第四章 三角函数与三角形4-7应用举例
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第4章 第7节
一、选择题
1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( )
A ．a B.2a C ．2a
D.3a
[答案] D
[解析] 依题意得∠ACB ＝120°.
由余弦定理
cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC
∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2⎝⎛⎭⎫－1
2＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D.
2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π
3
”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >3
2
，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝1
2
. (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ； 当a cos A ＝b cos B 时， 由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ，
∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π
2.
则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.
所以“a ＝b ”⇒“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”⇒/ “a ＝b ”，故选A.
3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( )
A ．10km B.3km
C ．105km
D ．107km
[答案] D
[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得，
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－1
2＝700， ∴AC ＝107km.∴选D.
4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b
2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的
形状为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
[答案] B
[解析] sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b
c ，
∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b
c
，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B.
(理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )
A.54
B. 2 C ．1
D.32
[答案] D
[解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0 ＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2(cos A －12)2＋3 2，