二次函数知识点整理

二次函数知识点整理：

１.二次函数的图象特征与a ，b ，c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系

（1）字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小；决定二次函数有最大值或最小值. a ＞0时开口向上，函数有最小值；

a ＜0时开口向下，函数有最大值；

a 相同，抛物线形状相同，可通过平移、对称相互得到；

a 越大，开口越小.

（2）字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置.

ab=0 （a ≠0，b=0）， 对称轴为y 轴；

ab ＞0（a 与b 同号），对称轴在y 轴左侧；

ab ＜0（a 与b 异号），对称轴在y 轴右侧.

（3）字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置.

c=0， 抛物线经过原点；

c ＞0，抛物线与y 轴正半轴相交；

c ＜0，抛物线与y 轴负半轴相交.

（4）ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数.

ac b 42-=0，抛物线与x 轴有唯一交点（顶点）；

ac b 42-＞0抛物线与x 轴有两个不同的交点；

ac b 42-＜0抛物线与x 轴无交点.

２.任意抛物线()k h x a y +-=2

都可以由抛物线2ax y =经过平移得到，具体平移方法如

下：

【注意】 二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. ３.用待定系数法求二次函数的解析式

确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件，根据不同条件选不同的设法

（1）设一般式：c bx ax y ++=2

（a ，b ，c 为常数、a ≠0）

若已知条件是图象上的三点，将已知条件代入所设一般式，求出a,b,c 的值

（2）设顶点式：()k h x a y +-=2

（a,h,k 为常数，a ≠0） 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），将已知条件代入所设顶点式，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式.

（3）设两点式：()()21x x x x a y --=（a ≠0，a 、1x 、2x 为常数）

若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ，将第三点（m,n ）

的坐标（其中m ，n 为已知数）或其他已知条件代入所设交点式，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式.

４. 二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）与一元二次方程02=++c bx ax 的关系

（1）二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）中，当y=0时，就变成了一元二次方程02=++c bx ax

（2）一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标.

（3）二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致.

（4）在它俩的关系中，判别式△=ac b 42-起着重要作用.

二次函数的图象与x 轴有两个交点⇔对应方程的△＞0

二次函数的图象与x 轴有一个交点⇔对应方程的△=0

二次函数的图象与x 轴无交点 ⇔对应方程的△＜0

５.二次函数应用 包括两方面

（1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；

（2）用二次函数解决最大化问题即最值问题.