变量间的相互关系(一)、(二)

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2.3.1（2.3.2）变量之间的相关关系和线性关系

2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关整体设计教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．重点难点教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？推进新课新知探究提出问题（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断.讨论结果：（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.(2)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.①教学散点图出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：图来进一步分析.②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例思路1例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案：②④例2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.思路2例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?解：(1)散点图如下：(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.例2 案例分析：一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表.（1）根据上表中的数据,制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.从散点图上可以发现,身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线.同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.同学3：多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出近似的直线,使得在直线两侧的点数尽可能一样多.同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm 以上的；然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长,即（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线.同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大的点为（179.2,21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）的直线.同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的.知能训练一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？答案：（1）散点图如下：（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系. 课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.作业习题2.3A组3、4(1).设计感想本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类,为下一节课作了铺垫,思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度和学习方法,树立时间观,培养勤奋、刻苦耐劳的精神.备课资料数学家关肇直关肇直(1919.2.13—1982.11.12),中国科学院院士，是中国数学家,生于北京.原籍广东省南海县.父亲关葆麟早年留学德国,回国后任铁道工程师多年,于1932年故世；母亲陆绍馨,是北平女子师范大学的毕业生,曾从教于北京师范大学.关葆麟去世后,母亲以微薄的收入艰难地抚育关肇直及其弟妹多人.全国解放后,关肇直尽心亲侍慈母,直至1967年去世.关肇直于1959年1月与刘翠娥结婚,他们有两个女儿.刘翠娥系中国科学院工程物理研究所研究人员.关肇直于1927年进入北京培华中学附属小学学习.1931年入英国人办的崇德中学学习.学校对英文要求十分严格,加上关肇直自小就由父母习以英文、德文,为日后掌握英文、德文、法文、西班牙文和俄文奠定了良好基础.1936年高中毕业后考入清华大学土木工程系,后于1938年转入燕京大学数学系学习.毕业后在燕京大学(后迁成都)任教.参加成都教授联谊会,担任学生进步组织的导师,积极支持抗日救国学生运动.1946年春从成都返回北平(北京),不久从燕京大学转到北京大学数学系任教.1947年通过考试成为国民政府派遣的中法交换生赴法国留学.名义上去瑞士学哲学,实际上去了巴黎大学庞加莱研究所研究数学,导师是著名数学家、一般拓朴与泛函分析的创始人弗雷歇(M.R.F rechetl),1948年参加革命团体“中国科学工作者协会”,是该会旅法分会的创办人之一.1949年10月,新中国诞生,他毅然决定放弃获得博士学位的机会.于12月回到祖国,满腔热情地参加了新中国的建设.他立即参加了组建中国科学院的工作.他和其他同志一起,协助郭沫若院长筹划建院事宜,确定科学院的方向、任务、体制等,组建科学院图书馆,担任图书管理处处长,编译局处长.1952年参加筹建中国科学院数学研究所的工作,并在数学研究所从事数学研究,历任副研究员、研究员、研究室主任、副所长、学术委员会副主任.他还是中国科学院声学研究所学术委员会委员及原子能研究所学术委员会委员.从1952年起,兼任北京师范大学、北京大学、中国人民大学和中国科技大学等校教授以及华南工学院名誉教授；并兼任过中国科学院成都分院学术顾问、该院数理科学研究室主任、中国科学院武汉数学物理研究所顾问、研究员.