人教版八年级数学上册十字相乘法
人教版数学八年级上册-第14章 十字相乘法-课件
1、x4-13x2+36
2、x2+3xy-4y2
3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
五、拓展延伸
例4、把 6x2-23x+10 分解因式
十字相乘法的要领是：“头尾分解， 交叉相乘，求和凑中，观察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
x2 8x 15 (x 5)(x 3) 小结：
用十字相乘法把形如
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b项是正数时，分解的两个数必同 号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得 一次项系数。当常数项是负数时，分解的 两个数必为异号，交叉相乘之和仍得一次 项系数。因此因式分解时，不但要注意首 尾分解，而且需十分注意一次项的系数， 才能保证因式分解的正确性。
例2、把 y4-7y2-18 分解因式
三、巩固练习
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12
2. x2+4x-12
3. x2-5x-14 4. y2-11y+24
因式分解(4)——十字相乘法人教版八年级数学上册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
（3）a2-6a-16；
（a-8）（a+2）
（4）x2+7x+12.
（x+3）（x+4）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
9. 分解因式：
（1）x2+5x+6；
（x+2）（x+3）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
13. 分解因式：
（1）2x2-7x+3；
（2x-1）（x-3）
（2）x3-7x2-30x.
x（x+3）（x-10）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
三级拓展延伸练
14. 分解因式：
7. 分解因式：
（1）3x2-4x+1；
（x-1）（3x-1）
（2）2x2-5x-3；
（2x+1）（x-3）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
（3）4a2-16ab+15b2；
（2a-3b）（2a-5b）
（4）x2-5xy-6y2.
方法：首尾分解，交叉相乘再相加要等于中间 项，成功之后横着写. 如：
2. （例 1）分解因式：
（1）x2+7x+10；
（x+2）（x+5）
（2）x2-8x+12.
（x-6）（x-2）
因式分解（4）——十字相乘法人教版 八年级 数学上 册
数学人教版八年级上册因式分解之十字相乘法
1、 “拆常数项，凑一次项” ：从拆常数项作为找 p、q 的切入口； 2、当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的
符号相同；
当常数项为负数时， 把它分解为两个异号因数的积， 其中绝对值较大的因数的符号与
一次项系数的符号相同． 3、可用整式的乘法（即温故知新第 3 题规律）检验十字相乘法分解因式的结果
（二）十字相乘法之归纳章： 由区派学生代表回答上述问题，教师投影展示，并引入课题 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 特征：1、等号左边是二次项系数为 1 的二次三项式； 2、左边常数项可以写成两个因数的乘积，这两个因数的和恰好是一次 项系数； 3、等号右边可分解成这两个因数分别和 x 的和的乘积； （三）十字相乘法之游戏章： 将三个可用十字相乘法因式分解的二次三项式分给 3 个区，再将相应的 p、q 打散分给 另外的 6 个区，拿到多项式的 3 个区原地不动，另外 6 个区找寻合适的 p、q，再和多 项式站在一起.（划线为分发） x2+4x+3=(x+1)(x+3) ； x2+3x-10=(x-2)(x+5)； x2-10x+24=(x-4)(x-6). 教师提问：能否有较快的方法准确找到 p、q？ （四）十字相乘法之巩固章： 例 1: x2+3x+2=(x+1)(x+2) x x +1 +2 教师提问： 1、＋1、＋2 为什么要带符号？ 2、完成 x2－3x+2 因式分解 “十字”的由 来，更加形象 快捷，加深印 象； 教师展示例 1，教识学生 画交叉十字 ) 来因式分解； 学生回答教 师提问； =-1 )( ) 学生一齐得 学生先独立 完成填空， 教 师利用一体 +1× =1 机拍下学生 填空四题，用 了不同于 x 的 t，学生易错； 另外这四题 的 p、q 的绝 对值相等，负 同，意在让学 生学会确定 p、q 的负号； 学生讨论交 流 检验能确保 因式分解的 准确率 提问设计为 避免负号漏 写易错点； 学生参与游 戏， 由代表举 着数牌并走 动 提问引出下 个章 游戏的形 式，趣味化， 提高学生学 习兴趣，并巩 固以上所学 特征 由区派学生 代表回答上 述问题， 教师 投影展示 将特征具体 化，培养学生 归纳总结的 能力
人教版八年级数学上册课件 14.3 十字相乘法(共24张PPT)
1.十字相乘法分解因式的公式：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x26x7(x7)(x1)①竖分二次项与常数项
x
7
x 1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月12日星期四2021/8/122021/8/122021/8/12 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/122021/8/12August 12, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/122021/8/122021/8/122021/8/12
14.3因式分解(十字相乘法)课件八年级上册数学人教版【02】
x2+(p+q)x-pq 因式分解得：？
x
q
px +qx =(p+q)x
利用十字交叉线来分解二次三项式的分解因式的方法叫做十字 相乘法.
