变量间的相互关系
用图像表示变量间的关系
⑥ 90
60 ②
⑤
⑦
20 24 时间/分
判断速度随时间的变化情况：
怎样看图：
从左往右若图象上升,表明速度增大；
若图象下降,表明速度减小；
若图象与横轴平行；则表明速度保持不变，
尝试
探究 洪峰公司根据工作需要,准备租一辆面包车，
经考察,个体车与出租车公司的月租金计算方法如图所示，请 你根据图中提供的信息,与同伴讨论一个租车方案，
__关__系_式__法__
给定一个变量的值可求出另一个变量的值
__图__象__法_
能够直观地看出变量间的变化__趋__势_
在图象中
上升线------表示因变量随自变量的增大而增大； 水平线-----表示因变量随自变量的增大而不变； 下降线------表示因变量随自变量的增大而减小， 以上三点是打开“解决图象类问题”的一把万能钥匙 ，
y元
200 150 100 50
0
乙 1 当每月通话时间为多少时,两
A
甲
公司的收费相同 2 当每月通话时间在什么范围
时, t/分钟 应选择乙公司 100 200 300 3 当每月通话时间在什么范围
时,
应选择
甲公司
变量之间关系的三种表示方法
变量之间关系的表示 __列__表__法_
特征 能看出两个变量之间的_变__化__关系
随堂练习：
1.柿子熟了,从树上落下来.下面的那一幅图可以 大致刻画出柿子下落过程中 即落地前 的速度的 变化情况
速
速
度
度
0
时间
1
0
时间
2
速
度
正确
0 3
时间
速 度
0 4 时间
社会统计学第十二章 相关与回归分析
2. 相关方向：正相关和负相关 所谓正相关关系是指一个变量的值增加时，另一变
量的值也增加。例如，受教育水平越高找到高薪水工作的 机会也越大。而负相关关系是指一个变量的值增加时，另 一变量的值却减少。例如，受教育水平越高，理想子女数 目越少。要强调的是，只有定序以上测量层次的变量才分 析相关方向，因为只有这些变量的值有高低或多少之分。 至于定类变量，由于变量的值并无大小、高低之分，故定 类变量与其他变量相关时就没有正负方向了。
父母智力 组合
优＋优
优＋劣 一般＋一般
劣＋劣
子女智力 子女智力
优秀
一般
71.6 25.4
33.6 42.7
18.6 66.9
5.4 34.4
子女智力 低下
3.0 23.7 14.5 60.2
通过列联表研究定类变量之间的关联性，这 实际上是通过相对频数条件分布的比较进行的。 如果对不同的X，Y的相对频数条件分布不同，且 和Y的相对频数边际分布不同，则两变量之间是 相关的。而如果变量间是相互独立的话，必然存 在着Y的相对频数条件分布相同，且和它的相对 频数边际分布相同。后者用数学式表示就是
r×c相对频数联合分布列联表
控制X，Y相对频数条件分布列联表
控制Y，X相对频数条件分布列联表
[例A1]试把下表所示的频数分布列联表，转 化为自变量受到控制的相对频数条件分布列联 表，并加以相关分析。
投票行为
受教育程度X
Y
大学以 大学以
FY
上
下
投票
160
129
289
弃权
7
61
68
合计：FX 167
r×c相对频数分布列联表的一般形式
在相对频数分布列联表中，各数据为各分类
用图象表示的变量间关系(绝对经典)
度更快?
80
(3)当小明到达终点时,小亮所跑 60
的路程是多少?
40
小明 小亮
(4)小明和小亮到达终点后如果 20
各自继续以原速度往前跑,他们 能否相遇?利用图象加以解释.
0
2 4 6 8 10 12 12.5
(1)小明和小亮的百米成绩各是多少?(2)两人的速度各是多少?谁的速度更 快?(3)当小明到达终点时,小亮所跑的路程是多少?(4)小明和小亮到达终点 后如果各自继续以原速度往前跑,他们能否相遇?利用图象加以解释.
A
S D
4
B
P
C
图(1)
0
4 图(2)
6x
如图一,在长方形MNPQ中,动点R从点N出发,沿
路程相同的情况发生,所以两人不会
相遇.
