差分方程
差分方程简介
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
差分方程简介
差分方程简介
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目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
第章差分方程
xt iti i0
其中，t 为常数（某些可取零），序列 t 不是 yt 的函数。
于是，可以认为 { t }只不过是一个未取定外生变量的序列。
令 0 1, 1 2 0 ，则得到自回归方程
yt a0 a1 yt1 a2 yt2 an ytn t
令 n 1, a0 0, a1 1 ，则得到随机游走模型
考虑初始条件 y0已知的一阶差分方程
a. 向前迭代
yt a0 a1 yt1 t
y1 a0 a1 y0 1
（1.17）
y2 a0 a1 y1 2 a0 a1(a0 a1 y0 1) 2 a0 a0a1 a12 y0 a11 2
y3 a0 a1 y2 3 a0 a1(a0 a0a1 a12 y0 a11 2 ) 3
类似地，可以定义 n 阶差分 (n )。
记号： 为了方便，通常将整个序列 {, yt2 , yt1, yt , yt1, yt2 ,} 表示成 {yt}。
II. 差分方程的形式
考虑 n 阶常系数线性差分方程，其一般形式可以表 示为
n
yt a0 ai yti xt i1
（1.10）
其中，xt 项称为推动过程，其形式非常广泛，可以是时 间、其它变量的当期值或滞后值，和（或）随机干扰项 的任一函数。{xt} 的一个重要特例是
究时间序列的一个重要方法。
III. 差分方程的解
差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列{xt}中的元素和t （也可以和序列 { yt }的一些给定值，即初始条件）的一 个已知函数，使得代入到差分方程之中，满足方程式。
例1： yt 2 或 yt yt1 2
易知，yt 2t c 是该差分方程的解。这里，c为任意 常数。因此，其解有很多或不唯一。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
差分方程
差分方程对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程模型
问题:
若k n，则
y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
定理7：如果
y1 (x),y2 (x)， ，yn (x) 是
方程(1)的n个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
3
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
nx ( n1)
（公式）
2.差分的四则运算法则
(1)(Cy x ) Cy x (C为常数)
(2)( y x z x ) y x z x
3 yx z x yx1z x z x yx yx z x z x1yx
y x z x y x y x z x z x 1y x y x 1z x 4 z z x z x 1 z x z x 1 x
差分方程及差分方程模型
一、差分的概念及性质 二、差分方程的概念 三、线性差分方程解的结构
四、一阶常系数线性差分方程
五、差分方程模型
一、差分的概念及性质
1.差分的定义
设 函 数 f ( x ).当x取 非 负 整 数 时 ， y 函数值可以排成一个列 : 数 f (0)，f (1)， ，f ( x )，f ( x 1)， 将之简记为 y 0，y1，y 2， ，y x，y x 1 , 称 函 数 的 改 变 量x 1 y x 为 函 数 的 差 分 ， y y 也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 Δ y x y x 1 y x . 为
高等数学 第十二章 差分方程
于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
例3
解
求差分方程 y x1 5
对应齐次方程通解
yx
Yx
3, y0
C 5x
7 的特解．
3
1不是特征方程的根， 设 yx A，
代入方程, 得 A 3，
4
方 程 的 通 解 为y x
3 4
C
5x ,
将y0
7 3
代 入 ， 则C
7 3
3 4
37 12
故 方 程 的 特 解yx
37 12
5x
3 4
.
例4求差分方程 yx1 yx x3 3x2 2x的通解.
解 1是特征方程的根，
这类方程可用另一种较简单的方式求解.
方程左边为y
，右边为
x
x3 3x2 2x x x2 3x 2
xx 1x 2 x3
的解法 的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一、齐次方程
的解法
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
差分方程
第八讲 差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。
记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。
类似地，可以定义的阶差分。
t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。
若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。
)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。
差分方程基本知识
a.
t 1 a t 0
分别称为方程
yt 1 ayt 0
和
a
(4)
的特征方程和特征根. 故
yt a t
是方程 (4) 的解. 再由解的结构及通解的定义知：
yt Ca t (C 为任意常数)
是齐次方程的通解.
