求曲线在点某处或过某点的切线方程

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曲线的切线方程

导数的几何意义、曲线的切线方程：一、框架1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。

2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f .3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度.4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-.5.切线方程的求解方程问题：第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。

切点已知直接求，切点未知设切点；第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ；第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。

6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围）第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点())(,00x f x 处切线的斜率；第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式；第三步：求解即可得出结论。

7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。

切点已知直接求，切点未知设切点。

二、方法诠释类型一：在某点的切线方程例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。

解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。

曲线的切线(详解)

曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。

当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。

2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。

问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。

小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。

问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。

小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。

3例2 已知曲线y=。

x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。

解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。

变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。

求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程

题目：求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程【内容】1. 求曲线在指定点处的切线方程是解析几何中常见的问题，它涉及到对曲线的切线的性质和方程的推导。

2. 具体而言，当我们要求曲线在某一点处的切线方程时，首先需要求出该点的切线斜率，然后根据切线的一般方程或者斜截式方程来构建切线方程。

3. 不仅如此，对于曲面而言，我们也可以求出曲面在指定点处的法平面方程。

法平面是与曲面在某一点的法向量垂直，并通过该点的平面，求解法平面方程同样需要根据指定点的法向量和点法式方程来进行推导。

4. 将求切线方程和法平面方程的具体数学步骤和公式应用到解析几何的实际问题中，可以帮助我们更深入地理解曲线和曲面的性质，同时也为求解相关问题提供了可靠的数学工具。

5. 在解析几何学习中，我们经常会遇到各种曲线和曲面在指定点处的切线方程和法平面方程的求解问题，下面我们将结合具体的示例来演示求解的过程和技巧。

【结构】1. 概述：讨论求曲线在指定点处的切线方程和曲面法平面方程的重要性和意义。

2. 切线方程的推导：介绍求解曲线在指定点处的切线方程的一般步骤和方法。

3. 切线方程的应用实例：通过具体的例子演示求解切线方程的过程和技巧。

4. 法平面方程的推导：介绍求解曲面在指定点处的法平面方程的一般步骤和方法。

5. 法平面方程的应用实例：通过具体的例子演示求解法平面方程的过程和技巧。

6. 结论：总结本文涉及的内容，强调求解曲线和曲面方程的重要性和应用价值。

7. 参考文献：列出本文涉及的参考文献和相关资料来源。

【概述】求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要问题。

切线方程和法平面方程的求解不仅涉及基本的数学原理和公式，同时也需要灵活运用数学推理和几何思维。

下面将介绍切线方程和法平面方程的求解方法，并结合具体例子加以说明。

【切线方程的推导】1. 切线方程的一般形式：y = kx + b2. 求曲线在指定点处的切线斜率：k = f'(x0)3. 利用切线的一般方程或斜截式方程构建切线方程：y - y0 = k(x - x0) 或 y = k(x - x0) + y0【切线方程的应用实例】示例1：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。

求函数在的切线方程和法线方程

求函数在的切线方程和法线方程
求函数在某一点的切线方程和法线方程是微积分中的基本问题之一。

在求解这个问题时，我们需要先求出函数在该点的导数，然后利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式或斜截式求出切线方程和法线方程。

我们来看一下什么是切线和法线。

在平面直角坐标系中，对于一条曲线上的某一点P，过该点的切线是与曲线在该点相切的直线，而过该点且垂直于切线的直线称为法线。

切线和法线的斜率分别是曲线在该点的导数和导数的负倒数。

接下来，我们来看一下如何求函数在某一点的切线方程和法线方程。

假设函数为y=f(x)，在点(x0,y0)处的导数为k，则该点的切线方程为：
y-y0=k(x-x0)
其中，k=f'(x0)。

如果我们已知函数在该点的导数，那么就可以利用点斜式求出切线方程。

而法线方程则是过点(x0,y0)且垂直于切线的直线的方程。

由于切线的斜率为k，所以法线的斜率为-k的倒数，即-k^-1。

因此，法线方程为：
y-y0=-k^-1(x-x0)
其中，k=f'(x0)。

同样地，我们可以利用点斜式求出法线方程。

需要注意的是，有些函数在某些点处不存在导数，此时无法求出切线和法线。

例如，函数y=|x|在x=0处不存在导数，因此在该点处无法求出切线和法线。

求函数在某一点的切线方程和法线方程是微积分中的基本问题之一。

在求解这个问题时，我们需要先求出函数在该点的导数，然后利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式或斜截式求出切线方程和法线方程。