0 2 4 6 8 10 12 12.5
如图(1),在长方形ABCD中,AB=2,动点P从点B出发,
沿路线B→C→D作匀速运动,图(2)是此运动过程中,
三角形PAB的面积S与点P运动的路程x之间的关系图
D 象,则BC+CD的长为 A.3 B.4 C.5 D.6
1.一个变化过程中，有变量和常量。 2.两个变量: 自变量和因变量,表示的意义,书写形式 3.变量间的关系表示法 第一表格法 第二关系式法 (1)利用公式(2)根据表格(3)实际问题 第三图像法
第三章变量之间关系
用图象表示的变量间关系
知识点1用图象表示两个变量之间的关系
1.图象法:是指用图象来表示两个变量之间 关系的方法。 2.图象的基本特征:横轴(x轴)上的点表示自 变量,纵轴(y轴)上的点表示因变量.图象上 的每个点表示自变量和因变量之间的相互 关系. 3.优点:能直观、形象地反映因变量随着自 变量变化的趋势
变量间的相互关系
变量间的相互关系可以通过相关性和因果性来描述。
相关性指的是两个或多个变量之间的关联程度，可以用相关系数来度量。
如果两个变量之间存在正相关，那么它们的值会随着彼此的增加而增加，反之亦然。
如果两个变量之间存在负相关，那么它们的值会随着彼此的增加而减少，反之亦然。
因果性指的是一个变量的变化是由另一个变量的变化所引起的。
因果关系可以用因果图来表示，其中箭头表示因果关系的方向。
例如，如果一个变量的变化会导致另一个变量的变化，那么箭头会从前者指向后者。
在实际应用中，变量之间的关系往往比较复杂，一个变量可能受到多个因素的影响，同时也可能影响多个其他变量。
因此，为了更好地理解变量之间的相互关系，需要进行深入的数据分析和建模，从而找出变量之间的真正关联和因果关系。
计量经济学名词解释及简答
一、名词解释第一章1、计量经济学：计量经济学是以经济理论和经济数据的事实为依据，运用数学、统计学的方法，借助计算机为辅助工具，通过建立数学模型来研究经济数量关系和规律的一门经济学科。
2、虚拟变量数据：虚拟变量数据是人为构造的，通常取值为1或0的，用来表征政策等定性事实的数据。
3、计量经济学检验：计量经济学检验主要是检验模型是否符合计量经济方法的基本假定。
4、政策评价：政策评价是利用计量经济模型对各种可供选择的政策方案的实施后果进行模拟测算，从而对各种政策方案做出评价第二章1、回归平方和：回归平方和用ESS 表示，是被解释变量的样本估计值与其平均值的离差平方和。
2、拟和优度检验：拟和优度检验指检验模型对样本观测值的拟合程度，用表示，该值越接近1，模型对样本观测值拟合得越好。
3、相关关系：当一个或若干个变量X 取一定数值时，与之相对应的另一个变量Y 的值虽然不确定，但却按某种规律在一定范围内变化，变量之间的这种关系，称为不确定性的统计关系或相关关系，可表示为Y=f(X ，u)，其中u 为随机变量。
4、高斯-马尔科夫定理：在古典假定条件下，O LS 估计式是其总体参数的最佳线性无偏估计式。
第三章1、偏回归系数：在多元线性回归模型中，回归系数j （j=1，2，……，k ）表示的是当控制其他解释变量不变的条件下，第j 个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响，这样的回归系数称为偏回归系数。
2、多重可决系数：“回归平方和”与“总离差平方和”的比值，用表示。
3、修正的可决系数：用自由度修正多重可决系数 中的残差平方和与回归平方和。
4、回归方程的显著性检验（F 检验）：对模型中被解释变量与所有解释变量之间的线性关系在总体上是否显著做出推断。
5、回归参数的显著性检验（t 检验）：当其他解释变量不变时，某个回归系数对应的解释变量是否对被解释变量有显著影响做出推断。
6、无多重共线性假定：假定各解释变量之间不存在线性关系，或者说各解释变量的观测值之间线性无关，在此条件下，解释变量观测值矩阵X 列满秩Rank(X)=k ，此时，方阵X`X 满秩， Rank(X`X)=k从而X`X 可逆，(X`X) 存在。
变量间的相互关系
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在 一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律. 表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数. 我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上 的印象和判断.
