一类热传导方程逆时反问题的数值解法

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一类热传导逆时问题的数值解法

一类热传导逆时问题的数值解法
一类热传导逆时问题是指从特定的边界条件出发，求解某一时刻之前全部时段的温度分布的问题。

该问题的数值解法主要分为三步：
1. 由已知的边界条件计算出最后一时刻的温度分布。

2. 通过求解一类热传导方程，求解该时刻的温度分布。

3. 迭代求解前一时刻的温度分布，直到抵达指定的初始时刻。

在第二步中，采用有限差分法求解一类热传导方程，即空间区域内的温度随时间变化情况。

考虑到火焰扩展的影响，将空间区域分割成多个小格子，并采用有限差分技术，通过对温度在每个格子上的表达式进行求解，来求解某一时刻的温度分布。

在第三步中，采用迭代法，根据当前时刻的温度分布，求解上一时刻的温度分布，直到抵达指定的初始时刻，从而完成一类热传导逆时问题的数值解法。

热传导方程反问题

热传导方程反问题热传导方程反问题是指在已知温度分布的情况下，通过测量边界上的温度来确定材料的热传导系数。

这个问题可以用数学模型来描述，即热传导方程。

热传导方程是描述物质内部温度分布随时间和空间变化的偏微分方程。

它可以用以下形式表示：∂u/∂t = α∇^2u其中，u表示温度分布，t表示时间，α表示热传导系数，∇^2表示拉普拉斯算子。

在反问题中，我们已知边界上的温度分布和时间变化情况，需要求解未知的热传导系数α。

为了解决这个问题，可以采用逆问题方法。

逆问题方法是一种数学处理方法，在已知输出数据和输入模型之间寻找最优解。

在热传导方程反问题中，逆问题方法可以通过以下步骤进行：1. 建立正问题模型：根据已知条件建立热传导方程，并求解出温度分布。

2. 确定目标函数：目标函数是一个衡量模型输出与实际观测值之间差异的指标。

在本例中，目标函数可以定义为测量值与模拟值之间的平均误差。

3. 选择逆问题方法：逆问题方法有很多种，包括正则化方法、贝叶斯方法、遗传算法等。

在本例中，可以采用最小二乘法。

4. 求解逆问题：根据正问题模型和目标函数，使用最小二乘法求解未知的热传导系数α。

热传导方程反问题的求解过程中需要注意以下几点：1. 数据收集：在进行反问题求解前需要收集足够的数据，包括边界上的温度分布和时间变化情况。

2. 正确建立模型：建立正问题模型时需要考虑材料的物理特性和实际情况，并进行合理简化。

3. 选择合适的逆问题方法：不同的逆问题方法适用于不同类型的反问题，需要根据具体情况选择合适的方法。

4. 对结果进行验证：求解出热传导系数后需要对结果进行验证，比较模拟值与实际观测值之间的差异，以评估求解结果的可靠性和精度。

总之，热传导方程反问题是一种重要的数学处理方法，在工程领域中具有广泛应用。

通过正确建立模型、选择合适的逆问题方法和对结果进行验证，可以求解出未知的热传导系数，为工程设计和优化提供有力支持。

《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》

《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》篇一一、引言热传导是物理学中一个重要的研究领域，涉及到众多工程和科学问题。

在工程应用中，热传导正问题和反问题的求解具有重要的实际意义。

正问题主要关注于给定初始条件和边界条件下的温度分布预测，而反问题则尝试从观测到的温度数据推断出系统的物理参数或边界条件。

本文将详细探讨求解热传导正问题和反问题的数值方法，并对这些方法进行研究和比较。

二、热传导正问题的数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的求解热传导正问题的数值方法。

该方法将连续的物理空间离散化为差分网格，通过求解差分方程来获得温度分布。

有限差分法的优点是计算简单、速度快，但可能存在数值稳定性和精度问题。

2. 有限元法有限元法是一种更为精确的求解热传导正问题的数值方法。

该方法将物理空间划分为有限个单元，通过求解一系列线性方程组来获得温度分布。

有限元法具有较高的精度和灵活性，适用于复杂几何形状和材料属性。

三、热传导反问题的数值方法1. 反投影法反投影法是一种基于观测温度数据推断系统物理参数的数值方法。

该方法通过迭代计算，将观测温度数据与计算温度数据进行比较，不断调整系统参数以使两者尽可能接近。

反投影法的优点是简单易行，但可能存在收敛速度慢和局部最优解的问题。

2. 优化算法优化算法是一种基于最优化理论求解热传导反问题的数值方法。

该方法通过构建目标函数（如最小化观测与计算温度之差的平方和），然后采用最优化算法（如梯度下降法、最小二乘法等）来求解最优的物理参数或边界条件。

优化算法具有较高的精度和稳定性，但计算量较大。

四、研究方法及实验结果分析本文采用有限元法求解热传导正问题，并采用优化算法求解热传导反问题。

首先，我们构建了包含各种材料属性和几何形状的物理模型，然后通过有限元法对正问题进行求解，获得温度分布的预测值。

接着，我们根据观测到的温度数据和预测值之间的差异，采用优化算法对系统参数或边界条件进行迭代优化，直至达到收敛条件。

一类热传导方程的反问题

１引言
本文我们讨论的反问题是利用伴随问题方法解决热传导方程中的参数识别问题（即由测量的温度来确定物质的热参数）。
我们考虑如下的一类热传导方程的初始边值问题：ｆｋ Ⅱ Ⅱ） Ⅱ ＝（（２）
（ｔＥＱ，）ｒ

｛（０： Ⅱ ，）０
ｐｏｃ￣ａｅｅｔｑａｏｓｒａｈｌｔｄｔｈａｕｔｎ．ｏｅｉ
ＫｙｏｄＨｅｔｑａｏＣｅｆｉｔｄｎｆａｏＩｖｒｒｌｓＡｊｉｍｅｐｒｃｅｗｒｓａｅｕｔｎｏｆｅｅｔｃｔｎｎｅｅｐｂｍｄｎｐＮｍａｐａｈｉｉｎｉｉｉｃｉｓｏｅｏｔｏ
『Ｍ（ｔｘ＝ｇ）（￡ｔ１，ｄＩ（１ｄＦ）ｔ￡，ｄ）
Ｑｒｏ
（）２．３
在（．）２２中应用极大值原理，可得（，）０再由条件（可得：１ｔ＞，ａ）
ｌＭ（ｔｄｔ０ＶＦ，）０Ｆ）ｄ１，ｘ＞，（ｔ＞
一
类热传导方程的反问题
王柏育
（中南大学数学科学与计算技术学院，长沙，１０５４０７）
摘要在本篇文章中，主要研究的是用伴随问题方法解决热传导方程反问题中的系数识别问题。
关键词热传导方程系数识别反问题伴随问题方法
Ｉｖｒｅｐｏｌｍｓｉｌｓｆｈａｑａｉｎｎｅｓｒｂｅｎａｃａｓｏｅｔｅｕｔｏｓ
ｒ＋ｋＭ（２＝Ｆ（ｔ（ｔ ∈ Ｑ），），）
（１２．）