导数之切线题型归纳总结教师版

切线题型归纳总结学习目标理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.知识点函数()x f y =在0x x =处导数()0x f '是曲线()x f y =在点()()00x f ,x 处切线l 的斜率，切线l 的方程是()()()000x x x f x f y -'=-.注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.热身训练1.已知曲线x ln x y 342-=的一条切线斜率是21，则切点的横坐标为______; 3 2.设0>a ，()c bx ax x f ++=2，曲线()x f y =在点()()00x f ,x P 处切线的倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，，则P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围为______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 210， 3.曲线113+=x y 在点()121,P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 94.若点P 是曲线x ln x y -=2上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小值为______. 解析：由已知x x y 12-='，令112=-xx ，解得1=x .曲线x ln x y -=2在1=x 处的切线方程为x y =.两直线x y =，2-=x y 之间的距离为21.切线问题常见题型（1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程. （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；（4）求公切线（公切点或者两个切点）；（5）判断切线的条数；2.切线的应用（1）研究最值极值；（2）判断位置关系（3）讨论方程的根的情况（一）求切线方程例1.【例3】已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；（2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【解析】（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320000311x x x x -+=--，解得01x =或012x =-当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+．总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．变式训练1：已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．【答案】（1） 10x y -+=（2）10x y -+=或570x y --=.变式训练2：设函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线为l ，若垂直于函数()x f的图像在点()()11f ,处的切线，求直线l 的方程解析：因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥+-=e x ,x ln x e x ,x ln x x f 01122，故()21=f ，而()11='f ，又当e x ≥时，()x x x f 12+='，得()x f y '=在[)+∞,e 上单调递增，此时()ee xf 12+≥'，故当e x ≥时，()x f 的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点()()11f ,处的切线，当e x <<0时，由于函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线l 垂直于函数()x f 的图像在点()()11f ,处的切线，故()10-='x f ，则210=x ，故直线l 的方程为024744=--+ln y x（二）求切线方程的参数例1．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．1D ．3 【解析】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-，解得0031,2x x ==-（舍去）代入曲线23ln y x x =-得01y =，所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.例2.（2015全国卷1（21））已知函数()413++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y =的切线.答案：43-=a 例3.设曲线()xe ax y 1-=在点()10y ,x 处的切线为1l ，曲线()xe x y --=1在点()20y ,x 处的切线为2l ，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是________解析：函数()x e ax y 1-=的导数：()xe a ax y 1-+='，故1l 的斜率为：()0101xe a ax k -+=，函数()xex y --=1的导数：()xe x y --='2，故2l 的斜率：()0202x ex k --=，可得121-=k k ，从而()010x e a ax -+()1200-=--x e x ，故()32002-=--x x x a ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x 得，02020≠--x x ，故230200---=x x x a ，令()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---=230232x x x x x f ，则()()()()22251-----='x xx x x f ，令导数大于0，得510<<x ，故在()10,是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛231，上是增函数，00=x 时取得最大值为23；10=x 时取得最小值为1，故231≤≤a . 变式训练1：设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 变式训练2：已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( ) AB．2C．【解析】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B.变式训练3：已知b ,a 为正实数，直线a x y -=与曲线()b x ln y +=相切，则ba -22的取值范围是（ C ）()+∞,.A 0 ()10,.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.C [)+∞,.D 1（三）公切线问题题型一：公切点例1.曲线221x y =与x ln e y =相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 21.