例4 求 2 yt 1 yt 0 的通解.
(5)
(a 1 时取 s 0 ; a 1 时取 s 1. )
的特解.
* 令 y (1) 当 a 1 时， t k 代入方程 (5) , 得：
k ak c 即
c y k ; 1 a
* t
(2) 当 a 1 时，令 yt* kt 代入方程 (5) , 得：
k (t 1) akt c 即 k c .
称
2 yt ( yt ) yt 1 yt
( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称
3 yt ( 2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
n yt (n1 yt )
且有
i n yt C n ( 1)i yt n i . i 0 n
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当
a , b, C 是常数， y t , z t 是函数时，
有以下结论成立：
1
2
(C ) 0;
(Cyt ) C( yt );
对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为
初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分
差分方程简介
它的通解是 y x Cx A （ A 是任何实常数）. ( 3) y x Pn1 ( x ) ( n 1次多项式) 通解 y x Pn ( x ) ( n次多项式 ）
４ ｎ y x ０
通解 y x是n 1次多项式.
二、一阶常系数线性差分方程
形如： y x 1 ay x f ( x ) 齐次方程： y x 1 ay x 0
y x ( x 2 ) ( x 1)2 x 2 2 x 1
2 y x 2 ( x 2 ) (2 x 1) 2( x 1) 1 ( 2 x 1) 2
3 y x ( 2 y x ) ( 2) 2 2 0
x n x( x 1)( x 2)( x n 1) , x 0 1
例2 设 求 x n
解： x n ( x 1)n x n
( x 1) x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1)( x n 1) [( x 1) ( x n 1)]x( x 1)( x n 2) nx n1
2. 差分方程 有某种商品 t 时期的供给量St与需求 一个例子： 量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：
St a bPt (a , b 0) , Dt c dPt (c, d 0)
设 t 时期的价格Pt由 t –1时期的价格 Pt 1与供给量 及需求量之差 St 1 Dt 1 按如下关系确定.
Pt Pt 1 ( St 1 Dt 1 )
（ 为常数），
即
Pt [1 (b d )]Pt 1 (a c )
这样的方程就是差分方程.
差分方程_基础知识
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
差 分 方 程(1) ——基础知识
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
差分方程
3 A 3 B 0 ,6 A 1
1 1 于是 A , B 一个特解为 6 6,
1 x 1 y x x 3 6 6
* x
原方程的通解为
1 x 1 y x C 3 x x 3 6 6
x
例4 求差分方程 y x 1 4 y x 3 cos 满足初始条件 y0 1 的特解 解 对应齐次方程的通解 为_ x
（6.2３）改写为 y x 1 ayx f ( x ) x 0 ,1 ,2...
设 y0 0 ，则依次可得
y1 f ( 0 )
2
y1 af ( 0 ) f ( 1 )
y3 a f ( 0 ) af ( 1 ) f ( 2 )
yx a x1 f ( 0 ) a x 2 f ( 1 ) f ( x 1 )
第三节 差分方程
6.3.1 基本概念 6.3.2 一阶常系数线性差分方程
6.3.1 基本概念 1.定义: 设函数 y f x , 把它记为
yx ,
则 y x 1 f x 1, 称差 y x 1 y x 为函数
y x 的一阶方差，记作 y x ,
即 y x y x 1 y x f x 1 f x
称方程（6.23）对应的齐次方程。
y 定理6.5 设 x 是方程（6.23）的一个特解，
y x 是其对应的齐次方程的通解，则方程
（6.23）的通解为 y x y x y 求解过程：
x y ( 0 ) 是（6.24）的一个特解，代入 设 x1 x x a ( a ) 0 （6.24）得：
2
2
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
第十一章差分方程
yx ) .
例 设 解
yx e
2x
,求 y x .
