专题、平面向量中的范围和最值问题
平面向量中的最值或范围问题
2
2 2
2
所以 c
o
sa - b,
a =
(
·a
a-b)
=
|
a-b|
|
a|
3 2 9
b+
2
2 1
3
3
。
= |
b|+
≥
6
|
b|
4
4
|
b| 2
因为 0≤ a-b,
所 以 0≤ a-b
a ≤π,
≤
π
π
,
故 a-b 与a 的夹角的最大值为 。
6
6
2
=9
b +a -2×3
b·a≤4,所 以 a·b≥2+
2
3
|
b|
2+
3
|
b|
a·b
2
。所以 c
o
sa,
b =
≥
2
|
a|·b
4
|
b|
2
2
1
3
|
b|
,因 为|
=
+
b|≤1,所 以 当|
b|=1
2
|
b|
8
时,
c
o
sa,
b取得最小值为
[
C.
4,
1
2]
7
。
8
→
其中 0≤λ≤1,则 B→
C ·BP
→
一般情况 下,如 果 遇 到 的 问 题 适 合 建 立
2
+
3 s
i
n
π
2
第06讲 平面向量中的范围与最值问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版)备2025年高考数学一轮复习学案
第06讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。
由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
1. 模长的范围及最值与向量的模有关的问题, 一般都会用到 22||a a =r r，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
2. 夹角的范围及最值结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
．．v1．（2024·全国·模拟预测）已知,,a b c r r r为单位向量，且357a b -=r r ，则22a c b c -+-r r r r 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．62．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量,a b rr 满足112a b a b ==×=r r r r ，22||c b c =×r r r ，则22c c a b-+-r r r r 的最小值是.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a r ，b r 为单位向量，且12a b ×=-r r ，向量c r 与3a b +r r共线，则||b c +r r 的最小值为 .4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量,,a b c r rr 满足：2a b ==r r ，若()()0c a c b -×-=r r r r ，则a b -r r 的最小值为 ．5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习），1=r b ，0a b ×=rr ，4c a c a ++-=r r r r ，2430d b d -×+=r r r ，则c d -rr 的最大值为（ ）A 1+B ．4C 2+D ．3136．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知||||||1a b c ===r r r，12a b ×=r r ，,,3a c b c p áñ+áñ=r r r r ．若,R m n Î，则||||||ma nb ma c nb c -+-+-r r r r rr 的最小值为（ ）A ．0BC ．1D1．（2024·广东江门·二模）设向量(1,),(2,)OA x OB x ==uuu r uuu r ，则cos ,OA OB áñuuu r uuu r的最小值为 .2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量,,,a b x y r r r r满足关系(),2a y x b mx y m =-=-³r r r r r r ，又设a r 与b r 的模均为1且互相垂直，则x r 与y r的夹角取值范围为.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量a OA =r uuu r ，b OB =r uuu r ，c OC =r uuu r，满足241OC AC OA ×=-uuu r uuu uuu r r ，241OB CB OC ×=-uuu r uuu uuu r r ，则向量4a b -r r 与2c b -r r所成夹角的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π61．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a r 与b r的夹角为锐角，c r 为b r 在a r 方向上的投影向量，且||||2c a ==r r ，则a b c ++r r r 与b r的夹角的最大值是 ．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量,a b r r 满足1a a b =+=r r r ，12a b ×=-r r ，向量p u r 满足()2p a b l l =-+u r r r ，当p u r 与p a -u r r的夹角余弦值取得最小值时，实数l 的值为 .3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知,a b r ur 是空间单位向量，0a b ×=r r ，若空间向量c r 满足：1,c a c b ×=×r r r r ，则a b c ++=r r r，对于任意,x y R Î，向量c r与向量xa yb +r r 所成角的最小值为．一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知m u r、n r 为单位向量，则向量2m n +u r r 与n r 夹角的最大值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2023·北京·模拟预测）平面向量a r ，b r 满足3a b =r r ，且4a b -=r r ，则a r 与a b -r r夹角的正弦值的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．233．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a r ，b r的夹角为q ，2a b +=r r ，且43a b ³r r ，则夹角q 的最小值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，c r满足1a =r 32a b ×=-r r ，,30a c b c --°=r r r r ，则c r的最大值等于（ ）A ．BC ．D ．5．（2024·全国·模拟预测）已知a r ，b r 为非零向量，且||||(0)a b r r ==>r r ，π,3a b áñ=r r ，若||a tb +r r 的最小值为22r t +的值为（ ）．A ．52B ．94C ．4D ．1746．（2021·全国·模拟预测）已知向量a r ，b r 满足3a b +=r r ，0a b ×=r r ，若(1)()c a b l l l =+-ÎR r r r ，且c a c b ×=×r r r r，则c r 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．327．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足2a =r ，1b c -=r r ，若a r 与b r 的夹角为π3，则a c-r r 的最小值为（ ）A 1B C 1D8．（2021·全国·模拟预测）设||=1a ®，||b ®=a b ®®^，若向量c ®满足2c a b a b ®®®®®--=-，则||c ®的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量,a b r r 满足22a b ==r r ，对任意的0,a b l l >-r r 的最小值为a r 与b r 的夹角为．10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足1a b -=r r 且a b ^r r ，当向量a b -r r 与向量3a b -r r 的夹角最大时，向量b r的模为 ．11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量,a b r r ，若对任意实数x ，xa b -³r r 恒成立，则向量,a b r r 的夹角的最小值为 .12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量a r ，向量b r 与a r不共线，且5π,6a b b -=r r r ，则b r 的最大值为 ．13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -×-=r r r r ，则b r 的最小值是14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量a r ，b r ，且满足||||2×===r rr r a b a b ，若e r 为平面单位向量，则×+×r r r ra eb e 的最大值15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()()0a b a c -×-=r r r r ，3b c -=r r ，则a b c ++r r r的最大值是.16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量a r ，b r 满足6a b +=r r ，若a r 在b r方向上的投影与br 在a r 方向上的投影之和等于()2a b ×r r ，则a r ，b r 夹角的余弦值的最小值为 ．17．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量a r ，b r ，c r满足4a b -=r r ，且()()1a c b c -×-=-r r r r ，若a r 与b r 的夹角为q ，且ππ,32q éùÎêúëû，则c r 的模取值范围是.18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD 中，60ABC Ð=°，E 是CD 的中点，2AF FE =uuu r uuu r ，若设,BA a BC b ==uuu r r uuu r r ，则BF uuu r可用a r ，b r 表示为；若ADE V ，则BF uuu r 的最小值为 ．19．（2020·浙江温州·三模）已知向量a r ，b r满足||3a =r ，1b r ||=，若存在不同的实数()1212,0l l l l ¹，使得3i i i c a b l l =+u r r r ，且()()0(1,2),i i i c a c b -×-==u r r u r r则12c c -u r u u r 的取值范围是20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量,,a b c r r r 满足74a b ×=r r ，3a b -=vv ,()()2a c b c -×-=-r r r r ,则c 的取值范围是 ；已知向量,a b r r 是单位向量，若0a b =r r g ，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r 的取值范围是.。
平面向量中的最值(范围)问题-高考数学一轮复习测试
平面向量中的最值(范围)问题【专题解读】平面向量中的最值(范围)问题的类型(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).微点1利用函数型【例1】(1)设θ为两个非零向量a，b的夹角，对任意实数t，|b－t a|的最小值为1，那么()A.假设θ确定，那么|a|唯一确定B.假设θ确定，那么|b|唯一确定C.假设|a|确定，那么θ唯一确定D.假设|b|确定，那么θ唯一确定(2)m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，那么|m＋n|＋|n|的最大值为()A. 5B.10C.4D.5解析(1)由|b－t a|的最小值为1知(b－t a)2的最小值为1，令f(t)＝(b －t a)2，即f(t)＝b2－2t a·b＋t2a2，那么对于任意实数t，f(t)的最小值为4a2·b2－〔2a·b〕24a2＝4a2b2－〔2|a||b|cos θ〕24a2＝1，化简得b2(1－cos2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.(2)因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝5－|n|2＋|n|.令|n|＝x(0<x≤5)，f(x)＝5－x2＋x，那么f′(x)＝－2x25－x2＋1.由f′(x)＝0，得x＝102，所以当0<x<102时，f′(x)>0时，当102<x≤5时，f′(x)<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫102＝10，应选B. 答案 (1)B (2)B【训练1】 (1)(2021·浙江卷)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，那么|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，那么AP →·BP→的取值范围是________；假设向量AC →＝λDE →＋μAP →，那么λ＋μ的最小值为________.解析 (1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))， 那么a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝〔2＋cos θ〕2＋sin 2θ＋〔cos θ－2〕2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，那么y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，那么易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，那么AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cos θ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP→＝1－cos θ∈[0，1].由AC →＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，所以⎩⎨⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，那么λ＋μ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＋32cos θ＋sin θ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ，设f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x(x ≥0)，那么 f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋3x x 2＋1〔2＋x 〕－〔2x －2＋3x 2＋1〕〔2＋x 〕2＝6x 2＋1＋6x －3〔2＋x 〕2x 2＋1>0(x ≥0)，所以函数f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x 在[0，＋∞)上单调递增，那么当tan θ＝0时，λ＋μ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为12.答案 (1)4 25 (2)[0，1] 12微点2 利用不等式型【例2】 (1)(2021·浙江名校新高考研究联盟三联)边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE→＋AF →＝xAB →＋yAD →，假设x ＋y ＝3，那么|EF→|的最小值为________. (2)(一题多解)(2021·七彩阳光联盟三联)平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0，那么|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b 的最小值为( ) A.172B.2C.52D. 5(3)(2021·浙江卷)向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.假设对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，那么a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么A (1，1)，B (1，0)，C (0，0).设E (a ，0)，F (0，b )，那么0≤a ，b ≤1.所以AE→＝(a －1，－1)，AF →＝(－1，b －1)，因为AE →＋AF→＝xAB →＋yAD →，所以有y ＝2－a ，x ＝2－b .因为x ＋y ＝3，所以a ＋b ＝1.所以|EF→|＝a 2＋b 2≥〔a ＋b 〕22＝22，所以|EF →|min ＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取到最小值.(2)法一 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b .所以通过计算有|2c －a |＝|c －2a |，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝|c －2a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12b ＝172，应选A. 法二 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b ，所以可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，那么有x 2＋y 2＝1，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝〔2x －1〕2＋4y 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －12＝4x 2－4x ＋1＋4y 2＋14x 2＋14y 2－y ＋1＝x 2－4x ＋4＋y 2＋x 2＋y 2－y ＋14＝〔x －2〕2＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≥22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，应选A. (3)由可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12. 答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2】 (1)(2021·杭州四中仿真)假设非零向量a ，b 满足a 2＝(5a －4b )·b ，那么cos 〈a ，b 〉的最小值为________.(2)(2021·浙江名师预测卷一)向量a ，b 满足|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，那么|a |2－|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，19 (3)(2021·温州适应性测试)平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，那么|a －b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2＝(5a －4b )·b 得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，那么cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |时等号成立，所以cos 〈a ，b 〉的最小值为45.(2)因为|b |＝1，所以|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＝2.两边平方得|a ＋b |2＋|a －b |2－2(|a |2－|b |2)＝4，又|a ＋b |＝2|a －b |，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42，又因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(a －b )|≤|a ＋b |＋|a －b |，即|a －b |≤2≤3|a －b |，故23≤|a －b |≤2，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8，应选A. (3)|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，那么由cos θ∈[－1，1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a －b 的方向与向量c 的方向相反，应选B.答案 (1)45 (2)A (3)B微点3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例3】 (1)如图是蜂巢结构图的一局部，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点〞.假设A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点〞处，且A ，B 的位置如下图，那么AB →·CD→的最大值为________.(2)|a |＝2，|b |＝|c |＝1，那么(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________.解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M ＝a ·c －a ·b －b ·c ，那么(a －b )(c －b )＝a ·c －a ·b －b ·c ＋b 2＝1＋a ·c －a ·b －b ·c ＝1＋M .而(b －a －c )2＝6＋2M ，M ＝－3＋12(b －a －c )2，∴当(b －a －c )2＝0时，M min ＝－3，∴[(a －b )(c －b )]min ＝1－3＝－2；当b ，－a ，－c 共线且同向时，M max ＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a－b )·(c －b )]max ＝1＋5＝6.答案 (1)24 (2)6 －2【训练3】 (1)向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，那么(c －a )·(c －b )的最大值是________，最小值是________.(2)|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，|OP →|＝1，且OA →＝BO →，记P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A.6B.4C.－2D.－4解析 (1)由题意得|a |＝12，|b |＝|c |＝1，那么(c －a )·(c －b )＝|c |2－c ·b －c ·a ＋a ·b ＝|c |2＋12(－a －b ＋c )2－12(|a |2＋|b |2＋|c |2)＝－18＋12(－a －b ＋c )2，那么当向量－a ，－b ，c 同向共线时，(c －a )·(c －b )取得最大值－18＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋12＝3，当－a －b ＋c ＝0时，(c －a )·(c －b )取得最小值－18.