他还是国家科委数学学科组副组长、自动化学科组成员；曾担任北京数学会理事长,中国数学会秘书长,国际自动控制联合会理论委员会成员及《中国科学》《科学通报》《数学学报》和《系统科学与数学》等杂志的编委或主编等职.1980年,他与其他科学家一起创建中国科学院系统科学研究所,担任研究所所长.他还担任中国自动化学会副理事长、中国系统工程学会理事长.1980年当选为中国科学院数理学部委员.关肇直长期从事泛函分析、数学物理、现代控制理论等领域的研究,成绩卓著,为我国的社会主义现代化建设作出了重大贡献,1978年获全国科学大会奖,1980年获国防科委、国工办科研奖十几项,1982年获国家自然科学二等奖；关肇直参与主持的项目《尖兵一号返回型卫星和东方红一号》获1985年国家科技进步特等奖,他本人获“科技进步”奖章.关肇直从事泛函分析、数学物理和现代控制理论研究方面,取得水平很高的成果.主要成果有以下几个方面.(一)最速下降法与单调算子思想关肇直于《数学学报》第6卷第4期(1956)发表了学术论文“解非线性函数方程的最速下降法”,第一次把梯度法(又称最速下降法)由有限维空间推广到无限维空间,而且和线性问题相仿,其收敛速度是依照等比级数的.这种方法可以用来解某些非线性积分方程以及某些非线性微分方程边值问题.并在文中首先提出了单调算子的思想,比外国学者早四五年.国外关于单调算子的概念,最早见于1960年扎朗顿尼罗和闵梯(E.H.Z afantonello,G.J.M inty)的工作.单调算子是非线性泛函分析中很基本的概念之一,单调算子理论已成为泛函分析中的一个重要分支,在处理力学、物理学中的许多非线性问题中被广泛地应用.(二)激光问题的数学理论在数学物理方面,关肇直也进行了深入的研究.他在《中国科学》第14卷第7期(1956)上用法文发表了学术论文“关于…激光理论‟中积分方程的非零本征值的存在性”在论文中他利用泛函分析工具,在很弱的假设下,用极为简短的方式证明了激光理论中一般形式的具有非对称核的线性积分方程非零本征值的存在.这一结果受到国际上的重视.被国外书刊广泛引用,如M agraw H ill图书公司1972年出版的柯克朗(J.A.C ochran)著的《线性积分方程分析》一书就曾详细地引用过.(三)中子迁移理论关肇直在数学物理方面的另一个创造,就是关于中子迁移理论的研究.1963年他用希尔伯特空间与不定规度空间的算子谱理论解决了平板几何情形的中子迁移的本征函数问题,著有“关于一类本征值问题”(当时未发表).这比国外罕日布鲁克(H angelbrook)1973年的同类工作早10年.卡帕(H.G.K aper)和兹维贝尔(P.F.Z weibel)在1975年举行的国际迁移理论第四次会议上的报告(载于期刊《T ranspost T heory and S tatistical P hysiss》V ol.4,N o.3,第105—123页,1975)中,在“迁移理论中有什么创新”标题下,把罕日布鲁克的方法称为求解方程的新方法；但是,罕氏著作中所解决的问题,在关肇直的文章中是早已解决了的.关肇直于1963年完成的这篇论文直到他去世后于1984年发表在《数学物理学报》上,国外同行当得知他在60年代就作出了如此高水平的工作时都深表惊异.(四)飞行器弹性控制理论关肇直在《中国科学》1974年第4期上发表了“弹性振动的镇定问题”,首先提出了用线性算子紧扰动理论解决飞行器弹性振动的镇定问题.在这之前,美国的著名控制论专家鲁塞尔(D.L.R ussell)曾用别的方法讨论过此类问题,但他自己认为他所得的结果“当然并非完全满意”,“增益系数的增大应能改进系统的稳定性,但这样整体性结果没有得到……”他甚至认为：显然他所用的方法“带来必须小的缺陷,……,但很怀疑这里定理所表述的结果的确切化用任何别的技术来实现.”可是,与鲁塞尔的怀疑相反,关肇直用了算子紧扰动方法技巧,此方法与鲁塞方法有本质的区别,它确实摆脱了放大系数很小的限制,得出了工程意义更合理的结果.这项成果已经应用到我国的国防尖端技术设计上，成为导弹运载火箭所必不可少的一个设计理论.(五)几本主要著作1.《泛函分析讲义》1958年高等教育出版社出版了关肇直的《泛函分析讲义》.该书吸取了当时国际上几部有名的介绍泛函分析概要的书的长处,内容适中,很具特色,便于自学.这是国内第一部包括当时泛函分析各分支的较全面的专著,国内当时这类书很少；国内除此之外,迄今也仍只有一些教科书性质的出版物,还没有别的书代替它.关肇直曾使用这部著作在1956年和1957年分别为中国科学院数学研究所一批青年同志和北京大学第一届泛函分析专门化学生讲授过《泛函分析》课程,培养了一批从事泛函分析等方面的中青年骨干教师和科研人员.此书至今仍有重大参考价值.2.《拓扑空间榻论》科学出版社于1958年出版了关肇直教授的这本书.本书是为了数学分析方面的青年数学工作者的需要而写的.目的是使读者获得关于拓扑空间理论的基础知识.本书在当时是这方面较系统的也是较早的一部专著.作者是按照自己的观点来写的,书中许多定理的证明都是作者给出的,他尽可能地遵循一般实变函数论中的叙述问题的方式,因而有自己的特色.这是为了使读者感到新知识与原有知识有联系,对新的抽象概念不至感到突然,同时又帮助读者直达科学研究的前沿.根据研究概率论方面的读者反映,对他们研究极限定理一类工作颇有帮助.3.《高等数学教程》人民教育出版社于1959年出版.本书是关肇直在中国科技大学开办应用数学专业讲授高等数学课程而编写的教材,特点是：材料比较丰富,注意理论联系实际.4.《线性泛函分析入门》上海科技出版社于1979年出版.关肇直同他的学生张恭庆、冯德兴合著.著书的目的是为了满足多方面科学研究工作者的需要,因为当时线性泛函分析已成为许多从事科学技术研究的人所渴望了解和应用的一门数学学科.此书的特点是：尽可能从一些问题提炼出泛函分析中的基本概念,让读者透过叙述方法了解到研究的过程.5.《现代控制系统理论小丛书》这是由关肇直主编的,包括线性系统理论、非线性系统理论、极值控制理论、系统辨识、最优控制与随机控制理论、分布参数系统理论及其他有关内容,共分十几分册,由科学出版社从1975年开始陆续出版.这套丛书介绍了现代控制系统理论的各个部分,并着重说明这种理论怎样由工程实践的需要而产生,又怎样用来解决工程设计中的实际问题.此丛书主要是为从事控制理论研究的科学工作者和工程技术人员而撰写的.此丛书的出版,对于促进我国的控制理论和控制技术的发展起到了很好的作用.。