下面我们以年龄为横轴，
脂肪含量为纵轴建立直 40
角坐标系，作出各个点，35
求回归直线方程的步骤：
第一步：列表 xi, yi, xi yi
n
n
n
第二步：计算： x,y, xi2, yi2, xiyi
i1
i1
第三步：代入公式计算b，a的值 xi yi xi•yi
i1
第四步：列出直线方程。
画图1
例2 观察两相关量得如下数据:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
10 4
18 0
19 0
17 7
14 7
13 4
15 0
19 1
20 4
121
yi
10 0
20 0
21 0
18 5
15 5
13 5
17 0
20 5
23 5
125
xi yi
10 40 0
36 00 0
39 90 0
32 74 5
22 78 5
18 09 0
n
2 2 回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之
2
(x x) x nx i 间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。
i
i1
i1
变量之间的关系有哪三种
变量之间的关系有哪三种
变量之间的关系可用表格，函数关系式，图象法三种方法表示。
变量之间的关系是相关关系。
相关关系是客观现象存在的一种非确定的相互依存关系，即自变量的每一个取值，因变量由于受随机因素影响，与其所对应的数值是非确定性的。
相关分析中的自变量和因变量没有严格的区别，可以互换。
变量相关关系:当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。
变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的相关关系。
当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。
马赫的要素一元论把科学和认识所及的世界归结为要素的复合，又把要素解释为感觉，认为这个世界以人的感觉为转移。
他指出，人的感觉是相同的，对于同一对象，不同的人乃至同一个人在不同的情况下会有不同的感觉，因此，世界上事物的存在只是相对的。
社会调查研究与方法 第二章自测
定类变量离散变量直线相关公理, 定理, 假设, 经验概括查阅文献, 咨询, 实地考察实用性, 系统性, 实效性, 经济性, 弹性概念与变量的含义是什么？变量有哪些类型？答:概念是对现象的抽象，是类似事物或现象的属性在人们主观上的反映。
人们在社会实践中，从类似事物或现象中概括出共同的本质属性，对这种共同属性的表述就是概念。
变量是概念的一种类型，是指本身变动的概念。
社会调查研究经常涉及的变量类型有:离散变量，是按一定标准把事物分为两类或多类的变量:;连续变量，是指用一组数值直接表示出同一类事物的量的变化的变量;自变量，是指能够影响其它变量，而又不受外界因素的景响而自身产生变化的变量;因变量，是指不能影响其它变量，而又受外界因素影啊而变化的变量;中间变量，是介于自变量和因变量中间的变量;定类变量，即只有类别属性之分，而没有大小优劣之别的变量;定序变量，是除了有类别属性之分外，还有等级或次序的区别的变量:定距变量，是除了具有类别、次序区别之外，还有同标准化的距离的区别变量;定比变量.是除具有定类、定序、定距等特征外，在变量取值中还有一个以零为最终参照系的变量。
调查研究方案包括哪些内容？方案设计应注意哪些问题？答:社会调查研究总体方案通常主要包括以下内容:调査研究课题、目的和基本观点调査研究对象、内容和范围调査研究方式和方法调査研究时间与步骤安排组织领导与人员安排经费预算和物质保证。
方案设计应注意的问题主要有实用性;系统性;时效性;经济性;弹性等。
命题和假设的含义是什么？它们有哪些类型？答:命题是关于事物的一个或多个概念及其关系的表述，社会调査研究中的命题一般就表现为观点或逻辑上的判断。
命题可分为单变量命题、双变量命题，多变量命题三种类型。
单变量命题是对一个概念的表述，双变量命题是对两个变量之间关系的表述，多变量命题是对多个变量之间关系的表述。
假设是未经调査研究资料证实的命题，通常是陈述两个社会现象和事物之间的因果关系或相关关系。
变量间的相关关系及独立性检验
判断两个变量之间是否存在非线性相关关系可以通过绘制散点图或计算非 线性相关系数等方法来进行。
相关系数及其计算
相关系数是衡量两个变量之间相关关系的统计量，其计算方法有多种，其中最常用的是皮尔逊相关系 数和斯皮尔曼秩相关系数。
皮尔逊相关系数使用积差法计算，其值介于-1和1之间，用于衡量线性相关关系的强度和方向。斯皮尔 曼秩相关系数则用于衡量等级数据之间的相关性。
变量间的相关关系及独立性检验
目录
• 变量间的相关关系 • 变量间的独立性检验 • 变量间的因果关系推断 • 相关性与独立性的区别与联系
01
变量间的相关关系
线性相关关系
线性相关关系是指两个或多个变量之间存在一种可以用直 线表示的依赖关系。当一个变量发生变化时，另一个变量 也会随之发生相应的变化。
独立性检验
常用于验证两个变量之间是否存在直 接的因果关系，例如在经济学中检验 货币政策是否对经济增长有影响，或 者在心理学中检验某种疗法是否对心 理健康有影响。
THANKS。
因果关系推断的方法
基于理论的推断
01
根据相关学科的理论和知识，推断变量之间的因果关
系。
基于相关关系的推断
02 通过分析变量之间的相关系数、相关图等，推断变量之间的因果关系。基于实验的推断03
通过实验的方式，控制其他变量的影响，观察单一变
量的变化对结果变量的影响，从而推断因果关系。
因果关系推断的局限性
相关性与独立性的联系
相关性和独立性是描述变量间关系的 两种不同角度，有时一个变量可能既 与另一个变量相关，又与第三个变量 独立。
在某些情况下，相关性和独立性可能 相互转化，例如当引入第三个变量时 ，两个原本独立的变量可能变得相关 。
(9)第9章 相关分析
列边缘分布