(2)因为P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝(OA →－OP →)·(OB→－OP →)＋(OB →－OP →)·(OC →－OP →)＋(OC →－OP →)·(OA →－OP →)＝3OP →2－2OP →·OC→－4，令3OP →＝OQ →，2OC →＝OM →，P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝OP →·MQ→－4，如图，设OC →与OP →夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ →＝OQ →－OM →.所以MQ →·OP →|OP→|＝OP →(3OP→－2OC →)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，应选C.答案 (1)3 －18 (2)C微点4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例4】 (1)(一题多解)(2021·浙江卷)a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.假设非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，那么|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3(2)向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，那么|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析 (1)法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA→|－|CB →|＝3－1.应选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，那么B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA→|－|BC →|≥3－1.应选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC→＝tAB →，DB →＝13OB →，那么|OA →＋tAB →|＝|OC →|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－t )AB →－13OB →＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC→|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，那么OG 即为所求的最小值.在Rt △BDE 中，∠BED ＝90°，BD ＝2，B ＝30°，那么DE ＝1，DG ＝2DE ＝2，在△ODG 中，OD ＝4，∠ODG ＝120°，DG ＝2，由余弦定理得OG ＝OD 2＋DG 2－2OD ·DG cos ∠ODG ＝27. 答案 (1)A (2)27【训练4】 (1)|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，那么|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2021·宁波模拟)向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，那么|a ＋c |的取值范围为________.解析 (1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，那么|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |， 又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[〔a ＋b 〕2＋〔a －b 〕2]＝2〔|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2〕＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2.(2)法一 令m ＝a ＋c ，那么问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，那么|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].法二 如图，由，作OB→＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，那么－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，那么AC→＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|AC→|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|AC→|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].答案 (1)22 (2)[0，4] 【专题集训】1.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，那么1x ＋4y 的最小值为( )A.32 B.2 C.52D.92解析 由图可设AD→＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，那么AD→＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y ＝43时，取等号，应选D. 答案 D2.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，那么OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]－2，22 B.(]－22，2 C.[]－22，22D.()－2，2解析 依题意得△ABC 的外接圆半径R ＝12·BCsin 45°＝2，|OA→|＝2， 如下图，A 在弧A 1C 上(端点除外)， OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22， 又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(]－2，22.应选A. 答案 A3.记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB 上一动点.设M ＝max{OP →·OA →，OP →·OB →}，那么当M 取最小值时，APPB ＝( )A.OA OBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3解析 M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |＝AP ·PB PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2，应选C. 答案 C4.(2021·浙江名师预测卷四)a ，b 是单位向量，向量c 满足|c －b ＋a |＝|a ＋b |，那么|c |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.3D.3 2解析 由|c －(b －a )|＝|a ＋b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b －a 的终点为圆心，|a ＋b |为半径的圆，那么|c |的最大值为|a ＋b |＋|b －a |. 又因为|a ＋b |＋|b －a |≤2[〔a ＋b 〕2＋〔b －a 〕2]＝2〔|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|b |2－2a ·b ＋|a |2〕＝2 2.当且仅当|a ＋b |＝|b －a |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. 答案 B5.(2021·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，假设BP →＝λBA →＋μBC →，设λ＋2μ的最大值为M ，最小值为N ，那么M －N 的值为( )A.2105B.3105C.4105D.10解析 如图，以C 为坐标原点，分别以直线BC ，CD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，那么B (－2，0)，A (－2，1)，由，圆C 的方程为x 2＋y 2＝45，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ，又BP →＝λBA →＋μBC →，那么⎩⎨⎧25cos θ＋2＝2μ， 25sin θ＝λ，即λ＋2μ＝25(sin θ＋cos θ)＋2＝225sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，故M －N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫225＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－225＋2＝4105，应选C.答案 C6.(2021·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.假设点E 为边CD 上的动点，那么AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，那么32×(－12)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，应选A. 答案 A7.(2021·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中，A ＝120°，BC ＝213，AC ＝2，那么AB ＝________；当|CB →＋λCA →|取到最小值时，那么λ＝________.解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，即(213)2＝22＋AB 2－2×2AB cos 120°，解得AB ＝6，那么cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝〔213〕2＋22－622×213×2＝51326，那么|CB →＋λCA →|2＝|CB →|2＋λ2|CA →|2＋2λCB →·CA →＝(213)2＋λ2×22＋2λ×213×2×51326＝4λ2＋20λ＋52，那么当λ＝－202×4＝－52时，|CB →＋λCA →|取得最小值. 答案 6 －528.假设非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，那么|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析 因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6]. 答案 (0，4) [2，6]9.(2021·杭州三校三联)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意2个点，那么AC →·BC→的取值范围是________.解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，那么有|a |＝12，|b |＝|c |＝1，那么AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≤|c －a |·|c －b |≤(|c |＋|a |)·(|c |＋|b |)＝32×2＝3，当且仅当a ，b 同向共线，且与c 反向共线时，等号成立，所以AC →·BC →的最大值为 3.AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )＝1－c ·(a ＋b )＋a ·b ≥1－|c |·|a ＋b |＋a ·b ＝1－|a ＋b |＋a ·b ＝1－54＋2a ·b ＋a ·b ，令a ·b ＝t ，那么易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≥1－54＋2t ＋t ，设f (t )＝1－54＋2t ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，那么f ′(t )＝1－154＋2t.易得当t ＝－18时，f (t )＝1－54＋2t ＋t 取得最小值－18.综上所述，AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，310.平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －a |＝|c －b |，那么|c |的最小值为________，此时a ·b ＝________.解析 由|c －a |＝|c －b |，得c 2－2a ·c ＋a 2＝c 2－2b ·c ＋b 2，即2b ·c －2a ·c ＝b 2－a 2＝3，那么(b －a )·c ＝32≤|b －a |·|c |≤(|b |＋|a |)·|c |＝3|c |，所以|c |≥12，当且仅当a 与b 方向相反且a ，b ，c 共线时等号成立，所以|c |的最小值为12，此时a ·b ＝|a ||b |cos π＝－2. 答案 12 －211.正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，那么OC →·AB→的最大值为________. 解析 如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB →＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos ∠ADO ，易知当∠ADO 为锐角，且DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB→取得最大值，易知DO→在BA →方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sin π3＝1633.答案 163312.(2021·浙江卷)正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________.解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么AB→＝(1，0)，AD →＝(0，1). 设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD → ＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD → ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6).故|a|＝〔λ1－λ3＋λ5－λ6〕2＋〔λ2－λ4＋λ5＋λ6〕2. ∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0. 考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5.答案 0 25。
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
第11讲 平面向量中的最值范围问题(教师版)
第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
数学-平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围问题高中数学 会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解 因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案 (－1,0)解析 由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2 在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案 C解析 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟 建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案 2918解析 根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3 向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案 32解析 |a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3 已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案 433解析 将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4 已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案 255解析 ∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟 将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4 已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案 C解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案 C解析 因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案 D解析 由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案 B解析 因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案 B解析 ∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案 A解析 以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案 C解析 ∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案 9解析 根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案 2＋12解析 因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解 由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解 设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案 C解析 ∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案 C解析 不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝ ＋ ，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案 D解析 因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案 －4952解析 ∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案 12解析 设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解 (1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。
二轮复习第28讲 平面向量范围与最值问题
第28讲平面向量范围与最值问题一、单选题1．(2021·四川·双流中学高三期末(理))如图所示，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在边长为2的正方形ABCD的边AB和AD上移动，则A B ⋅A C 的最大值是()A ．4B ．1+2C ．πD ．2【答案】D 【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系：令∠AAD =θ，由于AD =1，故AA =cos θ，AD =sin θ，如图∠BAx =π2-θ，BA =1，故x B =cos θ+cos π2-θ =cos θ+sin θ，y B =sin π2-θ =cos θ故AB =(cos θ+sin θ,cos θ)同理可求得C sin θ,cos θ+sin θ ，即AC =sin θ,cos θ+sin θ ，∴A B ⋅AC =sin θcos θ+sin θ +cos θcos θ+sin θ =1+sin2θ，当θ=π4时，A B ⋅AC 有最大值2．故选：D2．(2021·四川资阳·高三月考(理))已知e 为单位向量，向量a 满足：a -e ⋅a -5e =0，则a +e的最大值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【分析】可设e =1,0 ，a =x ,y ，根据a -e ⋅a -5e =0，可得x ,y 的关系式，并得出x ,y 的范围，a +e=x +12+y 2，将y 用x 表示，再根据函数的最值即可得解.【详解】解：可设e=1,0 ，a=x ,y ，则a -e ⋅a -5e=x -1,y ⋅x -5,y =x 2-6x +5+y 2=0，即x -3 2+y 2=4，则1≤x ≤5，-2≤y ≤2，a +e=x +12+y 2=8x -4，当x =5时，8x -4取得最大值为6，即a+e的最大值为6.故选：C3．(2021·河南南阳·高三期中(文))已知OA ､OB是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动.若OC =xOA +yOB ，其中x ､y ∈R ，则x +y 的最大值是()A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】B 【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.【详解】解：由题意，以O 为原点，OA 为x 轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C (cos θ,sin θ)，0≤θ≤120°可得A (1,0)，B -12，32，由OC =x (1，0)+y -12，32=cos θ+sin θ 得，x -12y =cos θ，32y =sin θ，∴32y =3sin θ，∴x +y =cos θ+3sin θ=2sin (θ+30°)，∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，∴当θ=60°时，x +y 的最大值为2，此时C 为弧AB 的中点.所以x +y 的最大值是2.故选：B .4．(2021·江西赣州·高三期中(文))已知AB ⊥AC ,|AB |=t 3,|AC |=t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP =AB|AB|-3AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值等于()A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C 【分析】以A 为原点，AB ,AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B 0,t 3,C (t ,0)，求出P 点坐标，再求出数量积，然后引入函数，用导数求得最大值．【详解】∵AB ⊥AC ，∴可以A 为原点，AB ,AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设B 0,t 3,C (t ,0)，则AP =(0,1)-3(1,0)=(-3,1)，故点P 坐标为(-3,1)则PB =-3,1-t 3 ,PC =(-3-t ,1)，∴PB ⋅PC =-3(-3-t )+1-t 3 =-t 3+3t +10令f (t )=-t 3+3t +10,t >0，则f(t )=-3t 2+3=-3(t +1)(t -1),t ≥0，则当t ∈(0,1)时，f(t )>0，当t ∈(1,+∞)时，f(t )<0，则函数f (t )在[0,1)递增，在(1,+∞)上递减，则f (t )max =f (1)=12，即PB ⋅PC 的最大值为12．