用图象表示的变量间关系(绝对经典)

度更快?
80
(3)当小明到达终点时,小亮所跑 60
的路程是多少?
40
小明小亮
(4)小明和小亮到达终点后如果 20
各自继续以原速度往前跑,他们能否相遇?利用图象加以解释.
0
2 4 6 8 10 12 12.5
(1)小明和小亮的百米成绩各是多少?(2)两人的速度各是多少?谁的速度更快?(3)当小明到达终点时,小亮所跑的路程是多少?(4)小明和小亮到达终点后如果各自继续以原速度往前跑,他们能否相遇?利用图象加以解释.
A
S D
4
B
P
C
图(1)
0
4 图(2)
6x
如图一,在长方形MNPQ中,动点R从点N出发,沿
路程相同的情况发生,所以两人不会
相遇.
0 2 4 6 8 10 12 12.5
如图(1),在长方形ABCD中,AB=2,动点P从点B出发,
沿路线B→C→D作匀速运动,图(2)是此运动过程中,
三角形PAB的面积S与点P运动的路程x之间的关系图
D 象,则BC+CD的长为 A.3 B.4 C.5 D.6
1.一个变化过程中，有变量和常量。 2.两个变量: 自变量和因变量,表示的意义,书写形式 3.变量间的关系表示法第一表格法第二关系式法 (1)利用公式(2)根据表格(3)实际问题第三图像法
第三章变量之间关系
用图象表示的变量间关系
知识点1用图象表示两个变量之间的关系
1.图象法:是指用图象来表示两个变量之间关系的方法。 2.图象的基本特征:横轴(x轴)上的点表示自变量,纵轴(y轴)上的点表示因变量.图象上的每个点表示自变量和因变量之间的相互关系. 3.优点:能直观、形象地反映因变量随着自变量变化的趋势