求切线方程解析：设曲线221x y =在1x x =处的切线方程为()112121x x x x y -=-①，曲线x ln e y =在2x x =处的切线方程为()222x x x ex ln ye -=②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉2x 得02121=-x ln e x ，设(),x ln e x x g 22-=则()()()e x e x xx g -+='2，可得()()0==e g x g min ，即e x x ==21，因此公切线方程为e x e y 21-=.变式训练1.已知函数()12-=x x f 与函数()()0≠=a x ln a x g ，若曲()x f y =，()x g y =的图像在点()01,处有公共的切线，则实数a =_______.2变式训练2.若一直线与曲线x ln y =和曲线()02>=a ay x 相切于同一点P ，则=a ___.2e题型二：两个切点例2.（2016全国卷1理16）若直线b kx y +=是曲线2+=x ln y 的切线，也是曲线()1+=x ln y 的切线，则b =_____解析：设2+=x ln y 在切点()11y ,x 处的切线方程为：1111++⋅=x ln x x y ； ()1+=x ln y 在切点()22y ,x 处的切线方程为：()11112222+-+++=x xx ln x x y ，联立得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=++=111111222121x x x ln x ln x x，解得212121-==x ,x ，∴2111ln x ln b -=+=.变式训练1：曲线12-=x y 和1-=x ln a y 存在公切线，则正实数a 取值范围是_()e ,20__变式训练2.若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()()10xg x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．26e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（x 1，21x +1），与曲线C ：g （x ）＝ae x +1切于点（x 2，21x ae +），∴2x 1＝2x ae＝()()222211212111x x aex aex x x x x +-+-=--，化简可得，2x 1＝211212x x x x --，得x 1＝0或2x 2＝x 1+2，∵2x 1＝2x ae ，且a ＞0，∴x 1＞0，则2x 2＝x 1+2＞2，即x 2＞1，由2x 1＝1x ae 得a ＝()2221412x x x x ae ae-=，设h （x ）＝()41xx e-（x ＞1），则h′（x ）＝()42xx e-，∴h （x ）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h （x ）max ＝h （2）＝24e ，∴实数a 的取值范围为（0，24e ] （四）切线条数问题例1.已知三次函数()()2613+-+=x x x f ,若过点()m ,A 1()4≠m 可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围.解析：()()6132-+='x x f ，由题意知点A 不在曲线上，过点A 作曲线()x f y =的切线，设切点()00y ,x M ，则切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-，代入点A 化简得062030=+-m x x ，若有三条切线，则方程有三个不等的实根，设()m x x x g +-=030062，则()66200-='x x g ，由()00>'x g 可得，10>x 或10-<x ，故()0x g 在区间()1-∞-,和()∞+，1上单调递增，即得极大值()1-g ，极小值为()1g ；方程满足有三个实根的充要条件是()()⎩⎨⎧<>-0101g g ，即44<<-m变式训练：设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中0>a ，曲线()x f y =在点 ()()00f P ，处的切线方程为1=y（1）确定c ,b 的值（2）若过点()20,可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. 答案：（1）10==c ,b（2）()∞+，332 （五）切线综合问题例1.设曲线()x e x f x--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x cos ax x g 2+=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（）(]32,.A - ()32,.B - []21,.C - ()21,.D -解析：由()x e x f x--=，得()1--='xe xf ，∵11>+xe ，∴()1011,e x∈+，由()x cos ax x g 2+=，得()x sin a x g 2-='，又∵[]222,x sin -∈-，∴[]a ,a x sin a ++-∈-222，要满足题意，则得⎩⎨⎧≥+≤+-1202a a ，得21≤≤-a .变式训练1.若函数()x sin ax x f +=的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 的值____.0 变式训练2.已知函数()2ax x f =，若存在两条过点()21-,P 且互相垂直的直线与函数()x f的图像都没有公共点，则实数a 的取值范围为______. 81>a 课后训练1.若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切，试求k 的值. 答案：412或解析：设kx y =与x x x y 2323+-=相切于()00y ,x P ，则00kx y =，02030023x x x y +-= ∵2632+-='x x y ，()2630200+-='=x x x f k ，联立得()02030002023263x x x x x x+-=+-，解得00=x 或23-，即2=k 或41-=k2. 已知函数()ax e x f x2-=与()()x a ax x x g 1223+-+-=的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数a 的取值范围为_______.[]33,-3.曲线()01<-=x xy 与曲线x ln y =（切线相同）的条数为______. 答案：14.直线l 与曲线()02>=x x y 和()03>=x x y 均相切，切点分别为()11y ,x A ，()22y ,x B ，则21x x 的值为______. 答案：34.5.已知()x x x f 33-=，过点()m ,A 1可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是___.()23--,6.直线b x y +=是曲线x ln a y =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是_____. 1-。

