＋1]=[(a2＋b2)＋2ab][(a2＋b2)－2ab] =(x2－2x＋1)2=(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab) =[(x－1)2]2=(a＋b)2(a－b)2 =(x－1)4说明 (1)本题(1)中把a2＋b2，2ab看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式.(2)把x2－2x看作一个整体，先用完全平方公式，再用完全平方公式，从本题的解题过程，让学生体会数学中“换元”的思想.(3)本例还可以适当增加：(x2－6)(x2－2)＋4这种先变形后用公式的题型，体会数学中的化归思想.(三)因式分解的应用例4 阅读下列材料，然后回答文后问题已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.分析：先将14y(x－3y)2－4(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入.解：14y(x－3y)2－4(3y－x)3=14y(x－3y)2＋4(x－3y)3=2(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=2(x－3y)2(2x＋y)当2x＋y=6.x－3y=1时，原式=2×12×6=12，回答下列问题：(1)上述问题体现了思想，这种思想在求值问题中经常用到.(2)已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值.(由学生完成).说明：本题目的是让学生通过阅读体会整体代换思想和因式分解在求值问题中的应用.例5 已知，如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，π取3.14时，阴影部分的面积.解：用代数式表示阴影部分的面积为：(2a)2－πa2 即4a2－πa2当a=10, π取3.14时，4a2－πa2=a2(4－π)=102×(4－3.14)=100×0.86=86(四)练习1、辨析分解因式 a4－8a2＋16a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)这种解法对吗？如果不对，指出错误原因.说明：本题考查学生因式分解与整式乘法的意义，错因是混淆了二者的区别，走了“回头路”2. 选择题：多项式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是( )A、①②B、③④C、①④D、②③3.填空：请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是，分解因式的结果是 .本题设计说明：学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题，这是创新教育的一种表现形式.4. 把下列各式分解因式(1)3ax2－3ay4 (2)－2xy－x2－y2 (3)3ax2＋6axy＋3ay2(4)x4－81 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2(6)x4－2x2＋1 (7)x4－8x2y2＋16y4分两组板演：(1)~(3)一组，(4)~(7)为另一组，也可以投影部分学生的解答过程进行点评.五、小结学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳(投影)(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解.(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.六、作业：必做：课本P95习题9.6 5、6选做：1. 分解因式(1)80a2(a＋b)－45b2(a＋b) (2)(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4(3)(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)22. 已知x＋y=4 xy=2 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值3. 利用图形面积因式分解①a2＋3ab＋2b2②a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac。
9.5多项式的因式分解(第1课时)(课件)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课件(苏科版
课堂小结
1.什么叫公因式？如何找公因式？
2.什么叫因式分解？因式分解与整式乘法
有什么区别和联系？
3.如何用提公因式法进行因式分解？
4.分解因式要进行到每个因式都不能再
分解为止．
课堂检测
1.从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．(2a－1)(4a＋3)＝8a2＋2a－3
整式乘法
(3) − = ( − ) 不是
(4) ab+ac+d=a(b+c)+d 不是
互
逆
多项式=整式×整式
整式×整式=多项式
等式的左边必须是多项式，
右边每个因式必须是整式
等式右边必须是乘积的形式
例题讲解
例1.把5x3－10x2分解因式
解:原式=5x2·x－5x2·2
5x2
=5x2(x－2)
例题讲解
例3：如何把多项式3a(x＋y)－2b(x＋y)分解因式?