(完整word)两个变量的相关关系

(完整word)两个变量的相关关系两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种：一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的。

例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”，我们说总成绩和单科成绩具有相关关系。

相关关系又分为两种:（1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势。

（2)负相关：两个变量具有相反的变化趋势。

对相关关系的理解可以从下面三个角度把握:相关关系的概念:自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系。

因此,不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点:均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系;而相关关系是一种非确定关系。

函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系。

然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄。

当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析，发现规律,才能作出科学的判断。

我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。

高中数学第二章统计23变量间的相关关系课件新人教A版必修3(2)

总费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(1)根据表格数据，画出散点图；
(2)求线性回归方程y^＝b^x＋a^的系数a^，b^； (3)估计使用年限为 10 年时，车的使用总费用是多少？
【解题探究】(1)利用描点法作出散点图； (2)把数据代入公式，可得回归方程的系数； (3)把x＝10代入回归方程得y值，即为总费用的估计值．
【答案】A 【解析】在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝ b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．故选A．
两个变量x与y相关关系的判断方法 1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． 3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．
变量之间的相关关系的判断
【例 1】下列变量之间的关系不是相关关系的是 ()
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b 为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量
【解题探究】判断两个变量之间具有相关关系的关键是什么？
①反映^y与 x 之间的函数关系；
②反映 y 与 x 之间的函数关系；
③表示^y与 x 之间的不确定关系；
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②

数据分析答案梅长林

数据分析答案梅长林【篇一：1.1一维数据数字特征】013学年第一学期主讲教师李晓燕课程名称数据分析课程类别专业限选课学时及学分 68；4授课班级信息101 102使用教材《数据分析方法》系(院.部) 数理系教研室(实验室) 信息和计算科学教研室数据分析总学时：68 理论38.上机28 适用专业：信息和计算科学内容：? sas软件介绍 3学时 ? 数据的描述性分析10学时 ? 线性回归分析 13学时 ? 方差分析 10学时 ? 主成分分析和典型相关分析8学时? 判别分析 8学时 ? 聚类分析 8学时 ? 学生报告 8学时教材：《数据分析方法》，梅长林、范金城编，高等教育出版社.2006. 参考资料：《实用统计方法》，梅长林编，科学出版社；《使用多元统计分析》，高惠璇编，北京大学出版社，2005；《使用统计方法和sas系统》，高惠璇编，北京大学出版社，2001；《多元统计分析》(二版)，何晓群编，中国人民大学出版社，2008；《使用回归分析》(二版)，何晓群编，中国人民大学出版社，2007；《统计建模和r软件》，薛毅编著，清华大学出版社，2007. 考核：期末成绩（闭卷测试+上机测试）：70%。

平时成绩（平时作业+考勤+大报告）：30%。

课程作业（1）作业题目在网络教学平台公布，按格式要求，以电子版方式通过平台提交。

（2）大报告：2-3人一组，每组一个选题，成员按相同的成绩计分。

收集数据，撰写小论文，做ppt讲解。

每组讲10-20分钟，提问环节。

同学打分。

课时授课计划课次序号： 01一、课题：1.1 一维数据的数字特征及相关系数二、课型：新授课三、目的要求：1.掌握数据的数字特征（均值、方差等）；2.掌握几种描述性分析的sas过程和作图过程计算这些数字特征及进行描述性分析.四、教学重点：均值、方差等数字特征.教学难点：基本概念的理解.五、教学方法及手段：传统教学和上机实验相结合．六、参考资料：1.《实用统计方法》，梅长林，周家良编，科学出版社；2.《sas统计分析使用》，董大钧主编，电子工业出版社．七、作业：1.1八、授课记录：九、授课效果分析：0 绪论0.1 课程内涵数据分析(即多元统计学statistics）：是以数据为依据，以统计方法为理论、计算机及软为工具，研究多变量问题、挖掘数据的统计规律的学科. 通过收集数据、整理数据、分析数据和由数据得出结论的一组概念、原则和方法。

