静电场中的导体与电介质习题课

练习：一无限大的导体平板置于电场强度为E0 的均匀电场中。 求平板上感应电荷的面密度。
A
B
E0
静电场中的导体和介质习题课
二、静电场中的介质问题 求电介质中的场强，一般用有介质时的高斯定理先求D，再求 E。
三、电容和电容器 电容器充满介质后，其电容为真空时的εr倍。
四、电场能量
先考虑能否将问题看成电容器的能量问题，用电容器能量公 式求解。若不行，再考虑用电场能量密度积分计算能量。
0 r E 2
1 2
DE
1 2
D
E
W wdV
静电场中的导体和介质习题课
【解题指导】：
一、静电场中的导体问题 基本依据：导体静电平衡条件；电荷守恒；高斯定理。
1、均匀带电导体球（壳）内外一点的场强和电势
导体球外：
E
q
4 0r 2
,
U q
4 0r
导体球内（不论空心还是实心）:
电场E为零。
电势U不为零，导体是等势体，球内一点电势等于球表面的电 势。
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例：计算机键盘的键结构如图。按键连有一可移动的金属片。
下面是一固定的金属片，中间是软的绝缘介质（εr＝2）。两
块金属片就构成一个平板电容器。当键按下时，电容器的电容
发生变化，与之相连的电路就能检测出哪一个键被按下，从而
给出相应的信号。设金属片面积为50mm2，两金属片间距 0.6mm。如果电路能检测出的电容的变化是0.25pF，那么需要 将键按下多大的距离才能给出必要的信号？
三、电容和电容器 CQ U
C Q U
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孤立导体球的电容
C 4 0R
真空中平行板电容器的电容 C 0S
d
真空中球形电容器的电容
C
4 0
RA RB RB RA
源自文库
电容器的串联
1 1 1 1
C C1 C2
CN
电容器的并联
C C1 C2 CN
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4 0 R1 R2 4 0R3
外球：取球壳外表面一点
U2
E
dr
R3 E外dr
qQ
qQ
dr
R3 4 0r
4 0R3
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（2）连接后电荷Q＋q全部分布在外表面。
U1
U2
Qq
4 0R3
（3）内球接地，U1＝0。内球带电q´，外球壳内表面－ q´， 外表面Q＋ q´，
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【基本概念和规律】：
一、导体静电平衡条件
导体内部场强为零。导体是等势体，导体表面是等势面。 导体表面附近场强垂直于表面。
二、导体静电平衡时导体上电荷的分布
导体上的电荷分布在外表面。导体表面附近场强为σ/ε0。
导体表面曲率半径大，表面上电荷面密度小。导体表面曲率 半径小，表面上电荷面密度大。
解：按键前电容
C1
r0S
d
按键后电容
C2
r0S
d d
C r0S r0S
d d d
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d
1
d
r0S
dC
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【例题】两个半径分别为 R 和 r 的球形导体（R> r），用 一根很长的细导线连接起来，使这个导体组带电，电势为 U，求两球表面电荷与曲率的关系？
解：由于两球由导线连接，两球电势相等：
1Q 1q
U
4 0 R 4 0 r Q
q
得：
QR
qr
R
r
可见，大球所带电量Q比小球q多。 两球的面电荷密度分别为：
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R
Q
4R2
r
q
4r 2
所以：
R r
Qr2 qR2
r R
结论：两球电荷面密度与曲率半径成反比，即 与曲率成正比。
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绝对值最大。
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P
⑵在球面上 d
d
θ
x
之间的环带上的极化电荷为；
dE O
dq 2R2 sind P2R2 sin cosd
此电荷在球心处所激发的场强：
dE dq cos P sin cos2 d
4 0 R 2
2 0
方向沿X轴的负方向。整个球面上的极化电荷在
球心处所激发的总场强为；
U q
4 0R
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例: 习题10.4 求：(1)球内各点电势 (2) 若把金属球壳接地，球上的感应电荷q´。
解：
(1)
Uo
Uq
Ui
q
4
0l
1
4 0R
dq q
4 0l
(2)
Uo
Uq
Ui
q
4
0l
1
4 0R
dq
q q 0 q R q
4 0l 4 0R
l
a
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四、电介质 均匀介质中的场强
E
E 0
E
E E0
r
加均匀介质的电容器的电容
E
E 0
C rC0
电位移矢量
D r0E E
有介质的高斯定理
DdS q
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五、电场的能量 电容器电场的能量
W 1 Q2 1 QU 1 CU 2
2C 2
2
电场的能量密度 电场的能量
w
1 2
Qq
4 0R3
外球：取球壳中一点
U2
q
4 0r
q
4 0r
Qq
4 0R3
Qq
4 0R3
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用电势定义计算
内球：取内球外表面一点
U1
E
dr
R2 R1
E内dr
R3 E外dr
R2 q dr q Q dr
R1 4 0r 2
R3 4 0r 2
q ( 1 1 ) qQ
E dE P sin cos2 d P
q
q Q q
U1 q
4 0RR1 1R24Q 0R2
4 0R3
0
R1R2 R3 (R2 R1)
U2
R1 Edr
R2
R1 q dr q(R2 R1)
R2 4 0r 2
4 0R1R2
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练习：两同心导体球壳的内球壳半径为a，外球壳半径为b。 设球壳极薄，若使内球壳带电Q，求（1）外球壳内表面和外 表面上的电荷如何分布？（2）要使内球壳电势为零，则外球 壳必须带多少电量？
2、同心导体球套球壳场中一点的电势用叠加法。
例：习题10.6, （1）求两球的电势U1和 U2；（2）若用导线连接球和球壳，求 电势；（3）若（1）的情形下将内球接
地，求U1和 U2。
解：（1）由静电感应，球壳内表面带电-q， 外表面电荷为Q＋q。由叠加原理，
内球：取球心
q
U1 4 0R1
q
4 0R2
【例题】一个半径为R的电介质球被均匀极化后，已知 电极化强度为P，求：⑴电介质球表面上极化面电荷的 分布；⑵极化面电荷在电介质球心处所激发的场强？
解：⑴ 由于 P cos
en
在右半球，
, 为正，在左半球，
2
PA θ x
o
, 为负，在两球分界面上，
2
, 0
2
，在轴线两端
0或 ,