应用文-外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义

外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义

'Black─Scholes（1973）假设股票价格的对数变化遵循Wiener-Levy过程，建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合，导致一个偏微分方程式，解一个热力学扩散方程，得到期权价格解析解，即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式；Garman与Kohlhagen（1983）及Grabbe（1983）等人基于同样思路，建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合，得到欧式外汇Call期权定价公式，以上计算都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinst

n（1979）使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设，利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式，随后Geske和Johnson（1984）推导出美式期权定价精确解析式。本文目的一是通过二项式定价公式推导过程，进一步解释推导中假设条件的

涵义；二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。

首先，利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式；其次，给出一般表达式。

一、期权抛补的利率平价关系

由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系

在一起，与远期抛补利率平价（forward-cover IRP）类似，货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价（option-cover IRP）关系，以下就根据无风险资产组合（即套利）过程，不考虑佣金因素影响，

单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。设

S＝周期初即期汇率，以每一个外币相当于若干本币来表示

Co＝周期初外币Call期权价格

X＝执行价格，以每一个外币相当于若干本币来表示

t＝单周期Call期权有效期，单位：年

r＝本币无风险利率，单位：％p.a.

f＝外币无风险利率，单位：％p.a. St＝期末的即期汇率

第一步：根据二项式价格分布涵义，设将来（单周期末的）即期汇率只有uS和dS两个值，看一看周期末即期汇率分布和外币Call价值分布：

不失一般性，可假设

u＞d＞0 （1）

当即期汇率从期初S升值到期末St＝uS，则此时外币Call价值

Cu＝max{0，uS－X}≥0 （2）

当即期汇率从期初S贬值到期末St＝dS，则此时外币Call价值

Cd＝max{0，dS－X}≥0 （3）

根据期权性质，Co≥0（4）

以上条件也就是推导期初Call价值计算公式时所依据的边界条件。从期初到期末汇率分支如图1，外币Call价值分支如图2.

期初即期汇率期末即期汇率期初Call权期末Call权

││价值价值

│↓│↓

↓φuS↓Cu＝max{0,uS－X}

SCo

1－φ dSCd＝max{0,dS－X}

图1单周期即期汇率二项式分支图

图2外币Call价值二项式分支图

第二步：利用Call期权与其它金融工具构造无风险套期保值资产组合（即该期权组合保持δ中性）。构造该无风险资产组合的关键是推导出该组合中现货市场金融工具（如外币债券）数量与该周期内期权数量的套期比率H（Hedging Ratio）。

假设某投资者周期末持有一单位外币债券多头和H个外币Call期权空头，那么，首先要求出以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt，其结果参见表1.

表1套期保值组合的总期末价值（以本币衡量）

\xa0\xa0\xa0\xa0 ─────┬───────┬───────┬────── │期末一单位外币│ 外币Call期权|套期保值组合

│债券多头的价值│ 空头期末价值│期末总价值Vt

─────┼───────┼───────┼──────

当St＝u×S | 1×u×S│ －H×Cu│ u×S－H×Cu

当St＝d×S \xa0| 1×d×S│ －H×Cd│ d×S－H×Cd

─────┴───────┴───────┴──────

为了使套期保值组合的期末总价值Vt不随St变化而变化，即保持期权组合δ中性，则必须要求

Vt＝uS－H×Cu＝dS－H×Cd

（5）解以上方程即得：

\xa0\xa0 uS－dS u－d

H＝────＝───×S(6)

Cu－CdCu－Cd

dCu－uCd

Vt＝─────×S (7)

Cu－Cd

其次，计算一下该投资者期初总支出Vo.期末一单位外币债券多头贴现回期初，以外币计价的债券期初价格为1×e-ft，投资者当时所支出本币则为1×e-ft×S；投资者期初同时卖出H个外币Call期权，每个Call期权价格为Co（以本币计价），所收取的本币为H×Co，这样就减少了期初的本币支出，则以本币衡量的套期保值组合期初总支出Vo为Vo＝Se-ft－H×Co（8）

再次，通过构造无风险投资组合，求出外币Call期权价值。显然，只有当以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt与期初价值Vo之比等于本币资金市场上无风险收益率时，这种组合就不存在超额无风险利润（若期末价值与期初价值之比不等于本币无风险收益率，就会有获取超额无风险利润的套利机会），即

\xa0\xa0 Vt (dCu－uCd)/(Cu－Cd)×S

─＝────────────＝ert (9)

VoSe-ft－H×Co

最后解得

Co＝（φ×Cu＋（1－φ）×Cd）e-rt（10）

其中

e(r-f)t－d

φ＝──────(11)

u－d

那么，在（10）式中，φ的经济涵义到底是什么呢？