变量间的相关关系

)
A．y 平均增加 1.2 个单位 B．y 平均增加 3 个单位 C．y 平均减少 1.2 个单位 D．y 平均减少 3 个单位
A
即时训练3-1:(2017· 甘肃省高台期末)某地随着经济的发展,居民收入逐年
增长,下表是该地一银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如表1:
年份x 储蓄存款 y(千亿元) 2013 5 2014 6 2015 7 2016 8 2017 10
i i
ˆ1 )2 + ( y2 y ˆ 2 )2 + + ( yn y ˆ n )2 Q = ( y1 y
=(y1bx1a)2+(y2bx2a)2+…+(ynbxna)2,
即要使 Q=(y1bx1a)2+(y2bx2a)2+…+(ynbxna)2 最小, a, b 应取什么值?
Байду номын сангаас (3)试预测加工10个零件需要多少时间?
解:(3)将 x=10 代入回归直线方程, 得 y =0.7×10+1.05=8.05(小时), 所以预测加工 10 个零件需要 8.05 小时.
【课时小结】
• 1、变量间的相关关系 • 2、变量间的线性相关关系 • 3、回归直线，最小二乘法
自我检测
1.(2017·辽宁葫芦岛期中)观察下列散点图,则①正相关,②负相关,③不
[解] (1)散点图如图所示．
(2)由图知随年龄的增加身高也再增加，所以我们说两变量间正相关关系，并且所有数据点接
近一条直线排列，y与x具有线性相关关系．
例2、有一个同学家开了一个小卖部, 他为了研究气温对热饮销售的影响, 经过统计, 得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表:

变量间的相关关系及独立性检验

非线性相关关系可以是单调递增、单调递减、先增后减、先减后增等多种类型。
判断两个变量之间是否存在非线性相关关系可以通过绘制散点图或计算非线性相关系数等方法来进行。
相关系数及其计算
相关系数是衡量两个变量之间相关关系的统计量，其计算方法有多种，其中最常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼秩相关系数。
皮尔逊相关系数使用积差法计算，其值介于-1和1之间，用于衡量线性相关关系的强度和方向。斯皮尔曼秩相关系数则用于衡量等级数据之间的相关性。
变量间的相关关系及独立性检验
目录
• 变量间的相关关系 • 变量间的独立性检验 • 变量间的因果关系推断 • 相关性与独立性的区别与联系
01
变量间的相关关系
线性相关关系
线性相关关系是指两个或多个变量之间存在一种可以用直线表示的依赖关系。当一个变量发生变化时，另一个变量也会随之发生相应的变化。
独立性检验
常用于验证两个变量之间是否存在直接的因果关系，例如在经济学中检验货币政策是否对经济增长有影响，或者在心理学中检验某种疗法是否对心理健康有影响。
THANKS。
因果关系推断的方法
基于理论的推断
01
根据相关学科的理论和知识，推断变量之间的因果关
系。
基于相关关系的推断
02 通过分析变量之间的相关系数、相关图等，推断变量之间的因果关系。基于实验的推断03
通过实验的方式，控制其他变量的影响，观察单一变
量的变化对结果变量的影响，从而推断因果关系。
因果关系推断的局限性
相关性与独立性的联系
相关性和独立性是描述变量间关系的两种不同角度，有时一个变量可能既与另一个变量相关，又与第三个变量独立。
在某些情况下，相关性和独立性可能相互转化，例如当引入第三个变量时，两个原本独立的变量可能变得相关。

变量间的相互关系

ˆ b
( x x)( y y) x y n x y
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n

2
i 1 n
i
i
x
i 1
2 i
nx
2
,
ˆx ˆ y b a
例1：观察两相关变量得如下表：
x y
解：
-1 -9
-2 -7
-3 -5
-4 -3
-5 -1
（2）当x=5时, y=30.3676≈30.37。
小结
1、现实生活中存在许多相关关系：商品销售与广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年龄等等的相关关系. 2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析，找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断. 3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所以样本数据应较大，才有代表性.才能对它们之间的关系作出正确的判断.
25 脂肪含量
如图：
20 15 10 5 年龄
O
20 25 30 35 40
45 50 55 60 65
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归直线方程。脂肪含量
Ù
= bx + a
7.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.
8.对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.