2
2( x1)
y x y x1 y x e
2
e
2
2x
e
2x
(e 1)
2
y x ( y x ) [e
2x
( e 1 )]
(e 1) e
2
2x
(e 1) e
2 2
第十一章
差分方程
1
定义差分1 设函数 y x y ( x ), 称改变量 y x 1
为函数 y 在点 x 的差分 ，记为：
yx
y x y ( x 1) y ( x )
函数 y 在点 x+1 的差分为
y x1 y x 2 y x 1
2
已知
yx 3 x
y x 1 ay x f ( x )
(1)
其中 a 0 为常数 , f (x) 为已知函数 . 当 f (x) 0 时 , 称方程
y x1 ay x 0 (a 0)
(2)
为一阶常系数齐次线性差分方程 . 若 f (x) 0 则 (1) 称为一阶常系数非齐次线性差分方 程. 下面介绍它们的求解方法 .
( y x ) ( y x1 y x ) y x1 y x ( y x 2 y x1 ) ( y x1 y x ) y x 2 2 y x1 y x .
称为函数 y = f (x) 的二阶差分 , 记为 2 y x , 即
y x y x 2 2 y x1 y x .
2
同样 , 二阶差分的差分称为三阶差分 , 记为3 y x , 即
差分方程介绍
意常数。类似于微分方程，称差分方程
a0(t) ytn a1(t) ytn1 an(t) yt b(t)
为n阶线性差分方程， 当 b(t)≠0时称其为n阶非齐次线性差
分方程，而
a0(t) ytn a1(t) ytn1 an (t) yt 0
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。
Pt1 P* a( xt1 x* ) 解得下一时段的商品量
xt 1
x*
1 a
( Pt1
P*)
x*
1 a
[P*
b( xt
x*)
P*]
x*
b a
( xt
x* )
由此导出一阶差分方程：
xt 1
b a
xt
1
b x* a
（4.18）
此差分方程的解在 (b/a)<1时是稳定的，从而证实了我们的
cos
2
t
C2
sin
2
t
1 2
t
1 2
在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解， 在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要
讨论解的稳定性。对 差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程
的通解中任意常 数C1,…,Cn如何取值 , 在 t 时总
有 yt 0 ,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不
猜测。注意 到a和b的实际含义，上述结果在经济学上可作
如下解释： 当a>b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于
生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步
什么叫差分方程
什么叫差分方程什么叫差分方程？给我举几个例子呗§1 基本理论1. 差分2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：Δxn=xn+1-xn对新数列再应用差分算子，有Δ2xn=Δ(Δkxn).性质性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn性质2 Δk(cxn)=cΔkxn性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有Δkxn=f(k)(η) 差分方程定义8。
1 方程关于数列的k阶差分方程：xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……)其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0,则该方程是齐次方程关于λ 的代数方程λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0为对应的特征方程，根为特征值。
1．实验内容与练习2．1 插分例1 Xn={n3},求各阶差分数列：xn △xn △2xn △3xn △4xn1 7 12 6 08 19 18 6 027 37 24 6 064 61 30 6125 91 36216 127343可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。
练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5}, 分别求各阶差分数列。
练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列.{Xn}的通项为n的三次函数，Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0证明它为常数数列。
证明由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。
定理8。
1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定理8。
1 。
定理8。
2 若{Xn}的k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是n的k次多项式，练习4 根据插分的性质证明定理8。
2例2。