列观察值的合计数的分布 例如，四个分公司接受调查的人数分别为 100 人， 120 人， 90人，110人
2. 条件分布与条件频数
变量 X 条件下变量 Y 的分布，或在变量 Y 条件下 变量 X 的分布 每个具体的观察值称为条件频数
9 - 17
社会 统计学
条件频数
观察值的分布
期望频数的分布
(例题分析)
一分公司 二分公司 三分公司 四分公司
赞成该 方案
实际频数 期望频数
实际频数 期望频数
68 66
32 34
75 80
75 40
57 60
33 30
79 73
31 37
反对该 方案
9 - 23
2
社会 统计学
列联表 (独立性)检验
判断两个分类变量之间是否存在联
系。对父母的孝敬程度是否与孩子的
9 - 32
社会 统计学
相关系数
(原理分析)
一个简化的 22 列联表
因素 Y y1 y2 合计
9 - 33
因素 X x1 x2
合计
a c a+c
b d b+d
a+b c+d n
社会 统计学
相关系数
(原理分析)
列联表中每个单元格的期望频数分别为 (a b)(a c) (a c)(c d ) e11 e21 n n (a b)(b d ) (b d )(c d ) e12 e22 n n 将各期望频数代入 的计算公式得
9 - 30
社会 统计学
一
二
利用2的相关测量
变量间的相互关系
ˆ b
( x x)( y y) x y n x y
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n
2
i 1 n
i
i
x
i 1
2 i
nx
2
,
ˆx ˆ y b a
例1：观察两相关变量得如下表：
x y
解：
-1 -9
-2 -7
-3 -5
-4 -3
-5 -1
（2）当x=5时, y=30.3676≈30.37。
小结
1、现实生活中存在许多相关关系：商品销售与 广告、粮食生产与施肥量、人体的脂肪量与年 龄等等的相关关系. 2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据 分析，找出其中的规律，对其相关关系作出 一定判断. 3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定 性，所以样本数据应较大，才有代表性.才能对 它们之间的关系作出正确的判断.
25 脂肪含量
如图：
20 15 10 5 年龄
O
20 25 30 35 40
45 50 55 60 65
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条 直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看 大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有 线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归 直线方程。 脂肪含量
Ù
= bx + a
7.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点 大致分布在回归直线附近.对同一个总体， 不同的样本数据对应不同的回归直线，所以 回归直线也具有随机性.
8.对于任意一组样本数据，利用上述公式都 可以求得“回归方程”，如果这组数据不具 有线性相关关系，即不存在回归直线，那么 所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此， 对一组样本数据，应先作散点图，在具有线 性相关关系的前提下再求回归方程.
变量之间的相关关系
变量间的相互关系是指两个或两个以上变量之间相联系的性质,主要有两种类型。
(1)因果关系:是指在两个有关系的变量中,因为一个变量的变化而引起另一个变量的变化。
应注意三点:第一,在两个变量中,只能一个是因,另一个是果,而不能互为因果。
第二,原因变量一定出现在结果变量之前。
第三,两者之间的变化关系是必然的,否则就不是因果关系。
社会现象的因果关系十分复杂,有一因一果、一果多因、一因多果以及多因多果等。
在社会调查研究中,调查者应注意区别事物之间因果关系的类型,对一果多因、一因多果以及多因多果等复杂的因果关系要仔细分析,逐一明确,这样才能清楚地认识社会现象和事物发展变化的规律。
(2)相关关系:是指变量的变化之间存在着非因果关系的一定联系和一定关系。
社会调查研究运用相关这一概念,其目的是了解社会现象和事物之间关系的密切程度,从中探寻其规律性。
变量之间的相关关系从变化的方向来看,可以分为正相关与负相关;从变化的表现形式来看,可以分为直线相关和曲线相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生同方向的变化,这种相关关系是正相关,也叫直接相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生反方向的变化,这种相关关系是负相关,也叫逆相关。
在社会调查研究中,掌握变量关系的正相关与负相关的概念,有利于了解社会现象和事物的发展方向和趋势。
当一个变量的数值发生变动(增加或减少),另一个变量的数值随着发生大致均等的变动时,这种关系称为直线相关;当一个变量的数值发生变动,另一个变量的数值随之发生不均等的变动时,这种关系称为曲线相关。
计量经济学-名词解释及简答
一、名词解释第一章1、计量经济学：计量经济学是以经济理论和经济数据的事实为依据，运用数学、统计学的方法，借助计算机为辅助工具，通过建立数学模型来研究经济数量关系和规律的一门经济学科。
2、虚拟变量数据：虚拟变量数据是人为构造的，通常取值为1或0的，用来表征政策等定性事实的数据。
3、计量经济学检验：计量经济学检验主要是检验模型是否符合计量经济方法的基本假定。