变系数热传导方程反初值问题的拟边值方法

第28卷㊀第5期2023年10月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.5Oct.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀变系数热传导方程反初值问题的拟边值方法杨天浩,㊀孙㊀伟(哈尔滨理工大学理学院,哈尔滨150080)摘㊀要:针对一维区域上带有时间依赖系数的非齐次热传导方程的反初值问题,采用拟边值方法求解此问题㊂首先根据分离变量法得到问题的解,并根据问题解的表达式构造了正则化解;其次在原问题的解满足某些先验条件下,给出正则化参数选取的先验和后验方法,并在理论上严格证明了在此参数选取准则下,一维热传导方程反初值问题正则化解的收敛性;最后通过数值模拟表明,拟边值方法对于求解此反初值问题是有效和稳定的㊂关键词:不适定问题;正则化参数;拟边值方法;热传导方程;误差估计DOI :10.15938/j.jhust.2023.05.017中图分类号:O241.8文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)05-0136-07Quasi-boundary Value Method for Backward Heat Conduction Equation with Variable CoefficientsYANG Tianhao,㊀SUN Wei(School of Science,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China)Abstract :Aiming at the problem of inhomogeneous backward heat conduction equation with time-dependent coefficients in a one-dimensional region,the quasi-boundary value method is used to solve this problem.Firstly,the solution of the problem is obtained by separating variables,and according to the expression of the solution of the problem,the regular solution is constructed;secondly,when the solution of the original problem satisfies some prior conditions,the priori and posteriori methods for the regularization parameter are given respectively,and the convergence of the regularization solution of the problem of one-dimensional backward heat conductionequation under this parameter selection criterion is strictly proved;finally,numerical simulation shows that quasi-boundary value method is effective and stable.Keywords :ill-posed problem;regularization parameter;quasi-boundary value method;heat conduction equation;error estimation㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-05-22基金项目:黑龙江省自然科学基金(LH2020A015).作者简介:杨天浩(1998 ),男,硕士研究生.通信作者:孙㊀伟(1982 ),女,博士,副教授,E-mail:mathsunwei@.0㊀引㊀言热传导方程的反初值问题也被称为逆时问题,是热传导方程反问题的一种,在很多实际问题中有着广泛应用,例如热流㊁遥感技术㊁航天防护服表面温度控制等㊂此类问题是一个不适定问题[1],很难用传统的方法来解决,为了得到稳定的近似解,国内外学者对这类问题进行了研究,提出了很多方法,例如Tikhonov 正则化方法[2-3]㊁滤波正则化方法[4]㊁拟逆方法[5-8]㊁拟边值方法[9-18]等㊂但目前大部分研究还是集中在齐次方程且测量数据只有一个,或者常系数非齐次方程的反初值问题,对变系数非齐次方程的研究较少,并且大部分研究只给出了正则化参数的先验选取策略,针对后验选取规则的研究也很少㊂本文考虑如下一个一维带有时间依赖系数的非齐次热传导方程的反初值问题,u t (x ,t )-a (t )u xx (x ,t )=f (x ,t ),0ɤx ɤL ,0ɤt ɤT u (0,t )=u (L ,t )=0,0ɤt ɤT u (x ,T )=g (x ),0ɤx ɤL üþýïïï(1)其中f (x ,t )是关于t 的连续可微函数且f (x ,t )ɪL ɕ(0,T ;L 2[0,L ]),g (x )ɪL 2[0,L ],a (t )ɪC ɕ[0,T ],且存在正常数m 和d ,使得0<m ɤa (t )ɤd反初值问题就是利用g (x )和f (x ,t )带有噪声的测量数据g δ(x ),f δ(x ,t ),求解u (x ,0)=ʒφ(x )㊂假设测量数据满足条件:g δ(x )-g (x ) L 2[0,L ]ɤδf δ(x ,t )-f (x ,t ) L ɕ(0,T ;L 2[0,L ])ɤδ本文使用拟边值方法求解这个问题,拟边值方法也称为非局部边值方法,是一种用新的近似条件代替终值条件或边界条件的正则化方法,最早由Showalter [9]提出㊂拟边值方法已经被应用于求解各种类型方程的反问题中,例如,分数阶扩散方程[19-20]㊁非线性抛物方程[21]㊁椭圆型方程[16]等㊂Triet Minh Le 等在文[14]中提出了一种改进的正则化方法来求解问题(1),并给出了一种特殊情况下的正则化参数的先验选取规则㊂马宗立等[22]把这一方法推广到二维圆域上给出了误差估计㊂除此之外,还未见到其他文献研究此问题㊂本文所用的拟边值方法在求解u (x ,0)时,与文[14]的方法是等价的,但是这两种方法计算正则化解的方式是不同的;文[14]中的正则化解的计算需要用到椭圆算子的特征值和特征函数,所以很难将其推广到高维一般区域中,而本文所使用的拟边值方法可以实现㊂本文不仅给出了正则化参数的先验选取规则,也研究了当解满足某种先验条件时的后验选取策略,根据相关引理和定理推导了正则化解和精确解的误差估计,最后用数值算例验证本文所采用的拟边值方法求解变系数热传导方程的反初值问题具有可行性㊂下面用(㊃,㊃)和㊃分别表示L 2[0,L ]上的内积和范数㊂根据分离变量法,问题(1)的解形式上可以表示为u (x ,t )=ðɕn =1(e -λn A (t )φn +ʏt 0e-λn (A (t )-A (τ))f n (τ)d τ)ωn (x )其中A (t )=ʏta (s )d s ,ωn (x )=2L sin n πx L,λn =n 2π2L 2,f n (t )=(f (x ,t ),ωn (x )),φn =(φ(x ),ωn (x )),再令上式中t =T ,得到g (x )=ðɕn =1(e -λn A (T )φn +ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τ)ωn (x )故φ(x )=ðɕn =1g n -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τe -λn A (T )ωn (x )(2)当n ңɕ时,λn ңɕ,(e -λn A (T ))-1ңɕ,故问题(1)是不适定的㊂定义算子K [23]:L 2[0,L ]ңL 2[0,L ],(Kφ)(x )=ʏL 0k (x ,ξ)φ(ξ)d ξ其中k (x ,ξ)=ðɕn =1e -λnA (T )ωn (x )ωξ(ξ),不难看出K :L 2[0,L ]ңL 2[0,L ]是一个线性自伴紧算子㊂1㊀拟边值方法采用拟边值方法求解问题(1),修改(1)中的终值条件u (x ,T )=g (x ),得到如下问题:u μ,δt (x ,t )-a (t )u μ,δxx (x ,t )=f δ(x ,t ),0ɤx ɤL ,0ɤt ɤT u μ,δ(0,t )=u μ,δ(L ,t )=0,0ɤt ɤTu μ,δ(x ,T )+μu μ,δ(x ,0)=g δ(x ),0ɤx ɤLüþýïïï(3)其中μ为正则化参数㊂利用分离变量法得到,φμ,δ(x )ʒ=u μ,δ(x ,0)=ðɕn =1g δn -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f δn(τ)d τμ+e-λn A (T )ωn (x )(4)上式即为拟边值方法构造的正则化解㊂定义φμ(x )=ðɕn =1g n -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τμ+e -λn A (T )ωn (x )(5)1.1㊀正则化参数的先验选取规则引理1[22]㊀令η>0,0ɤa ɤb ,则对任意的k >0,都有e ka 1+ηe kbɤη-a b引理2㊀若p ȡ2,则对任意的n ,有μ(e λn A (T ))2-p41+μe λn A (T )ɤC 2μ其中C 2是与n 无关的常数㊂证明:由p ȡ2,易得731第5期杨天浩等:变系数热传导方程反初值问题的拟边值方法μ(e λn A (T ))2-p41+μe λn A (T )ɤμ(e λn A (T ))2-p 4=μ(e λn A (T ))p -24ɤμ(eλ1A (T ))p -24ɤC 2μ引理3㊀给定ðɕn =1g n -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τ和f (x ,t )ɪL ɕ(0,T ;L 2[0,L ]),有ðɕn =1(g n -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τ)ωn (x ) ɤ2( g 2+M f 2L ɕ(0,T ;L 2[0,L ]))其中M=ðɕn =1(ʏT0e -λn(A (T )-A (τ))d τ)2㊂证明:与文[16]中引理2.4类似㊂定理1㊀若0<μ<1,问题(1)有精确解φ(x ),1)如果存在常数p 和E 1,满足(ðɕn =1λp n φ2n )12ɤE 1<+ɕ,则有φμ(x )-φ(x ) ɤC 1E 1A (T )-ln μ()p 2(o (1)+1)(μң0+)2)如果存在常数p 和E 2,满足(ðɕn =1epλn A (T )φ2n)12ɤE 2<+ɕ,则有φμ(x )-φ(x ) ɤμP2E 2,0<p <2C 2μE 2,p ȡ2{其中C 1,C 2为正常数㊂证明φμ(x )-φ(x ) =ðɕn =1μμ+e-λn A (T )g n -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τe-λn A (T )()()2()12若φ(x )满足条件1),则, φμ(x )-φ(x ) 2=ðɕn =1μ2λ-pn(μ+e -λn A (T ))2λp n φ2n当λn A (T )ɤ1时,令S 1=ðλnA (T )ɤ1μ2λp n φ2nλpn(μ+e-λn A (T ))2ɤðλnA (T )ɤ1μ2λ-p n e 2λnA (T )(λp n φ2n )ɤðλnA (T )ɤ1μ2λ-p 1e 2(λp n φ2n )当λn A (T )>1时,令μZ n =e -λn A (T )<1,则λn =-ln(μZ n )A (T ),令S 2=ðλn A (T )>1μ2λp n