偏微分方程的离散化方法4

偏微分方程的 离散化方法
一、离散化的概念
油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微 分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。 目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分 法等。 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的， 并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的 均质的问题——非线性问题线性化。 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计 算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变 差些。 微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化
2、 等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是 相等的，反之称为不等距网格。
3、网格类型 常规网格系统： （1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 （2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标
块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只 有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界， 点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统： （1）局部网格加密 （2）混合网格 （3）多边形网格
y
x
无效网格 有效网格 点中心网格 块中心网格
z
x y
局部网格加密
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模拟区网格图（井位、边界、断层）
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五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图
五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图
z
r
混合网格
二、有限差分法----导数的差商逼近
P x
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Δx Δ x1 Δ x2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
tHale Waihona Puke Baidu
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
三、有限差分方程的建立
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四、边界条件的处理
（一）、内边界条件处理
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（二）、外边界条件处理 封闭边界：常取块中心网格并在边界网格外虚 拟一排网格，并令其相邻两个网格压力相等。 定压边界：常取点中心网格，由于边界点的压 力一定，因此，只需求内部节点压力。