解:原式=(x＋y)·3a－(x＋y)·2b
(x＋y)
=(x＋y)(3a－2b)
整体思想
新知巩固
变式：把下列各式分解因式
（1） 3a(x−y)−2b(y−x)
（2） 3a(x−y)2−2b(y−x)3
当n为偶数时，(y-x)n=(x-y)n
解：
6a3b-9a2b2c+3a2b
=3a2b.2a-3a2b.3bc+3a2b.1
=3a2b(2a-3bc+1)
（4）-8a2b2+4a2b-2ab
解： -8a2b2+4a2b-2ab
=-(8a2b2-4a2b+2ab)
苏科版数学七年级下册《因式分解的意义提公因式法》教学设计
苏科版数学七年级下册《因式分解的意义提公因式法》教学设计一. 教材分析《苏科版数学七年级下册》中，《因式分解的意义提公因式法》一节，是学生在掌握了多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等知识的基础上进行学习的。
本节内容主要让学生了解因式分解的意义，掌握提公因式法分解因式的技巧，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习，使学生逐步掌握提公因式法，并能够灵活运用。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了多项式乘法、平方差公式、完全平方公式等知识，具备了一定的数学基础。
但是，对于因式分解的意义和提公因式法的运用，部分学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解，使学生能够理解和掌握提公因式法。
三. 教学目标1.让学生了解因式分解的意义，理解提公因式法的概念。
2.使学生掌握提公因式法分解因式的技巧，能够灵活运用。
3.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的意义，提公因式法的运用。
2.难点：提公因式法的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探究，发现提公因式法的规律。
2.例题讲解法：通过典型例题的讲解，使学生掌握提公因式法的步骤和技巧。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含教材内容、例题、练习等环节的PPT。
2.教学素材：准备一些相关的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
例题：某数列的前两项为1和2，从第三项起，每一项都是前两项的和。
求这个数列的前10项和。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的意义，引导学生理解提公因式法的概念。
讲解教材中的例题，分析提公因式法的步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
七年级数学下册 9.6因式分解(二)(第2课时)教案 苏科版
9.6 乘法公式的再认识 --- [教案]——因式分解(二) 第2课时完全平方式法班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:教学目标：1. 了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解.2. 通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力.3. 通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力.4. 通过运用所学知识解决简单有趣的实际问题，激发了学生对数学学习的兴趣.说明本节课是在学生已经了解因式分解的意义，掌握了提公因式法、平方差公式的基础上进行教学的，是公式法的另一部分内容，由于教学内容的抽象性，建议创造愉快情景尤其重要，使学生对学习发生了强烈的兴趣，通过分组讨论完全平方公式的特征，激发了学生内在的学习愿望和学习动机，从而聚精会神，努力追源，并感到乐在其中.教学重点完全平方公式分解因式教学难点掌握完全平方公式的特点教学关键熟悉公式的形式和特点，根据多项式的项数选择公式.教学方法自主探索、教学互动，发挥学生的主体作用教具投影仪教学过程：(一)创置情境情境1 前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？说明设置问题情境使学生回忆了因式分解的意义和学过的方法——提公因式法，平方差公式但两法都无法分解a2＋2a＋1.由因式分解的意义知只要把a2＋2a＋1化为整式的积的形式即达到目的，由于学生熟悉(a＋1)(a＋1)即(a＋1)2等于a2＋2a＋1，反之于是有a2＋2a＋1＝(a＋1)2，若学生想不到可问( )2＝a2＋2a＋1，从而达到了分解因式的要求，这里在得到了a2＋2a＋1＝(a＋1)2的同时再次体会了整式乘法和因式分解是一个等式的两面性是互逆的，从而引入新课.情境2 在括号内填上适当的式子，使等式成立：(1)(a＋b)2＝( ) (2)(a－b)2＝( )(3)a2＋( )＋1＝(a＋1)2 (4)a2－( )＋1＝(a－1)2思考：(1)你解答上述问题时的根据是什么？(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？(3)第(3)(4)两式是因式分解，反过来就是整式乘法中的完全平方.说明设计这组练习的目的是引导学生顺向、逆向运用完全平方公式，再通过几个循序渐进的问题，从而引入新课.情境3 观察一列整数：1，4，9，16，25，……，有什么特点？数式是相通的，在整式中也有这样的情况，你能看出下列式子的特点吗？