变量之间的关系

变量之间的关系知识梳理1．概念变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量是变量。

自变量、因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，其中y随x 的变化而变化，我们就说x是自变量，y是因变量。

常量：在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量。

表格法：借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

表格法的基本特征是：表示两个变量之间的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化而存在一定的变化规律，从而可以利用变化趋势对结果作出预测。

关系式法：利用等式表示两个变量之间的关系。

关系式的基本特征是：（1）等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式；（2）等式中只含有自变量和因变量两个变量，其他的量都是常数；（3）自变量可在允许的范围内任意取值。

图像：将一个变量随着另一个变量的变化而变化的情况绘制成一条曲线，这条曲线称为两个变量之间关系的图像。

图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间关系的方法，叫做图像法。

例题精讲考点1．变量、自变量、因变量、常量例1．甲、乙两城市相距300千米，在甲城市有一列火车以每小时100千米的速度向乙城市行驶，t 小时后火车与乙城市的距离为y 千米，在这个问题中，是常量，是自变量，是因变量。

变式1.下列各题中，哪些量在发生变化？其中的自变量与因变量各是什么？（1）用总长为60m 的篱笆围城一个边长为l (m)、面积为S （㎡）的矩形场地；（2）正方形边长是3，若边长增加x ，则面积增加y 。

变式2．小明帮妈妈预算家庭4月份电费的开支情况，下表是小明家4月处连续8天每天早上电表显示的读数。

（1）表格中反映的变量是，自变量是，因变量是。

（2）估计小明家4月份（按30天计）用电量是，若每度电0.55元，估计他家4月份应交电费元。

考点2.表格法表示变量之间的关系例2.下表是一次秋汛期某河流在一天内涨水情况，警戒水位是25米。

关系式表示的变量间关系总结

关系式表示的变量间关系总结
用关系式表示的变量间关系，一种是表格法，另一种是关系式法。

什么是表格法
表格法是根据测试的目的和要求，将测量数据制成表格，然后再进行其他的处理的方法。

表格法显示了各变量间的对应关系，反映出变量之间的变化规律，是进一步处理数据的基础。

表格法具有简单、方便、易于参考比较和发现问题等优点。

但要进行深入的分析，表格法就不适宜了，因为表格法的缺点是不直观，不易看出数据变化的趋势。

变量之间的关系是相关关系。

相关关系是客观现象存在的一种非确定的相互依存关系，即自变量的每一个取值，因变量由于受随机因素影响，与其所对应的数值是非确定性的。

相关分析中的自变量和因变量没有严格的区别，可以互换。

变量相关关系：当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。

变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的相关关系。

变量之间的相互关系

变量之间的相互关系一、引言在研究数据科学、统计学、经济学以及其他众多领域时，变量间的相互关系是不可或缺的议题。

这种关系描述了不同变量如何互相影响，从而帮助我们理解和预测现象。

本文将深入探讨变量间相互关系的概念、类型和测量方法。

二、变量间的关系类型1.因果关系：如果一个变量（原因）的变化导致了另一个变量（结果）的变化，则存在因果关系。

这种关系是有方向的，原因必定在前，结果只能在后。

2.相关关系：当两个或多个变量同时发生变化，但不表示因果方向时，我们称之为相关关系。

相关关系可以是正相关（一个变量增加时，另一个也增加）或负相关（一个变量增加时，另一个减少）。

3.函数关系：当一个变量（自变量）完全确定另一个变量（因变量）的值时，我们称之为函数关系。

这种情况下，因变量的变化完全依赖于自变量的变化。

三、测量变量间关系强度的方法1.皮尔逊相关系数：衡量两个连续变量的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。