4、政策评价：政策评价是利用计量经济模型对各种可供选择的政策方案的实施后果进行模拟测算，从而对各种政策方案做出评价第二章1、回归平方和：回归平方和用ESS 表示，是被解释变量的样本估计值与其平均值的离差平方和。
2、拟和优度检验：拟和优度检验指检验模型对样本观测值的拟合程度，用2R 表示，该值越接近1，模型对样本观测值拟合得越好。
3、相关关系：当一个或若干个变量X 取一定数值时，与之相对应的另一个变量Y 的值虽然不确定，但却按某种规律在一定范围内变化，变量之间的这种关系，称为不确定性的统计关系或相关关系，可表示为Y=f(X ，u)，其中u 为随机变量。
4、高斯-马尔科夫定理：在古典假定条件下，O LS 估计式是其总体参数的最佳线性无偏估计式。
第三章1、偏回归系数：在多元线性回归模型中，回归系数j （j=1，2，……，k ）表示的是当控制其他解释变量不变的条件下，第j 个解释变量的单位变动对被解释变量平均值的影响，这样的回归系数称为偏回归系数。
2、多重可决系数：“回归平方和”与“总离差平方和”的比值，用2R 表示。
3、修正的可决系数：用自由度修正多重可决系数2R 中的残差平方和与回归平方和。
4、回归方程的显著性检验（F 检验）：对模型中被解释变量与所有解释变量之间的线性关系在总体上是否显著做出推断。
5、回归参数的显著性检验（t 检验）：当其他解释变量不变时，某个回归系数对应的解释变量是否对被解释变量有显著影响做出推断。
6、无多重共线性假定：假定各解释变量之间不存在线性关系，或者说各解释变量的观测值之间线性无关，在此条件下，解释变量观测值矩阵X 列满秩Rank(X)=k ，此时，方阵X`X 满秩， Rank(X`X)=k从而X`X 可逆，(X`X) 存在。
高中数学 2.3.1 变量间的相互关系课件
n
记 Q (yi bxi a)2 (∑为连加符号) i1
上式展开后，是一个关于a，b的二次多 项式，应用配方法，可求使Q取得最小值 时a、b的值.
这样，回归直线就是所有直线中Q取最 小值的那一条。由于平方又叫做二乘方， 所以这种使“离差平方和为最小”的方法， 叫做“最小二乘法”。
50
方程。
8
60
9
70
10
90
11
120
∑
510
Y
x2
xy
6
25
30
10
100
100
10
225
150
13
400
260
16
900
480
17
1600 680
19
2500 950
23
2600 1380
25
4900 1750
29
8100 2610
46 14400 5520
214 36780 13910
计算a^, b^的值. 由上表分别计算x，y的平均数得 x510,y214
设某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统 计资料如下表: (单位：万元)
年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
由表中数据可以看出，y有随x增加而增加的趋势 当年收入的值由小变大时，年饮食支出的值也在由 小变大。这种相关称作正相关；反之如果一个变量 的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种 相关称作负相关。
用最小二乘法求回归直线方程中a，b
有下面的公式：
两个变量间相关关系的举例
两个变量间相关关系的举例相关关系是指两个变量之间的变化是否存在某种联系或者依赖。
在统计学中，我们可以通过计算相关系数来度量两个变量之间的相关程度。
下面，我将为你举例说明两个变量间的相关关系。
举例一：首先，我们来看身高和体重之间的相关关系。
身高和体重是人体的两个重要指标，一般来说，身高越高，体重也会相应增加。
我们可以通过一个调查统计来验证这种关系。
在调查中，我们随机选择了1000名男性被试，记录了他们的身高和体重。
通过运用统计学方法，我们计算得到了身高和体重之间的相关系数为0.8，这说明身高和体重之间存在着强正相关关系。
也就是说，身高增加会促使体重的增加。
举例二：其次，让我们来考察学习时间和考试成绩之间的相关关系。
有一种常见的观点是，学习时间越多，考试成绩也会越好。
我们可以通过一个实验证明这种关系。
我们在一所学校中随机选取了500名学生，将他们分为两组：一组进行了加强学习时间的训练，每天学习4个小时；另一组保持正常学习时间，每天学习2个小时。
在经过一段时间的训练后，我们进行了一次考试，记录了两组学生的考试成绩。
通过对比两组学生的考试成绩，我们发现加强学习时间组的平均分高于正常学习时间组，这说明学习时间和考试成绩之间存在着正相关关系。
举例三：再次，让我们来研究睡眠时间和工作效率之间的相关关系。
一般来说，充足的睡眠对于提高工作效率很重要。
为了验证这个假设，我们进行了一项睡眠实验。
我们让20名被试者进行七天的实验，在前三天，他们每晚只睡4个小时；在后四天，他们每晚睡眠时间恢复到正常的8个小时。
在每天的工作结束后，我们记录了被试者当天的工作成绩。
通过实验数据的分析，我们发现在睡眠时间缺乏的前三天，被试者的工作效率明显降低；而在恢复充足睡眠的后四天，工作效率也得到了明显的提高。
这表明睡眠时间和工作效率之间存在着正相关关系。
以上三个例子表明，两个变量之间的相关关系可以通过实验证明或者调查统计来证实。
将变量之间的相关关系研究清楚，对我们了解事物的本质以及提高效率具有重要意义。
配套问题的4个等量关系
配套问题的4个等量关系配套问题的4个等量关系配套问题是指在某一过程中，两个或多个相关变量之间的相互关系。
在这种情况下，这些变量之间存在着等量关系。
这种等量关系可以被描述为四个基本类型：比例、反比例、逆比例和正比例。
一、比例关系比例关系指两个变量之间的相对大小保持不变。
如果一个变量增加，另一个变量也会增加，但它们之间的比率保持不变。
例如，在一个汽车制造工厂中，生产汽车的数量和使用原材料的数量之间就存在着比例关系。
如果生产汽车的数量增加了，那么使用原材料的数量也会增加，但它们之间的比率保持不变。
二、反比例关系反比例关系是指两个变量之间的相对大小保持不变，但它们之间的乘积保持不变。