故选：C ．5．(2021·浙江丽水·高三期中)已知平面向量e 1 ，e 2 ，a ，e 1=e 2=1，若a⋅e 1 +e 2≥2，a ⋅e 1 -e 2 ≥1，则()A ．a的最小值是32B ．a 的最大值是32C ．a 的最小值是94D ．a 的最大值是94【答案】A 【分析】令u=e 1+e 2 ,v=e 1 -e 2，可得u ⊥v ，且|u|2+|v|2=4，设u =(2cos α,0),v =(0,2sin α)，|a |=r ，a=(r sin β,r cos β)，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.【详解】令u=e 1+e 2 ,v=e 1 -e 2，则u ⋅v=e 1 2-e 2 2=0，故u ⊥v ，且|u|2+|v|2=2e 1 2+e 2 2=4，假设u =(2cos α,0),v=(0,2sin α)，|a|=r ，a=(r sin β,r cos β)，所以根据已知条件有a ⋅u=2r ⋅cos α⋅sin β ≥2a ⋅v =2r ⋅sin α⋅cos β ≥1，所以2r ≥2r (|cos α⋅sin β|+|sin α⋅cos β|)≥3，即r ≥32，当且仅当sin α=33,β=π2-α,r =32时等号成立，所以|a |的最小值是32，故选：A .6．(2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试)已知平面向量a ,b ,c满足|a|=2,|b|=3,|c|=1，a ⋅b -c ⋅(a +b )+1=0，则|a -b |的最大值是()A ．23+1B ．5C ．23-1D ．26【答案】A 【分析】由已知可得a ⋅b +1=c ⋅ a+b，再结合向量的数量积的性质可求a ⋅b2≤12，最后代入即可求出答案.【详解】设OA =a ,OB =b ,OC =c ∵|c |=1,a ⋅b -c ⋅(a +b )+1=0得a ⋅b +1=c ⋅(a +b )|a ⋅b +1|=|c ⋅(a +b )|≤|c ||a +b |=|a +b |∴|a ⋅b +1|2≤|a +b |2即(a ⋅b )2+2a ⋅b +1≤a 2+2a ⋅b +b 2,(a ⋅b )2≤12∵|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2∴|a -b|2≤13+43,∴|a -b|≤23+1故选：A7．(2021·山西·怀仁市第一中学校高三期中(理))已知平面向量a ,b ,c满足c =1，a ·c=1，b ·c=-2，a +b=2，则a ·b 的最大值为()A ．-1B ．-2C ．-52D ．-54【答案】D 【分析】由题意不妨设e =(1,0),a =(1,m ),b =(-2,n )，利用|a +b |=2，可得m +n 为定值，再求出a ⋅b的解析式，利用基本不等式即可求出a ⋅b的最大值．【详解】解：由e =1，不妨设e =(1,0)，又a ⋅e =1,b ⋅e=2，可设a=(1,m ),b=(-2,n )，则a +b=(-1,m +n )，又|a+b|=2，∴(-1)2+(m +n )2=4，∴(m +n )2=3；∴a ⋅b=-2+mn ≤-2+m +n 2 2=-2+34=-54，当且仅当m =n =32或-32时取“=”；∴a ⋅b 的最大值为-54．故选：D ．8．(2021·浙江省杭州第二中学高三期中)已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB ⊥BC ，点Р在上底面圆的圆周上，则PA 2+PB 2+PC 2的最小值为()A ．246B ．226C ．208D ．198【答案】D 【分析】问题可转化为三棱锥P -ABC 且三棱锥有外接球，求PA 2+PB 2+PC 2转化为求QA 2+QB 2+QC 2的最值，再转化为利用向量求解即可.【详解】如图，△ABC 的外心是AC 中点O 1，点P 到底面ABC 的距离为7，设Р所在截面圆的圆心为O 2，此截面与平面ABC 平行，球心O 在O 1O 2上，OO 1=R 2-OC 2=52-42=3,OO 2=O 1O 2-OO 1=7-3=4，则r =O 2P =R 2-OO 22=3，设P 在平面ABC 上的射影为Q ，则Q 在以O 1为圆心，3为半径的圆，因为PQ ⊥平面ABC ，所以PQ 与平面ABC 内所有直线都垂直，PQ =7,所以PA 2+PB 2+PC 2=PQ 2+QA 2+PQ 2+QB 2+PQ 2+QC2=QA 2+QB 2+QC 2+147QA 2+QB 2+QC 2=QO 1 +O 1A 2+QO 1 +O 1B 2+QO 1 +O 1C2=3QO 1 2+O 1A 2+O 1B 2+O 1C 2+2QO 1 ⋅O 1A +2QO 1 ⋅O 1B +2QO 1 ⋅O 1C=27+16+16+16+2QO 1 ⋅O 1A +O 1C +2QO 1 ⋅O 1B=75+2QO 1 ⋅O 1B，当QO 1 ,O 1B 反向时，QO 1 ⋅O 1B 取得最小值-12，所以PA 2+PB 2+PC 2的最小值147+75-2×12=198.故选：D9．(2021·江苏省泰兴中学高三期中)已知△ABC 中，AB =7,AC =3，∠ACB =120°，当λ∈R 时，AB -λAC的最小值为()A ．10B ．53C ．5D ．532【答案】D 【分析】先利用余弦定理求出BC ，从而可求出cos A ，然后对AB -λAC平方后化简，再利用二次函数的性质可求得结果【详解】由余弦定理得49=9+BC 2-2×3BC ⋅-12，解得BC =5，所以cos A =9+49-252×3×7=1114所以AB -λAC 2=AB 2-2λAB ⋅AC +λ2AC2=49-2λ×7×3×1114+9λ2=9λ2-33λ+49，当λ=116时，AB -λAC 2取最小值754，所以AB -λAC min =532，故选：D ．10．(2021·北京朝阳·高三期中)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⎳BC ，AB ⊥BC ，AD =1，BC =2，P 是线段AB 上的动点，则PC +4PD的最小值为()A ．35B ．6C ．25D ．4【答案】B 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB =a ，BP =x 0≤x ≤a ，因为AD =1，BC =2，所以P 0,x ,C 2,0 ,D 1,a ，所以PC =2,-x ,PD =1,a -x ，4PD =4,4a -4x ，所以PC +4PD=6,4a -5x ，所以PC +4PD =36+4a -5x 2≥6，所以当4a -5x =0，即x =45a 时，PC +4PD 的最小值为6.故选：B11．(2021·辽宁实验中学高三期中)若平面向量a ，b 满足a =b =a ⋅b =2，则对于任意实数λ，λa+1-λ b的最小值是()A ．3B ．1C ．23D ．2【答案】A【分析】转化λa+1-λ b=λa+1-λ b2=λ2|a |2+(1-λ)2|b |2+2λ(1-λ)a ⋅b，结合题干条件和二次函数的性质，即得解【详解】由题意，λa+1-λ b =λa+1-λ b2=λ2|a |2+(1-λ)2|b |2+2λ(1-λ)a ⋅b=4λ2+4(1-λ)2+4λ(1-λ)=4λ2-4λ+4=4λ-122+3≥3当且仅当λ=12时等号成立故λa+1-λ b的最小值是3故选：A12．(2021·重庆八中高三月考)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB =4，CD =2，∠A =45°，M 为线段HL 上一动点，则AF ⋅GM 的最小值为()A ．-8B ．-16C ．-24D ．-32【答案】D 【分析】以C 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：由题意，以C 为原点建立如图所示的平面直角坐标系则A -4,2 ，F 0,-2 ，G 4,-2M 为线段HL 上一动点，设M 2,y ，其中0≤y ≤4∴AF =4,-4 ，GM =-2,y +2 ∴AF ⋅GM=4×-2 +-4 ×y +2 =-4y -16，0≤y ≤4∴当y =4时，AF ⋅GM=-32AF ⋅GM的最小值为-32.故选：D .13．(2021·北京·101中学高三开学考试)已知向量a ,b 为单位向量，且a ⋅b=-12，向量c 与a +b 共线，则|a +c|的最小值为()A ．1B ．12C ．34D ．32【答案】D 【分析】由题意c =λ(a +b )，则|a +c |=|a +λ(a +b )|==(1+λ)2a 2+λ2b 2+2λ(1+λ)a ⋅b ，代入题干数据，结合二次函数的性质，即得解【详解】由题意，向量c 与a+b共线，故存在实数λ，使得c =λ(a+b)∴|a +c |=|a +λ(a +b )|=|(1+λ)a+λb |=(1+λ)2a 2+λ2b 2+2λ(1+λ)a ⋅b=(1+λ)2+λ2-λ(1+λ)=λ2+λ+1=λ+12 2+34≥34=32当且仅当λ=-12时等号成立故选：D14．(2022·全国·高三专题练习)设向量OA =1,-2 ，OB =a ,-1 ，OC =-b ,0 ，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则12a +1b的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】A 【分析】根据向量共线定理可得2a +b =1，再应用基本不等式“1”的代换求12a +1b的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，AB =OB -OA =(a -1,1)，AC =OC -OA=(-b -1,2)，A ，B ，C 三点共线，∴AB =λAC 且λ∈R ，则a -1=-λ(b +1)2λ=1，可得2a +b =1，∴12a +1b =12a +1b (2a +b )=2+b 2a +2a b≥2+2b 2a ⋅2a b =4，当且仅当b =2a =12时等号成立.∴12a +1b的最小值为4.故选：A15．(2021·广西桂林·高三月考(文))已知向量a =cos θ,sin θ ，θ∈0,π ，b =3,-1 .若2a -b <m 恒成立，则实数m 的范围是()A ．4,+∞B ．4,+∞C ．2,+∞D ．4,10【答案】B 【分析】由条件利用向量的数量积公式，三角恒等变换，变形2a -b 为8-8cos θ+π6，再根据θ∈0,π 求得2a -b的最大值，进而可得m 的范围.【详解】由已知a=1，b=2∴2a -b =4a 2-4a ⋅b +b 2=8-4(3cos θ-sin θ)=8-8cos θ+π6，由θ∈0,π ，得θ+π6∈π6,7π6，得cos θ+π6 ∈-1,32，故2a -b的最大值为8+8=4，所以m >4.故选：B .16．(2021·江苏·高三专题练习)a =2，b =3,a -b =4，若对任意实数t ，ka +tb >1恒成立，则实数k 的范围()A ．-∞,-215 ∪215,+∞ B ．-∞,-215 ∪215,+∞ C ．-215,215 D ．-215,215【答案】B 【分析】先由题中条件，根据向量模的计算公式，求出a ⋅b=-32，再将不等式恒成立转化为9t 2-3kt +4k 2-1>0对任意实数t 恒成立，根据一元二次不等式恒成立的判定条件，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为a=2，b=3,a-b=4，则a-b 2=a2+b 2-2a ⋅b =13-2a ⋅b =16，则a ⋅b=-32，所以ka+tb=k 2a 2+t 2b 2+2kta ⋅b=4k 2+9t 2-3kt ，又对任意实数t ，ka+tb >1恒成立，则9t 2-3kt +4k 2-1>0对任意实数t 恒成立，因此只需Δ=9k 2-364k 2-1 <0，解得k >215或k <-215，故选：B .【点睛】本题主要考查考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，考查向量模的计算，属于常考题型.二、多选题17．(2021·江苏省天一中学高三月考)己知△ABC 中，角A ，B ．C 所对的边分别是a ，b ，c ，B =π3，2BP=PC ，AP =3则下列说法正确的是()A ．AP =23AB +13ACB ．a +3c 的最大值为43C ．△ABC 面积的最大值为33D ．a +c 的最大值为213【答案】AD 【分析】利用平面向量基底表示向量可判断A ；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B ，C ，D .【详解】对于A ，在△ABC 中，因2BP =PC ，则AP =AB +BP =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB +13AC ，A 正确；在△ABP 中，由余弦定理得：AP 2=AB 2+BP 2-2AB ⋅BP cos ∠ABP ≥2AB ⋅BP -2AB ⋅BP cos60°=AB ⋅BP ，当且仅当AB =BP 时取“=”，于是得当AB =BP =AP =3时，(AB ⋅BP )max =3，S △ABC =12AB ⋅BC sin B =12AB ⋅3BP ⋅sin60°≤934，C 不正确；在△ABP 中，令∠BAP =α，则∠APB =2π3-α，0<α<2π3，由正弦定理得：AB sin ∠APB=BP sin ∠BAP =AP sin B =3sin60°=2，则c =2sin 2π3-α ,a 3=2sin α，a +c =6sin α+2sin 2π3-α =7sin α+3cos α=213sin (α+φ)，其中锐角ϕ由tan φ=37确定，而φ<α+φ<2π3+φ，则当α+ϕ=π2时，sin (α+φ)=1，a +c 取最大值213，D 正确；而a +3c >a +c ，则a +3c 的最大值应大于a +c 的最大值，又43<213，即a +3c 的最大值为43是不正确的，B 不正确.故选：AD18．(2022·河北·高三专题练习)在△ABC 中，A =π2，AB =AC =2，下述四个结论中正确的是()A ．若G 为△ABC 的重心，则AG =13AB +13ACB ．若P 为BC 边上的一个动点，则AP ⋅(AB +AC)为定值2C ．若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =2，则AM ⋅AN 的最小值为32D ．已知P 为△ABC 内一点，若BP =1，且AP =λAB +μAC，则λ+3μ的最大值为2【答案】AC 【分析】A .以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由G 为△ABC 的重心，结合向量的数乘运算判断；B .设BP =tBC 0≤t ≤1 ，把AP ⋅AB +AC 用含t 的代数式表示判断；C .不妨设M 靠近B ，BM =x ,0≤x ≤2，求得M ，N 的坐标，得到AM ⋅AN关于x 的函数，利用二次函数求值判断；D . 由AP =λAB +μAC 结合BP =1，得到λ-1 2+μ2=14，再令1-λ=12sin θ,μ=12cos θ,θ∈π4,π2 ，转化为λ+3μ=123cos θ-sin θ +1=cos θ+π6+1，利用三角函数的性质求解判断.【详解】如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则A 0,0 ,B 2,0 ,C 0,2 ,AB =2,0 ,AC =0,2 ，因为G 为△ABC 的重心，所以G 23,23，则AG =23,23，所以13AB +13AC =23,0 +0,23 =23,23 ，所以AG =13AB +13AC ，故A 正确；设BP =tBC 0≤t ≤1 ，则AP =AB +BP =AB +tBC =tAC +1-t AB ，则AP ⋅AB +AC =tAC +1-t AB ⋅AB +AC ，=tAC ⋅AB +t AC 2+1-t AB 2+1-t AB ⋅AC=4t +41-t =4，故B 错误；不妨设M 靠近B ，BM =x ,0≤x ≤2，得M 2-22x ,22x ,N 2-22x +2 ,22x +2 =1-22x ,1+22x，则AM ⋅AN=2-22x ⋅1-22x +22x ⋅1+22x =x 2-2x +2，当x =22时，AM ⋅AN 的最小值为32：故C 正确；由AP =λAB +μAC ，且P 为△ABC 内一点，BP =1，则BP =AP -AB =λ-1 AB +μAC =4λ-1 2+4μ2=1，即λ-1 2+μ2=14，令1-λ=12sin θ,μ=12cos θ,θ∈π4,π2 ，则λ+3μ=123cos θ-sin θ +1=cos θ+π6+1，因为θ∈π4,π2 ，则θ+π6∈5π12,2π3 ，所以cos θ+π6 ∈-12,6-24，所以λ+3μ的范围是12,1+6-24，故D 错误.故选：AC19．(2022·全国·高三专题练习)如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ,AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC =λCE ,ED =uDA ，AB =3BF (λ,u >0)，则()A ．EB=34EF +14EA B ．λμ=14C ．1λ+1μ的最大值为1D ．EC ⋅AD EB⋅EA的最小值为-49【答案】ACD 【分析】根据题意EB -EA =3(EF -EB)，化简整理，即可判断A 的正误；利用B 、C 、E 三点共线及F 、C 、D 三点共线，化简计算，即可判断B 的正误；根据基本不等式，计算整理，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为AB =3BF ，所以EB -EA =3(EF -EB )，所以EB =34EF +14EA ，故A 正确；对于B ：由B 、C 、E 三点共线可得AC =11+λAB +λ1+λAE =34⋅11+λAF+λ(μ+1)1+λAD ，由F 、C 、D 三点共线可得34(1+λ)+λ(μ+1)1+λ=1，解得λμ=14，故B 正确；对于C ：由λμ=14得1λ+1μ≥21λ×1μ=2λμ=4，当且仅当λ=μ时等号成立，所以1λ+1μ有最小值为4，无最大值，故C 错误；对于D ：因为BC =λCE ,ED =uDA ，所以EB =(1+λ)EC ,EA =(1+μ)DA，所以EC ⋅AD EB ⋅EA =EC ⋅AD -(1+μ)(1+λ)EC ⋅AD=-11+λ+μ+λμ=154+λ+μ≥-154+2λμ=-49.当且仅当λ=μ时等号成立，故D 正确.故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算法则、三点共线定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简，转化分析的能力，属中档题.20．(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB ⋅AC =3，BC =26，其中D ，E 均为边BC 上的点，分别满足：BD =DC ，AE ⋅AC AC =AE ⋅ABAB，则下列说法正确的是()A ．AD为定值3B ．△ABC 面积的最大值为36C ．AE的取值范围是1,3D ．若F 为AC 中点，则BF不可能等于5【答案】ABD 【分析】对于A :利用AD =12AC +AB 和数量积的计算公式可求AD=3；对于B ：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于C ：先判断出cos ∠EAC =cos ∠EAB ，结合θ的范围即可判断；对于D ：利用BF =12BA +BC 求出范围，即可判断.【详解】设∠BAC =θ.对于A :因为BD =DC，所以D 为BC 的中点.因为BC =AC -AB =26，所以AC -AB 2=26 2，即AC 2-2AC ∙AB +AB 2=24，所以AC 2+AB 2=30.因为AD =12AC +AB ，所以AD 2=14AC 2+2AC ∙AB +AB 2=1430+6 =9，所以AD=3.故A 正确；对于B ：S △ABC =12AB ×AC ×sin θ=12×3cos θ×sin θ=32tan θ，又cos θ=3AB ×AC ≥3AB 2+AC22=3302=15，当且仅当“AB =AC "时,取“=”此时tan θ=1cos 2θ-1≤26，所以S △ABC =32tan θ≤36.故B 正确；对于C ：因为AE ⋅AC AC =AE ⋅ABAB，所以AE cos ∠EAC =AE cos ∠EAB ，所以cos ∠EAC =cos ∠EAB .当cos θ=15时，D 、E 重合，AE 取得最大值3.可知θ为锐角，当∠BAC →最大锐角时，AE最大，但无法取到.故C 错误；对于D ：若F 为AC 中点，则BF =12BA +BC =12BA2+2BA ∙BC +BC 2=12BA2+2BA ×26cos B +24>5.故D 正确.故选：ABD .21．(2022·河北·高三专题练习)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E 为边BC 上两个动点，且满足DE =2，则下列选项正确的是()A ．AD ⋅AE 的最小值为4925B ．AD ⋅AE 的最小值为11925C ．AD ⋅AE 的最大值为485D ．当AD ⋅AE取得最大值时，点D 与点B 重合【答案】BC 【分析】取DE 的中点M ，利用向量的加法法则和数量积的运算律可得AD ⋅AE=AM 2-1，求出AM 的最小值，即可得答案，当点E 与点C 重合时，AM 取得最大值，然后利用余弦定理可得答案【详解】取DE 的中点M ，则AD =AM +MD ，AE =AM +ME ，则AD ⋅AE =AM +MD ⋅AM +ME =AM 2-MD 2=AM 2-1，易知AM 的最小值为点A 到BC 的距离，即AM 的最小值为125，即AD ⋅AE 的最小值为11925，故B 选项正确，A 错误；当点E 与点C 重合时，AM 取得最大值，即AM 2=9+16-2×3×4cos B =535，故AD ⋅AE 的最大值为485，故C 选项正确，D 错误.故选：BC22．(2022·全国·高三专题练习)如图，在直角三角形ABC 中，A =90°,AB =5,AC =25，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则()A ．点P 所在圆的半径为2B ．点P 所在圆的半径为1C ．PB ⋅PC 的最大值为14D ．PB ⋅PC的最大值为16【答案】AC 【分析】Rt △ABC 斜边BC 上的高即为圆的半径；把求PB ⋅PC 的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求4+PA ⋅2PM的最大值，从而判断出P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时取最大值.【详解】设AB 的中点为M ，过A 作AH 垂直BC 于点H ，因为A =90°,AB =5,AC =25，所以BC =5，AM =52，所以由12AB AC =12BC AH ，得AH =AB AC BC=2，所以圆的半径为2，即点P 所在圆的半径为2，所以选项A 正确，B 错误；因为PB =PA +AB ，PC =PA +AC ，AC ⋅AB=0，所以PB ⋅PC =PA +AB ·PA +AC =PA 2+PA ⋅AC +AB ⋅PA =PA 2+PA ⋅AC +AB =4+PA ⋅2PM ，所以当P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时，PA ⋅2PM 取最大值，且最大值为PA ⋅2PMmax=2PA ⋅PM =2×2×52=10，所以PB ⋅PC的最大值为4+10=14，所以选项C 正确，D 错误.故选：AC .23．(2021·全国·高三专题练习(理))如图，等边△ABC 的边长为2，点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则()A ．OA +OC 有最大值3B ．OA ⋅OC有最大值3C ．OA +BC 有最小值无最大值D ．OA ⋅BC无最大值也无最小值【答案】BD 【分析】根据题意，设∠OCB =α,α∈0,π2 ，则∠ACD =2π3-α，进而得A 2sin 2π3-α,2cos 2π3-α +2cos α ,C 0,2cos α ,B 2sin α,0 ，再结合三角恒等变换和向量数量积运算依次讨论各选项即可求解.