第五章均衡净保费和毛保费

P(A 1) A 1
x:n
x:n
ax：n
P( m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
例5.1
已知利息力为0.06，死亡力为0.04，求
(1)P ( Ax ) (2)Var(L)
例5.1答案
根据例4.1，已知ax 10, Ax 0.4， 2 Ax ( Ax )2 0.09 所以
(1)P( Ax )
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
P(
A1 x：n
)
A1 x：n
ax：n
P( Ax：n ) Ax：n ax：n
h P( Ax ) Ax ax：h
h P( Ax：n ) Ax：n ax：h
Ax ax
0.04
(2)Var(L)
2 Ax ( Ax )2
( ax )2
0.09 0.62
0.25
完全离散纯净均衡保费厘定 （终身寿险为例）
条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费。
厘定过程：
(1)L
vK
1
Px
a K
1
, K 0,1,2,
(2)E(L)
n年生存保险 m年递延终身生存保险
P1 x：n
A1 x：n
ax：n Dxn
(Nx Nxn)
P(m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm
(Nx Nxm)
例5.2
设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率
函数为
k
q0
1 4
k 0,1,2,3
在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年
初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时，
计算保险人亏损现值的期望值与方差
（i=6%）。
例5.2答案
(1)L vk1 Pa (1 P )vk1 P
k 1
d
d
E(L) 0
3
[(1
k 0
P )vk1 d
P d
]k
q0
0
1 [(1 4
P )a d 4 0.06
4
P] d
0
P 6.478 P 0.3667 d
(2)Var(L) E[(1 P )vk1 P ]2
d
d
1 (1 P )2 a
2 1 (1 P ) P a ( P ) 2 0.17788
4
d
4 12.36%
4 d d 4 6% d
半连续净均衡年保费厘定 （终身寿险为例）
条件（x）死亡即刻给付1单位赔偿金，而被保 险人从保单生效起按年期初缴费。
厘定过程：
（1）L
l(T )
vt
P( Ax
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）
Ax
,
m Ax ,
A1 x:n
,
m n Ax
生存险趸缴纯保费（一次性生存受益期末支付， 生存年金受益期初支付）
A1 x:n
, ax ,
m ax
,
a x:n
, m n ax
两全保险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付， 生存受益期末支付）
P1 x：n
A1 x：n
ax：n (M x M xn ) (Nx Nxn )
Px：n Ax：n ax：n (M x M xn Dxn ) (Nx Nxn )
h Px Ax ax：h M x (Nx Nxh )
h Px：n Ax：n ax：h (M x M xn Dxn ) (Nx Nxh )
A x:n
第二节 净均衡保费
净均衡保费与趸缴纯保费的关系
纯保费厘定原则——平衡原则：
保险人的潜在亏损均值为零。 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0
E（给付金现值）=E（纯保费现值）
净均衡保费与趸缴纯保费的关系
E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）
净均衡保费的种类
完全连续净均衡保费
（1）P ( A ) 35:10
（2）P( A ) 35:10
（3）P 35:10
例5.3答案
（1）P ( A
) M 35 M 45 D45
(i
)(M
35
M
45 )
D45
35:10
N35 N45
( N 35
N 45
)a k 1
(2)E(L)
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
(3)Var(L)
(1
P d
)2[2Ax
(
Ax
)2
]
常见险种的半连续净均衡保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
第五章 净均衡保费与毛保费
第一节 保费简介
保费的构成
毛保费 （购买费用）
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
保费的分类
按保费缴纳的方式分：
一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保Байду номын сангаас 以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费
按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
P(
A1 x：n
)
A1 x：n
ax：n
P( Ax：n ) Ax：n ax：n
h P( Ax ) Ax ax：h
h P( Ax：n ) Ax：n ax：h
P(A 1 ) A 1
x:n
x:n
ax：n
P(m
ax )
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm
(Nx Nxm)
例5.3
根据附录示例生命表及利率6%计算
死亡即刻给付 连续缴费
完全离散净均衡保费
死亡年末给付 离散缴费
半连续净均衡保费
死亡即刻给付 离散缴费
完全连续年缴净均衡保费的厘定 （以终身人寿保险为例）
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险 人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也 连续）
厘定过程：
（1）L
l(T )
vt
P
(
Ax
)a t
(2)E(L)
0
Ax
P ( Ax )ax
0
P ( Ax )
Ax ax
(3)Var(L)
Var[vt
(1
P
)
P
]
(1
P
)2[2Ax
( Ax
)2
]
（ax ax
Ax
）2[2Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2
(ax )2
常见险种的完全连续净均衡保费总结
0
Ax
Px ax
0
Px
Ax ax
(3)Var(L) (1
Px d
)2
[2Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
常见险种的完全离散净均衡保费总结
险种
保费公式
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
Px Ax ax M x Nx