对数函数及其性质第一课时

..--对数函数及其性质-第一课时

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2.2.2 对数函数及其性质(第一课时)

教学目的：

1．了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系； 2．会求对数函数的定义域；

3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力。

教学重点：对数函数的定义、图象、性质 教学难点：对数函数与指数函数间的关系. 教学过程： 一、复习引入：

对于函数y =x 2，根据对数的定义，可以写成对数的形式，就是y x 2log = 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =

由反函数概念可知， x y 2log =与指数函数x y 2=互为反函数。x y 2log =也是一个非常重要的函数，把它称为对数函数。 二、新授内容： 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x a y =

)10(≠>a a 且的反函数。

对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞。 2．对数函数的图象

由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x a y =的图象关于直线x y =对称。因此，我们只要画出和x a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质。

1

a>01

a

<<

红：对数函数图像

蓝：指数函数图像

3．对数函数的性质

先回顾指数函数

)1

(≠

>

=a

a

a

y x且的图象和性质。

a>1 0

象

1

O a x

y

1

O a x

y

性质1.定义域R

2.值域（0，+∞）

3.过定点（0，1），即x=0时，y=1

4.函数值

分布

x>0时，y>1;

x<0时，0

x>0时，0

x<0时，y>1.

5.单调性在 R上是增函数在R上是减函数

由由反函数的性质和对数函数的图象，观察得出对数函数的性质.（引导学生自己完成下表）

a>1

0

图 象

x=1

O

1

a

x

y

x=1

O

1

a x

y

性 质 1.定义域 （0，+∞） 2.值域 R

3.过定点

（1，0），即x=1时，y=0

4.函数值分布

x>1时，y>0;

0

01时，y>0.

5.单调性 在 （0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

4、例题：

例1求下列函数的定义域：

（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -= （4）2x x y lg(2322)=-+⋅- 解：（1）

20,0x x >⇒≠ 故2log x y a =的定义域是{}0x x ≠

（2）定义域{}4x x < （3）定义域{}33x x -<<

（4）2x x x 23220,122,0x 1-+⋅->∴<<∴<<

故函数2x x y lg(2322)=-+⋅-的定义域为（0，1）.

例2 求下列函数的反函数

（1）121-⎪⎭

⎫

⎝⎛=x

y （2）3)21(12+=+x y )0(

解：（1） 121+=⎪⎭⎫

⎝⎛y x

∴)1(log )(2

11+=-x x f )1(->x

（2） 3)21(12-=+y x ∴112

()log (3)1f x x -=--- )27

3(<

例3 求下列函数的值域：

（1）)52(log 22++=x x y （2）4

1

21

2

-

=--x y 解： （1）∵44)1(5222≥++=++x x x

从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为),2[+∞

（2）

112-≤--x

∴2

12

1

2≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y ∴值域为]2

1

,0[

三、课堂总结：这节课我们学习了对数函数的图像和性质及推导过程希望同学们下来后记熟图像并用图像反复推导性质

四、练习：P84 1题 2题

1.画出函数y=3log x 及y=x 3

1log 的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同

性质.

解：相同性质：两图象都位于y 轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0.

不同性质：y=3log x 的图象是上升的曲线，y=x 3

1log 的图象是下降

的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.