【详解】如图，设∠OCB =α,α∈0,π2 ，则∠ACD =2π3-α，所以在Rt △ACD 中，CD =2cos ∠ACD =2cos 2π3-α，AD =2sin ∠ACD =2sin 2π3-α ，在Rt △BOC 中，OC =2cos α,OB =2sin α，所以A 2sin 2π3-α ,2cos 2π3-α +2cos α ,C 0,2cos α ,B 2sin α,0 ,所以OA +OC =2sin 2π3-α ,2cos 2π3-α +4cos α =3cos α+sin α,3sin α+3cos α ，故OA +OC =12cos 2α+83sin αcos α+4sin 2α=8sin 2α+π6+8，由于α∈0,π2 ，故2α+π6∈π6,7π6，所以OA +OC ∈2,4 ，故A 选项错误；OA ⋅OC =4cos 2π3-α cos α+4cos 2α=23sin αcos α+2cos 2α=3sin2α+cos2α+1=2sin 2α+π6+1，由于α∈0,π2 ，故2α+π6∈π6,7π6，OA⋅OC ∈0,3 ，即OA ⋅OC 有最大值3，故B 选项正确；OA +BC =2sin 2π3-α -2sin α,2cos 2π3-α +4cos α =3cos α-sin α,3sin α+3cos α所以OA +BC =12cos 2α+43sin αcos α+4sin 2α=27sin 2α+φ +8,tan φ=233,φ∈0,π2，由于α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ，所以OA +BC 有最大值，无最小值；故C 选项错误；OA ⋅BC =-4sin 2π3-α sin α+4cos 2π3-α cos α+4cos 2α=2cos2α，由于α∈0,π2 ，故2α∈0,π ，所以OA ⋅BC ∈-2,2 ，所以OA ⋅BC 无最大值也无最小值，故D 选项正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的坐标表示，解题的关键点是建立坐标系后求出各点的坐标，把数量积、模长用坐标表示，再根据α的范围求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.24．(2022·全国·高三专题练习)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC =23S ，下列选项正确的是()A ．A =π3B ．若b =3，则△ABC 有两解C ．若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是(23,4)D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】BCD 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用AD =12(AB+AC )，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．【详解】因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23S =23×12bc sin A ，tan A =33，又A ∈(0,π)，所以A =π6，A 错；若b =3，则b sin A <a <b ，三角形有两解，B 正确；若△ABC 为锐角三角形，则0<B <π2，A +B =π6+B >π2，所以π3<B <π2，32<sin B <1，b sin B =a sin A ，b =a sin Bsin A=4sin B ∈(23,4)，C 正确；若D 为BC 边上的中点，则AD =12(AB +AC )，AD 2=14(AB +AC )2=14(c 2+2bc cos A +b 2)=14(b 2+c 2+3bc )，又a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，b 2+c 2=4+3bc ，由基本不等式得4=b 2+c 2-3bc ≥2bc -3bc =(2-3)bc ，bc ≤42-3=4(2+3)，当且仅当b =c 时等号成立，所以AD 2=14(4+3bc )+3bc =1+32bc ≤7+43，所以AD ≤2+3，当且仅当b =c 时等号成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sin B ，然后根据a ,b 的大小关系判断B 角是否有两种情况即可．25．(2021·湖北·高三月考)在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ,b ,c ，且a =2，sin B =2sin C ，则以下四个命题中正确的是()A ．满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 面积的最大值为43C ．已知点M 是边BC 的中点，则MA ⋅MB的最大值为3D ．当A =2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为3-13【答案】BD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，由数量积坐标公式即可判断；对于D ，由已知条件可得△ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得△AOB 的面积．【详解】对于A ，因为sin B =2sin C ，所以由正弦定理得，b =2c ，若b 是直角三角形的斜边，则有a 2+c 2=b 2，即4+c 2=4c 2，得c =233，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B -1,0 ,C 1,0 ，设A (m ,n )，因为b =2c ，所以(m -1)2+n 2=2(m +1)2+n 2，化简得m +53 2+n 2=169，所以点A 在以-53,0 为圆心，43为半径的圆上运动，所以点A 到BC 边的最大距离为43，所以△ABC 面积的最大值为12×2×43=43，所以B 正确；对于C ，因为点A 在以-53,0 为圆心，43为半径的圆上运动，设A (m ,n )则-53-43<m <-53+43，即-3<m <-13，又MA =(m ,n )，MB =(-1,0)，所以MA ⋅MB =-m <3，故C 错；对于D ，由A =2C ，可得B =π-3C ，由sin B =2sin C 得b =2c ，由正弦定理得，b sin B =c sin C ，即2c sin (π-3C )=c sin C ，所以sin3C =2sin C ，化简得sin C cos2C +2cos 2C sin C =2sin C ，因为sin C ≠0，所以化简得cos 2C =34，因为b =2c ，所以B >C ，所以cos C =32，则sin C =12，所以sin B =2sin C =1，所以B =π2，C =π6，A =π3，△ABC 为直角三角形，c =233,b =433，所以△ABC 的内切圆半径为r =122+233-433 =1-33，所以△AOB 的面积为12cr =12×233×1-33 =3-13所以D 正确，故选：BD ．【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．26．(2021·福建·三明一中高三期中)△ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足AD =12DC ，若P 为边BD 上的一点，且满足AP =mAB +nAC m >0,n >0 ，则下列结论正确的是()A ．m +2n =1B ．mn 的最大值为112C ．4m +1n 的最小值为6+42D ．m 2+9n 2的最小值为12【答案】BD【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据mn =13m ⋅3n ，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确；由4m +1n =4m +1nm +3n ，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误；利用基本不等式可得m 2+9n 2≥m +3n 22，知D 正确.【详解】对于A ，AP =mAB +nAC =mAB +3nAD ，∵B ,P ,D 三点共线，∴m +3n =1，A 错误；对于B ，∵m +3n =1，∴mn =13m ⋅3n ≤13×m +3n 22=112(当且仅当m =3n 时取等号)，B 正确；对于C ，4m +1n =4m +1n m +3n =7+12n m +m n ≥7+212n m ⋅m n =7+43(当且仅当12n m =m n，即m =23n 时取等号)，C 错误；对于D ，m 2+9n 2≥m +3n 22=12(当且仅当m =3n 时取等号)，D 正确.故选：BD .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.27．(2021·广东珠海·高三期末)△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD =13DC ，若P 为BD 上一点，且满足AP =λAB +μAC ，λ、μ为正实数，则下列结论正确的是()A ．λμ的最小值为16B ．λμ的最大值为116C ．1λ+14μ的最大值为16D ．1λ+14μ的最小值为4【答案】BD【分析】先证明结论：若A 、B 、C 三点共线，点O 为直线AB 外一点，且OC =xOA +yOB ，则x +y =1，分析可得λ+4μ=1，利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】先证明结论：若A 、B 、C 三点共线，点O 为直线AB 外一点，且OC =xOA +yOB ，则x +y =1.证明：因为A 、B 、C 三点共线，可设AC =mAB ，即OC -OA =m OB -OA ，所以，OC =1-m OA +mOB =xOA +yOB ，所以，x +y =1.∵λ、μ为正实数，AD =13DC ，即AD =13DC =13AC -AD ，故AC =4AD ，∵AP =λAB +4μAD ，且P 、B 、D 三点共线，∴λ+4μ=1，∴λμ=14⋅λ⋅4μ≤14λ+4μ2 2=116当且仅当λ=12，μ=18时取等号，1λ+14μ=λ+4μ ⋅1λ+14μ =2+4μλ+λ4μ≥2+24μλ⋅λ4μ=4，当且仅当λ=12，μ=18时取等号.故选：BD .28．(2021·全国·高三月考)已知P 为△ABC 所在平面内一点，且AB =BC =4，∠ABC =60°，D 是边AC 的三等分点靠近点C ，AE =EB ，BD 与CE 交于点O ，则()A ．DE =-23AC +12AB B ．S △BOC =3C ．OA +OB +OC =32D ．PA +PB ⋅PC 的最小值为-6【答案】ABD【分析】由题意得AD =23AC ，由向量线性运算知DE =DA +AE =-23AC +12AB ，故A 正确；根据B ，O ，D 三点共线可知，O 是CE 的中点，是BD 靠近D 的四等分点，可推出S △BOC =34S △BCD ，B 正确；根据等边三角形求得CE =23，可知OA +OB +OC =2OE +OC =OE =CE 2=3，C 错误；建立直角坐标系，利用坐标运算可得PA +PB ⋅PC =2x -12 2+2y -32 2-6，可求得最小值-6，D 正确.【详解】解：∵AE =EB ，∴AE =12AB 又∵D 是边AC 的三等分点靠近点C∴AD=23AC ∴DE =DA +AE =-23AC +12AB ，故选项A 正确；设CO =λCE ，则CO =λ2CA +λ2CB =3λ2CD +λ2CB ∵B ，O ，D 三点共线∴3λ2+λ2=1，故λ=12∴O 是CE 的中点∴OE +OC =0又∵B ，O ，D 三点共线，所以O 为BD 靠近D 的四等分点∴S △BOC =34S △BCD =34×13S △ABC =14×34×42=3，故选项B 正确；∵△ABC 是边长为4的等边三角形∴CE =23∴OA +OB +OC =2OE +OC =OE =CE 2=3，故选项C 不正确；以线段BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，过点A 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 0,23 ，B -2,0 ，C 2,0 ，设点P x ,y ，则PA +PB ⋅PC =2x -122+2y -322-6∴最小值为-6，故选项D 正确.故选：ABD ．29．(2022·河北·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，AB =2，AC =4，∠CAB =120°，P 是△ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是()A ．GA +GB +GC =0 B ．AC 在AB 方向上的投影向量等于AB C ．GB ⋅AG =-43D ．AP ⋅BP +CP 的最小值为-1【答案】AC【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A ，根据投影向量的定义判断B ，根据向量的数量积的运算律判断C ，D .【详解】A ：当点G 为△ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得AG =2GO .则GA +GB +GC =GA +GD =GA +2GO =0 ，∴A 正确，B ：∵AC 在AB 方向上的投影为AC cos120°=4×-12 =-2，∴AC 在AB 方向上的投影向量为-AB ，∴B 错误，C ：∵G 是△ABC 的重心，∴GB =-13BA +BC =-13BA +BA +AC =132AB -AC ，AG =13AB +AC ，∴GB ⋅AG =192AB -AC ⋅AB +AC =192AB 2+AB ⋅AC -AC 2=198+2×4×-12 -16 =-43，∴C 正确，D ：当P 与G 重合时，∵AP ⋅BP +CP =AG ⋅BG +CG =-AG 2=-19AB 2+AC 2+2AB ⋅AC =-43，与AP ⋅BP +CP 的最小值为-1矛盾∴D 错误，故选：AC ．30．(2021·广东·高三月考)已知OA ⋅OB =OA =12OB =1，点P 满足OP =xOA +yOB x ,y ∈R ，则下列说法中正确的是()A ．当x +y =1时，OP 的最小值为1B ．当x 2+y 2=1时，OP =1C ．当x =12时，△ABP 的面积为定值D ．当y =12时，AP =BP 【答案】AD【分析】首先根据数量积的定义求出∠AOB ，再利用余弦定理求出AB 2，即可得到∠OAB =90°，再一一判断即可；【详解】解：因为OA ⋅OB =OA =12OB =1，所以OA =1，OA ⋅OB =1，OB =2，所以cos ∠AOB =OA ⋅OB OA OB=12，因为∠AOB ∈0,π ，所以∠AOB =π3，由余弦定理AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB cos ∠AOB ，所以AB 2=12+22-2×1×2×12=3，所以AB 2+OA 2=OB 2，所以∠OAB =90°，当x +y =1时，点P 在直线AB 上，故OP 的最小值为点O 到直线AB 的距离OA =1，故A 正确；OP 2=OP 2=x 2OA 2+y 2OB 2+2xyOA ⋅OB =x 2+4y 2+2xy ，若OP =1，则x 2+4y 2+2xy =1，故B 错误；当x =12时，点P 在过线段OA 中点且平行于直线OB 的直线上，△ABP 的面积不为定值，故C 错误；当y =12时，点P 在过线段OB 中点且平行于直线OA 的直线(即线段AB 的垂直平分线)上，所以AP =BP ，故D 正确；故选：AD31．(2022·全国·高三专题练习)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的两个动点，且BM +DN =MN ．记∠MAB =θ，tan θ=t ，下列说法正确的有()A ．∠MAN 为定值π4B ．MN =2-2t 21+tC ．AN =2cos π4-θ D ．AM ⋅AN 的最小值为82-8【答案】ACD【分析】先根据已知条件将所有线段长用含有t 的式子表示，再对各选项进行分析.对于A 可以转化为∠BAM +∠DAN 的值；对于B 根据已求式直接表示即可；对于C 可以在Rt △DAN 中利用cos ∠DAN 将AN 与AD 联系起来即可；对于D 利用向量的基底法将所求数量积进行转化，再利用基本不等式求解最小值即可.【详解】根据题意可知，BM =AB tan θ=2t ，则CM =2-2t ，不妨设DN =x ，则MN =BM +DN =x +2t ，CN =2-x .在Rt △CNM 中根据勾股定理得CN 2+CM 2=MN 2,即2-x 2+2-2t 2=x +2t 2，解得x =2-2t t +1.所以DN =2-2t t +1,MN =x +2t =2t 2+2t +1.对于A ，在△DAN 中tan ∠DAN =DN DA =1-t 1+t ，所以tan ∠DAN +θ =tan ∠DAN +tan θ1-tan ∠DAN tan θ=1-t 1+t +t 1-1-t 1+t ⋅t =1，根据图形可知0<∠DAN +θ<π2，所以∠DAN +θ=π4，因为∠DAN +θ+∠MAN =π2，所以∠MAN =π4，故A 正确；对于B ，由易求可得MN =x +2t =2t 2+2t +1，故B 错误；对于C ，在Rt △DAN 中，cos ∠DAN =AD AN ，因为∠DAN =π2-∠MAN -θ=π4-θ,AD =2，所以AN =2cos π4-θ ，故C 正确；对于D ，根据图形以及向量运算法则可知AM ⋅AN =AB +BM ⋅AD +DN =AB ⋅AD +AB ⋅DN +BM ⋅AD +BM ⋅DN ，所以AM ⋅AN =0+2×2-2t t +1+2×2t ×1+0=4t 2+4t +1=4t +1 +2t +1-2 ，因为t +1>0,2t +1>0，所以根据基本不等式得4t +1 +2t +1-2 ≥42t +1 ⋅2t +1-2=82-8，当且仅当t +1=2t +1即t =2-1时等号成立，即AM ⋅AN 的最小值为82-8，故D 正确.故选:ACD三、填空题32．(2021·浙江·绍兴一中高三期中)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a 与向量b 的夹角为π3，a -c =23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为___________.【答案】60【分析】如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,先证明O ,A ,B ,C 四点共圆，求出cos ∠AOC =45，再利用余弦定理和重要不等式求解.【详解】如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,所以a -b =|BA |=5，a -c =|CA |=23,因为向量a 与向量b 的夹角为π3，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，所以∠AOB =π3,∠ACB =2π3,所以∠AOB +∠ACB =π，所以O ,A ,B ,C 四点共圆.在△ABC 中，由正弦定理得23sin ∠ABC =5sin 2π3,∴sin ∠ABC =35,所以sin ∠AOC =35,因为∠AOC ∈0,π3 ,∴cos ∠AOC =45.在△AOC 中，由余弦定理得12=a 2+c 2-2|a ||c |×45=a 2+c 2-85|a ||c |，所以12+85|a ||c |=a 2+c 2≤12+45×(a 2+c 2),∴a 2+c 2≤60.所以a 2+c 2的最大值为60.故答案为：6033．(2021·黑龙江大庆·高三月考(理))锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，若4sin 2A =3sin 2B +2sin 2C ，则S AB⋅AC 的最大值为_______________________.【答案】72【分析】先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角A 余弦值的最小值，进而可得角A 正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.【详解】解：△ABC 中，4sin 2A =3sin 2B +2sin 2C所以4a 2=3b 2+2c 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-3b 2+2c 242bc =b 2+2c 28bc ≥2b 2⋅2c 28bc=24，当且仅当b =2c 时等号成立，此时cos A 最小，tan A 最大.此时tan A =1-24 224=7∴S AB ⋅AC=12cb ⋅sin A cb cos A =12tan A =72故答案为：72.34．(2021·江苏·海安高级中学高三月考)已知向量a ，b 是平面内的两个非零向量，则当a +b +a -b 取最大值时，a 与b 夹角为________．【答案】π2##【分析】根据a +b -a -b 2≥0，结合平面向量数量积的运算性质推出a +b +a -b ≤2a 2+b 2，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详解】∵向量a ，b是平面内的两个非零向量，∴a +b -a -b 2=a +b 2+a -b 2-2a +b a -b ≥0，当且仅当a +b =a -b时取等号，∴a +b 2+a -b 2≥2a +b a -b ，即2a +b 2+2a -b 2≥a +b 2+a -b 2+2a +b a -b =a +b+a -b 2，∴a +b +a -b 2≤2a +b 2+2a -b 2=4a 2+4b 2，即a +b +a -b ≤2a 2+b 2，当且仅当a +b =a -b 时取等号，即a ⋅b =0，则a 与b 夹角为π2，∴当a +b +a -b 取最大值时，a 与b 夹角为π2.故答案为：π2.35．(2021·上海·格致中学高三期中)已知向量a ，b 满足a =2，b =3，则a +b +a -b 的最大值为______.【答案】213【分析】先求得|a +b |=5+4cos θ、|a -b |=5-4cos θ，进而平方，计算即得结论．【详解】设向量a ,b 的夹角为θ，|a +b |=22+32+2×2×3×cos θ=13+12cos θ，|a -b |=22+32-2×2×3×cos θ=13-12cos θ，则a +b | +a -b =13+12cos θ+13-12cos θ，令y =13+12cos θ+13-12cos θ，则y 2=26+2169-144cos 2θ∈36,52 ，据此可得：a +b | +a -bmax =52=213，即a +b | +a -b 的最大值是213故答案为：213.36．(2021·河南·高三月考(理))已知在△ABC 中.AB =3,BC =4,∠ABC =π3，平面内有动点E 满足BE =2AE ，则数量积BC ⋅BE 的最大值是___________.【答案】16【分析】根据题意建立恰当的坐标系，求出E 的轨迹方程，即可求解.【详解】如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：A 1,0 ,B 4,0 ,C (2,23)，设动点E x ,y ，则由BE =2AE 得x -4 2+y 2=2x -1 2+y 2，化简得出E 满足x 2+y 2=4，令x =2cos θy =2sin θ .则BC ⋅BE =(-2,23)⋅x -4,y =23y -2x +8=43sin θ-4cos θ+8=8sin θ-π6 +8，所以BC ⋅BE 的最大值为16.故答案为：16.37．(2021·浙江·模拟预测)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b |=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c 的最大值为_____.【答案】8+47##【分析】设OA =a ，OB =b ，OC =c ，线段BC 的中点为D ，将b ⋅c 转化为OD 2-DC 2=OD 2-3，求出O 的轨迹是过A 、B 且半径为2的圆(除去A ,B 两点)，求出|DE |的最大值，进一步求出|OD |的最大值即可求解.【详解】设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则有|AB |=|BC |=|AC |=23，∠AOB =π3，设线段BC 的中点为D ，则DB =-DC ，|DC |=3，则b ⋅c =OB ⋅OC =(OD +DB )⋅(OD +DC )=(OD -DC )⋅(OD +DC )=OD 2-DC 2=OD 2-3，因为∠AOB =π3，|AB |=23，所以△AOB 的外接圆的直径2R =|AB |sin ∠AOB =2332=4，所以点O 的轨迹是过A 、B 且半径为2的圆(除去A ,B 两点)，记圆心为E ，当C 在圆E 上时，|DE |=13×32×23=1，此时|OD |<2+1=3(O 不能与A 重合)，。
平面向量中最值、范围问题解题模板
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选：C.