空间曲线在某点的切线方程的多种解法

两边对 ! 689h%
]求导曲线上一点
5 6% 8% 9%
处的
{ } 切向量为
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(6$ (9

(8 (8
注 )求解切线的过程中暗含了两种方法一种是建立求
解过程中的隐函数求导法把曲线看成关于 f 或 ]或 W 的参
数方程用参数式方程的结论曲线上一点 56% 8% 9% 处的切
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空间曲线在某点的切线方程的多种解法
张雪飞4宫雷4王素云
陆军装甲兵学院基础部!北京!'$$$+%
摘4要本文探讨了空间曲线在某点的切线方程的计算方法和相关技巧指出了六种常见的计算思路如参数方程法公式法隐函数求导法边隐函数求导边代入点的方法利用切平面的法向量的向量积来求切向量除此之外切线仍可看作两个相交曲面在该点的切平面的交线结合相关的题目用不同的方法作出解答
$ <!
$ <!
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当
$89 $96 $68
5
5
5
作公式来记忆
则在点 56% 8% 9% 有切线方程
6i6% h 8i8% h 9i9% $<! $<! $<! $89 5 $96 5 $68 5
在点 56% 8% 9% 有法平面方程
h%光滑曲线
(不能表示为
8h"6
9h#6
其中 f为参数也就不能继续使用方程组两边对 f求导的
方法
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用导数求切线方程的四种类型[精选.]

用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

高数求隐函数确定的曲线的某点切线方程

求隐函数确定的曲线的某点切线方程1. 介绍高等数学中，求隐函数确定的曲线的某点切线方程是一个重要的概念和技巧。

隐函数是指方程中含有不只是独立变量的函数，通常用来描述曲线或曲面。

求曲线的切线方程是求解曲线在某一点的切线方程，是微分学的基础内容之一。

2. 隐函数与求导在求解曲线的切线方程之前，首先需要求出隐函数对应的导数。

对于含有一个自变量和一个或多个因变量的隐函数关系式，我们需要通过求导的方法来求出函数的导数。

3. 求切线方程的基本步骤(1) 首先求出隐函数对应的导数；(2) 然后确定曲线上某点的坐标；(3) 利用求导求出的导数和给定点的坐标，利用切线方程的通用形式来求解切线方程。

4. 求切线方程的具体示例假设有隐函数关系式为\[ x^2 + y^2 = 25 \]求曲线在点（3, 4）处的切线方程。

我们对方程两边关于$x$求导，得到\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]进一步化简得到\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]接下来确定点（3, 4）处的切线方程。

根据一般的切线方程形式 $y - y_0 = k(x - x_0)$，其中$(x_0, y_0)$是曲线上的点，$k$是切线的斜率，我们可以求出切线的具体方程。

代入已知点（3, 4）和导数 $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$，得到切线方程为\[ y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \]经过上述步骤，我们成功求出了曲线在点（3, 4）处的切线方程。

5. 结论通过分析以上过程，我们可以得出求隐函数确定的曲线在某点的切线方程的一般步骤。

首先需要求出隐函数对应的导数，然后确定曲线上某点的坐标，最后利用切线方程的一般形式求出具体的切线方程。

这一过程是微分学中的基础内容，对理解曲线的局部特性和微分的应用具有重要意义。

对于上述提到的求隐函数确定的曲线在某点的切线方程的基本步骤，我们可以进一步扩展讨论，探讨一些更复杂的情况和应用。

高考复习第二单元曲线的切线求法

．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 • 例4
1 0) 且与曲线 y 相切的求过点 (2， x
直线方程．
1 解：设 P( x0，y0 ) 为切点,则切线的斜率为 y |x x0 2 ． x0 1 1 1 y y ( x x ) 2 ( x x0 ) ． ∴切线方程为 0 0 ，即 y 2
解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切点的斜率为 y| ． 2 x 2 x x0 0 ∴ x0 1 ， 1) ．由此得到切点 (1 故切线方程为 y 1 2( x 1) ，即， 2 x y 1 0 故选Ｄ．
x0 1
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
则在(1,-1)点处率 k
即
y 3x 2
，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 • 例2 与直线 2 x y 4 0 平行且与抛物线 2 y x 切线方程是（ D ）Ａ． 2 x y 3 0 Ｂ． 2x y 3 0 Ｃ． 2 x y 1 0 Ｄ．2 x y 1 0
A．－e B．－1 C．1 (2)求下列函数的导数：
D． e
e ＋1 ① y＝ x ； e －1 1 ③ y＝ 4；（1－3x）
x
x x ②y＝x－sin cos . 2 2 ④y＝x 1＋x .
2
1 (1)解析 f′(x)＝2f′(1)＋x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
用导数求切线方程的四种类型
• 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 3 2 y x 3 x 1 在点 (1， 1) 处的切线例1 曲线方程为（ B ）
Ａ．y=3x-4 Ｂ．y=-3x+2 Ｃ．y=-4x+3 Ｄ．y=4x-5