十字相乘法的适用范围：二次三项式；
特点：
ax2+bx+c=（a1x+c1）(a2x+c2)
左 二次项分成两
边
个式子相乘
ax：
a1x
常数项分成 两个数相乘
c：
c1
右 横着写 边
3.用十字相乘法进行因式分解
⑴ x2+5x+6； ⑵x2-5x+6； (3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
能力提升： 分解因式： （1）12x2-29x+15
看作一个整体
（2）-20x2+9x+20 （3）21(x-1）2 -31(x-1)-30
解（2）-20x2+9x+20 解（1）12x2-29x+15
（2）x2-y2+5x+3y+4
1.十字相乘法的适用范围：二次三项式；
2.公式：ax2+bx+c（= a1x+c1）(a2x+c2)
3.特点：
左 二次项分成两
边
个式子相乘
ax：
a1x
常数项分成 两个数相乘
右 横着写
c：
c1
边
4.十字相乘法口
a2x
c2
首诀尾：分解，交叉相乘， 求和凑整，横向书写。
a1xc2 +a2xc1 =bx
情境引入：
1.你能很快将x2-2x-3分解因式吗？说说你的想法。
人教版八年级上册第6讲 因式分解—十字相乘法
一、【新知讲解】根据多项式乘法知道()()()()223253135212531710x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯+⨯=++反过来()()()()223171031352125325x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯+⨯=++以上过程可用如右画十字相乘的方法表示：口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加这种通过画十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法因此，对于能够分解因式的二次三项式()2x a b x ab +++,当0ab ≠时，就可以用十字相乘法分解 如分解：()2x a b x ab +++ 26x x -- 26x x +- 256x x -+()()()2x a b x ab x a x b ∴+++=++ 26x x --=)3)(2(-+x x 口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加此方法就是把二次三项式首末两项拆散竖着排列，再把十字相乘法的积相加。
若相加的和等于中间项，说明因式分解成功，分解出来的两个因式就是横线上面横着写的两个一次二项式。
用这种方法分解因式要注意常数和一次项系数的符号关系。
一般地，若常数项为正数，则分解出两个同号得因数（同中间项的符号）；若常数项是负数，则分解成两个异号得因数，绝对值较大的数的符号与中间相同。
二、【典例精讲】 1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例1、用十字相乘法分解下列各式的因式（1）256x x ++ （2）256x x -+ （3）256x x -- （4）256x x +-（5）26x x -- （6）26x x +- （7）x 2+2x-3 （8）x 2+2x-3 x15x+2x=17x x独立分解： (1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x （4）672+-x x(5)22-+x x (6)1522--y y (7)24102--x x （8)x 2+4x+3(9)a 2+7a+10 (10)y 2–7y+12 (11)q 2–6q+8 (12)x 2+x-20(13)m 2+7m-18 (14)p 2–5p-36 (15)t 2–2t-8 (16) 2922x x --2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例1、用十字相乘法分解下列各式的因式（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y（5）101132+-x x （7）2295x x +- （8）2376x x -- （9）28103x x ++独立分解：（1）210275x x ++ （2）221x x +- （3）2352x x ++（4）232x x +- （5）221315x x ++ （6）2122512x x -+ （7）2310x x +-3、二次项系数为1的齐次多项式，方法是一样的！（1）221288b ab a -- （2）224159p q pq ++ (3)2286n mn m +- (4)226b ab a --独立分解：（1）225136x xy y ++ （2）2231114x xy y -- （3）2223y xy x +-（4）221130x xy y -+ （5）422730x x y y -- （6）a 2b 2－10ab ＋254、二次项系数不为1的齐次多项式（1）22672y xy x +- （2）2322+-xy y x （3）224715y xy x -+ （4）8622+-ax x a独立分解：（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3） 42235a a +-5、十字相乘法和整体思想或者提公因式结合，注意革命要进行到底（1）()()243x y x y +-++ （2） 432712x x x -+ （3）422410235x x y y --（4）()()210235x y x y +-+-（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）2005)12005(200522---x x独立分解：（1）()()267a b a b +-+- （2）()()22524x x -+-+ （3）222()14()24x x x x +-++（4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+ （5）(x 2－2x)2－4(x 2－2x)－56、剑走偏锋：十字相乘法一些辅助方法—①主元法 ②双十字相乘法 ③换元法 ④添项、拆项、配方法 ①主元法分解因式：2910322-++--y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)613622-++-+y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a②双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式。
人教版初中八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt课件
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x
–2y
5x
4y
4xy – 10xy = –6xy
∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
简记口诀： 首尾分解，交叉 相乘，求和凑中。
十字相乘法3随堂练习：
1）2(x2+y2)+5xy
先讨论交流，后分解因式。
=x2+3x+2
(2) (x+2)(x-1) =X2+x-2
(3) (x-2)(x-1) =x2-3x+2
(4) (x+2)(x+3)
一般地,
=x2+5x+6
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq
= (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
x
-4
练习一：分解因式
-4x-2x=-6x
(1) x2-2x-15
=(x-5)(x+3)
(2) －y2 －4y＋12
= - (y+6)(y-2)
对于二次项系数为1的二次三项式分解的方法是 “拆常数项，凑一次项”
例2 分解因式 3x －10x2＋3
解：3x －210x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1)
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
数学八年级上册十字相乘法
数学八年级上册十字相乘法1十字相乘法顺口溜
1.首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。
竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
2.竖分常数交叉验
（1）竖分二次项和常数项, 即把二次项和常数项的系数竖向写出来,
（2）交叉相乘, 和相加, 即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,
（3）检验确定, 检验一次项系数是否正确。
3.横写因式不能乱，即把因式横向写,而不是交叉写, 这里不能搞乱。
2十字相乘法的注意事项
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
（1）用来解决两者之间的比例问题。
（2）得出的比例关系是基数的比例关系。
（3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．分解首尾系数 2．交叉相乘
-2 + -6 = -8 3．相加验证
4．横向写出因式
首一的十字相乘法
什么是十字相乘法？ 如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x+5）
（2）（x-4）（x+2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（y-3）（y-4）
你能说说这种分解的步骤吗？
归纳
试着把常数项分成两个整数的积
然后看这两个数之和是否等于一次项系数
是否
否
相等
是
写出分解结果
思考
不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．
那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？
十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下．
十字相乘法
=(x＋p)(x＋q)
１
ｐ
１
ｑ
ｑ + ｐ = p+q
对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式 ，这种方法叫做十字相乘法．
例题 用十字相乘法分解因式：
１ １ 3+ 2+
得换一种拆分方式 现在数是对的， 3 2 符号不对，怎么办呢？ 46
4 ≠ -8 6 ≠ -8
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
其中p，q是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？
（2）（x+9）（x-2）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+7）（x-1）
（2）（x-2）（x-4）
练习 用十字相乘法分解因式：
（1）（x+2）（x-1） （2）（x-5）（x+3）
思考
刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况， 如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？
用十字相乘法分解因式：
1．分解首尾系数
3
2．交叉相乘
1
3．相加验证
-1
4．横向写出因式
-1 -3
+ -9 =-10
十字相乘法的适用范围 大家已经学习了十字相乘法，有没有想过，十字相乘法主要是 针对哪一类多项式的因数分解呢？
二次三项式
注意：不是所有二次三项式都能因式分解．
练习 答案：（5x+3）（x-4）
练习 答案：（7x-6）（x-1）
综合运用 7.分解因式：
综合运用
综合运用
综合运用
(1)请你再选择两个类似的部分试一试， 看看是否符合这一规律； (2)换一个月的月历试一下，是否有同样 的规律？ (3)请你利用整式的运算对以上的规律 加以证明．
拓广探索
拓广探索 12.某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有 三种方案： （1）第一次提价p%，第二次提价q%； （2）第一次提价q%，第二次提价p%；
补充题
提示：二次项是负的，可以先提取出来． 答案：-（y+6）（y-2）
补充题 答案：（5x-4y）（x+2y）
补充题 答案：（3x-y）（5x+4y）
整体思想 答案：（a+b-1）（a+b-3）
整体思想 答案：（xy-9）（xy+2）
整体思想
整体思想 答案：（2x-1）（5x+8）
整体思想
双十字相乘法
2
1
1
-2
-1
2
-4+1=-3
总结
这节课我们学会了什么？ 用十字相乘法分解因式的步骤：
1
-2
1
-6
-2 + -6 = -8
1．分解首尾系数 2．交叉相乘 3．相加验证
4．横向写出因式
复习巩固 1.计算：
复习巩固 2.计算：
复习巩固 3.分解因式：
复习巩固
复习巩固
综合运用 6.计算：
十字相乘法
知识回顾
1．口答计算结果： x的系数是两数之和
(1)(x+3)(x+4)
常数项是两数之积
(2)(x+3)(x-4)
(3)(x-3)(x+4) (4)(x-3)(x-4）
2．能说说你的诀窍吗？
（x+p）（x+q）=
思考
实际在使用此公式时， 关键是需要把常数项拆成两个数的___积_____， 使得这两个数相加等于___一__次__项__系___数_____． 下面我们就来试试
分解因式： 7=3+4
12=3×4
分解因式： 8=2+6 12=2×6
分解因式： 13=1+12 12=1×12
分解因式： -7=（-3）+（-4） 12=（-3）×（-4）
反思
7=3+4 12=3×4
8=2+6 12=2×6
-7=(-3)+(-4)
12=(-3)×(-4)
13=1+12 12=1×12