【点睛】本题考查向量的数量积的最值求解，常常运用建立直角坐标系，利用坐标运算和转化为已知向量的方法，属于中档题.
8.在 中， ， ， ，点 是 边上的一点（包括端点），点 是 的中点，则 的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
3.如图，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， .若 与 相交于点 ，则 的取值范围是__.
【答案】 .
【分析】设 ， ，由三点共线的向量表示可设 ，结合已知条件进一步得到 ，
由此可得 ，结合余弦函数的有界性即可得出答案.
【解析】不妨设 ， ，由于 ， ， 三点共线， ， ， 三点共线，
故由平面向量基本定理可设， ，
7.已知AB是半圆O的直径，AB=2，等腰三角形OCD的顶点C､D在半圆弧 上运动，且OC=OD，∠COD=120°，点P是半圆弧 上的动点，则 的取值范围（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设出点C、D、P的坐标，利用向量的数量积运算和三角函数的性质可得选项.
【解析】以点O为原点，AB为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，如下图所示，
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作出图像如下图所示，取 的中点为D，由 ，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式 ，可得选项.
【解析】作出图像如下图所示，取 的中点为D，则 ，因为 ，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，
则 .又 为圆O上的点P到D的距离，则 ，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.
平面向量常见题型汇编(含答案)
解析：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，
所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，
故考虑 ，
所以
2.范围问题
例题8： 若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围是_______
解析：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂线，
，则 ， ，
由 ， 为中点可得： 为 中点，从而 在 方向上的投影分别为 ，由 即可求得 的范围为
3.综合问题
例题10：已知 为直角三角形 的外接圆， 是斜边 上的高，且 ， ，点 为线段 的中点，若 是 中绕圆心 运动的一条直径，则 _________
解析：本题的难点在于 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
解析：由 可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中 ， ，
∵ ∴
∵ ，即 当且仅当 时取等号
∴
变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 ,则 的最小值是___________
分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造 ，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析： ，
变式9：在平面上， ， ，若 ，则 的取值范围是
分析：以 为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中用字母表示：设 ，则 ，所求 范围即为求 的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系，再寻找关于 的不等关系即可
解析：如图以 为轴建立坐标系：设 ，
浙江省2021届高考数学一轮复习第六章平面向量复数补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值范围问题含解析
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题知识拓展1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则：(1)PM →·PN →＝14[PQ 2－NM 2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝PO 2－14NM 2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).题型突破题型一 极化恒等式的应用【例1】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________.解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB →·AC →＝AM 2－14BC 2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得PA →·PB →＝PD 2－14AB 2＝PD 2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，PD max ＝3， 当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，PD min ＝1， 所以PA →·PB →∈[－2，6]. 答案 (1)－16 (2)[－2，6]【训练1】 (1)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. (2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A.2 B.3 C.6D.8解析 (1)取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA →＝DO 2－14AE 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1.(2)如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得 OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6.答案 (1)1 (2)C题型二 平面向量中的最值(范围)问题类型1 利用函数型【例2－1】 (1)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b －t a |的最小值为1，则( )A.若θ确定，则|a |唯一确定B.若θ确定，则|b |唯一确定C.若|a |确定，则θ唯一确定D.若|b |确定，则θ唯一确定(2)已知m ，n 是两个非零向量，且|m |＝1，|m ＋2n |＝3，则|m ＋n|＋|n|的最大值为( )A. 5B.10C.4D.5解析 (1)由|b －t a |的最小值为1知(b －t a )2的最小值为1，令f (t )＝(b －t a )2，即f (t )＝b2－2t a ·b ＋t 2a 2，则对于任意实数t ，f (t )的最小值为4a 2·b 2－（2a ·b ）24a 2＝4a 2b 2－（2|a ||b |cos θ）24a 2＝1，化简得b 2(1－cos 2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b |唯一确定，选B.(2)因为(m ＋2n )2＝4n 2＋4m ·n ＋1＝9，所以n 2＋m ·n ＝2，所以(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝5－n 2，所以|m ＋n |＋|n |＝5－|n |2＋|n |.令|n |＝x (0<x ≤5)，f (x )＝5－x 2＋x ，则f ′(x )＝－2x 25－x2＋1.由f ′(x )＝0，得x ＝102，所以当0<x <102时，f ′(x )>0时，当102<x ≤5时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫102＝10，故选B. 答案 (1)B (2)B【训练2－1】 (1)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________；若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________.解析 (1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]. 由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，P (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cos θ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP →＝1－cos θ∈[0，1].由AC →＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋μ(cos θ，sinθ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，则λ＋μ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＋32cos θ＋sin θ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ，设f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x (x ≥0)，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋3x x 2＋1（2＋x ）－（2x －2＋3x 2＋1）（2＋x ）2＝6x 2＋1＋6x －3（2＋x ）2x 2＋1>0(x ≥0)，所以函数f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x 在[0，＋∞)上单调递增，则当tan θ＝0时，λ＋μ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为12.答案 (1)4 2 5 (2)[0，1] 12类型2 利用不等式型【例2－2】 (1)(2020·浙江名校新高考研究联盟三联)已知边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE →＋AF →＝xAB →＋yAD →，若x ＋y ＝3，则|EF →|的最小值为________.(2)(一题多解)(2019·七彩阳光联盟三联)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝0，则|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b 的最小值为( )A.172B.2C.52D. 5(3)(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1，1)，B (1，0)，C (0，0).设E (a ，0)，F (0，b )，则0≤a ，b ≤1.所以AE →＝(a －1，－1)，AF →＝(－1，b －1)，因为AE →＋AF →＝xAB →＋yAD →，所以有y ＝2－a ，x ＝2－b .因为x ＋y ＝3，所以a ＋b ＝1.所以|EF →|＝a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝22，所以|EF →|min ＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取到最小值. (2)法一 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b .所以通过计算有|2c －a |＝|c －2a |，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝|c －2a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12b ＝172，故选A.法二 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b ，所以可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝1，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝（2x －1）2＋4y 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －12＝4x 2－4x ＋1＋4y2＋14x 2＋14y 2－y ＋1＝x 2－4x ＋4＋y 2＋x 2＋y 2－y ＋14＝（x －2）2＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≥22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，故选A. (3)由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2－2】 (1)(2020·杭州四中仿真)若非零向量a ，b 满足a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________.(2)(2019·浙江名师预测卷一)已知向量a ，b 满足|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，则|a |2－|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，19 (3)(2020·温州适应性测试)已知平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，则|a －b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2＝(5a －4b )·b 得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，则cos〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |时等号成立，所以cos 〈a ，b 〉的最小值为45.(2)因为|b |＝1，所以|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＝2.两边平方得|a ＋b |2＋|a －b |2－2(|a |2－|b |2)＝4，又|a ＋b |＝2|a －b |，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42，又因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a＋b )－(a －b )|≤|a ＋b |＋|a －b |，即|a －b |≤2≤3|a －b |，故23≤|a －b |≤2，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8，故选A.(3)|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，则由cos θ∈[－1，1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a －b 的方向与向量c 的方向相反，故选B. 答案 (1)45(2)A (3)B类型3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例2－3】 (1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则AB →·CD →的最大值为________.(2)已知|a |＝2，|b |＝|c |＝1，则(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________. 解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M ＝a ·c －a ·b －b ·c ，则(a －b )(c －b )＝a ·c －a ·b －b ·c ＋b 2＝1＋a ·c －a ·b －b ·c ＝1＋M .而(b －a －c )2＝6＋2M ，M ＝－3＋12(b －a －c )2，∴当(b －a －c )2＝0时，M min ＝－3，∴[(a －b )(c －b )]min ＝1－3＝－2；当b ，－a ，－c 共线且同向时，M max ＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a －b )·(c －b )]max ＝1＋5＝6. 答案 (1)24 (2)6 －2【训练2－3】 (1)已知向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，则(c －a )·(c －b )的最大值是________，最小值是________.(2)已知|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，|OP →|＝1，且OA →＝BO →，记PA →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·PA →的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A.6B.4C.－2D.－4解析 (1)由题意得|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则(c －a )·(c －b )＝|c |2－c ·b －c ·a ＋a ·b ＝|c |2＋12(－a －b ＋c )2－12(|a |2＋|b |2＋|c |2)＝－18＋12(－a －b ＋c )2，则当向量－a ，－b ，c 同向共线时，(c －a )·(c －b )取得最大值－18＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋12＝3，当－a －b ＋c ＝0时，(c －a )·(c－b )取得最小值－18.(2)因为PA →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·PA →＝(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＋(OB →－OP →)·(OC →－OP →)＋(OC →－OP →)·(OA →－OP →)＝3OP →2－2OP →·OC →－4，令3OP →＝OQ →，2OC →＝OM →，PA →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·PA →＝OP →·MQ→－4，如图，设OC →与OP →夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ →＝OQ →－OM →.所以MQ →·OP →|OP →|＝OP →(3OP →－2OC →)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，故选C.答案 (1)3 －18(2)C类型4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例2－4】 (1)(一题多解)(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3(2)已知向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，则|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析 (1)法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a－b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC →＝tAB →，DB →＝13OB →，则|OA →＋tAB →|＝|OC →|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－t )AB →－13OB →＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC →|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，则OG 即为所求的最小值.在Rt△BDE 中，∠BED ＝90°，BD ＝2，B ＝30°，则DE ＝1，DG ＝2DE ＝2，在△ODG 中，OD ＝4，∠ODG ＝120°，DG ＝2，由余弦定理得OG ＝OD 2＋DG 2－2OD ·DG cos∠ODG ＝27. 答案 (1)A (2)27【训练2－4】 (1)已知|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2019·宁波模拟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，则|a ＋c |的取值范围为________.解析 (1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |，又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[（a ＋b ）2＋（a －b ）2] ＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2）＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2.(2)法一 令m ＝a ＋c ，则问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，则|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].法二 如图，由已知，作OB →＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，则－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，则AC →＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|AC →|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|AC →|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].答案 (1)2 2 (2)[0，4]补偿训练 一、选择题1.(2013·浙江卷)在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.∠ABC ＝90° B.∠BAC ＝90° C.AB ＝ACD.AC ＝BC解析 取BC 边中点D ，由极化恒等式得PB →·PC →＝PD →2－14BC →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－14BC →2，由PB →·PC→≥P 0B →·P 0C →，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|，D 到AB 的最短距离为P 0D ，∴DP 0→⊥AB →，设AB 的中点为P ′，又P 0B ＝14AB ，∴DP ∥CP ，∴CP ⊥AB ，故AB ＝AC .答案 C2.(2020·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1解析 PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得PO →·PC →＝PD 2－14OC 2＝PD 2－14，又PD 2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 答案 C3.(一题多解)如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 法一 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 OF ＝13，由极化恒等式得FD →·FE →＝OF 2－14DE 2＝19－1＝－89.答案 B4.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B.2C.52D.92解析 由图可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，则AD →＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y＝43时，取等号，故选D. 