接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示无相关。

2.斯皮尔曼秩相关系数：与皮尔逊相关系数类似，但适用于非参数数据。

它衡量的是两个连续变量之间的秩次相关性。

3.偏相关系数：当存在多个变量影响因变量时，偏相关系数可以用来衡量特定自变量与因变量之间的线性关系。

四、应用场景理解并测量变量间的相互关系在众多实际场景中都有应用价值。

例如，在市场营销中，通过分析消费者行为、购买历史等变量与购买决策之间的相互关系，可以更有效地制定营销策略。

在医学研究中，了解疾病症状、患者生理指标等变量之间的关系，有助于疾病的诊断和治疗。

五、结论理解并测量变量间的相互关系是数据科学和统计学中的重要概念。

通过明确关系的类型和测量方法，我们可以更好地理解和预测现象，从而在各个领域中做出更有效的决策。

随着技术的发展和数据的丰富，变量间相互关系的研究将继续深化和拓展，为我们提供更多的洞见和可能。

高中数学必修三-变量间的相关关系

变量间的相关关系知识集结知识元变量之间的相关关系知识讲解1、变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．2、线性相关和非线性相关：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例题精讲变量之间的相关关系例1.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中___（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．例2.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）例3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．例4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．两个变量的线性相关知识讲解1．散点图【知识点的知识】1．散点图的概念：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念：从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．3．正相关和负相关：（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．2．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例：对于线性回归方程，则＝解：，因为回归直线必过样本中心（），所以．故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．3．最小二乘法【概念】最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．最小二乘法还可用于曲线拟合．其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达．【例题解析】例：关于x与y有如表数据：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+0.35．解：∵由题意知，，∴＝0.7∴要求的线性回归方程是y＝0.7x+0.35，故答案为：y＝0.7x+0.35．集体步骤就是先做出x，y的平均数，代入的公式，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【考点解析】最小二乘法一般在线性拟合中应用的比较多，主要是一种方法，能够熟记如何操作就可以了，剩下的就是计算要认真．例题精讲两个变量的线性相关例1.'2018年9月17日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据{x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），如表（1）求出p的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价：x（百元）的线性国归方程y=bx+a（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x对应的产品销的估计值当销售数据（x i，y i）的残差的绝对值|y i-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．参考公式及数据=y i=80，=1606，=91，，'例2.'某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：=1.60，=2.82，（x i）（y i）=-0.52，（x i）2=0.65，附：线性回归方程=bx+a，b=．'当堂练习单选题练习1.用模型y=ce kx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+2，则c=（）A．e2B．e4C．2D．4练习2.根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i=1，2，…，300），求得的回归方程是=x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线=x+上B．若所有样本点都在回归直线=x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i=1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线=x+的斜率b>0，则变量x与y正相关练习3.已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则=（）A．2B．11C．12D．14练习4.根据如下样本数据得到的回归直线方程为=bx+a，则（）A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b<0D．a<0，b>0练习5.下列表格所示的五个散点数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为，则表格中m的值应为（）A．8.3B．8.2C．8.1D．8练习6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5练习1.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）练习2.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中是相关关系的为_____．练习3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．练习4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．练习1.'2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中心任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码x=t-2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率．'练习2.'某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2…，10）的数据，得到散点图如图所示．（1）利用散点图判断y=a+bx和y=c∙x d（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理，令u i=lnx i，v i=lny i，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=18y-x（其中e≈2.71828），根据第（2）问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．'基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据（x i）2=17.5，（y i）2=76，（x i）（y i）=35，≈36.5参考公式：相关系数r=回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y=a∙b x拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．附：①参考数据表中v i=lgy i，=lgy i②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=-β．'习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y=ax+b与y=c+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度（结果保留1位小数）附：=，参考数据：'某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，=，=-。

(完整版)北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题

第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题知识回顾一一复习路程、速度、时间之间的关系： _________________ ,, ; 知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________ .数值始终不变的量在某一变化过程中，如果有两个变量x和y,当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做_________ ，后一个变量y叫做自变量的 __________注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数轴（纵轴）上的点表示 ________ ，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的•【方法技巧】（1 ）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值•（2 ）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用 _____________ 、___________ 和__________ ；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键知识点三用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为X，面积为y，则y= x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是_______________________ , y是 _______ ; 一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义•（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来•【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系•根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息（1）在这个注水过程中，反映的是两个变量与之间的关系, 其中变量是自变量，变量是因变量；（2）这个水箱原有水L；（3）min时水箱注满水；（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L.2 .一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：某个变化过程而言的是_________ ，s是—例如：s=60t，速度60千米/时是。