二元曲线在某点的切线方程

二元曲线在某点的切线方程
我们要找出一个二元曲线在某一点的切线方程。

首先，我们需要知道如何计算一个曲线在某一点的切线斜率，然后使用这个斜率来写出切线方程。

假设我们的二元曲线方程为F(x, y) = 0。

对于二元曲线F(x, y) = 0，其在点(x0, y0) 的切线斜率可以通过以下方式计算：
1. 首先求出F(x, y) 在(x0, y0) 点的偏导数，即F_x 和F_y。

2. 然后使用这两个偏导数来计算切线斜率，即k = F_x/F_y。

有了切线斜率k，我们就可以写出切线方程了。

切线方程为：y - y0 = k(x - x0)。

在点(x0, y0)，二元曲线F(x, y) = 0 的切线斜率为：nan。

所以，在点(x0, y0)，二元曲线的切线方程为：False。

过某点的切线方程例题

过某点的切线方程例题在数学中，切线是一条与曲线相切的直线。

切线是曲线在该点的局部线性近似，具有极大的重要性。

在此，我们将讨论如何求过某点的切线方程。

本文将介绍切线的概念、性质以及通过例题来演示如何求解过某点的切线方程。

一、切线的概念与性质1. 切线的定义切线是一条与曲线相切的直线，它在相切点处与曲线重合。

在微积分中，切线是曲线在该点的局部线性近似。

切线的斜率是曲线在该点的导数。

2. 切线的性质（1）切线与曲线相切，相切点的坐标为（x0，y0）；（2）切线在相切点处与曲线重合；（3）切线的斜率等于曲线在该点的导数；（4）切线方程为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。

二、例题演示现在我们来看一道求过某点的切线方程的例题。

例题：求曲线y=x^3+2x^2-3x+4在点（1，4）处的切线方程。

解题步骤如下：步骤一：求出点（1，4）处的导数y'=3x^2+4x-3当x=1时，y'=3+4-3=4因此，点（1，4）处的切线斜率k=4。

步骤二：代入切线方程已知点（1，4）和切线斜率k=4，代入切线方程y-y0=k(x-x0)，得到切线方程为：y-4=4(x-1)化简得：y=4x因此，曲线y=x^3+2x^2-3x+4在点（1，4）处的切线方程为y=4x。