φ2nλp n (μ+e-λn A (T ))2=ðλn A (T )>1μ2(μ+μZ n )2(-ln(μZ n )A (T ))-p λp n φ2n =ðλn A (T )>1-A (T )ln μ()p1(1+Z n )2ln μln(μZ n )()pλp n φ2n 再令γn =1(1+Z n )2ln μln(μZ n )()p,下证γn 一致有界㊂若0<Z n ɤ1,则ln(μZ n )ɤln μ<0,γn =1(1+Z n )2ln μln(μZ n )()pɤ1若Z n >1,则ln Z n >0,ln(μZ n )=-λn A (T )<-1,接下来有0<ln μln(μZ n )=1-ln Z n ln(μZ n )<1+ln Z n则γn ɤ(1+ln Z n )p (1+Z n )2ɤ(1+ln Z n )p 1+Z n <(1+ln Z n )pZ n =ʒq (Z n )又因为q ᶄ(Z n )=p (1+ln Z n )p -1-(1+ln Z n )pZ 2n,故γn ɤq max (Z ∗n )=p p e1-p=ʒQ p ,所以γn 一致有界㊂当μң0+,则φμ(x )-φ(x ) 2ɤ(μ2λ-p 1e 2+Q p-A (T )ln μ()p )ðɕn =1λp n φ2nɤC 21E 21(-A (T )ln μ)p(o (1)+1)其中C 21=max{λ-p 1e 2,Q p }㊂若φ(x )满足条件(2),有φμ(x )-φ(x ) =ðɕn =1μe -λn p2A (T )μ+e-λn A (T )eλn p2A (T )φn()2()12再由引理1和引理2,得 φμ(x )-φ(x ) ɤμP2E 2,0<p <2C 2μE 2,p ȡ2{(6)定理得证㊂定理2㊀在定理1的条件下,1)若存在常数p 和E 1,满足(ðɕn =1λp nφ2n)12ɤE 1<+ɕ,令μ=δE 1()1A (T )ln E 1δ()p 2,有φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ(2(M +1)+C 1)831哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀E 11A (T )ln E 1δ()-p2(o (1)+1)(δң0+)2)若存在常数p 和E 2,满足(ðɕn =1epλn A (T )φ2n)12ɤE 2<+ɕ,有(a)当0<p <2时,令μ=(δE 2)2p +2,则φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ(2(M +1)+1)δpp +2E 2p +22(b)当p ȡ2时,令μ=δE 2()12,则φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ(2(M +1)+C 2)E 122δ12证明φμ,δ(x )-φμ(x ) 2=ðɕn =1g δn -ʏTe -λn (A (T )-A (τ))f δn (τ)d τμ+e -λn A (T )()-g n -ʏTe -λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τμ+e -λn A (T )ωn (x )2ɤ2ðɕn =1(g δn -g n )2+|ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))(f δn (τ)-f n (τ))d τ|2(μ+e-λn A (T ))2()ɤ2ðɕn =1gδn-g n μ()2+2M ðɕn =1f δn (τ)-f n (τ)μ()2ɤ2(M +1)δ2μ2故φμ,δ(x )-φμ(x ) ɤ2(M +1)δμ(7)根据三角不等式,φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ φμ,δ(x )-φμ(x ) + φμ(x )-φ(x ) ,结合定理1,当φ(x )满足条件1),则φμ,δ(x )-φ(x ) ɤC 1E 1A (T )-ln μ()p 2(o (1)+1)+2(M +1)δμ令μ=δE 1()1A (T )ln E 1δ()p 2,当δң0+,有φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ(2(M +1)+C 1)E 11A (T )ln E 1δ()-p2(o (1)+1)当φ(x )满足条件2),则φμ,δ(x )-φ(x ) ɤμP 2E 2+2(M +1)δμ,0<p <2C 2μE 2+2(M +1)δμ,p ȡ2ìîíïïïï故当0<p <2时,令μ=δE 2()2p +2,有φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ(2(M +1)+1)δpp +2E 2p +22当p ȡ2时,令μ=δE 2()12,有φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ(2(M +1)+C 2)E 122δ12定理得证㊂1.2㊀正则化参数的后验选取规则应用偏差原理,选择以下方程的解作为正则化参数:μ(K +μI )-1(Kφμ,δ(x )-ðɕn =1(g δn-ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f δn (τ)d τ)ωn (x )) =τδ其中τ>2(M +1)是一个常数㊂引理5㊀令ρ(μ)= μ(K +μI )-1(Kφμ,δ(x )-ðɕn =1(g δn-ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f δn (τ)d τ)ωn (x ))如果(ðɕn =1(g δn-ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f δn(τ)d τ)2)12>τδ,则有(a)ρ(μ)是一个连续函数;(b)lim μң0ρ(μ)=0;(c)lim μңɕρ(μ)=ðɕn =1(g δn -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f δn(τ)d τ)2;(d)对任意的μɪ(0,ɕ),ρ(μ)是一个严格增函数㊂证明:与文[16]中引理3.2.1类似㊂定理3㊀令φ(x )为问题(1)的精确解,φμ,δ(x )为正则化解,μ为正则化参数;如果存在常数p 和E 2,满足(ðɕn =1epλn A (T )φ2n)12ɤE 2<+ɕ,有以下结论,φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ(τ+2(M +1)p p +2+2(M +1)(㊃㊀㊀1τ-2(M +1)()2p +2)E 2p +22δpp +2,0<p <2(τ+2(M +1))12+2(M +1)(㊃㊀㊀C22τ-2(M +1)()12)E 122δ12,p ȡ2ìîíïïïïïïïïïïïï其中C 2为正常数㊂931第5期杨天浩等:变系数热传导方程反初值问题的拟边值方法证明㊀由三角不等式,φμ,δ(x )-φ(x ) ɤ φμ,δ(x )-φμ(x ) + φμ(x )-φ(x )当0<p <2时,由Hölder 不等式,有 φμ(x )-φ(x ) 2=ðɕn =1-μμ+e -λn A (T )φn ωn (x )2=ðɕn =1μe -λn A (T )μ+e-λn A (T )()p2μμ+e -λn A (T )()1-p2φn(e-λn A (T ))p 2()2=ðɕn =1μe-λn A (T )μ+e -λn A (T )()pμμ+e -λn A (T )()2p-p 2p+2φn(e-λn A (T ))p 2()2p p+2ˑμμ+e -λn A (T )()4-2p p +2φn(e-λn A (T ))p 2()4p +2ɤðɕn =1(μe-λn A (T )μ+e -λn A (T )()pμμ+e -λn A (T )()2p -p 2p +2(ˑφn(e -λn A (T ))p 2()2p p +2)p +2p)p p +2ˑðɕn =1μμ+e -λn A (T )()4-2p p +2φn(e-λn A (T ))p 2()4p +2()p +22()2p +2=ðɕn =1μe-λn A (T )μ+e -λn A (T )()p+22μμ+e -λn A (T )()1-p2φn(e-λn A (T ))p 2ωn (x )2p p+2ˑðɕn =1μμ+e -λn A (T )()1-p2φn(e-λn A (T ))p 2ωn (x )4p +2ɤðɕn =1μμ+e -λn A (T )()2φne-λn A (T )ωn (x )2p p +2ðɕn =1φn(e-λn A (T ))p 2ωn (x )4p +2ɤðɕn =1μμ+e-λn A (T )()2(g n -ʏT0e -λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τ)ωn (x )2pp+2E 4p+22ɤðɕn =1μμ+e -λn A (T )()2(g n(x )-g δn(x )-(ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))(f n (τ)-f δn (τ))d τ)ωn (x )+ðɕn =1μμ+e -λn A (T )()2㊃(g δn(x )-ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f δn (τ)d τ)ωn (x ))2p p +2E 4p +22ɤ(τ+2(M +1))2p p +2δ2pp +2E 4p +22即φμ(x )-φ(x ) ɤ(τ+2(M +1))p p +2δp p +2E 2p +22(8)当p ȡ2时,可以得到 φμ(x )-φ(x ) 2=ðɕn =1-μμ+e -λn A (T )φn ωn (x )2=ðɕn =1μe -λn A (T )μ+e -λn A (T )φn e -λn A (T )()2=ðɕn =1μe -λn A (T )μ+e -λn A (T )()2φne -λn A (T )φne -λn A (T )ɤðɕn =1μe -λn A (T )μ+e-λn A (T )()2φne -λn A (T )()2()12ðɕn =1φne-λn A (T )()2()12ɤðɕn =1μμ+e-λn A (T )()2φn e -λn A (T )()2()12ðɕn =1φne -λn A (T )()2()12=ðɕn =1μμ+e -λn A (T )()2㊃(g n-ʏTe-λn (A (T )-A (τ))f n(τ)d τ)ωn(x )㊃(ðɕn =1e 2λn A (T )φ2n)12ɤðɕn =1μμ+e-λnA (T )()2(g n-g δn(-ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))(f n (τ)-f δn (τ))d τ)ωn (x )+ðɕn =1μμ+e -λn A (T )()2(gδn -ʏTe-λn (A (T )-A (τ))f δn (τ)d τ)ωn (x ))E2ɤ(δ2(M +1)+τδ)E 2故有φμ(x )-φ(x ) ɤ(τ+2(M +1))12E 122δ12(9)下面对1μ进行估计:τδɤðɕn =1μμ+e -λn A (T )()2((gn-g δn )-ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))(f n (τ)-f δn (τ))d τ)ωn (x )+ðɕn =1μμ+e -λn A (T )()2(g n -ʏT 0e-λn (A (T )-A (τ))f n (τ)d τ)ωn (x )ɤðɕn =1μ(e λn A (T ))2-p41+μe λn A (T )()2(e-λn A (T ))-p2φn()2()12+2(M +1)δ当0<p <2时,由引理1得ðɕn =1μ(eλn A (T ))2-p 41+μeλn A (T )()2(e -λn A (T ))-p 2φn()2()12ɤμ2+p2E 2当p ȡ2时,根据引理2,得ðɕn =1μ(e λn A (T ))2-p41+μe λn A (T )()2(e -λn A (T ))-p 2φn()2()12ɤE 2(C 2μ)2因此,41哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀1μɤ1τ-2(M +1)()22+pE 2δ()22+p,0<p <2C 22τ-2(M +1)()12E 2δ()12,p ȡ2ìîíïïïïï(10)联合式(7)㊁(8)㊁(9)和(10),可得到定理结论㊂2㊀数值实验本节将列出两个数值算例来显示方法的可行性㊂测量数据是通过添加随机扰动生成g δ=g +εg (2㊃rand(size(g ))-1)f δ=f +εf (2㊃rand(size(f ))-1)则误差水平δ=max{ε g ,ε f }㊂例1㊀令T =1,L =π,a (t )=2t +1,g (x )=u (x ,1)=x sin x e 2,f (x ,t )=-2(2t +1)cos xe t 2+t,则反初值问题的解为u (x ,0)=φ(x )=x sin x ㊂例2㊀令T =1,L =π,a (t )=2t +1,g (x )=u (x ,1)=2sin2x e 2,f (x ,t )=6(2t +1)sin2xe t 2+t,反初值问题的解为u (x ,0)=φ(x )=2sin2x ㊂例1的解满足(ðɕn =1λp n φ2n )12ɤE 1<+ɕ,如图1所示,本文只画出正则化参数先验选择规则下正则化解和精确解的图象;例2的解满足(ðɕn =1epλn A (T )φ2n)12ɤE 2<+ɕ,图2中画出了先验和后验正则化参数选择规则下近似解和精确解的图象;两个例子表明本文提出的正则化参数选取策略是有效的㊂图1㊀例1ε=0.001,p =2正则化解和精确解的比较Fig.1㊀The comparison of numerical effects between the exact solution and its regularization solutionfor Example 1:ε=0.001,p =2图2㊀例2ε=0.001,p =2正则化解和精确解的比较Fig.2㊀The comparison of numerical effects between the exact solution and its regularization solutionfor Example 2:ε=0.001,p =23㊀结㊀论本文考虑了带有时间依赖系数的一维热传导方程的反初值问题,采用拟边值方法构造正则化解,并分别给出了正则化参数的先验和后验选取准则,最后用数值算例验证了拟边值方法的有效性㊂参考文献:[1]㊀HADAMARD J.Lectures on the Cauchyᶄs Problems in Linear Partial Differential Equations[M].New Haven:Yale University Press,1923.[2]㊀LIU C S,CHANG C W,CHANG J R.Past Cone Dy-namics and Backward Group Preserving Schemes for Backward Heat Conduction Problems [J ].Computer Modeling in Engineering and Sciences,2006,12(1):67.[3]㊀HUANG Y Z,ZHENG Q.Regularization for a Class ofIll-posed Cauchy Problems[J].Proceedings of the Amer-ican Mathematical Society,2005,133(10):3005.[4]㊀QIN H H,WEI T.Some Filter Regularization Methodsfor a Backward Heat Conduction Problem [J].AppliedMathematics and Computation,2011,217(24):10317.[5]㊀ALEKSEEVA S M,YURCHUK N I.The Quasirevers-ibility Method for the Problem of the Control of an Initial Condition for the Heat Equation with an Integral Bounda-ry Condition [J ].Differential Equations,1998,34(4):493.[6]㊀CLARK G W,OPPENHEIMER S F.QuasireversibilityMethods for Non-well Posed Problems [J].Electronic Journal of Differential Equations,1994(8):1.141第5期杨天浩等:变系数热传导方程反初值问题的拟边值方法[7]㊀HUANG Y Z.Modified Quasi-reversibility Method for Fi-nal Value Problems in Banach Spaces[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2008,340(2):757.[8]㊀LIUJ J,YAMAMOTO M.A Backward Problem for theTime-fractional Diffusion Equation[J].Applicable Anal-ysis,2010,89(11):1769.[9]㊀SHOWALTER R E.The Final Value Problem for Evolu-tion Equations[J].Journal of Mathematical Analysis andApplications,1974(47):563.[10]HÀO D N,DUC N V,LESNIC D.Regularization of Par-abolic Equations Backward in Time by a Non-localBoundary Value Problem Method[J].IMA Journal of Ap-plied Mathematics,2010,75(2):291. [11]TRONG D D,QUAN P H,TUAN N H.A QuasiboundaryValue Method for Regularizing Nonlinear Ill-posed Prob-lems[J].Electronic Journal of Differential Equations, 2009(109):1.[12]HÀO D N,DUC N V,SAHLI H.A Non-local BoundaryValue Problem Method for Parabolic Equations Backwardin Time[J].Journal of Mathematical Analysis and Appli-cations,2008,345(2):805.[13]FENG X L,ELDEN L,FU C L.A Quasi-boundary-valueMethod for the Cauchy Problem for Elliptic Equations withNon-homogeneous Neumann Data[J].Journal of Inverseand Ill-posed Problems,2010,18(6):617. [14]LE T M,PHAM Q H,DANG T D,et al.A BackwardParabolic Equation with a Time-dependent Coefficient:Regularization and Error Estimates[J].Journal of Com-putational and Applied Mathematics,2013,237(1):432.[15]LIU J J.Numerical Solution of Forward and BackwardProblem for2-D Heat Conduction Equation[J].Journalof Computational and Applied Mathematics,2002,145(2):459.[16]YANG F,SUN Y R,LI X X,et al.The Quasi-boundaryValue Method for Identifying the Initial Value of Heat E-quation on a Columnar Symmetric Domain[J].NumericalAlgorithms,2019,82(2):623.[17]DENCHE M,BESSILA K.A Modified Quasi-boundaryValue Method for Ill-posed Problems[J].Journal ofMathematical Analysis and Applications,2005,301(2),419.[18]HÀO D N,DUC N V,LESNIC D.A Non-local BoundaryValue Problem Method for the Cauchy Problem for EllipticEquations[J].Inverse Problems,2009,25(5):055002.[19]WEI T,WANG J G.A Modified Quasi-boundary ValueMethod for the Backward Time-fractional Diffusion Prob-lem[J].European Series in Applied and Industrial Math-ematics:Mathematical Modelling and Numerical Analy-sis,2014,48(2):3.[20]WANG J G,ZHOU Y B,WEI T.A Posteriori Regulari-zation Parameter Choice Rule for the Quasiboundary Val-ue Method for the Backward Time-fractional DiffusionProblem[J].Applied Mathematics Letters,2013,26:741.[21]HÀO D N,DUC N V,LESNIC D.Regularization of Par-abolic Equations Backward in Time by a Non-localBoundary Value Problem Method[J].IMA Journal of Ap-plied Mathematics,2010,75:291.[22]MA Z L,YUE S F.Stability of the Backward Problem ofParabolic Equation with Time-dependent Reaction Coeffi-cient[J].Journal of University of Science and Technolo-gy of China,2019,49(5):345.[23]KIRSCH A.An Introduction to the Mathematical Theoryof Inverse Problems[M].New York:Springer,1996.(编辑:温泽宇)241哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀。