(1)a2＋2a＋1 (2)a2＋4a＋4(3)a2－6a＋9 (4)a2＋2ab＋b2 (5)a2－2ab＋b2学习了本节课后，你一定会明白的！说明由完全平方数自然过渡到完全平方式，当然学生不知道完全平方式的意义设置悬念，起到了触类旁通，承上启下，挑起学生求知欲的作用，再与本节课后面的小结拓展的完全平方式首尾呼应.情境4 上节课我们学习了用平方差公式分解因式，而在整式乘法时我们还学习了什么公式？大家猜想一下本节课我们将学习什么内容？说明此引入可谓开门见山，运用类比猜想的方法，引导学生借助上一节课学习平方差公式分解因式已有的经验，探索分解因式的完全平方公式法，而这个猜想，探索的过程就是培养学生直觉思维的过程，同时由于要对猜测进行验证，又可培养学生的推理能力.(二)认识完全平方公式把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2提出问题自主探索：问题1 两公式左边是几项式？三项式，再考虑一下平方差公式.左边是几项式与之比较.问题2 这三项式有什么特点？其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，它的符号可正可负，口决：“首平方尾平方，二数乘积在中央”有了平方差公式的经验学生自已不难得出，教师重在引导，不要替学生解答好，学法上可采取小组讨论，全班交流.问题3 若用△代表a，○代表b，两式是什么形式？△2＋2△×○＋○2＝(△＋○)2，△2－2△×○＋○2＝(△－○)2说明经过观察、比较、思考、类比，培养了学生的思维能力，这里学生自己观察、自主探索出公式的本质特征，轻松地掌握本节的重点，同时化解了难点.问题4 将a2－4a－4符合吗？为什么？问题5 a2＋6a＋9符合吗？相当于a，相当于b.a2＋6a＋9＝a2＋2×( )×( )＋( )2＝( )2a2－6a＋9＝a2－2×( )×( )＋( )2＝( )2(三)知识运用例1 把下列各式分解因式(1)x2＋10x＋25 (2)4a2＋36ab＋81b2分析重点是指出什么相当于公式中的a、b，并适当的改写为公式的形式，解：(1)x2＋10x＋25 (2) 4a2＋36ab＋81b2＝x2＋2×x×5＋52 ＝(2a)2－2×2a×9b＋(9b)2＝(x＋5)2 ＝(2a－9b)2说明本题是基础题，使学生体会用完全平方公式如何分解因式，以及解题格式，学生尝试去做，教师在对不同意见作比较，评价、培养学生的解题能力.练一练(及时训练，巩固新知)1. 下列能直接用完全平方公式分解的是( )A ．x 2＋2xy －y 2B ．－x 2＋2xy ＋y 2C ．x 2＋xy ＋y 2D ．41x 2－xy ＋y 2 2. 分解因式：－a 2＋2ab －b 2＝分解因式：－a 2－2ab －b 2＝3. 分解因式(板演)(1)a 2－4a ＋4 (2)a 2－12ab ＋36b 2 (3)25x 2＋10xy ＋y 2探索活动二：公式中的a 、b 可表示什么？学生讨论易知a 、b 可以为任意的数、字母或多项式.如：a 2－4a ＋4↓把a 换成(m ＋n)(m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 怎么分解呢？请看例2例2把下列各式分解因式(1)16a 4＋8a 2＋1 (2)(m ＋n)2－4(m ＋n)＋4分析：许多情况下，不一定能直接使用公式，需要经过适当的组合，变形成公式的形式.解：(1)16a 4＋8a 2＋1 (2) (m ＋n)2－4(m ＋n)＋4＝(4a 2)2＋2×4a 2＋1 ＝(m ＋n)2－2×2(m ＋n)＋22＝(4a 2＋1)2 ＝[(m ＋n)－2]2＝(m ＋n －2)2变式训练 若把16a 4＋8a 2＋1变形为16a 4－8a 2＋1会怎么样呢？学生讨论作答 16a 4－8a 2＋1＝(4a 2)2－2×4a 2＋1＝(4a 2－1)2 (这里4a 2－1可继续分解)＝[(2a ＋1)(2a －1)]2＝(2a ＋1)2(2a －1)2 例3 (1)简便计算20042-4008×2005+20052(2)已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值.解：(1) 20042-4008×2005+20052=20042-2×2004×2005+20052=(2004-2005)2=1(2) a 2-2a+b 2+4b+5=0变形为(a-1)2+(b+2)2=0 ∴a-1=0,b+2=0 ∴a=1,b=-2(a+b)2005=[1+(-2)]2005=-1说明用完全平方公式解决两道有用的实际问题使学生享受到运用所学知识的乐趣和心理满足，激励他们的求知欲望.练一练：1、把下列各式分解因式(1)16a4＋24a2b2＋9b4 (2)(x＋y)2－10(x＋y)＋252、创新：a2＋6a＋9误写为a2＋6a＋9－1即a2＋6a＋8如何分解？学生讨论方法一：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋8＋1－1＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2)法二：就是我们下节课要补充的新的解法说明：有的电视剧冗长却吸引人，当然与故事情节跌宕起伏分不开，但是每集结束前设置悬念吸引观众，是功不可没的，此处设置悬念，从而激发了学生继续学习的热情，探索新知识的心理，提高课堂教学效益.(四)小结1、学生自己总结本节课的收获，体会.2、将乘法公式反过来就得到多项式因式分解的公式，运用这些公式把一个多项式分解因式的方法叫运用公式法.3、如何选用平方差公式，或完全平方公式.4、拓展：由于a2±2ab＋b2可写成(a±b)2的形式，把类似a2±2ab＋b2 的式子叫完全平方式.说明：教师提供空间和机会让学生自己发言，即复习了本节内容，又促使学生重视知识结构，抓住了问题特征.(五)作业必做：1、课本P95习题9.6第2题2、课本P95习题9.6第3题选做：3、若x2＋mx＋4是完全平方式，则m＝ .4、简便计算：9.92－9.9×0.2＋0.015、若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状.。