这意味着如果一个变量增加了，那么另一个变量就会减少以使它们乘积保持不变。
例如，在一个固定长度内铺设管道时，管道直径和水流速度之间就存在着反比例关系。
如果管道直径增大了，那么水流速度就会减小以使它们乘积保持不变。
三、逆比例关系逆比例关系是指两个变量之间的相对大小保持不变，但它们之间的倒数保持不变。
这意味着如果一个变量增加了，那么另一个变量就会减少以使它们的倒数保持不变。
例如，在一个电路中，电阻和电流之间就存在着逆比例关系。
如果电阻增加了，那么电流就会减少以使它们的倒数保持不变。
四、正比例关系正比例关系是指两个变量之间的相对大小和它们之间的比率都保持不变。
如果一个变量增加了，另一个变量也会增加，它们之间的比率也会保持不变。
例如，在一家商店中，销售额和顾客数量之间就存在着正比例关系。
如果顾客数量增加了，销售额也会增加，并且它们之间的比率也会保持不变。
总结配套问题中存在四种等量关系：比例、反比例、逆比例和正比例。
在这些等量关系中，各个因素之间有着特定的相互作用规律。
理解并掌握这些等量关系对于解决实际问题具有重要意义，并可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
北师大版七年级下册数学第三章《变量间的关系》知识点梳理及典型例题
第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题知识回顾——复习路程、速度、时间之间的关系：，，；知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值始终不变的量为；在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做，后一个变量y叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60千米/时是，时间t和里程s为变量.t 是，s是。
知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.知识点三用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为x，面积为y，则y=x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是，y是；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息专题二根据表格确定自变量、因变量及变化规律4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1 s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？（4）若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：专题四用关系式求值7．一棵树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1）此变化过程中是自变量，是因变量；（2）树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为；（3）栽种后后，树苗能长到280厘米．8．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：（1）现已知小伟家四月份用水18吨，则应缴纳水费多少元？（2）写出每月每户的水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系式．（3）若已知小伟家五月份的水费为17元，则他家五月份用水多少吨？专题五曲线型图象9．温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：（1）上午10时的温度是度，14时的温度是度；（2）这一天最高温度是度，是在时达到的；最低温度是度，是在时达到的；（3）这一天从最低温度到最高温度经过了小时；（4）温度上升的时间范围为，温度下降的时间范围为；（5）你预测次日凌晨1时的温度是．10．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中.（1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的变化关系的图象，用直线段连接起来；（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．专题六折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．（1）A、B两点分别表示汽车是什么状态？（2）请你分段描写汽车在第0分钟到第19分钟的行驶状况．（3）司机休息5分钟后继续上路，加速1分钟后开始以60 km/h的速度匀速行驶，5分钟后减速，用了2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．栽种以后的年数n/年高度h/厘米1 1052 1303 1554 180……每月每户用水量每吨价（元）不超过10吨部分0.50超过10吨而不超过20吨部分0.75超过20吨部分 1.50第三章 变量之间的关系复习题1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x 表示弹性限度内物体的质量，用y 表示弹簧的长度，那么随着x 的变化，y 的变化趋势如何？(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？2．如图：将边长为20cm 的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。
变量之间的关系知识点
变量之间的关系知识点
以下是 6 条关于变量之间关系知识点：