传热学反问题

传热学反问题传热学反问题是一种应用广泛的问题形式，在工程领域、生物医学领域和环境科学领域等都有着重要的应用。

它的核心是利用已知的热源和温度分布信息推导出热传导系数、传热通量和表面温度等未知量，从而解决实际问题。

下面将分步骤阐述传热学反问题的解决过程。

步骤一：建立反问题的数学模型传热学反问题的首要任务就是建立合适的数学模型。

这个模型包括一些方程组成的系统，用于描述传热过程的基本规律。

其中，最重要的方程是热传导方程，它可以描述热量在空间中的传递规律，通常表示为：∂(ρcT)/∂t=k∇2T+Q其中，ρ是物质的密度，c是比热容，T是温度，t是时间，k是热传导系数，Q是热源项，∇2是拉普拉斯算符。

步骤二：收集观测数据传热学反问题需要使用实验或数值模拟等方法来获取观测数据。

这些数据包括热源位置和大小、表面温度分布，以及边界条件等。

这些数据可以帮助我们更好地了解实际问题，从而优化数学模型。

步骤三：调整方程中的未知量在得到热源和温度分布的观测数据之后，我们需要利用这些数据来计算未知的热传导系数、传热通量、表面温度等参数。

这个过程通常需要使用数值计算方法，例如有限元法或反演算法等。

通过这些方法，我们可以优化方程式中的未知量，获得更准确的解。

步骤四：验证解的合理性最后，我们需要验证反问题的解是否合理。

这通常需要使用正问题，即用已知的热传导系数、传热通量和表面温度等参数来计算温度分布。

如果计算出来的温度分布与实测数据符合，那么表明我们的解是可行的。

总之，传热学反问题是一种复杂的问题形式，需要结合数学、物理和计算机科学等多个学科的知识。

但是，它对于解决工程实际问题、提高环境保护和促进生物医学研究等方面有着不可替代的作用。

一类热传导方程逆时反问题的数值解法

一类热传导方程逆时反问题的数值解法葛美宝;徐定华【摘要】讨论一类热传导方程逆时反问题(BHCP)的数值解法.中心差分法的思想是基于对原问题只进行空间离散,转化为一个不适定的常微分方程组的初值问题,然后利用变量变换把该问题转化为一个适定的常微分方程组的初值问题,最后利用Runge-Kutta方法进行数值求解.数值结果说明了数值解与精确解吻合良好.%A numerical method of a backward heat conduction equation was discussed. The idea of central difference was based on the original problem of the space discreting only, and converted into an ill-posed ordinary differential equations with initial conditions. Then by employing the variable transformation, it was converted into a well-posed ordinary differential equations with initial conditions, which could be numerically solved by Runge-Kutta method. The Numerical results showed that the numerical solution were consistene with the exact solution.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)001【总页数】5页(P59-63)【关键词】热传导方程;反问题;中心差分法;数值解法【作者】葛美宝;徐定华【作者单位】浙江理工大学,科技与艺术学院,浙江,杭州,311121;浙江理工大学,理学院,浙江,杭州,310018【正文语种】中文【中图分类】O175.260 引言大量热传导方程的逆时反问题(BHCP)以不同的形式出现在热传导、流体学、材料学及工程科学的实际应用中．热传导方程反问题有着重要的应用价值，但也存在严重的不适定性，这种不适定性表现在解有可能不存在，即使存在也可能不稳定，即测量数据的微小变化将引起解的急剧变化，从而导致数值处理的极端困难．因此，这类反问题的研究吸引了国内外众多学者的关注，同时得到了一些好的正则化方法和误差估计［1-9］．如:Latter和 Lion［1］，Showalter［2］及 Ames等［3］利用拟逆法求解 BHCP 的数值解;熊向团等［4］利用中心差分法和拟逆法求解了一类不含源项的热传导方程反问题的数值解，得出了解的稳定性估计;Denisov［5］讨论了在三维空间中含有自伴椭圆算子抛物型方程的反问题，通过拟解法进行数值模拟，同时给出了正问题解的稳定性估计和拟解的存在性结果;葛美宝等［9］讨论了一类含源项ρ(t)u(x，t)的抛物型方程逆时反演的拟解法，并给出了正问题解的稳定性估计．本文利用文献［4］的中心差分算法求解了一类含源项q(x)u(x，t)的逆时反问题的数值解法，数值结果表明了中心差分方法的有效性和可行性．为了叙述简单起见，本文仅以一维区域为例．本文的方法可推广至更加广泛的反应扩散方程［10］，考虑有界区间上的反问题，对二维情形同样适用．热传导方程逆时反问题(BHCP):设 QT=［a，b］×［0，T］，求初始分布函数式(1)中:u(x，t)是下面问题的解:D为热传导系数，q(x)为源项系数．1 中心差分方法本文利用文献［4］中的中心差分方法求解反问题(式(2))．利用中心差分代替uxx，得到方程如下:令 t^=T-t，w(x，t^)=u(x，t)，则可得到根据二阶中心差分，在xi处用差商代替微分wxx，则式(4)变形为式(5)中:xi=a+(i-1)h，i=1，2，…，M+1;h=(b-a)/M;wi=wi(t^)=w((i-1)h，t^)．则由方程式(3)中的边界条件可知:w1(t^)=l(t^)，w2n+1(t^)=s(t^)．此时方程(5)加上初始条件可得:这是一个带有初始条件的非线性常微分方程组，对式(6)～式(7)的求解在数值计算上有很多方法，如欧拉法、龙格库塔方法和线性多步法等．但是根据矩阵A特征值的计算方法，上面的特征值于是，现在做如下的变换:其中α＞0为压缩因子．此时，式(5)变为同理可以得到:取，矩阵β的特征值全部为负，由文献［4］可知，利用龙格库塔方法对式(9)、式(10)进行求解是稳定的．根据式(9)、式(10)得到2 数值模拟在这一部分中，笔者将运用中心差分法求解具体的实例，然后通过Matlab［11］上机进行数值模拟，从而说明该算法的有效性．考虑下面的正问题:根据差分格式(12)，可以计算出2种情形中u(x，T)的数值，结果如图1所示．图1 由式(12)计算得到u(x，T)的数值解根据上述反问题的求解算法，利用图1中已经计算的数值解u(x，T)=ψ(x)，反求u(x，0)的数值解，结果见图2(情形1)和图3(情形2)．图2 u(x，0)数值解与精确解的比较，β =3，m=20，n=11(情形1)图3 u(x，0)数值解与精确解的比较，β =3，m=5，n=10(情形2)3 结论利用中心差分法求解了一类含源项q(x)u(x，t)的热传导方程逆时反问题．当T，M，N，b取不同值时，对精确解和数值解进行数值模拟，结果表明:1)反问题的稳定性依赖于终止时间，随着终止时间T的增加，反问题的稳定性逐渐降低;反演的时间间隔越长，结果的精确度越低．2)利用该方法求解热传导方程逆时反问题具有稳定性好、精度高的特点，值得在实际应用中采用，而且这种方法也可推广到高维的情形．3)反问题的结果与正则化参数β的选取有很大关系，一般要求β≥2．β值具体如何选取，还需要进一步的研究．参考文献:［1］Lattes R，Lions J L．The Method of Quasi-Reversibility，Applicationsto Partial Differential Equations［M］．New York:Elsevier，1969．［2］Showalter R E．The final value problem for evolution equations ［J］．J Math Anal Appl，1974，47(5):563-572．［3］Ames K A，Gordon W C，Epperson J F．A comparison of regularizations for an ill-posed problem［J］．Math Comput，1998，67(12):1451-1471．［4］Xiong Xiangtuan，Fu Chuli，Qian Zhi．Two numerical methods for solving a backward heat conduction problem［J］．Math Comput，2006，179(9):370-377．［5］Denisov A M．Element of the theory of inverse problem ［M］．Utrecht:VSP BV，1999．［6］Hasanov A，Mueller J L．An umerical method for backward parabolic with non-selfadjoint elliptic operators［J］．Applied Numerical Mathematics，2001，37(13):55-58．［7］Elden L．Time discretization in the backward solution of parabolic equation［J］．Math Comp，1982，39(11):53-68．［8］刘继军．不适定问题的正则化方法及应用［M］．北京:科学出版社，2005．［9］葛美宝，徐定华，王泽文，等．一类抛物型方程反问题的数值解法［J］．东华理工大学学报，2006，29(3):284-288．［10］叶其孝，李正元．反应扩散方程引论［M］．北京:科学出版社，1999．［11］张志涌．精通MATLAB5［M］．3版．北京:北京航空航天大学出版社，2000．［12］孙志忠．偏微分方程数值解法［M］．北京:科学出版社，2005．。

热传导方程的反问题(二)

热传导方程的反问题(二)热传导方程的反问题简介热传导方程是描述物质内部温度分布及其随时间变化的方程。

在实际问题中，我们常常需要根据已知的物理量推断未知的参数或场景。

这就引出了热传导方程的反问题，也称为参数估计或边界估计问题。

相关问题1.参数估计问题–问题描述：给定初始条件、边界条件和观测数据，如何估计热传导方程中的未知参数？–解决方法：采用数值优化或统计学方法进行参数估计，如最小二乘法、贝叶斯推断等。

2.边界估计问题–问题描述：给定初始条件、已知参数和观测数据，如何估计热传导方程的未知边界条件？–解决方法：采用反问题理论中的边界控制法、拟静态法或等效源法进行边界估计。

3.初始条件估计问题–问题描述：给定边界条件、已知参数和观测数据，如何估计热传导方程的未知初始条件？–解决方法：采用反问题理论中的初始控制法、拟静态法或等效源法进行初始条件估计。

4.传热源估计问题–问题描述：给定初始条件、边界条件和已知参数，如何估计热传导方程中的未知传热源分布？–解决方法：采用反问题理论中的反投影法、正则化方法或贝叶斯推断进行传热源估计。