答案 D5.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，则OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]－2，22 B.(]－22，2 C.[]－22，22D.()－2，2解析 依题意得△ABC 的外接圆半径R ＝12·BC sin 45°＝2，|OA →|＝2，如图所示，A 在弧A 1C 上(端点除外)，OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22，又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(]－2，22.故选A. 答案 A6.记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB 上一动点.设M ＝max{OP →·OA →，OP →·OB →}，则当M 取最小值时，AP PB＝( )A.OA OBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3解析 M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |＝AP ·PB PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2，故选C.答案 C7.(2019·浙江名师预测卷四)已知a ，b 是单位向量，向量c 满足|c －b ＋a |＝|a ＋b |，则|c |的最大值为( )A.2B.2 2C.3D.3 2解析 由|c －(b －a )|＝|a ＋b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b －a 的终点为圆心，|a ＋b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|b －a |. 又因为|a ＋b |＋|b －a |≤2[（a ＋b ）2＋（b －a ）2]＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|b |2－2a ·b ＋|a |2）＝2 2.当且仅当|a ＋b |＝|b －a |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. 答案 B8.(2020·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若BP →＝λBA →＋μBC →，设λ＋2μ的最大值为M ，最小值为N ，则M －N 的值为( )A.2105 B.3105C.4105D.10解析 如图，以C 为坐标原点，分别以直线BC ，CD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2，0)，A (－2，1)，由已知，圆C 的方程为x 2＋y 2＝45，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ，又BP →＝λBA→＋μBC →，则⎩⎪⎨⎪⎧ 25cos θ＋2＝2μ， 25sin θ＝λ，即λ＋2μ＝25(sin θ＋cos θ)＋2＝225sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，故M －N ＝⎝⎛⎭⎪⎫225＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－225＋2＝4105，故选C.答案 C9.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，则32×(－12)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y1－x ＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A. 答案 A 二、填空题10.在△ABC 中，BC ＝3，AB →·AC →＝4，则BC 边上的中线AM 的长是________. 解析 因为AB →·AC →＝14[(2AM →)2－BC →2]，AM →2＝14(4AB →·AC →＋BC →2)＝254，即|AM →|＝52，所以BC 边上的中线AM 的长为52.答案 5211.在面积S ＝2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________.解析 取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋34BC →2≥h 24＋34BC →2(其中h 为A 点向BC 边作的高)，当且仅当PD →⊥BC →时取等号. 由上可知PC →·PB →＋BC →2≥h 24＋34BC →2≥2h 24·34BC →2≥3S ＝2 3.答案 2 312.在Rt△ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________.解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM →·CN →＝14[(2CP →)2－MN →2]＝CP →2－12.问题转化为求|CP→|的取值范围，当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，213.(2020·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中，A ＝120°，BC ＝213，AC ＝2，则AB ＝________；当|CB →＋λCA →|取到最小值时，则λ＝________.解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，即(213)2＝22＋AB 2－2×2AB cos 120°，解得AB ＝6，则cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝（213）2＋22－622×213×2＝51326，则|CB→＋λCA →|2＝|CB →|2＋λ2|CA →|2＋2λCB →·CA →＝(213)2＋λ2×22＋2λ×213×2×51326＝4λ2＋20λ＋52，则当λ＝－202×4＝－52时，|CB →＋λCA →|取得最小值.答案 6 －5214.若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，则|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析 因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6].答案 (0，4) [2，6]15.(2020·杭州三校三联)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →·BC →的取值范围是________.解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，则有|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≤|c－a |·|c －b |≤(|c |＋|a |)·(|c |＋|b |)＝32×2＝3，当且仅当a ，b 同向共线，且与c 反向共线时，等号成立，所以AC →·BC →的最大值为 3.AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )＝1－c ·(a ＋b )＋a ·b ≥1－|c |·|a ＋b |＋a ·b ＝1－|a ＋b |＋a ·b ＝1－54＋2a ·b ＋a ·b ，令a ·b ＝t ，则易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≥1－54＋2t ＋t ，设f (t )＝1－54＋2t ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，则f ′(t )＝1－154＋2t .易得当t ＝－18时，f (t )＝1－54＋2t ＋t 取得最小值－18.综上所述，AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 16.已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －a |＝|c －b |，则|c |的最小值为________，此时a ·b ＝________.解析 由|c －a |＝|c －b |，得c 2－2a ·c ＋a 2＝c 2－2b ·c ＋b 2，即2b ·c －2a ·c ＝b 2－a 2＝3，则(b －a )·c＝32≤|b －a |·|c |≤(|b |＋|a |)·|c |＝3|c |，所以|c |≥12，当且仅当a 与b 方向相反且a ，b ，c 共线时等号成立，所以|c |的最小值为12，此时a ·b ＝|a ||b |cos π＝－2.答案 12－217.已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，则OC →·AB →的最大值为________.解析 如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB →＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos∠ADO ，易知当∠ADO 为锐角，且DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB →取得最大值，易知DO →在BA →方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sinπ3＝1633.答案163318.(2019·浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________.解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(1，0)，AD →＝(0，1).设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6).故|a|＝（λ1－λ3＋λ5－λ6）2＋（λ2－λ4＋λ5＋λ6）2. ∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5. 答案 0 2 5。
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
平面向量中的最值和范围问题
平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合． 考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的+的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0))((≤--c b c a b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，βααβα≠≠01=，且α与αβ-的夹角为120°的取值范围是_____________ .变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是 ；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法． 考点2、向量夹角的范围例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD→的取值范围是 ；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a →·b →=(a →+b →2)2-(a →-b →2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（ ） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（ ） A.14,p p B.13,p p C.23,p p D.24,p p2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满 足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．523、(201宁波市期末)在ABC∆中，D 为B C 中点，若120=∠A ，，则AD 的最小值是 （ ）A.21 B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方 体内部及面上的两个动点，则PQ AM ⋅的最大值是（ ） A.21 B.1 C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，21-=⋅b a ，060,=--c b c a ，则c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．17、如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )O A BCEFxy A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则b a ⋅的最小值是_____；9、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 ；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为____ __；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形 内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅的最大值为 ；12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一 边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC •的范围是 .11题图 12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ ；。
平面向量与复数专题培优课平面向量中的最值范围问题课件-2025届高三数学一轮复习
A．－12
B．－1
C．－2
D．－4
答案：B
题型三 与向量的模有关的最值(范围)问题
例 3 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，
则|c|的取值范围是( )
A．[ 2－1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2]
C．[1， 2＋1]
D．[1， 2＋2]
答案：A
解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，且|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1， ∴作出图象如图，由图可知，|c|最小值为 2－1，最大值为 2 ＋1.故选A.
题后师说 与向量的模有关的最值(范围)问题的两种常用方法
(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直 角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式， 三角函数，再用求最值的方法求解；
巩固训练4 平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos 〈b，3b－a〉的最 小值是________．
答案：2 2
3
1 ． 已 知 向 量a ， b ， c满 足a ＝(3 ，0) ，b ＝(0 ，4) ，c ＝λa ＋(1 －
λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为( )
A．56
答案：B
题后师说 与数量积有关的最值(范围)问题的两种常用解法
(1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数 问题处理．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识 解决．
巩固训练2
[2024·山东滨州模拟]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，
M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是( )
答案：C
【2020创新设计一轮复习数学】第六章 平面向量中的极化恒等式及其有关最值()范围问题
补上一课平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题知识拓展1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则：(1)PM →·PN →＝14[|PQ |2－|NM |2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝|PO |2－14|NM |2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】(1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB→·AC →＝________.(2)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA →·PB →的取值范围是________.解析(1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23.又由极化恒等式得：PA→·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以PA →·PB →∈[－2，6].答案(1)－16(2)[－2，6]【训练1】(1)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________.(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析(1)取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE→·DA →＝|DO |2－14|AE |2＝1212x 2－14x 2＝1.(2)如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP→·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6.答案(1)1(2)C题型二平面向量中的最值(范围)问题类型1利用函数型【例2－1】(1)(2019·宁波十校适应性考试)已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________.(2)(2019·台州质量评估)已知m ，n 是两个非零向量，且|m |＝1，|m ＋2n |＝3，则|m ＋n|＋|n|的最大值为()A.5B.10C.4D.5解析(1)由题意得AM →·AO →＝(AO →＋OM →)·AO →＝|AO →|2＋OM →·AO →＝|AO →|2＋|AO →|cos θ，其中θ为向量OM →和AO →的夹角，因为点A 在直线x ＝2上，所以|AO →|≥2，则由二次函数的性质易得当|AO →|＝2时，AM →·AO →＝|AO →|2＋|AO →|cos θ取得最小值4＋2cos θ，则当cos θ＝－1，即向量OM →和AO →方向相反时，AM →·AO →取得最小值2.(2)因为(m ＋2n )2＝4n 2＋4m ·n ＋1＝9，所以n 2＋m ·n ＝2，所以(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝5－n 2，所以|m ＋n |＋|n |＝5－|n |2＋|n |.令|n |＝x (0<x ≤5)，f (x )＝5－x 2＋x ，则f ′(x )＝－2x 25－x 2＋1.由f ′(x )＝0，得x ＝102，所以当0<x <102时，f ′(x )>0时，当102<x ≤5时，f ′(x )<0，所以函数f (x )，5上单调递减，所以f (x )max ＝＝10，故选B.答案(1)2(2)B【训练2－1】(1)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)(2018·杭州二中质检)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________；若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________.解析(1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，12，0P (cos θ，sin θ)0≤θ≤π2则AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cos θ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP →＝1－cos θ∈[0，1].由AC →＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝12，－1μ(cos θ，sin θ)＝12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得＝2sinθ－2cosθ2cosθ＋sinθ，＝32cosθ＋sinθ，则λ＋μ＝2sinθ－2cosθ2cosθ＋sinθ＋32cosθ＋sinθ＝2sinθ－2cosθ＋32cosθ＋sinθ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sinθ－2cosθ＋32cosθ＋sinθ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sinθ－2cosθ＋3 2cosθ＋sinθ＝2tanθ－2＋3tan2θ＋12＋tanθ，设f(x)＝2x－2＋3x2＋12＋x(x≥0)，则f′(x)（2＋x）＝6x2＋1＋6x－3（2＋x）2x2＋1>0(x≥0)，所以函数f(x)＝2x－2＋3x2＋12＋x在[0，＋∞)上单调递增，则当tanθ＝0时，λ＋μ＝2tanθ－2＋3tan2θ＋12＋tanθ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为1 2 .答案(1)425(2)[0，1]1 2类型2利用不等式型【例2－2】(1)(2019·丽水测试)已知|c|＝2，向量b满足2|b－c|＝b·c.当b，c的夹角最大时，|b|＝________.(2)(2019·金华十校调研)已知平面向量a，b，c满足|a|≤1，|b|≤1，|2c－(a＋b)|≤|a －b|，则|c|的最大值为________.(3)(2016·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________.解析(1)设〈b，c〉＝θ，则由2|b－c|＝b·c得4(b－c)2＝(b·c)2，即4|b|2sin2θ－16|b|cosθ＋16＝0，则4cosθ＝|b|sin2θ＋4|b|≥2|b|sin 2θ·4|b|＝4sinθ，当且仅当|b|sin2θ＝4|b|，即|b|＝2sinθ时，等号成立，则tanθ＝sinθcosθ≤1，所以θ≤π4，当θ＝π4时，|b|＝22.(2)因为|2c －(a ＋b )|≤|a －b |，所以|2c |－|a ＋b |≤|a －b |，即|2c |≤|a ＋b |＋|a －b |，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为邻边构造平行四边形，则a ＋b ，a －b 为平行四边形的两条对角线.在平行四边形ABCD 中，|AC |2＝|AB |2＋|AD |2＋2|AB |·|AD |cos ∠BAD ，|BD |2＝|AB |2＋|AD |2－2|AB |·|AD |cos ∠BAD ，则|AC |2＋|BD |2＝2|AB |2＋2|AD |2，易得当|AB |，|AD |最大且|AC |＝|BD |时，|AC |＋|BD |取得最大值，所以当|a |＝1，|b |＝1且|a ＋b |＝|a －b |时，|a ＋b |＋|a －b |取得最大值22，则|2c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤22，即|c |≤2，所以|c |的最大值为 2.