1. 相关关系可是很重要的哦！就像你和你的好朋友，有时候你成绩好，他成绩也不错，这就是一种正相关呀！比如说温度升高时，冰淇淋的销量往往也会增加，这不是很神奇吗？
2. 因果关系得搞清楚呀！不是所有相关的都是因果哦，就好比你今天穿了红色衣服，然后下雨了，这可不能说你穿红色导致了下雨呀！举个例子，努力学习可能会导致成绩提高，这就是真正的因果关系嘞！
3. 变量之间还可能有复杂关系呢！哎呀，就像人际关系一样，有时候很难一下子明白。
比如汽车的速度、重量和油耗之间的关系，可不是那么简单直接就能搞懂的哟！
4. 线性关系不陌生吧？这就好像走在一条直直的路上一样。
像是身高和体重，在一定范围内可能就有比较明显的线性关系呢。
5. 非线性关系也很有意思呀！不是所有事情都那么规规矩矩的，有时候会出人意料呢。
比如说股票价格的波动和各种因素的关系，那可复杂啦！
6. 多种变量相互影响可常见啦！就像一场精彩的戏剧，每个人物都相互作用。
比如一个城市的经济、人口、环境等变量，它们之间相互交织，影响着城市的发展呢，你说神奇不神奇？
我的观点结论是：掌握变量之间的关系对理解很多事情都非常重要，能让我们更好地分析和解决问题呢！。
一元线性回归资料
回归分析概述
一、回归分析基本概念 二、总体回归函数 三、随机干扰项 四、样本回归函数
一、回归分析基本概念
1、变量间的相互关系 （1）确定性现象间的关系常常表现为函数关系。 例如：s=πr2 （2）非确定性现象间的关系常常表现为统计相 关关系。 例如：农作物产量Y与施肥量X间的关系。
2、相关分析与回归分析 （1）回归分析是研究一个变量关于另一个（些） 变量的依赖关系的计算方法和理论。其目的在 于通过后者的已知或设定值，去估计和预测前 者的均值。前一个变量称为被解释变量（应变 量），后一个变量称为解释变量（自变量）。
一、线性回归模型的基本假设
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项µ具有零均值、同方差和不序列相 关性： E(µi)=0 i=1,2, …,n Var (µi)=σµ2 i=1,2, …,n Cov(µi, µj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项µ与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, µi)=0 i=1,2, …,n 假设4、µ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i=1,2, …,n µi~N(0, σµ2 )
∑ xi yi = ∑ ( X i − X )(Yi − ห้องสมุดไป่ตู้ ) = ∑ X iYi −
1 ∑ X i ∑ Yi n
上述参数估计量可以写成： β = Σxi y i ˆ1 2
Σx i β = Y − β X ˆ ˆ 1 0
称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 离差形式（ 离差形式 ）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的， 故称为普通最小二乘估计量（ordinary least 普通最小二乘估计量 普通最小二乘估计量（ squares estimators）。 ）
2.3《变量间的相互关系》教案(新人教必修3)
2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
教学过程：案例分析:一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。
为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。
关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。
（3）如果一个学生的身高是188cm ，你能估计他的一拃大概有多长吗？ 解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。
它们之间是线性相关的。
那么，怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线。
同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。
同学3：多取几组点对，确定几条直线方程。
再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。
同学4：我从左端点开始，取两条直线，如下图。
再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。
同学5：我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。
1015202530150155160165170175180185190195同学6：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm 以下的，一部分是身高在170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线。
同学7：我先将所有的点按从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为（161.3，18.2），中间的点为（170.5，20.1），最大的点为（179.2，21.3）。
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4.要理解回归直线方程中的参数是用最小二乘法得出的,目的是 使距离的平方和最小,不是看具体某一个距离的大小,这样使用求 平方和也避免了讨论绝对值和正负问题.