5.不适定问题–问题描述：由于观测数据的不完备或噪声干扰等因素，反问题可能变成不适定问题，即无法唯一确定未知量。

–解决方法：采用正则化方法、贝叶斯推断或降维等技术，对问题进行合理的约束或降低问题维度，以获得稳定的解。

总结热传导方程的反问题涉及参数估计、边界估计、初始条件估计、传热源估计以及不适定问题等方面。

通过采用数值优化、统计学方法、反问题理论及正则化方法等手段，可以解决这些问题，并推断出热传导方程中的未知量。

对于不适定问题，需要合理约束或降维，以获得可靠的解。

一类特殊热传导时间反向问题的求解方法

ＤＯＮＧａ —ｆｎ．ＨＵＣｈｏｅｇＲｕｉ—ｆｎａｇ
（．ｃｏｌｆｔｅａｉ，ｈｓｓｎｆｒａｉｎｉｅｒｇａＳｈｏｏｈｍｔｓＰｙｉｄＩｏｍｔｎＥｇｅｎ；Ｍａｃｃａｎｏｎｉ
ｂＮｎｕＣｌｇ，ｉｉｎｖｒｔ，ｉｉｇＺ￣ａｇ３４０）．ａｈｏｅｅＪｘｎＵｉｓｙＪｘｎ，ｈｉ１０１ｌａｇｅｉａｎ
ｌｓｍｅｈｄｅｓｔｏ
在许多自然科学和工程技术领域会不可避免地碰到偏微分方程反问题．所谓偏微分方程反问题，是相对偏微分方程正问题（即定解问题）而言的．若定解问题中某些已知条件变成未知条件，我们
要通过方程、定解条件和某些附加条件来确定这些未知量，这类问题就称为偏微分方程反问题．它一
问题的解分成特解和相应齐次问题的解两个部分：齐次解用基本解方法求解，而特解则是利用源项的特殊性
由相应方程的特征函数近似得到．并用多个算例证明了该方法的稳定性和有效性．
嘉兴学院学报ＪｕｎｌｆＪａｉｇＵｉｒｔｏｒａｉｎｎｖｓｙｏｘｅｉ
・５２・ຫໍສະໝຸດ １３６／ｉｉｓ．１ｏ —６１２．３０５０．９９．ｓｎ０８７８．０１Ｏ．０１
一

第4章_热传导问题的数值解法

式中，Fo＝
a h x 网格傅里叶数， Bi 网格毕渥数 x 2
14
4.4.5 一维平板非稳态导热显式格式离散方程及稳定性分析以第三类边界条件下厚度为2的大平板的数值计算问题作一归纳。如图4-10.
i＋1 i i i tn ＝Fo (t n 1 t n 1 ) (1 2 Fo t n ) 0 tn t0
i＋1 i i i i tn tn tn 1 t n 1 2t n a x 2 上式可改写为 i＋1 tn ＝
a i a i i ( t t ) ( 1 2 t ) n 1 n 1 2 2 n x x
求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度分布出发，根据边界条件以次求得以后各个时间层上的温度值，由上式可知，一旦i时层上各节点的温度已知，可立即求得i+1时层上各节点的温度，而不必联立方程，因而上式所代表的格式称为显式差分格式。
4.2 内节点离散方程的建立方法建立内节点离散方程的方法有：泰勒级数展开法热平衡法考察图4-3。
5
4.2.1 泰勒级数展开法以节点（m，n）处的二阶偏导数为例，对节点（m+1，n)及（m-1， n）分别写出函数t对（m，n）点的泰勒级数展开式：
t m1,n t m,n t m1,n t m,n t x t x 2t x 2 x m,n 2t x 2 x m,n x 2 3t 3 2 x x 2 3t 3 2 x x 3 (a) 6 x 3 (b) 6
9
（2）外部角点如图4-5所示。节点（m，n）的离散方程为
y t m1,n t m,n y x x t m,n1 t m,n x y qw qw Φm,n 0 2 x 2 2 2 y 2 2

热传导问题的数值解法

1. 空间离散化
01
将求解区域划分为一系列小的网格或节点，用离散的差分代替
微分。
2. 时间离散化
02
将时间轴划分为一系列小的时段，用离散的差分代替微分。
3. 初始条件和边界条件的离散化
03
将初始条件和边界条件转化为离散形式。
差分方程的求解
01
1. 迭代法
2. 直接法
02
03
3. 松弛法
通过迭代逐步逼近解，常用的有 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。
02
根据问题的几何特性和求解精度要求，选择合适的单元类型和
划分方式。
单元划分应尽量保证求解精度和计算效率。
03
建立系统方程
01
根据热传导的物理定律和边界条件，建立每个单元的热平衡方程。
02
将各个单元的方程联立起来，形成整个求解域上的系统方程。
03
系统方程通常为线性方程组，可以使用不同的求解方法进行求解。
步骤
首先将求解区域划分为一系列离散点，然后根据泰勒级数展开，将偏微分方程中的导数项用离散点上的函数值之差代替，从而得到离散化的差分方程。
特点
有限差分法简单直观，适用于规则区域，但对不规则区域处理较为复杂。
有限元法
定义
有限元法是一种将连续的求解区域离散化为有限个小的子域（即有限元），然后在每个子域上应用数学方法进行求解的方法。
热传导定律也称为傅里叶定律，指出热流密度与温度梯度成正比，方向由高温指向低温。数学表达式为：q = -k * grad(T)，其中 q为热流密度，k为导热系数，T为温度，grad表示梯度。
热传导定律是热传导过程的基本规律，描述了热量传递的方向和大小，是数值解法的基础。

一类热传导逆时问题的数值解法

ｉ
枷ｐ（）［］籀ｓｉｎ蛳ｐ（）［］籀ｓｉｎ
；；（１）
则当ｔ：０时，：有ｆｘ：（） ’）ｏ＝
。
ｎ
２构造与ＢＰ相应的适定的扰动问题Ｖ
在问题ＢＰ中，ｒ：一‘并记（ｒ：Ｈ，Ｖ令，，）（Ｔ一‘ ，Ｚ＝ａｎ丌Ｔ（．ａ＋（）记２／１．ｔ２ｄ—ｅ））则问题ＢＰ等价于下述问题Ｖ
摘要：虑了确定初始时刻温度颁的一类热传导方程递时反问题．用拟逆法思想对一类热传导逆时问题进行了分析，后考运最给出方程的差分格式，过传播因子法证明了差分格式的稳定性，通过数值算例验证算法的有效性．通并
Ｌ，）＝ｇ（ｕ（）
ｔ０ＴＥ（，）
Ｅ（ｄ）ｃ，
ＢＰＶ
记为Ｂ．是由边值条件和终点时刻ｔＢ＝Ｔ的值ｇ（求０）ｓｔ＜Ｔ时刻的值．文献［］明了Ｂ有解的３证
收稿日期：０７—１２００—２０
＝
Ｃｅｐ．ｘ（一
…
）ｊｓｎ
，
其中ｃ为待定系数．
下面考虑相应的反问题：
ｒ１，）＝０（，） “（ｔｕｔ（，）（，ｔ ∈ ｃｄ）×（Ｔ）０，
｛（，）０ｕｄ，）ｕｃｔ＝，（ｔ＝０
初始时刻ｔ＝０的温度ｆ），（时由于测量误差的存在，以几乎是不可能的．所拟逆法的基本思想是构造原来不适定反问题的扰动问题，其变成适定的问题，而用扰动问题的解近似原不适定的反问题的解．使进由于拟逆法简单易用，近年来，有许多文章对该法做了深入的探讨．如，者ＬｔｓＬｏｓＪＭｉｅＥ等已经运例作ａｅ和ｉ，ｌｒＪｔｎｌ用拟逆法近似求解了热传导逆时问题，刘继军也对拟逆法做了比较详尽的阐述，其在构造一维逆时热传但导问题的扰动问题时用到了四阶偏导数，且还加了相应的边值条件，就给数值求解扰动问题带来了难而这度．本文则运用拟逆法对一维逆时热传导问题进行了比较详细的介绍，并重新构造逆时热传导问题的扰动问题，最后运用差分法对扰动问题进行求解，数值算例表明算法是有效的．值得注意的是，文的方法也可推更本

热传导方程反问题

热传导方程反问题
热传导方程反问题是指从实际观测值（即边界条件和/或中间空间结果）出发，根据热传导方程求解局部或全局物理参数的问题。

从数学的角度看，热传导方程反问题是一个非线性反问题，它要求求解一个复杂的非线性方程组，以满足实际观测到的边界条件和/或中间空间结果。

在通常情况下，由于传热方程组的非线性性，热传导方程反问题不能直接求解，要求构建数值求解模型，并采用有效的迭代技术来求解。

常用的热传导方程反问题求解方法有有限元法、有限差分法和网格解析法，其中有限元法和有限差分法主要针对求解二维及三维的非线性热传导方程反问题，而网格解析法主要针对求解一维热传导方程反问题。

此外，热传导方程反问题也可以采用统计方法求解，其原理是构建统计模型，将实际观测到的边界条件和/或中间空间结果映射到实际物理参数，并建立一个反函数，从而得到所求的物理参数值。

- 1 -。

传热学-第4章-热传导问题的数值解珐

若步长∆x=∆y，有：，若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点控制容积的热平衡为：控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。）值不为零：（3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界：平直边界节点：平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有：，若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2

热传导方程的反问题(一)

