分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想在高中数学中的应用

摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。

分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。

一、分类讨论的几个注意点

1. 明确分类讨论的对象

分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。

例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-⋅-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？

解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：

（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；

（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；

（3）当84≠≠k k 且时，方程变为1842

2=-+-k

y k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4

②当64<

③当6=k 时，方程表示圆心在圆点的圆；

④当86<

⑤当8>k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．

解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的内涵对参数k 进行分类。

2. 掌握分类讨论的标准

凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具体情况选择分类的标准。

例2、设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.

分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解. 解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(2

22=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=a b ， ∴ b=2. ∴ 55

52

22==+==a a a b a c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b

a ，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于2

55或. 3. 找准分类讨论的界点

将讨论的对象分成若干部分，就要准确地选取“界值”，最常见的界值是“0”与“1”，如指数、对数的底a ，常分01两种情况讨论；在用根的判别式

法求函数的值域时，按首项系数是否为０进行讨论等等，具体的问题具体分析。

例3、解不等式()()x a x a a +-+4621>0 (a 为常数，a≠－12

) 分析：含参数的不等式，参数a 决定了2a ＋1的符号和两根－4a 、6a 的大小，

故对参数a 分四种情况a>0、a ＝0、－12

分别加以讨论。 解：2a ＋1>0时，a>－12

； －4a<6a 时，a>0 。所以分以下四种情况讨论：

当a>0时，(x ＋4a)(x －6a)>0，解得：x<－4a 或x>6a ；

当a ＝0时，x 2>0，解得：x≠0； 当－12

0，解得: x<6a 或x>－4a ； 当a>－12

时，(x ＋4a)(x －6a)<0，解得： 6a0时，x<－4a 或x>6a ；当a ＝0时，x≠0；当－12

－4a ；当a>－12

时，6a

４. 分清分类讨论的“级别”

例4、解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()

解析：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为20110a a x x a

≠--<()()， ①若，则原不等式化为a x x a

<-->0110()()， 1011a a

<∴< ，∴<>不等式解为或x a x 11； ②若，则原不等式化为a x x a

>--<0110()()， （）当时，

，不等式解为i a a a x ><<<11111； ()ii a a

x 当时，，不等式解为==∈∅111；

()iii a a x a

当时，

，不等式解为011111<<><<； 综上所述，得原不等式的解集为： 当时，解集为或a x x a x <<>⎧⎨⎩⎫⎬⎭

011；{}当时，解集为a x x =>01|； 当时，解集为0111<<<<⎧⎨⎩⎫⎬⎭

a x x a ；当时，解集为a =∅1； 当时，解集为a x a x ><<⎧⎨⎩⎫⎬⎭

111。 这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的

解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1a

谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

二、分类讨论的应用

1、集合中分类讨论问题

例5、（06全国II 卷）设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

解析：由f （x ）为二次函数知0a ≠，

令f （x ）＝0解得其两根为121

1x x a a == 由此可知120,0x x <>

（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>，A B φ⋂≠的充要条件是23x <，

即1

3a +<解得67a >； （ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<，A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即