(3)由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案(1)22(2)2(3)12【训练2－2】(1)(2019·绍兴调研)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且∠A ＝60°，若AO →＝αAB →＋βAC →(α，β∈R )，则α＋β的最大值为________.(2)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为π3，λ∈R ，则当λ＝________时，|λa ＋b |－|a －λ2b|有最大值为________.解析(1)记|AB→|＝c ，|AC →|＝b ，由AO →＝αAB →＋βAC →，·AB →＝αAB →2＋βAC →·AB →，·AC →＝αAB →·AC →＋βAC →2，1－2α）c ＝βb ，1－2β）b ＝αc ，故(1－2α)(1－2β)＝αβ，由基本不等式，有2(α＋β)＝1＋3αβ≤1＋，解得α＋β≤23舍α＋β≥2).(2)由已知得a ·b ＝1，则(λa ＋b )2＝λ2＋2λ＋4－λ2b＝λ2－λ＋1，所以|λa ＋b |－|a －λ2b |＝λ2＋2λ＋4－λ2－λ＋1＝（λ＋1）2＋3－（λ＋1）2＋（0－3）2P (λ，0)到两定点A (－1，3)，B |λa ＋b |－|a －λ2b |＝|PA |－|PB |≤|AB |＝3，此时λ＝2.答案(1)23(2)23类型3利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例2－3】(1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则AB →·CD →的最大值为________.(2)已知|a |＝2，|b |＝|c |＝1，则(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________.解析(1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max 32，－－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M＝a·c－a·b－b·c，则(a－b)(c－b)＝a·c－a·b－b·c＋b2＝1＋a·c－a·b－b·c＝1＋M.而(b－a－c)2＝6＋2M，M＝－3＋12(b－a－c)2，∴当(b－a－c)2＝0时，M min＝－3，∴[(a－b)(c－b)]min＝1－3＝－2；当b，－a，－c共线且同向时，M max＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a－b)·(c－b)]max＝1＋5＝6.答案(1)24(2)6－2【训练2－3】(1)(2019·绍兴质检)已知向量a，b，c满足|b|＝|c|＝2|a|＝1，则(c －a)·(c－b)的最大值是________，最小值是________.(2)已知|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝2，|OP→|＝1，且OA→＝BO→，记PA→·PB→＋PB→·PC→＋PC→·PA→的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A.6B.4C.－2D.－4解析(1)由题意得|a|＝12，|b|＝|c|＝1，则(c－a)·(c－b)＝|c|2－c·b－c·a＋a·b＝|c|2＋12(－a－b＋c)2－12(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－18＋12(－a－b＋c)2，则当向量－a，－b，c同向共线时，(c－a)·(c－b)取得最大值－18＋1212＋1＋1＝3，当－a－b＋c＝0时，(c－a)·(c－b)取得最小值－18.(2)因为PA→·PB→＋PB→·PC→＋PC→·PA→＝(OA→－OP→)·(OB→－OP→)＋(OB→－OP→)·(OC→－OP→)＋(OC→－OP→)·(OA→－OP→)＝3OP→2－2OP→·OC→－4，令3OP→＝OQ→，2OC→＝OM→，P A→·PB→＋PB→·PC→＋PC→·PA→＝OP→·MQ→－4，如图，设OC→与OP→夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ→＝OQ→－OM →.所以MQ →·OP →|OP →|＝OP →(3OP →－2OC →)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，故选C.答案(1)3－18(2)C 类型4利用轨迹图形性质(数形结合)型【例2－4】(1)(一题多解)(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是()A.3－1B.3＋1C.2D.2－3(2)已知向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，则|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析(1)法一设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA→－|BC →|≥3－1.故选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，∠B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC →＝tAB →，DB →＝13OB →，则|OA →＋tAB →|＝|OC →|，|(1－t )AB →－13OB →|＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC →|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，则|OG |即为所求的最小值.在Rt △BDE 中，∠BED ＝90°，|BD |＝2，∠B ＝30°，则|DE |＝1，|DG |＝2|DE |＝2，在△ODG 中，|OD |＝4，∠ODG ＝120°，|DG |＝2，由余弦定理得|OG |＝|OD |2＋|DG |2－2|OD ||DG |cos ∠ODG ＝27.答案(1)A (2)27【训练2－4】(1)已知|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值为________.(2)(2019·学军中学模拟)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝3，|b |＝|c |＝5，0<λ<1，若b ·c ＝0，则|a －b ＋λ(b －c )|＋|35c ＋（1－λ）（b －c ）|的最小值为________.解析(1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |，又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[（a ＋b ）2＋（a －b ）2]＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2）＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时，等号成立，所以|c |的最大值为2 2.(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设OA →＝a ，则A 在以O 为圆心半径为3的圆上运动.设OB →＝b ，OC →＝c ，则CB →＝b －c ，取D ∈BC ，设DB →＝λ(b －c )，则CD →＝(1－λ)(b －c )，取E ∈OC 使得EC→＝35c ，则|a －b ＋λ(b －c )|＝|OA →－OB →＋DB →|＝|DA →|，|35c ＋（1－λ）（b －c ）|＝|EC →＋CD →|＝|ED →|，∴|a －b ＋λ(b －c )|＋|35c ＋（1－λ）（b －c ）|＝|ED →|＋|DA →|，作点E 关于BC 的对称点E ′，则|ED →|＝|E ′D →|，由E (0，2)易得E ′(3，5)，∴|a －b ＋λ(b －c )|＋|35c ＋（1－λ）（b －c ）|＝|E ′D →|＋|DA →|≥|E ′A →|≥|E ′O →|－3＝34－3，且知当A ，D 在线段OE ′上时取等号，∴|a －b ＋λ(b －c )|＋|35c ＋（1－λ）（b －c ）|的最小值为34－3.答案(1)22(2)34－3补偿训练一、选择题1.(2013·浙江卷)在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则()A.∠ABC ＝90°B.∠BAC ＝90°C.AB ＝ACD.AC ＝BC解析取BC 边中点D ，由极化恒等式得PB →·PC →＝PD →2－14BC →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D→2－14BC →2，由PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|，D 到AB 的最短距离为P 0D ，∴DP 0→⊥AB →，设AB 的中点为P ′，又P 0B ＝14AB ，∴DP ∥CP ，∴CP ⊥AB ，故AB ＝AC .答案C2.(2018·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为()A.－14 B.－13C.－12 D.－1解析PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－14|OC |2＝|PD |2－14，又|PD |2min＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12.答案C3.(一题多解)如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于()A.－34 B.－89C.－14 D.－49解析法一∵BF→＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＋0－1＝－89.法二|OF |＝13，由极化恒等式得，FD→·FE →＝|OF |2－14|DE |2＝19－1＝－89.答案B4.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为()A.32B.2C.52D.92解析由图可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，则AD →＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y＝x ＋y )＋y x ＋＋＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y ＝43时，取等号，故选D.答案D5.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，则OA →·BC →的取值范围是()A.(－2，22]B.(－22，2]C.[－22，22]D.(－2，2)解析依题意得，△ABC 的外接圆半径R ＝12·BC sin 45°＝2，|OA →|＝2，如图所示，A 在弧A 1C 上(端点除外)，OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22，又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(－2，22].故选A.答案A6.记max{a ，b }，a ≥b ，，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB 上一动点.设M ＝max{OP→·OA →，OP →·OB →}，则当M 取最小值时，|AP ||PB |＝()A.|OA ||OB |B.|OA |解析M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理，可得|AP ||PB |＝|AP |·|PB ||PB |2＝，故选C.答案C7.(2019·温州适应性考试)已知向量a ，b 满足|a |＝1，且对任意实数x ，y ，|a －x b |的最小值为32，|b －y a |的最小值为3，则|a ＋b |＝()A.7B.5＋23C.7或3D.5＋23或5－23解析因为对任意实数x ，|a －x b |＝（a －x b ）2＝|a |2－2x a ·b ＋x 2|b |2＝的最小值为32，所以－（a ·b ）2|b |2＋1＝32①，因为对任意实数y ，|b －y a |＝（b －y a ）2＝|b |2－2y a ·b ＋|y a |2＝y 2－2y a ·b ＋|b |2＝（y －a ·b ）2－（a ·b ）2＋|b |2的最小值为3，所以－（a ·b ）2＋|b |2＝3②，联立①②，解得|b |＝2，a ·b ＝±1，当a ·b ＝1时，|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝7，当a ·b ＝－1时，|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3，故选C.答案C8.(2019·北京海淀区检测)已知点M 在圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，在N 在圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上，则下列说法错误的是()A.OM →·ON →的取值范围为[－3－22，0]B.|OM →＋ON →|的取值范围为[0，22]C.|OM →－ON →|的取值范围为[22－2，22＋2]D.若OM →＝λON →，则实数λ的取值范围为[－3－22，－3＋22]解析∵M 在圆C 1上，点N 在圆C 2上，∴∠MON ≥90°，∴OM →·ON →≤0，又|OM →|≤2＋1，|ON →|≤2＋1，∴当|OM →|＝2＋1，|ON →|＝2＋1时，OM →·ON →取得最小值，(2＋1)2cos π＝－3－22，故A 正确；设M (1＋cos α，1＋sin α)，N (－1＋cos β，－1＋sin β)，则OM →＋ON →＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)，∴|OM →＋ON →|2＝2cos αcos β＋2sin αsin β＋2＝2cos (α－β)＋2，∴0≤|OM →＋ON →|≤2，故B 错误；∵两圆外离，半径为1，|C 1C 2|＝22，∴22－2≤|MN |≤22＋2，即22－2≤|OM →－ON →|≤22＋2，故C 正确；∵2－1≤|OM →|≤2＋1，2－1≤|ON →|≤2＋1，∴当OM →＝λON →时，2－12＋1≤－λ≤2＋12－1，解得－3－22≤λ≤－3＋22，故D 正确.答案B9.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为()A.2116 B.32C.2516D.3解析以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，－12，设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →m AD →－12，因为AD ⊥CD m －12，0，则32×(－12)0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在32，538上单调递减，，3上单调递增，所以f (y )min ＝42－53×538＋6＝2116.所以AE→·BE →的最小值为2116，故选A.答案A 二、填空题10.在△ABC 中，BC ＝3，AB →·AC →＝4，则BC 边上的中线AM 的长是________.解析因为AB→·AC →＝14[(2AM →)2－BC →2]，AM→2＝14(4AB →·AC →＋BC →2)＝254，即|AM →|＝52，所以BC 边上的中线AM 的长为52.答案5211.在面积S ＝2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________.解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋34BC →2≥h 24＋34BC →2(其中h 为A 点向BC 边作的高)，当且仅当PD →⊥BC →时取等号.由上可知PC →·PB →＋BC →2≥h 24＋34BC→2≥2h 24·34BC →2≥3S ＝2 3.答案2312.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________.解析取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM→·CN →＝14[(2CP →)2－MN →2]＝CP →2－12.问题转化为求|CP →|的取值范围，当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是32，2.答案32，213.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且满足EF ＝1，则AE →·AF →的最大值为________.解析取EF 的中点M ，则M 点的轨迹是以C 点为圆心，12为半径的圆的四分之一(在矩形内的四分之一)，而AE →·AF →＝（AE →＋AF →）2－（AE →－AF →）24＝4AM →2－FE →4＝AM →2－14≤222－14＝4，当且仅当M 是BC 的中点时，(AE →·AF →)max ＝4.答案414.若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，则|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6].答案(0，4)[2，6]15.(2019·杭州质检)已知单位向量e1，e2的夹角为π3，设a＝2e1＋λe2，则当λ<0时，λ＋|a|的取值范围是________.解析因为|a|＝（2e1＋λe2）2＝λ2＋4λ|e1||e2|cos π3＋4＝λ2＋2λ＋4，所以λ＋|a|＝λ＋λ2＋2λ＋4＝λ＋（λ＋1）2＋3.令λ＋1＝t(t<1)，则λ＋|a|＝t2＋3＋t－1.设f(t)＝t2＋3＋t－1，则f′(t)＝tt2＋3＋1>0.则f(t)在(－∞，1)上单调递增，当t→1时，(λ＋|a|)→2；当t→－∞时，(λ＋|a|)→－1，所以λ＋|a|的取值范围是(－1，2).答案(－1，2)16.已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，|c－a|＝|c－b|，则|c|的最小值为________，此时a·b＝________.解析由|c－a|＝|c－b|，得c2－2a·c＋a2＝c2－2b·c＋b2，即2b·c－2a·c＝b2－a2＝3，则(b－a)·c＝32≤|b－a|·|c|≤(|b|＋|a|)·|c|＝3|c|，所以|c|≥12，当且仅当a与b方向相反且a，b，c共线时等号成立，所以|c|的最小值为12，此时a·b＝|a||b|cosπ＝－2.答案12－217.已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC内的动点，且∠AOB＝π3，则OC→·AB→的最大值为________.解析如图，圆E2为△ABC的外接圆，圆E1与圆E2关于直线AB对称，由题意知O在圆E1，E2的优弧AB︵上(圆E1，E2半径相等)，设AB的中点为D，OC→·AB→＝(DC→－DO→)·AB→＝BA→·DO→＝|BA→|·|DO→|·cos∠ADO，易知当∠ADO为锐角，且DO→在BA→方向上的射影最大时，OC→·AB→取得最大值，易知DO→在BA→方向上射影的最大值为△ABO外接圆的半径，故所求最大值为4×42sinπ3＝1633.答案163318.(2019·台州质量评估)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点P 是其外接圆O 上的任意一点，若a ＝23，b ＝c ＝7，则PA →2＋PB →2＋PC →2的最大值为________.解析以BC 的中点O ′为原点，以O ′C →所在方向为x 轴正方向，O ′A →所在方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，2)，B (－3，0)，C (3，0)，可得外接圆的圆心0，14半径为74，所以圆O 的方程为x 2y 14＝4916.设74cos α，74sin α＋14P A →－7cos α，－74sin α＋74，PB →－74cos α－3，－74sin α－14PC →－74cos α＋3，－7sin α－14所以PA →2＋PB →2＋PC →274cos α74sin α－7474cos α＋374sin α＋14＋74cos α－374sin α＋14＝1478－358sin α≤1478＋358＝914(当sin α＝－1时取“＝”).答案914。
与平面向量有关的最值或范围问题
与平面向量有关的最值或范围问题与平面向量有关的最值或范围问题,频频出现在高考试卷及各地模拟试卷中,这类问题常和其他知识交汇考查,解法比较灵活,对能力要求较高,往往成为试卷中的亮点.本文总结解决这类问题的几种基本方法,供同学们参考.例1.若非零向量,a b 满足31-≤a b ,则⋅a b 的最小值为 . 【解析】31-≤a b 22961⇔+-⋅≤a b a b , 又22966+≥≥-⋅a b a b a b , 所以121-⋅≤a b ,112⋅≥-a b , 当132==a b ,且,a b 方向相反时取等号, 所以⋅a b 的最小值为112-.例2.若1===+=a b c b ,求()()-⋅-a c b c 的最小值.【解析】由,=+=a b a b 得2222+⋅+=a a b b ,即222+⋅=a b ,所以0⋅=a b ,又1=c ,所以()⋅+≤+=c a b c a b ,所以()()-⋅-a c b c =()2⋅-⋅++=a b c a b c ()11-⋅+≥c a b 当c 与+a b 方向相同时取等号,所以()()-⋅-a c b c 的最小值为1-.【点评】这两道题均在平面向量与不等式知识的交汇,试题新颖,解法灵活.-≤⋅≤a b a b a b 是数量积性质⋅≤a b a b 的等价转换,其应用往往被同学们忽略,注意例1是利用≥-⋅a b a b 利用进行缩小变换,例2是利用()⋅+≤+c a b c a b 进行放大变换,解决这类问题要紧盯目标,进行有目的的放缩.二、建立直角坐标系求最值或范围例 3.已知平行四边形ABCD 中,2,1,AB AD BD === ,,E F 分别在边,BC CD 上,BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r,求AE AF ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值【解析】由2,1,AB AD BD ===60BAD ∠=o ,以A 为坐标原点,以AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则()2,0B ,52C ⎛ ⎝⎭,12D ⎛ ⎝⎭,由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2EB CF =u u u r u u u r ,设)()112E x x -,2,2F x ⎛ ⎝⎭,其中1522x ≤≤, 由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2CF BE =u u u r u u u r 可得212142x x =-,所以AE AF ⋅u u u r u u u r =)1212x x x +-)11121422x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=2114123x x -+-=23462x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,所以当12x =时AE AF ⋅u u u r u u u r 取到最大值5,当152x =时AE AF ⋅u u ur u u u r 取到最大值2.例4.已知a ,b 均为单位向量,0,1⋅=⋅=⋅=a b a c b c ,求证：对任意正实数m,恒有m m++≥bc a 并指出等号成立的条件.【解析】由题意,可设()()()1,0,0,1,,x y ===a b c , 由1⋅=⋅=a c b c 可得11==y x ，,即()1,1=c , 所以11,1m m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭b c a ,m m++≥=≥=bc a 当1m =时取等号.【点评】坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于平面几何图形有关的一些向量问题,可通过建立适当的直角坐标系,使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果（如例3）．另外,若题中由互相垂直的单位向量,也可以通过建立坐标系,把向量问题转化为代数问题,再利用函数或不等式等知识问求解（如例4）.三、转化为三角函数求最值或范围例5.