热传导方程的反问题(一)热传导方程的反问题1. 概述 - 热传导方程是描述热量在物体内传输的数学模型。

- 反问题是指根据已知的热传导现象，推导出未知的物体性质或边界条件。

2. 反问题的分类 - 参数反问题：确定热传导方程中的参数，如热导率、热容量等。

- 初始条件反问题：确定初始温度分布。

- 边界条件反问题：确定物体的边界条件，如边界温度或热通量。

- 特征反问题：识别物质的特性，如材料种类或相变温度。

- 逆边值问题：通过测量数据来确定边界条件。

3. 参数反问题 - 假设已知热传导方程的形式和边界条件，需要估计方程中的参数。

- 可以使用数值优化方法或统计推断来求解参数的最优值。

- 参数估计的准确性影响正问题的解的可靠性。

4. 初始条件反问题 - 假设已知热传导方程的形式、边界条件和一些测量数据，需要推导出初始温度分布。

- 可以采用逆传播法、最小二乘法或Kalman滤波等方法来求解。

5. 边界条件反问题 - 假设已知热传导方程的形式、初始条件和一些测量数据，需要确定物体的边界条件。

- 可以使用敏感性分析、数值优化或正则化方法来求解。

6. 特征反问题 - 假设已知热传导方程的形式、边界条件和一些测量数据，需要识别物质的特性。

- 可以采用统计推断、机器学习或反问题理论来进行特性识别。

7. 逆边值问题 - 假设已知热传导方程的形式和边界条件，通过测量数据来确定边界条件。

- 可以采用反问题理论、数值优化或贝叶斯推断等方法来求解。

8. 结论 - 热传导方程的反问题是一类重要的数学物理问题，应用广泛于材料科学、地球物理学和工程领域。

- 解决热传导方程的反问题可以帮助我们理解和优化热传导现象，提高工程设计和材料性能评估的精度。

以上是关于热传导方程的反问题的相关问题及解释说明。

这些问题涉及到参数估计、初始条件推导、边界条件确定、特性识别和逆边值问题等方面。

解决这些问题有助于深入理解热传导现象，并在实际应用中提高精度和效率。

热传导方程反问题未知边界的稳定数值算法

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓａｃｏｍｍｏｎｏｎｅｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｐｏｒｏｕｓｍｅｄｉｕｍｌｆｏｗｉｎｐｈｙｓｉｃｓ．Ｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆａ
Ｖ０１．１６Ｎｏ．３
Ｊｕ１．２０１３
文章编号：１００８・５５６４（２０１３）０３－０００８－０４
热传导方程反问题未知边界的稳定数值算法
汪平
（１．南京航空航天大学理学院，南京２１００１６；２．金陵科技学院公共基础部，南京２１１１６９）
ＷＡＮＧＰｉｎｇ
（１．ＣｏＨｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓａｎｄＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１００１６，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａ￣ｍｅｎｔｏｆＥｌｅｍｅｎｔａｒｙＣｏｕｒｓｅｓ。ＪｉｎｌｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ２１１１６９－Ｃｈｉｎａ）

一维热传导方程求数值解

⼀维热传导⽅程求数值解⼀维热传到⽅程求数值解本⽂主要利⽤泰勒展开将⽅程中的⼀阶还有⼆阶偏导数进⾏离散化，推导出⼀种可以⽤程序求解的形式求解原理⼀维热传导⽅程\begin{align} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} \left ( x,t \right ) &=a^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}u(x,t)+f(x,t)\\ u(x,0)&=\varphi({x})\\u(a,t)&=\gamma_{1}(t)\\ u(b,t)&=\gamma_2(t) \end{cases} \end{align}由于热传导⽅程较为复杂，只能将⽅程中的⼀阶和⼆阶偏导进⾏离散化。

和欧拉法采⽤相同的思路，下⾯进⾏推导：将x与t分别在横坐标与纵坐标上进⾏划分x步长: \Delta{x}= \frac{b-a}{N}，得到关于x_j与t_n的表达式：\begin{aligned} x_j &= a + (j-1)\Delta{x} \\ t_n &= 0 + (n-1)\Delta{t} \\ \end{aligned}将函数进⾏近似替换u_j^n\approx u(x_j,t_n)根据泰勒展开将公式进⾏代换对于任意⼀个x_j对t进⾏展开：u(x_j,t_n+\Delta{t})=u(x_j,t_n)+\frac{\partial u}{\partial t} (x_j,t_n)\Delta{t}+···由于很难求出函数的偏导，所以需要将其所有偏导形式转换成容易求解出来的离散形式⾸先⽤⼀维热传导⽅程进⾏替换\frac{\partial u}{\partial t} (x_j,t_n) = a^2 \frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)+f(x_j,t_n)利⽤上式联⽴下⾯两个式⼦\begin{aligned} u(x_j+\Delta{x},t_n) &= u(x_j,t_n)+\frac{\partial u}{\partial x} (x_j,t_n)\Delta{x}+1/2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)\Delta{x}^2+···\\u(x_j-\Delta{x},t_n) &= u(x_j,t_n)-\frac{\partial u}{\partial x} (x_j,t_n)\Delta{x}+1/2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)\Delta{x}^2-··· \\ \frac{\partial^{2}u} {\partial x^2}(x_j,t_n) &\approx \frac{u_{j+1}^n+u_{j-1}^n-2u_j^n}{\Delta{x}^2} \end{aligned}最后得到递推关系式u_j^{n+1}=u_j^n+[a^2\frac{u_{j+1}^n+u_{j-1}^n-2u_j^n}{\Delta{x}^2}+f_j^n]\Delta{t}化成易于⽤程序求解的形式在时间维度上进⾏递推⾸先设置两个时间向量，将所有的位置包括其中u^n= \begin{pmatrix}u_1^n \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^n \end{pmatrix}\qquad u^{n+1}= \begin{pmatrix}u_1^{n+1} \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^{n+1}\end{pmatrix}建⽴系数矩阵\begin{pmatrix} \phi \\ 第⼀取值 \\ \vdots \\ 第N取值 \\ \phi \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\quad1\quad0\quad0\quad··· \\1\quad-2\quad1\quad0\quad···\\\vdots \\···\quad0\quad1\quad-2\quad1 \\···\quad0\quad0\quad1\quad-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1^n \\u_2^n \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^n\end{pmatrix}为何矩阵要这么建⽴，系数矩阵A的第⼆⾏为例，与右边的列向量相乘得到结果u_1^n - 2u_2^n + u_3^n将结果表⽰成以下列向量。

热传导方程的热传输的逆问题

热传导方程的热传输的逆问题热传导方程是物理学中的一个基础概念，它描述了热量如何在物体中传输和分布。

通常情况下，我们只需要知道物体的初态和边界条件，就可以通过热传导方程计算出物体的热态。

但是，有时候我们只能测量到物体的边界条件和热态，无法得知物体的初始温度分布，这时就需要用到热传输的逆问题。

热传输的逆问题可以理解为，给定物体的边界条件和热态，推导出物体的初始温度分布。

这个问题在许多实际应用中非常有用，例如在工业过程中通过测量物体表面的温度分布推导出物体内部的温度分布，或者在医学中通过测量人体表面的温度来判断人体内部的状况。

经过数学分析，我们可以得到热传输的逆问题的通式为:$\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha \nabla^2 T = F(r,t)$其中，T为物体温度分布，t为时间，$\alpha$为热传导系数，$\nabla^2$为拉普拉斯算子，F(r,t)为物体的边界条件和热态。

通过这个式子，我们可以得到物体在不同时间内各个点的温度分布，从而推导出物体的初始温度分布。

但是，由于这个问题的高度非线性、高维度和大量不确定性，它是非常困难和复杂的，需要运用各种数学工具和算法才能解决。

通常来说，我们可以采用两种方法来求解热传输的逆问题。

一种是传统的数值求解方法，例如有限元法、有限差分法、反演法等，它们的缺点是计算复杂度高、精度低、可能产生误差等不足之处，但是优点是比较直观、易于理解和操作。

另一种是基于机器学习算法的求解方法，例如神经网络、支持向量机、贝叶斯方法等，它们的优点是计算速度快、精度高、更加灵活等，但是缺点是需要训练数据集和较强的计算能力。

