7 热传导反问题及应用

∂t ∂ 2t = a ∂τ ∂x 2 t x = 0 = t0(τ ) −λ ∂t ∂x
x =L
0 < x < L, τ > 0
= ql(τ )
ql(τ ) 如果我们通过某种方法得到了边界条件 t0(τ ) ，
和初始条件 f ( x) ，通过求解导热微分方程获得温度场
t x = 0 = f (x )
ω t ( x, τ ) ω = cos ωτ − x − ϕ exp − x t0 2a 2a x 2 2 x 2 4 a τ − − − − cos ω τ ϕ exp η dη ( ) 2 ∫ 0 4aη π
反问题的困难何在？
不同的边界条件变化频率对内部温度变化频率的影响
ω 2 t ( x,τ ) ω 2 = cos ωτ − x − ϕ exp − x t0 2a 2a
1 1
1 0.75 0.5 0.25 1000 -0.25 -0.5 -0.75 -1 2000 3000 4000 5000
求解思路
可以证明，在上式中建立起来的 ql(τ ) 与 g(τ ) 的关系是线性的，即如果有 ql(τ ) → g(τ )
ql1(τ ) → g 1(τ ) ql 2(τ ) → g 2(τ )
α ql(τ ) → α g 1(τ ) + β g 2(τ )
ω 2 t ( x,τ ) ω 2 = cos ωτ − x − ϕ exp − x t0 2a 2a
1 1
1 0.75 0.5 0.25 5000 -0.25 -0.5 -0.75 -1 10000 15000 20000
∂t ∂ 2t = a ∂τ ∂x 2 t x =0 = 0 ∂t ∂x 0 < x < L, τ > 0
t(x p ) = g(τ ) = known −λ = ql(τ ) = unknown
x =L
t x =0 = 0
ql(τ ) → g(τ )
A
反问题的特点
b →g
A
B G • 给定边界条件，就可以得到内部点上的温度，如果我们已 知了内部某些点上的温度，是否存在对应的边界条件呢？ • 如果存在这个边界条件，那么它是否一定是唯一的？ • 温度变化是通过实验测量还是通过数值计算得到的，这些 数据都不可避免地会含有误差。因此我们还要关心的一个问题 是，测量数据带来的误差是否会使得所对应的边界条件发生很 大的变化？
对不适定性的解释
q → g(τ )
A
Q G
假设 g ∈ G ， ql ∈ Q 都有唯一的 g ∈ G
，对于任意 ql ∈ Q 与之对应，这是一个正问题。
对不适定性的解释
q ← g(τ )
Q G
A −1
这并不能保证 ， 对于任意
ql ∈ Q
g ∈ G
都有唯一的
与之对应，即反问题可能不满足适定性条件。
从图中能够得到的结论是什么？
1 0.75 0.5 0.25 1000 -0.25 -0.5 -0.75 -1 1
0.75 0.5 0.25 5000 -0.25 -0.5 -0.75 -1 10000 15000 20000
2000
3000
4000
5000
从图中能够得到的结论是什么？
• 对不同的位置，随着 x 的增大，温度的变 化幅度在衰减 • 对于不同的位置，温度变化存在着明显的 滞后现象 • 在相同的位置上，随着边界温度变化频率 的增加，温度变化的幅度在衰减
ω δ → δ exp x 2a
1 2

如果这种放大不能被抑 制，则将会使得反演的 结果完全失真！！
衰减对反演的影响
1 0.75 0.5 0.25 1000 -0.25 -0.5 -0.75 -1 1.5
1 0.5
2000
3000
4000
5000
1000 -0.5 -1 -1.5
适定与非适定
g(τ ) → b
G B
A −1
• • •
存在？ 唯一？ 稳定？
反问题的实际困难
•满足存在、唯一性和稳定性的条件，则称这个问 题是适定的（well-posed），否则该问题就被称为 是不适定的 (ill-posed)。 •如果一个问题是适定的，那么根据经典意义下解 的定义，可以采用某种算法（如果存在的话）求 出这个问题的解。 •如果一个问题是不适定的，那么对于它的解就要 进行某种特殊的考虑。令人遗憾的是，几乎所有 的反问题都是不适定的，因此满足经典意义下适 定性的解不存在。 •从物理上讲，这些问题又是有实际意义的。
热传导反问题