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9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）（第一课时）
一、教学目标：
1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。
2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。
3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式
4、培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力，感悟换元的思想方法。
二、教学重难点：
重点：运用平方差公式分解因式，提高运用公式的熟练性和运算的准确性。
难点：掌握分解因式与整式的乘法的区别。
三、教学方法：
对比发现法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：
（一）创设情境，感悟新知
提问 992-1是100的倍数吗？你是怎么想的？请说说你的想法。
（学生或许还有其他不同的解决方法，直接计算出结果，应予以给予充分的肯定）（二）探索活动，揭示新知
问题一为什么992-1可以写成（99+1）（99-1）？依据是什么？
问题二判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？
如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数。
）
问题三类似地要判断992－1是100的整数倍呢？（可以想到尝试分解。
）992-1还可以是哪些正整数的倍数？
问题四我们已能把“992-1”化成几个因数的积的形式，9992－1可以吗？你能把“a2-1”化成几个整式的积的形式吗？
（让学生能实现从数到式的过渡，培养学生类比“992-1”与“a2-1”）
问题五你能把“a2-4”“a2-b2”“9a2-b2”化成几个整式的积的形式吗？
问题六计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示）
1、整体计算可以怎样表示？
2、分割成如图两部分可以怎样计算？
3、比较两种计算的结果你有什么发现？
(a+b)(a－b)=a2－b2或 a2－b2=(a+b)(a－b)
做一做让学生比较练习一和练习二的区别与联系，教师并总结：
事实上，把乘法公式
（a+b）（a-b）=a2-b2
反过来，就得到
a2-b2=（a+b）（a-b）
（两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系。
）
像这样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。
总结平方差公式的特点：
（1）左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。
（2）右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。
（3）在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式。
（三）例题分析，领悟新知
例1 把下列多项式分解因式：
（1）36－25x2（2）16a2－9b2
分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键。
运用平方差公式因式分解的一般步骤是：
（1）还原成平方差的形式；
（2）运用公式写成两数和与两数差的积的形式；
（3）分别在括号内合并同类项。
例2 如图，求圆环形绿化区的面积。
说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，
要让学生解释他的解法，要予以肯定。
例3 把下列多项式分解因式：
（1）(x+p)2－(x+q)2（2）9(a+b)2－4(a－b)2
分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察
和心算，而后是进行变形。
例4 观察下列算式回答问题：
32－1=8
52－1=24=8×3
72－1=48=8×6
92－1=80=8×10
………
问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？
（四）拓展延伸，练习巩固
1、练习 P93 练一练 1、
2、3
2、下列各式从左向右的变形，属于因式分解的有（）
A、(x+2)(x-2)=x2-4
B、y2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
C、a2-4=(a+2)(a-2)
D、全不对
3、下列各式中，不能运用平方差公式的是（）
A、-a2+b2
B、-x2-y2
C、49x2y2-z2
D、16m4-25n2p2
4、把下列各式分解因式：
（1）4x4-25y2（2）13a2x4-3b2y6 （3）81(a-b)2-16(a+b)2 （4）16(b-c)2-a2 （五）课堂小结，优化新知
1、说说因式分解与整式乘法的联系与区别；
2、说说如何用平方差公式分解因式；
3、如何将分解因式？
（六）布置作业
P97习题9.6 1、2。