无论哪种求解方法，热传输的逆问题都是一个非常重要的课题，它在许多领域都有着广泛的应用和意义。

在未来，我们可以期待更多的新型算法和新技术的出现，以更好地解决这个难题，同时为实现人类社会的可持续发展和智慧制造做出更大的贡献！。

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ｒｉｅｅｔｑａｉｎｉｎｔｏｄｔｎ．Ｔｅｙｅｌｙｎｅｖｒａｌｒｎｆｒｔｎ，ｉＷｏｖｒｄｙｄｆｒｎｉｅｕｔｓｗｔｉｉａｃｎｉｏｓｈｎｂｍｐｏｉｇｔａｉｂｅｔｓｍａｉｌａｏｈｉｌｉｈａｏｏｔａｃｎｅｅｓｔｉｔｅ１ｐｓｄｏｄｎｒｉｅｅｔｌｅｕｔｎｉｎｔｏｄｔｎｗｉｈｃｕｄｂｕｒａｌｏｖｄｂｎｏａｗｌｏｅｒｉａｙｄｆｒｎｉｑａｉｓｗｔｉｉａｃｎｉｏｓｈｃｏｌｅｎｍｅｉｌｓｌｅｙ．ｆａｏｈｉｌｉｌｃｙ
，３１２，Ｃｉ２ｏｅｅｏｃｉｃ。ｈｊｎＣｉＴｃｎｖｒ｜１１１ｈｎ．Ｃｌｇｇａ；ｌｆＳｅｅＺｅａｇＳ —ｅｈＵｉ－ｎｓｉｅ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ａｕｒｃｍｅｈｄｏａｋｒｈａｃｎｕｔｏｑａｉｎｗａｉｃｓｅ．Ｔｅｄａｆｃｎｒｌｎｍｅｉａｌｔｏｆａｂｃｗａｄｅｔｏｄｃｉｎｅｕｔｏｓｄｓｕｓｄｈｉｅｏｅｔａｄｆｅｅｃｓｂｓｄｏｈｅｏｇｎｌｐｏｌｍｆｔｅｓａｅｄｓｒｔｇｏｌｉｒｎｅｗａａｅｎｔｒｉａｒｂｅｏｈｐｃｉｃｅｉｎｙ－ａｄｃｎｅｔｄｉｔｎｉ — ｏｅｒｉａｆｉｎｎｏｖｒｅｎｏａｌｐｓｄｏｄｎ－ｌ
０
ｓ（）
ｈ
Ａ（Ｉ（ＩＭ．）Ｍ－）ｘ
第１期
葛美宝，：等一类热传导方程逆时反问题的数值解法
６１
：
（）０
（）７
ｉ
（）０
（）
Ｍ
（）０
（肼）
这是一个带有初始条件的非线性常微分方程组，对式（）式（）６７的求解在数值计算上有很多方法，如欧拉
（）１
｛（，ｕ０ｔ）＝ｓｔ，（，（）“ ｂ）＝ｆｔ，（）ｔ０＜ｔ；＜
ｔ（，）＝（，＜＜ｂＴ为某固定时刻．ｕｘＴ）口，
Ｄ为热传导系数，（）ｑｘ为源项系数．
１中心差分方法
本文利用文献［］４中的中心差分方法求解反问题（（）．式２）利用中心差分代替Ｈ得到方程如下：，
逆时反演的拟解法，给出了正问题解的稳定性估计本文利用文献［］并４的中心差分算法求解了一类含源项ｑｘｕｘｔ的逆时反问题的数值解法，（）（，）数值结果表明了中心差分方法的有效性和可行性．为了叙述简单起见，本文仅以一维区域为例．本文的方法可推广至更加广泛的反应扩散方程 ¨。考虑有界区间上的反问。，题，对二维情形同样适用．
热传导方程逆时反问题（ＨＰ：Ｑ＝［，］［，］求初始分布函数ＢＣ）设ａｂＸ０Ｔ，
（）ｕｘｔ）０≤ ｔ（，，ｏ０＜式（）ｕｘｔ是下面问题的解：１中：（，）
ｒｔ：Ｄｕ，）＋ｑｘｕｘｔ，， “（），（ｔ（）（，）（ｔ）∈ Ｑ；ｒ（）２
文章编号：０１０１２１）１０９０１０－５（０１Ｏ－５－５５０
一
类热传导方程逆时反问题的数值解法
葛美宝，徐定华
（．１浙江理工大学科技与艺术学院，浙江杭州３１２；．１１１２浙江理工大学理学院，浙江杭州３Ｏ１）１Ｏ８
ｓｌｔＯｏｕｉｎ
Ｋｅｒｓｈａｏｄｃｉｎｅｕｔｎ；ｉｖｒｅｐｂｅｙｗｏｄ：ｅｔｃｎｕｔｑａｉｏｏｎｅｓｒｌｍ；ｃｎｒｌｉｅｎｅ；ｎｍｅｃｔｏｏｅｔｆｒｃａｄｅｕｒａｍｅｈｉｌｄ
第３４卷第１期２１年２月０１
浙江师范大学学报（自然科学版）
、
ＪｕａｏｈｊｎｏｍｌｎｅｓｙＮｔｃｏｒｌｆｅａｇＮｒａＵｉｒｔ（ａｎｚｉｖｉ．ｓｉ．
Ｖｏ．３，Ｎ．１１４ｏＦｂ０１ｅ．２ｌ
，
ｕｉ，ｉ（）（ｈＴ— ）＝．
２数值模拟
在这一部分中，笔者将运用中心差分法求解具体的实例，然后通过Ｍｔｂ川上机进行数值模拟，ａａｌ从而
摘要：讨论一类热传导方程逆时反问题（ＨＰ的数值解法．Ｂｃ）中心差分法的思想是基于对原问题只进行空间
离散，转化为一个不适定的常微分方程组的初值问题，利用变量变换把该问题转化为一个适定的常微分方然后
程组的初值问题，最后利用Ｒｎｅｕａｕｇ．ｔ方法进行数值求解．Ｋｔ数值结果说明了数值解与精确解吻合良．好
０引
言
大量热传导方程的逆时反问题（ＨＰ以不同的形式出现在热传导、ＢＣ）流体学、材料学及工程科学的实际应用中．热传导方程反问题有着重要的应用价值，但也存在严重的不适定性，种不适定性表现在解有这
可能不存在，即使存在也可能不稳定，即测量数据的微小变化将引起解的急剧变化，从而导致数值处理的
Ｒｕｇ — ｔａｍｅｈ．ＴｅＮｕｒｃｌｒｓｌｓｓｏｄｔａｈｕｒｃｏｕｉｎｗｅｅｃｎｉｔｎｔｈｘｃｎｅＫｕｔｔｏｄｈｍｅａｅｕｔｈｗｅｈｔｔｅｎｍｅａｓｌｔｏｒｏｓｓｅｅｗｈｔｅｅａｔｉｉｌｉ
取＝≥时阵的征全为，献］，龙库方对（、１行解吾，特值部负文［知用格塔法式）（进求矩由４利可９０式）
是稳定的．根据式（）式（０得到（）再由（）ｄ便可得到（）从而阳（ｈ）９、１），＝ｅ（）；ｉ，
浙江师范大学学报（自然科学版）
２１矩０１
极端困难．因此，这类反问题的研究吸引了国内外众多学者的关注，同时得到了一些好的正则化方法和误差估计¨ 如：ａｅ和Ｌｏ［，柚ｅ［及Ａｅ等利用拟逆法求解ＢＣ驯．Ｌｔｒｉ１ｓｔｎ］ｈｔ２ｒｍｓＨＰ的数值解；熊向团等［利４１
收文日期：００９５修订日期：１－９１２１－－；００２００・９０
基金项目：自国家然科学基金资助项目（ＳＣ０６０１ＮＦ１７２１；ＮＦ１５１；ＳＣ１１）浙江理工大学科研基金资助项目（６３６）浙江理工大学００２０１２３；科技与艺术学院２０年大学数学教学团队项目（ｙｔ８１；０８ｋｊｄ０）浙江理工大学科研项目（１Ｋ０９ｘ００２０Ｙ０）作者简介：葛美宝（９１一）男，１８，江西南昌人，讲师，硕士．研究方向：数学物理方程反问胚；大学数学教学．
关键词：热传导方程；反问题；中心差分法；数值解法
中图分类号：７．２Ｏ１５６文献标识码：Ａ
Ａｕｅｉａｅｈｄｆｒｓｌｉｇａｂｃｗａｄｈａｏｄｕｔｏｑａｉｎｎｍｒｃｌｍｔｏｏｏｖｎａｋｒｅｔｃｎｃｉｎｅｕｔｏ
用中心差分法和拟逆法求解了一类不含源项的热传导方程反问题的数值解，出了解的稳定性估计；ｅ－得Ｄｎ
ｉｖｓ讨论了在三维空间中含有自ｏ伴椭圆算子抛物型方程的反问题，通过拟解法进行数值模拟，同时给出了正问题解的稳定性估计和拟解的存在性结果；葛美宝等ｌ讨论了一类含源项ｐ￡ｕｘｔ的抛物型方程９（）（，）
ＧＥＭｅｂｏｉａ－ＸＵｎｈａＤｉｇＨ（．Ｓｈｏｏｃｉｃｎｒ．ｈｉｎ１ｃｏｌｆＳｅｅｄＡｔＺｅａｇ＆Ｔｃｎ￣ｒｔｔａｇｈｕ撕ｎａｊ —ｅｈＵｉｓｙｎｚｏｉＨ
ｓｙＨｎｚｏｈｉｎ３０１－Ｃ／ａｉ。ａｇｈｕＺｅａ￣１０８ｈｎ）ｔｊ
根据二阶中心差分，在处用差商代替微分Ｗ，则式（）４变形为
ｘ，ｉ）＝一ｔ２）（）］－ｇ（（）５
式（）：＝５中０＋（），＝１２… ，＋Ｉ：（ａ／ｗ：（）＝ｔ（一），．由方程式（）一１ｈｉ，，Ｍ；６一）Ｍ；ｔ￡１ｈ则Ｊ（）３中
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