求∑i3例3例4解设Sn=∑i3 表Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn1 8 19 18 6 09 27 37 24 6 036 64 61 30 6 0100 125 91 36 6 0225 216 127 42441 343 169784 5121296设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得a0=0, a1=0, a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4.所以，Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.练习{Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的k+1次多项式；求∑i4.由练习2 {Crn-1}可得。
差分方程
一阶差分的性质 (1) 若yt=C(C为常数 则yt=0; 为常数),则 为常数 (2) 对于任意常数 (kyt)=kyt; 对于任意常数k, = (3) (yt+zt)= t+ t． =y = +z
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定义2 函数y 在时刻t的 定义 函数 t=f(t)在时刻 的二阶差分定义为一阶差分的 在时刻 二阶差分定义为一阶差分的 差分,即 差分 即 2yt= ( yt)= yt+1 yt = + =(yt+2yt+1)(yt+1yt)=yt+22yt+1+yt． = + + + + + 依此定义类推,有 依此定义类推 有 y + 2yt+1= t+2 yt+1=yt+32yt+2+yt+1, + + + + + y + 2yt+2= t+3 yt+2=yt+42yt+3+yt+2, + + + + + ……………… 类推,计算两个相继的二阶差分之差 便得到 类推 计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 计算两个相继的二阶差分之差 便得到三阶差分 3yt= 2yt+1 2yt=yt+33yt+2+3yt+1yt, + + + + 3yt+1= 2yt+2 2yt+1=yt+43yt+3+3yt+2yt+1, + + + + + + + ………………
差分方程的概念
微积分Calculus差分方程的概念一差分的概念1定义()y f x =的增量1x x xy y y +∆=− 称为函数()y f x =在点x 的一阶差分，x y ∆记为。
当自变量从变到时，函数x 1x + (1)x a a =−()(1)n n nx x x ∆=+-分别求()x a ∆与()n x ∆由定义知：1()x x xa a a +∆=-例解2()0c ∆= （1）（为常数）c ()x x cy c y ∆=∆（为常数）c （2）由定义容易证明，差分具有以下性质：()x x x x ay bz a y b z ∆+=∆+∆（3）（为常数）,a b 11()x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆=∆+∆=∆+∆（4）1()(0)x x x x xx x x x y z y y z z z z z +⋅∆−⋅∆∆=≠⋅（5）113[cos(1)cos ]cos (33)x x x x x x ++=+−+−13cos(1)3cos x x x x+=+−求的一阶差分3cos x y x =(3cos )xx y x ∆=∆13(cos )cos 3x xx x +=∆+⋅∆按照差分的定义，我们可以继续求二阶及其它各阶差分。
例解二阶差分：x x x x y y y y ∆−∆=∆∆=∆+12)()(112x x x x y y y y −−−=+++x x x y y y +−=++122xx x x y y y y 21223)(∆−∆=∆∆=∆+三阶差分：32(2)x x x y y y ++=−+xx x x y y y y −+−=+++1233321(2)x x x y y y ++−−+反之x x x y y y ∆+=+1x x x x y y y y 222∆+∆+=+xx x x x y y y y y 32333∆+∆+∆+=+22x =−2()x x y y ∆=∆∆(22)x =∆−2()(2)2x =∆−∆=32()x x y y ∆=∆∆0312+−+=x 已知231y x x =−+，求x y ∆2x y ∆3和2()3()(1)x y x x ∆=∆−∆+∆(2)0=∆=例解二差分方程的概念含有自变量、未知函数及未知函数差分的方程称为差分方程。
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Pt1 P* b( xt x* ) （2）
在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的 函数： （1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲 线称为供应曲线。 （2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其 曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示。
P
记t时段初市场上的供应量 (即上 一时段的生产 量)为xt ，市场上
设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为
P P* a( x x* )和 P P* b( x x* )
式中，a、b分别为供应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线 在M* 处切线斜率的绝对值。
根据市场经济的规律，当供应量为xt时，现时段的价格
Pt1 P* b( xt x* )，又对价格 Pt1 ，由供应曲线
| a | 1， 方程解 稳定
2.二阶差分方程 xk2 f (xk1, xk )
二阶常系数齐次差分方程求法
齐次差分方程
xk2 a1xk1 a2xk 0
设 xk k 是其解
特征方程 2 a1 a2 0
(1)特征方程有两个不相等实根 1, 2
xk c11k c2k2
(2)特征方程有两个相等实根 1 2