——探索和讨论
反问题的困难何在？
回顾周期性边界条件下半无限大介质的温度 场，其控制方程和边界条件为
∂t ∂ 2t = a 0 < x < ∞ 2 ∂τ ∂x x = 0 t = t0 cos(ωτ − ϕ ) x → ∞ τ = 0 t = 0 t = 0
反问题的困难何在？
其温度分布的解为
∂t ∂ 2t = a ∂τ ∂x 2 t x =0 = 0 0 < x < L, τ > 0
t(x p ) = g(τ ) = known t x = L = tl(τ ) = unknown t x =0 = 0
从上式可以看出，这个问题反映的是未知的边界条件 tl(τ )和 x 点上的温度变化规律 g(τ ) 之间的对应关系。
选择的方法
q Q q* g g* 以上看似合理的做法仅仅具有理论上的可行性，因为 通常是很大的集合，选择
q ← g(τ )
G
A −1
Q
g* 与
ql*是非常困难的。因此通常在
ql* ∈ Qs 使得对应的
Q 的子集
Qs 上选择
g
的距离最近。这种意义下的近似解称为拟解。
关于距离
• 两个元素之间的距离可以按照任意一种方 法来定义， • 在不同意义下的距离所对应的解可能是不 同的。
在研究返舱的返 回大气层时大气摩擦 产生的表面热流强 度，需要知道返回舱 外壁面的热流强度， 并以此为依据设计返 回舱的热防护和热控 设备。 理论上，如果我 们得到了表面的温 度，那么可以通过热 传导方程求出温度分 布，进而得到边界上 的温度梯度和热流密 度。
热传导正问题
不失一般性，这里以一个典型的问题为例，来引入热传 导正问题的概念。对于某个区域中的热传导问题，例如
如果能够找出一组
*
* * * * c0 ,c1 ,c2 ,c3
* g ，使得 (τ ) 与
g(τ )
最近，则
之间的距离 ρ( g , g ) =
* l * 0 * 1
1 τm
∫
τm
0
g(τ ) − g (τ ) d τ
*
2
q = c + cτ + cτ + cτ
* 2 2
* 3 3
是所求的近似解。
1 2 1 2
在达到恒定状态后，其温度分布为
ω 2 t ( x, τ ) ω 2 = cos ωτ − x − ϕ exp − x t0 2a 2a
1 1
反问题的困难何在？
三个不同位置上的温度变化规律
t(x p ) = g(τ ) = known = ql(τ ) = const
x =L
λ = unknown t x =0 = 0
一般化的描述
b →g
A
B G
其中， b 代表待求变量，如未知的边界热流密度，
g A
表示已知条件，如已知的某点上的温度变化规律， 表示两者之间的对应关系。
抽象描述的举例：
如果能够找出一组
*
* * * * c0 ,c1 ,c2 ,c3
* g ，使得 (τ ) 与
g(τ )
最近
之间的距离 ρ( g , g ) =
1 τm
∫
τm
0
g(τ ) − g (τ ) d τ
*
2
最终的解
ql(τ ) = c0 + c1τ + c2τ + c3τ
2 3
与之对应有
g(τ ) = c0 g 0(τ ), + c1 g1(τ ) + c2 g 2(τ ) + c3 g3(τ )
p
待求边界条件的反问题
∂t ∂ 2t = a ∂τ ∂x 2 t x =0 = 0 ∂t −λ ∂x 0 < x < L, τ > 0
t(x p ) = g(τ ) = known = ql(τ ) = unknown
x =L
t τ =0 = 0
待求物性参数的反问题
∂t ∂ 2t ρc = λ ∂τ ∂x 2 ∂t −λ = 0 ∂x x = 0 ∂t −λ ∂x 0 < x < L, τ > 0
ρ( g , g * ) = 1 τm
∫
τm
0
g(τ ) − g *(τ ) dτ
2
反问题的举例——冲击冷却研究
∂θ ∂ 2θ = a 2 ∂τ ∂x x = 0θ = 0 ∂θ x = l ql(τ ) = −λ = unknown ∂x x = x p θ = g(τ ) = known τ = 0θ = 0
ω 2 exp x 2a
1
衰减对反演的影响
而在研究反问题时，内部点上的温度是测量得到的， 不可避免地带有误差，这些误差对应了边界上的温度 变化时，就会被放大，频率越高放大倍数越大，测量 点离壁面距离越远，放大倍数越大