2.3《变量间的相互关系》教案(新人教必修3)

2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学过程：案例分析:一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。

为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。

关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。

（3）如果一个学生的身高是188cm ，你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。

它们之间是线性相关的。

那么，怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线。

同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。

同学3：多取几组点对，确定几条直线方程。

再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。

同学4：我从左端点开始，取两条直线，如下图。

再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。

同学5：我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。

1015202530150155160165170175180185190195同学6：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm 以下的，一部分是身高在170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线。

同学7：我先将所有的点按从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为（161.3，18.2），中间的点为（170.5，20.1），最大的点为（179.2，21.3）。

变量间的相互关系

从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律. 表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数. 我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
下面我们以年龄为横轴，
脂肪含量为纵轴建立直 40
角坐标系，作出各个点，35
求回归直线方程的步骤：
第一步：列表 xi, yi, xi yi
n
n
n
第二步：计算： x,y, xi2, yi2, xiyi
i1
i1
第三步：代入公式计算b，a的值 xi yi xi•yi
i1
第四步：列出直线方程。
画图1
例2 观察两相关量得如下数据:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
10 4
18 0
19 0
17 7
14 7
13 4
15 0
19 1
20 4
121
yi
10 0
20 0
21 0
18 5
15 5
13 5
17 0
20 5
23 5
125
xi yi
10 40 0
36 00 0
39 90 0
32 74 5
22 78 5
18 09 0
n
2 2 回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之
2
(x x) x nx i 间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。
i
i1
i1

变量之间的关系可以分为两类函数关系和相关关系

第24讲一元线性回归分析教学目的：1. 使学生理解随机变量Y与普通变量x间的相关关系；2. 使学生理解Y与x间的一元线性回归模型Y a bxε=++；3. 使学生掌握未知参数a和b的最小二乘估计方法；4. 使学生掌握线性假设的显著性检验方法。

教学重点：使学生理解Y与x间的一元线性回归模型Y a bxε=++，掌握未知参数a和b的最小二乘估计方法。

教学难点：使学生理解Y与x间的一元线性回归模型Y a bXε=++。

教学时数：3学时。

教学过程：第九章回归分析§9.1回归分析的基本概念客观世界中普遍存在着变量间的关系，而变量间的关系一般可分为两类：确定性关系和非确定性关系。

确定性关系：可以用函数来表示的变量间关系。

非确定性关系：不能用函数来表示的变量间关系，也称为相关关系或统计关系。

如身高与体重之间的关系。

一般来说，人高一些，体重要重一些，但同样身高的人，体重往往不相同。

又如人的血压与年龄之间的关系，树高与生长时间之间的关系，商品的销售量与单价之间的关系等都是相关关系。

所谓回归分析是指通过试验和观测去寻找隐藏在变量间相关关系的一种数学方法，是研究变量间相关关系的一种有力的数学工具。

设随机变量Y（因变量）与普通变量x（自变量）之间存在着某种相关关系，由于F y x表示取确定值x Y是随机变量，对于x的各个取值，Y有它的分布，我们不妨用()F y x随着x取值的变化而变化时，对应的Y的分布函数。

可以想象如果我们掌握了()的规律，那么就能完全掌握Y与x之间的关系了，然而这样做往往非常复杂，甚至是不可能的。

作为一种近似，我们转而去考察取确定值x时Y的数学期望，若此时Y的数学μ，称为Y关于期望存在，则其值随x的取值而定，它是x的函数。

将这一函数记为()xx 的回归函数。

这样，我们就将讨论Y 与x 的相关关系的问题转化为讨论()()E Y x μ=与x 的函数关系问题了。

我们先看一个例子。

例1 为研究某一化学反应过程中，温度()x C ο对产品得率(%)Y 的影响，测得数据如下：温度()x C ο 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率(%)Y45515461667074788589这里自变量x 是普通变量，Y 是随机变量。