第十章
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
收入 x(万元) 支出 y(万元)
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程^������ = ^bx+���^���,其中^������=0.76,���^��� = ������ − ^
������ ������.据此估计,该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( )
第十章
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-3-
1.相关关系:当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性 的两个变量之间的关系叫作相关关系.与函数关系不同,相关关系 是一种非确定性关系.
2.散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫作 散点图,它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示. 若这些散点分布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量正相关; 若这些散点分布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量负相关.
第十章
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-18-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
对点训练1 (1)对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关
于其相关系数的比较,正确的是( )
关闭
易知题中图(1)与图(3)是正相关,图(2)与图(4)是负相关,且图(1)与图(2)中
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为打鼾与患心脏病有关.
关闭
有关
解析 答案
第十章
12345
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-14-
自测点评 1.散点图上的点大致分布在某条直线附近,整体上呈线性分布时, 两个变量相关关系越强.
2. χ2越大,“X与Y有关联”的把握程度越大.
知识梳理
双击自测
核心考点
-4-
4.回归方程与最小二乘法:若变量 x 与 y 具有线性相关关系,有
n 个样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归方程为 y=bx+a,其中
������
b=������=∑i1=∑nx1i���y������2i���--������������x������2
第十章
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-9-
12345
2.已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中 正确的是( )
A.x与y负相关,x与z负相关 B.x与y正相关,x与z正相关 C.x与y正相关,x与z负相关 D.x与y负相关,x与z正相关
10.3 相关性、最小二乘估计 与统计案例
第十章
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-2-
考纲要求:1.会做两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认 识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线 性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不 要求记忆). 3.了解回归分析的思想、方法及其简单应用. 4.了解 独立性检验的思想、方法及其初步应用.
y
,a=������-b������,它主要用来估计和预测取值,从而获得对这两
个变量之间整体关系的了解.求回归方程的方法是最小二乘法,即使
得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小.
第十章
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-5-
r= 5.相关系数:
������
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)相关关系的两个变量是非确定性关系. ( √ ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关 系表示. ( √ ) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值. ( √) (4)对于分类变量X与Y,统计量χ2的值越小,“X与Y有关联”的把握 程度越大. ( × ) (5)通过回归方程y=bx+a可以估计和观测变量的取值和变化趋势. ( √)
������=∑1������������������������-������������ ������ ������=∑������1���������2��� -������������2 ������=∑������1���������2��� -������������2
,它主要用于相关量的显著
由A y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.
解析
关关闭闭
答案
第十章
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考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-10-
3.(2015福建,理4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关 系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
D.变量x与y负相关,u与v负相关
解析 答案
第十章
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考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-16-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性做
试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:
甲
乙
丙
丁
性检验,以衡量它们之间的线性相关程度.当r>0时表示两个变量正
相关,当r<0时表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量的线
性相关性越强;当|r|接近0时,表明两个变量间几乎不存在线性相关
性.
第十章
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考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-6-
6.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类 变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个 分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数
是
.
解析 答案
第十章
10.3 相关性、最小二乘估计与统计案例
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-13-
12345
5.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了1 671人,经过计算
χ2=27.63,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是
的(填“有关”或“无关”).
关闭
∵χ2=27.63>10.828,
第十章
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考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-7-
(3)独立性检验:利用随机变量χ2来确定在多大程度上可以认为 “两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
第十章
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考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-8-
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列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
构造一个随机变量 χ2=(������+������)(������������+(������������������)-(���������������+���)2������)(������+������) ,其中n=a+b+c+d为 样本容量.
解析 答案
考点1
第十章
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考纲要求
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双击自测
核心考点
考点2
考点3 知识方法 易错易混
-17-
思考:如何判断两个变量有无相关关系? 解题心得:判断两个变量有无相关关系有两个方法:一是根据散 点图,具有很强的直观性,直接得出两个变量是正相关或负相关;二 是计算相关系数法,这种方法能比较准确地反映相关程度,相关系 数的绝对值越接近1,相关性就越强,相关系数就是描述相关性强弱 的.
的样本点集中分布在一条直线附近,则r2<r4<0<r3<r1.
A A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3 C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3
关闭
解析 答案
考点1
第十章
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考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
考点2
考点3 知识方法 易错易混
其中一定不正确的结论的序①④
关闭
正相关指的是y随x的增大而增大,负相关指的是y随x的增大而减小,故不正
-19-
(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,