1. 一阶差分方程 xk1 f (xk ) 一阶线性常系数 xk1 axk b
由x ax b x b 1 a
平衡点: 类似于微分方程的平衡点
稳定性:
xk x (k ) x是稳定的 求解:
xk 1
axk
b, xk
xk
b 1 a
赋值，
得:
xk1 axk 0, xk (a)k x0
数学建模
差分方程建模
•处理动态的离散型的问题
•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的， 但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更 为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连 续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题
一.差分方程简介 二.银行复利问题 三.抵押贷款买房问题 四.减肥计划——节食与运动 五.按年龄分组的种群增长 六.商品销售量预测 七.人口增长模型
假 ❖每对兔子每个月生育出新的一对兔子 设 新的一对兔子在二个月之后具有生育能力,其次这些兔
子都不死亡
Fn : 第n个月末时兔子对数
模 型
FFn020F,n
F1
Fn1 1
Fibonacci数列
Fn
1 [(1 5 )n (1 5 )n ]
52
2
结果
Fn 5 1
Fn1
2
3.非线性差分方程xk1 f (xk ) 平衡点: x 线性化 : xk1 f (xk )
xk c11k c2k1k
(3)特征方程有一对共轭复根 1,2 ei
xk c1 k cos k c2 k sin k
非齐次差分方程
xk2 a1xk1 a2 xk f
非齐次的特解+齐次的通解
稳定性:
|1| , |2| < 1 方程解 稳定
例：兔子问题
在一年的时间里，一对兔子能够生育出多少对兔子来
f (x )(xk x ) f (x ) 稳定条件为
| f (x ) | 1
例一:市场经济的蛛网模型 在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另 一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致 商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的 积极性，导致商品生产量的下降。
不难看出，在 图①中平衡点 M需而图如*求 在处①何曲图供和判②线应定图中切曲平②情线线衡的况斜的点区恰率切的别好的线稳在相绝斜定哪反对率里性。值大，呢，于？
现在利用差分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是 否正确。我们知道，平衡 点M*是否稳定取决于 在M*附近供、 需曲线的局部性态。为此， 用M*处供、需曲线的线性近似 来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。
P0
该商品的价格 为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的， 即
P2
Pt g1( xt )
随着 t , Mt将趋于平衡
P* P1
点M*,即商品量将趋于平衡 量x*,
价格将趋于平衡价 格P*。图中的 箭线反映了在市场经济下该商品
o
的供应量与价格的发展趋势。 P
如果供应曲线和需求曲线呈图
①中的形状，则平衡点M*是稳
定的，Mt将越来越接近平衡点。
o
① 供应曲线
M2 M*
M1
M0 需求曲线
x1 x* x2 x0
x
M1 M3
M2
②
x
但是，如果供应曲线和需求曲线呈图②中的形状，则平衡点 M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供 应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供 求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性 的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型。
如下解释： 当a>b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于
生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步
趋于稳定；反之， 若a<b（商品紧缺易引起顾客抢购），该
商品供售市场易造成混乱 .
如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价 格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不 应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可 以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时， 若t 时段的商品量为 xt 时，仍有
一.差分方程简介
❖例: 圆盘交换
条件:上小下大,一次一个,利用 b 柱,由 a 到 c.
a
b
c
设k只圆盘共移xk次， 则有k 1只共移
xk 1 2xk 1 差分方程(递归公式)
xk 1 2xk 1 2(2xk1 1) 1 22 xk1 2 1 22 (2xk2 1) 2 1 23 xk2 22 2 1 2k x1 2k1 2 1 即: xk 2k 1
Pt1 P* a( xt1 x* ) 解得下一时段的商品量
xt 1
x*
1 a
( Pt1
P*)
x*
1 [P* a
b( xt
x*)
P*]
x*
b a
( xt
x* )
由此导出一阶差分方程：
xt 1
b a
xt
1
b x* a
（1）
此差分方程的解在 (b/a)<1时是稳定的，从而证实了我们的
猜测。注意 到a和b的实际含义，上述结果在经济学上可作