20、平面向量中的最值问题

与平面向量有关的定值最值问题

1、如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点N 是DC 边的中点，

点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM AN ⋅的最大值是

A 、4

B 、6

C 、8

D 、10

2、如图，点M 为扇形AOB 的弧的四等分点，动点D C ,分别在线段OB OA ,上，

且.BD OC =若1=OA ，120AOB ︒

∠=，则||||MD MC +的最小是 ． 3．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，3BD DC =，若P 是线段AD 边上一动点，且2AD =，则)3(PC PB PA +⋅的最小值为 ． 4．已知圆O 的方程为222=+y x ，PA,PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，则PB

PA ⋅的最小值为 A ．246+- B ．246-- C ．248+- D ．248--

5、已知点(2,2)P --与椭圆2

213

x y +=，且,A B 是过原点的直线l 与椭圆的交点，记m PA PB =⋅，则m 的最小值是 .

6．过圆4)2(22=++y x 上一点P 向圆1)2(2

2=-+y x 引两条切线，切点分别为A ．B ，则PB PA ⋅的取值范围 ． 7．动点P （x ，y ）满足1,25,3,y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩

点Q 为（1，－1），O 为坐标原点，||OP OP OQ λ=⋅，则λ的取

值范围是

A ．105[,]55--

B ．510[,]55

C ．105[,]55-

D ．510[,]55

- 8．已知M ，N 为平面区域360y 200x y x x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

内的两个动点，向量(1,3)a =，则a MN ⋅的最大值是____．

9、设点A 在圆122=+y x 内，点)0,(t B ，O 为坐标原点，若集合{

}|OB OA OC C +={}9|),(22≤+⊆y x y x ， 则实数t 的最大值为 ．

10．若点O 和点F 分别为椭圆22

143

x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅的最大 值为 ．

11、已知两个单位向量b a ,满足：0)()(,0=-⋅-=⋅c b c a b a ，则||c 的最大值为

A.1

B.2

C.3

D.2

12、已知点),(y x P 在由不等式组⎪⎩

⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点A （-1,2），则

AOP OP ∠⋅cos ||的最大值是

A ．55-

B ．5

53 C ．０ D ．5 13．平面向量,a b 满足：4=⋅b a ，3=-b a ，则a 的最大值与最小值的和是 .

14.已知ABC ∆中，4,43AB AC BC ===，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+满足

A.最大值为16

B.最小值为4

C.为定值8

D.与P 的位置有关

15．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩

上的一个动点，则OA OM ⋅的取值

范围是

A 、[1,0]-

B 、[0,1]

C 、[0,2]

D 、[1,2]-

16．已知非零向量a ，b 夹角为60︒，且满足 |a －2b |=2，则 a ·b 的最大值为 ． 17．A,B,C 为平面上三点，若1AB =,2CA CB =，则CA CB ⋅的最大值为

A ．

23

B ．2

C ．8529+

D ．3 18．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为),0(),0,(a a ，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，且）

（1t 0AB t AP ≤≤=→--→--，则→

--→--⋅OP OA 的最大值是 A ．a B ．a 2 C ．2a D ．a 3 19．设O 为坐标原点，点A （1，1），若点222210,(,)12,12,x y x y B x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩满足则OA OB ⋅取得最小

值时，点B 的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．无数个

20．向量b a ,满足3||=a ，且b 与a b -的夹角为30︒，则|b |的最大值为

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

21．设点G 是ABC ∆的重心，若 120=∠A ， 1-=⋅AC AB ，则AG 的最小值是

A 、

33 B 、3

2 C 、32 D 、4

3 22．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且 ,||||CA CB CP x y xy CA CB =⋅

+⋅则的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 23. 已知OB y OA x OC OB OA +===,2||||，且2=+y x ，若||OB t OA -的最小值为3，则||OC 的最小值是

A 、32

B 、2

C 、3

D 、1

24、已知向量a ，b 、→c 满足→→→→=++0c b a ，→

→→→-=b a c c 与,32所成的角为 120，则当时R t ∈，|)1(|b t a t -+的取值范围是 ．

25、在直角梯形ABCD 中，3,1,===⊥AB DC AD AD AB ，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设),(R b a AB b AD a AP ∈+=，则b a +的取值范围是

A 、]34,0(

B 、]35,34[

C 、)3

4

,1( D 、)35,1( 26、已知OB OA ,满足3,3||||=⋅==OB OA OB OA ，若OB OA OC βα+=，且1=+βα，则||OC 的最小值为 ．

27、已知2||,60,0=>=

|2

|||a b t a b t -+-的最小值为 ．

28、已知0)(,4||=-⋅=b a b a ，若)(||R b a ∈-λλ的最小值为2.则b a ⋅= ．