三、总结通过以上例题演示，我们可以看出求过某点的切线方程的步骤相对简单。

首先，需要求出该点处的导数，然后代入切线方程中求解。

在实际应用中，切线的概念和性质广泛应用于微积分、物理、工程等领域，是一种十分重要的数学工具。

最后，我们需要注意的是，求解切线方程时，需要注意该点是否为曲线的拐点或极值点。

如果是，则该点的切线不存在或不唯一。

此外，还需要注意曲线的定义域和值域，确保求解的切线方程在定义域内有效。

切线方程知识点总结

切线方程知识点总结切线的定义在解析几何中，切线是曲线在某一点的切线，它是曲线在该点处的局部近似，可以用直线来近似曲线的局部性质。

切线方程就是描述切线的数学表达式，它可以用来计算切线在给定点的斜率和截距，从而求出切线的具体位置和性质。

切线方程的方法1. 利用导数公式求切线方程对于给定的曲线，我们可以通过求导来求得曲线在某一点处的斜率，然后利用点斜式或斜截式来得到切线方程。

这种方法适用于曲线具有显式函数表达式的情况。

2. 利用参数方程求切线方程对于参数方程表示的曲线，我们可以分别对参数方程中的x和y求导得到切线的斜率，然后利用点斜式或斜截式来得到切线方程。

这种方法适用于曲线具有参数方程表示的情况。

3. 利用切线斜率和给定点求切线方程如果我们已知曲线上的某一点和该点处的切线斜率，我们可以直接利用点斜式来得到切线方程。

这种方法适用于已知曲线上的某一点和该点处的切线斜率的情况。

切线方程的性质1. 切线的方向和曲线的切点有关切线方程描述了曲线在某一点处的切线，因此切线的方向和曲线在该点的切点有密切的关系。

切线方程中的斜率描述了切线的方向，而切线方程中的截距描述了切线与坐标轴的交点，从而能够确定切线的具体位置和性质。

2. 切线斜率和曲线的导数有关对于显式函数表示的曲线，切线斜率可以通过曲线的导数来求得。

这说明切线和曲线的导数有着密切的关系，它们描述了曲线在某一点的局部性质和切线的方向。

3. 切线和曲线的性质有关切线是曲线在某一点的局部近似，因此切线和曲线的性质有着密切的关系。

曲线的凹凸性和曲率可以影响切线的位置和方向，因此切线方程可以用来描述曲线在不同点的局部性质。

切线方程的应用1. 空间几何中的切线方程在空间几何中，切线方程可以用来描述曲面在某一点处的切线，从而求得曲面的局部性质和切线的方向。

这对于理解空间曲面的性质和应用有着重要的意义。

2. 物理学中的切线方程在物理学中，切线方程可以用来描述曲线和曲面在某一点处的切线，从而求得曲线和曲面在该点的局部性质和切线的方向。

切线法实验报告

一、实验目的1. 理解切线的概念及其几何意义。

2. 掌握切线法求曲线切线方程的方法。

3. 培养学生的实际操作能力和分析问题、解决问题的能力。

二、实验原理切线法求曲线切线方程的原理是：设曲线C上某点P的坐标为（x0，y0），过点P的切线斜率为k，则曲线C在点P处的切线方程可表示为：y - y0 = k(x - x0)其中，k是曲线C在点P处的导数，即：k = dy/dx |_{x=x0}三、实验仪器与材料1. 计算器2. 几何画板或计算机绘图软件3. 实验数据表格四、实验步骤1. 观察实验数据表格，选取一条曲线C。

2. 在曲线C上选取一点P，记录点P的坐标（x0，y0）。

3. 利用计算器或计算机绘图软件，计算曲线C在点P处的导数k。

4. 根据切线方程公式，求出曲线C在点P处的切线方程。

5. 利用几何画板或计算机绘图软件，绘制曲线C和切线，观察切线与曲线的交点。

6. 比较实际交点与理论计算结果，分析误差原因。

五、实验数据与结果1. 选择曲线C：y = x^22. 选取点P：P(2，4)3. 计算导数k：k = dy/dx = 2x |_{x=2} = 44. 求切线方程：y - y0 = k(x - x0)y - 4 = 4(x - 2)y = 4x - 45. 绘制曲线C和切线，观察交点。

6. 分析误差原因：通过实验，我们发现在点P(2，4)处，切线方程为y = 4x - 4。

从几何图形上看，切线与曲线C在点P处相切，实际交点与理论计算结果基本一致。

误差主要来源于实验数据的测量误差和计算器的精度。

六、实验总结1. 通过本次实验，我们掌握了切线法求曲线切线方程的方法，加深了对切线概念的理解。

2. 在实际操作过程中，我们培养了实际操作能力和分析问题、解决问题的能力。

3. 本次实验有助于提高我们对数学知识的运用能力，为以后的学习和工作奠定基础。

七、实验思考1. 切线法求切线方程在实际应用中具有广泛的意义，如何将切线法应用于实际问题，提高解决问题的能力？2. 在实验过程中，如何减小误差，提高实验结果的准确性？3. 切线法求切线方程在其他领域有何应用？如何进一步拓展切线法的应用范围？。