△ABC 中2π3ACB ∠=,△ABC 的外接圆O 的半径为1,若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r求x y -的取值范围. 【解析】由2π3ACB ∠=可得2π3AOB ∠=,设2π03AOC αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则2π3BOC α∠=-, 则,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v即1cos ,221cos ,32x y x y απα⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以2121222πcos cos 3232333x y x y x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=221cos cos cos 332ααααα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 由2π03α<<可得ππ5π666α<+<, 根据cos y x =在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,可得πcos 6α⎛⎫<+< ⎪⎝⎭, 所以x y -的取值范围是()1,1-.【点评】本题若直接从这一向量表达式出发去求x y -的最大值,显然有困难．该解法通过利用向量的数量积运算实现了用三角函数表示x y - ,进而巧妙利用三角函数的有界性求出x y -的取值范围,体现了三角函数的工具性.本题是把含,x y 的代数式借组向量用三角函数表示,有时也可以通过引进角,把向量的数量积表示为三角函数求最值或范围,请看例6:例6.已知△ABC 的外接圆O 的半径为2,CB CA =u u u r u u r,求CB CA ⋅u u u r u u r 的最小值.【解析】设COA α∠=,由CB CA =u u u r u u r可知COB α∠=,2AOB α∠=或2π2α-,所以4cos OC OA α⋅=u u u r u u u r ,4cos OC OB α⋅=u u u r u u u r ,4cos2OA OB α⋅=u u u r u u u r,所以()()CA CB OA OC OB OC ⋅=-⋅-=u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2OA OB OC OA OC OB OC ⋅-⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=4cos24cos 4cos 4ααα--+=2218cos 8cos 8cos 22ααα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2≥,当π3α=时取等号. 四、构造几何图形求最值或范围OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r例7.已知单位向量a ,b 满足a ⋅b ＝－12,向量c 满足()()12-⋅-=--a c b c a c b c ,求c 的最大值. 【解析】设向量a ,b ,c 的起点为O ,终点分别为A ,B ,C ,由a ·b ＝－12得△AOB ＝120°,由()()12-⋅-=--a c b c a c b c 得△ACB ＝60°, 所以点C 在△AOB 的外接圆上,当OC 经过圆心时,|c |最大,在△AOB 中,AB ＝3,由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°=2.所以c 的最大值为2.【点评】该解法是利用向量的几何意义,构造共圆的四点,再利用正弦定理去求解.由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在解决向量问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识．五、利用基本不等式求最值或范围例8.已知△ABC 中,边BC 中点为D ,点E 在中线AD 上,若AD u u u r =4,求()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值.【解析】由边BC 中点为D ,可得2EB EC ED +=u u u r u u u r u u u r,因为点E 在中线AD 上,所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r =22cos π2EA ED EA ED EA ED ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222822EA ED AD ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,点E 为AD 中点时取等号, 所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为8-.【点评】本题根据,EA ED u u u r u u u r反向,把数量积转化为转化为长度之积,再利用基本不等式求最值,体现了向量与基本不等式的交汇,一般来说,要利用这种方法求最值,首先需要把数量积转化为正数的和或积,再利用)0,0a b a b +≥>>,22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()()2222a b a b +≤+求最值. 六、平面向量最值或范围练习题1．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=u u u r u u u r,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（） A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦ C．1⎤⎦D ．)1,+∞2．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为 （ ）A ．2116 B ．32C ．2516 D ．3 3．已知a b u r r 、均为单位向量，且0.a b ⋅=r r若435,c a c b -+-=r r r r 则c a +r r 的取值范围是（ ）A．3,⎡⎣B ．[]3,5C ．[]3,4D．5⎤⎦4．在锐角ABC V 中，602B AB AC u u u v u u u v ，=︒-=，则AB AC u u u v u u u v⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2 5．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=u u u r u u u r，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ，则||AP uuu r的最大值是（ ）ABCD6．已知a r ， b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．7．如图,菱形ABCD 的边长为3,对角线AC 与BD 相交于O 点,|AC u u u rE 为BC 边(包含端点)上一点,则|EA u u u r|的取值范围是_____,EA ED ⋅u u u r u u u r的最小值为_____.8．已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足0a b ⋅=r r ，a c b c ⋅=⋅r r r r，且||2a b -=r r ，则a c c ⋅r rr 的最大值为________.9．已知平面向量a b r r ，满足：2a b ==r r ，⊥r ra b ，22230-⋅+=r r r r b b c c ，则2a c +r r的最大值是__________．10．已知向量序列：1a u r ，2a u u r ，3a u u r ，n a ⋅⋅⋅u u r ，⋅⋅⋅满足如下条件：12a =u r ，d =u r ，121a d ⋅=-u r u r ，且1(2,3,4,)n n a a d n --==⋯u u r u u u r r，则1a u r ，2a u u r ，3a u u r ，⋅⋅⋅，n a u u r ，⋅⋅⋅中第______项最小.【答案】1．C 【解析】法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,11d ≤≤． 故选:C2.A 【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD V 为等边三角形，BD =(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u vAE BE ⋅u u u v u u u v 223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=233322t t -+(01)t ≤≤，所以当14t =时，上式取最小值2116，选A. 3.B 【解析】因为a b u r r 、均为单位向量，且0a b ⋅=r r ，所以设()1,0a =r，(0,1)b =r ，(,)c x y =r ，代入435,c a c b -+-=r r r r5=，即点(),x y 到点(4,0),(0,3)A B 的距离和为5，所以点(),x y 的轨迹是点(4,0),(0,3)之间的线段，线段AB 的方程为1(04)43x yx +=≤≤即34120(04)x y x +-=≤≤，c a +=r r(1,0)M -到线段AB 上点的距离，最小值为点(1,0)M -到线段34120(04)x y x +-=≤≤的距离，min31235c a--+==r r，最大值为5MA =.所以c a +r r的取值范围为[]3,5.故答案为：B.4.A 【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，△602B AB AC BC =︒-==u u u v u u u v u u u v，，△C ， 设0A x （，）△ABC V 是锐角三角形，△120A C +=︒，△3090A ︒︒＜＜，即A 在如图的线段DE 上（不与D E ，重合）， △14x ＜＜，则221124AB AC x x x u u u v u u u v （）⋅=-=--， △AB AC u u u v u u u v⋅的范围为012（，）． 故选A ．5.C 【解析】依题意510cos 25AB AC A ⋅=⨯=u u u v u u u v，1πcos ,23A A ==.由余弦定理得BC ==222AB BC AC +=，三角形ABC 为直角三角形.设35AD AB =，过D 作//DP AC '，交BC 于'P ，过'P 作//EP AB '，交AC 于E .由于()3255AP AB AC R λλ=-∈u u u v u u u v u u u v，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P 点位于线段DP '上，由图可知AP u u u r 最长时为AP 'u u u v .由于π3,2,3AD BD CAB P DB ∠'==∠==，所以πtan 3BP BD '==.所以AP '==u u u v故选C.6.C 【解析】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．7.⎡⎣23 4.【解析】根据菱形性质可得OC=则BO=(1)作AF△BC,则AF==此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故AE≤≤,即|EAu u u r|△⎡⎣;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则AB(C(0,D,0),所以BC:y2x=-设E(m,2m-则2123,,22224EA ED m m m m⎛⋅=-+=++⎝⎭u u u r u u u r,其中m⎡⎤∈⎣⎦对称轴为m⎡⎤=⎣⎦,故当m=EA ED⋅u u u r u u u r最小,最小值为234.故答案为：；234．8.1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m=r()0,,b n m=r、n>0,(),c x y=r，△224mx nym n-=⎧⎨+=⎩，△a cc===⋅r r r ， 而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1≤，即a c c ⋅r rr 的最大值为1，故答案为：1 9.6【解析】因为2a b ==r r ，⊥r ra b ，不妨令=u u u r r OA a ，OB b =u u u r r ，以OA u u u r 方向为x 轴，OB uuu r方向为y 轴，建立平面直角坐标系， 则(2,0)=r a ，(0,2)=r b ，设(,)==r u u u rc OC x y ，由22230-⋅+=r r r r b b c c 可得22860-++=y x y ，即22(3)1x y +-=， 所以向量rc 所对应的点(,)C x y 在以(0,3)N 为圆心，以1为半径的圆上运动，又2+=r r a c (,)C x y 与定点(4,0)M -之间的距离，因此max116=+==CMMN .故答案为610.5【解析】1n n a a d --=u u r u u u r r Q ，所以1(1)k a a k d =+-u u r u r r， 因为121a d ⋅=-u r r ，所以112a d ⋅=-u r r ，所以221(1)na a n d ⎡⎤=+-⎣⎦u u r u r u r 22211(1)2(1)a n d n a d =+-+-⋅u r u r r r214(1)(1)8n n =+---21(5)28n =-+.∴当5n =时，2n a u u r 取最小值2.故答案为：5.。
高考数学复习知识点讲解课件5---平面向量数量积的最值与范围问题
cos π3＝12，
所以|A→B＋A→C|＝2 3，
由
平
面
向
量
模
的
三
角
|
→ AP
|
＝
|(
→ AP
－
→ AB
－
→ AC
)
＋
(
→ AB
＋
A→C)|≥||A→P－A→B－A→C|－|A→B＋A→C||＝2 3－1.
当且仅当A→P－A→B－A→C与A→B＋A→C方向相反时，等号成立. 因此|A→P|的最小值为 2 3－1.
＝4(1－t)＋4t＋(1＋t－t2)×2×2×－12 ＝2t2－2t＋2＝2t－122＋32，
1234
因为0≤t≤1， 所以当 t＝12时，2t2－2t＋2 取得最小值32， 即A→M·A→N的最小值为32.
1234
4.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a＋b|＝1，则|c－b|的 取值范围是__[__5_－__1_，___5_＋__1_]_.
|BC| |CD|
1234
→→ 解析 设|B→M|＝|C→N|＝t,0≤t≤1，
|BC| |CD| A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋tB→C＝A→B＋tA→D， A→N＝A→B＋B→C＋C→N＝A→B＋B→C＋tC→D＝A→B＋A→D－tA→B＝(1－t)A→B＋A→D， 所以A→M·A→N＝(A→B＋tA→D)·[(1－t)A→B＋A→D] ＝(1－t)A→B2＋tA→D2＋(1＋t－t2)A→B·A→D
√A.－12
B.－32
C.－14
D.－1
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐 标原点建立平面直角坐标系，
专题二 微重点8 平面向量的最值与范围问题
所以λt＋μt ＝1，即 λ＋μ＝t∈(0,1]. 综上，λ＋μ的取值范围是[0,1].
考点二
求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最
大值为
A.4
B.5
√C.6
D.7
可设e＝(1,0)，a＝(x，y)， 则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y) ＝x2－6x＋5＋y2＝0， 即(x－3)2＋y2＝4， 则1≤x≤5，－2≤y≤2， |a＋e|＝ x＋12＋y2＝ 8x－4， 当 x＝5 时， 8x－4取得最大值为 6，
跟踪演练3 已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝2，等腰△OCD 的顶点 C，D 在 半圆弧A︵B上运动，且∠COD＝120°，点 P 是半圆弧A︵B上的动点，则P→C·P→D
的取值范围为
A.－34，34
B.－34，1
√C.－12，1
D.－12，12
以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建
12345678
5.(多选)已知向量a，b，单位向量e，若a·e＝1，b·e＝2，a·b＝3，则|a＋
b|的可能取值为
A.3
B. 10
√C. 13
√D.6
12345678
设e＝(1,0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 由a·e＝1得x1＝1， 由b·e＝2得x2＝2， 由a·b＝x1x2＋y1y2＝3，可得y1y2＝1， 则|a＋b|＝ a＋b2＝ x1＋x22＋y1＋y22 ＝ 11＋y21＋y22≥ 11＋2y1y2＝ 13， 当且仅当y1＝y2＝1时取等号.
∴1133－ －λλ22＋ －88－ ＋44λλ≥ ≥00， ，∴－ －71≤ ≤λλ≤ ≤35， ， ∴－1≤λ≤3.
【2020创新设计一轮复习数学】第六章 补上一课 平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题
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知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(2)因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以 n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5
－n2，所以|m＋n|＋|n|＝
5－|n|2＋|n|.令|n|＝x(0<x≤
5)，f(x)＝
5－x2＋x，则
f′(x)＝2
－2x 5－x2
＋1.由 f′(x)＝0，得 x＝ 210，所以当 0<x< 210时，f′(x)>0 时，当 210<x≤ 5时，f′(x)<0，所
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O→P·F→P＝|PE|2－14|OF|2＝|PE|2－14， ∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6. 答案 (1)1 (2)C
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题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型 【例 2－1】 (1)(2019·宁波十校适应性考试)已知点 M 为单位圆 x2＋y2＝1 上的动点，点 O
________. (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆x42＋y32＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 O→P·F→P的最大值为( )
A.2
B.3
C.6
D.8
6
知识衍化体验
考点聚焦突破
解析 (1)取 AE 中点 O，设|AE|＝x(0≤x≤1)，则|AO|＝12x，
∴D→E·D→A＝|DO|2－14|AE|2＝12＋12x2－14x2＝1. (2)如图，由已知|OF|＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：
λ－122＋0－
时，|b|＝________. (2)(2019·金华十校调研)已知平面向量 a，b，c 满足|a|≤1，|b|≤1，|2c－(a＋b)|≤|a－b|， 则|c|的最大值为________. (3)(2016·浙江卷)已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量 e，均有|a·e|＋|b·e|≤ 6， 则 a·b 的最大值是________.
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１0、（2012北京卷）已知正方形AＢＣＤ的边长为1,点E是ＡＢ边上的动点，则 的值为___＿____， 的最大值为______；
1１、如图，在平面直角坐标系中,正方形 的边长为 , 为 的中点,若 为正方形
内（含边界）任意一点，则 的最大值为;
12、如图，线段 长度为 ，点 分别在 非负半轴和 非负半轴上滑动，以线段 为一
专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题
１、（２０１1全国新课标理)已知ａ,b均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题
其中真命题是（)A． B. C. Ｄ.
２、（2０１２广东卷）对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 ,若平面向量 、 满
足 ， 与 的夹角 ,且 和 都在集合 中,则 （）
A． B．１C. ﻩD．
专题、平面向量中的范围和最值问题
———————————————————————————————— 作者:
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ﻩ
专题十、平面向量中的最值和范围问题
平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题，同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
变式：已知平面向量α,β满足 ，且α与 的夹角为 ,则 的取值范围是；
小结1、模的范围或最值常见方法:①通过| |2= 2转化为实数问题;②数形结合；③坐标法．
考点２、向量夹角的范围
例2、已知 =(2,0), =(2,2）, ＝（ cｏｓα， siｎα)，则与夹角的取值范围是（)
A.Ｂ. Ｃ.D.
小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法;③坐标法.
考点4、向量的系数问题:
例4、给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为１20°.如图所示,点Ｃ在以O为圆心的圆弧 上变动.若＝ｘ ＋ｙ其中x，y∈Ｒ，则x+y的最大值是_＿_＿__.
小结4、向量系数问题的一般处理方法:①点乘法；②几何法;③整体法.
变式：已知点G是 的重心，点Ｐ是 内一点,若 的取值范围是（)A. B. C． D. (１，2）
考点3、向量数量积的范围
例３、(1)已知圆Ｏ的半径为1,ＰＡ、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点,则 的最小值为()(A) (Ｂ) （C) (Ｄ)
(2)如右图，在梯形ABCD中，DA=AB＝ＢC= CD=1.点P在阴影区域(含边界)中运动,则 ·的取值范围是 ；
小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法;④ ·=( ）2-（ )２．
３、(2０12宁波市期末)在 中，D为BC中点,若 ， ,则 的最小值是（ ）A. ﻩB． C． D.
4、（20１1福建卷）已知O是坐标原点，点Ａ(-1,１)若点M（x，y)为平面区域 ,上的一个动点，则 的取值范围是( )
A.[－1，０］ﻩB．[０，1]ﻩC.［0，2］D.［-1,2]
５、(２０12浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD-Ａ1Ｂ1C1Ｄ1中，M是BC的中点，P,Q是正方
体内部及面上的两个动点,则 的最大值是()A. Ｂ.1C. D.
6、（20１1全国大纲理)设向量 满足 ， , ，则 的最大值等于()A.２B. C． Ｄ．1
７、如图,在直角梯形ABＣD中， ，动点P在以点C为圆心，且与直线ＢD相切的圆内运动，设 ,则 的取值范围是（)
Ａ. B. C． D.
8、(2012安徽卷）若平面向量 满足: ;则 的最小值是 ；
考点1、向量的模的范围
例1、(1)已知直角梯形 中, ／/ , , , 是腰 上的
动点,则 的最小值为_＿______＿___.
（２)(2011辽宁卷理)若 均为单位向量，且 , ，则 的最大值为()A.－１B．1C. D.2
(3)(2010浙江卷理）已知平面向量 满足 ,且 与 的夹角为120°,则 的取值范围是____＿________ .
边,在第一象限内作矩形 , ， 为坐标原点,则 的范围是.理)在平行四边形ＡBＣＤ中,∠Ａ= , 边ＡＢ、AD的长分别为2、1. 若Ｍ、Ｎ分别
是边BC、CD上的点，且满足 ,则 的取值范围是_______＿_；