求曲线在某点处的法线方程

求曲线在某点处的法线方程求曲线在某点处的法线方程问题，是很多学生在学习数学时遇到的问题。

解决这个问题，需要结合曲线的函数表达式、微积分等学科的知识。

本文将结合实例，介绍求曲线在某点处的法线方程的解法。

一、什么是曲线的法线方程在数学中，曲线的法线方程，是指曲线在某点处的切线方程。

曲线的法线方程，是求曲线的切线方程，从而可以确定曲线的某个点的切线的斜率和截距。

二、如何求曲线在某点处的法线方程1. 首先，需要确定曲线的函数表达式。

只有确定了曲线的函数表达式，才能进行求解。

2. 其次，计算曲线在某点处的导数。

曲线在某点处的导数，可以由微积分的概念求出，一般通过求极限的方法来计算曲线的导数。

3. 最后，通过曲线在某点处的导数，可以求出曲线在某点处的切线方程，即曲线的法线方程。

三、实例下面，我们以解决一元二次函数y=x^2+2x+1 在点P(2,7)处的法线方程为例，介绍求曲线在某点处的法线方程的解法。

1. 首先，我们需要确定曲线的函数表达式，即 y=x^2+2x+1 。

2. 其次，我们需要计算曲线在点P(2,7)处的导数。

曲线的导数为y'=2x+2 ，由此，曲线在点P(2,7)处的导数为 y'=2*2+2=6 。

3. 最后，我们可以通过曲线在点P(2,7)处的导数，求出曲线在点P(2,7)处的切线方程，即曲线的法线方程。

根据曲线的法线方程的一般式y-y0=k(x-x0) ，其中k 为曲线在点P(2,7)处的导数，即 k=6 。

由此，曲线在点P(2,7)处的法线方程可以求出： y-7=6(x-2) 。

四、结论以上，我们就介绍了求曲线在某点处的法线方程的解法，结合实例求出了一元二次函数y=x^2+2x+1 在点P(2,7)处的法线方程。

解决求曲线在某点处的法线方程的问题，不仅需要结合曲线的函数表达式，还需要结合微积分的知识，计算曲线在某点处的导数，最后再求出曲线在某点处的法线方程。

如果学生在学习数学时遇到求曲线在某点处的法线方程的问题，可以根据上述步骤，按照实例的解法，解决这个问题。

过某个点的切线方程

过某个点的切线方程1. 引言在微积分中，切线是一个非常重要的概念。

切线是曲线在某一点处的近似直线，能够描述曲线在该点附近的变化情况。

本文将讨论如何求解过某个点的切线方程，以及如何应用这一概念解决实际问题。

2. 切线的定义给定一个函数f(x)和它上面一点P(a,f(a))，我们希望找到过该点的切线方程。

首先引入导数的概念。

函数f(x)在x=a处可导，当且仅当以下极限存在：lim x→a f(x)−f(a)x−a这个极限称为函数f(x)在x=a处的导数，记作f′(a)或dfdx|a。

如果导数存在，则可以用它来求解过点P(a,f(a))的切线方程。

3. 切线方程的推导考虑过点P(a,f(a))的切线方程y=mx+c，其中m为斜率，c为截距。

由于切线经过点(a,f(a))，所以方程中的x和y可以分别替换为a和f(a)，得到：f(a)=ma+c进一步，我们需要求解m和c的值。

首先，我们可以利用导数的定义求解斜率m：m=limx→a f(x)−f(a)x−a由于导数的定义已经给出了这个极限的表达式，我们可以将它代入切线方程中：f(a)=a⋅limx→a f(x)−f(a)x−a+c化简上式，得到：c=f(a)−a⋅limx→a f(x)−f(a)x−a由此可见，截距c可以通过点(a,f(a))和导数dfdx|a来确定。

因此，过点(a,f(a))的切线方程为：y=f′(a)(x−a)+f(a)这就是过某个点的切线方程。

4. 应用举例4.1 求解函数f(x)在某点处的切线方程假设有一个函数f(x)=x2+2x+1，我们希望求解该函数在x=2处的切线方程。

首先，我们需要计算导数f′(x)：f′(x)=dfdx=2x+2然后，根据切线方程的推导，我们可以得到过点(2,f(2))=(2,9)的切线方程为：y=(2⋅2+2)(x−2)+(22+2⋅2+1)化简上式，得到切线方程：y=4(x−2)+94.2 求解曲线与直线的交点切线方程的应用不仅限于求解切线，还可以用来求解曲线与直线的交点。