关于浮体的平衡与稳定性

关于浮体的平衡与稳定性)1

谢建华

(西南交通大学牵引动力国家重点实验室)

摘要：本文讨论了浮体的平衡与稳定问题，介绍了定倾中心的定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度的三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。

关键词：浮体；平衡；稳定性

浮体的平衡与稳定问题研究是一个非常有实际意义的课题，是船舶与海洋平台设计的理论基础，在其它工程中也有广泛的应用。在浮体稳定性研究中，定倾中心是一个重要的概念，但是，笔者认为有一些教科书或文献对此概念的定义是不够明确的，例如，有的认为，当船

体发生微小摇晃时浮力的作用线交对称轴线（浮轴）于一定点，此点即为定倾中心]2[],1[，也有的认为实验表明前述两直线交于一点]3[。另外，在用力系简化方法推导定倾高度的过程中也有含糊不清之处]1[，或在稳定性判定上发生错误]4[。笔者带着这些疑问查阅了若干

参考书，特别是[5]、[6]和[7]。根据这些材料，本文介绍了定倾中心的明确定义，并结合一个具体的例子，给出了定倾高度三种不同的计算方法，最后，根据能量方法说明了用定倾高度判定浮体稳定性的理论依据。

如果物体的比重比水小，物体在水中漂浮平衡时，有一部分将露出水面，这样的物体称为浮体。浮体要满足以下两个条件才能平衡：(i) 受水的浮力等于浮体的重量；(ii)浮心(浮力的作用点)与浮体重心的连线和水平面垂直，如图1(a)所示。浮体平衡位置还要满足稳定性条件才能具体实现。图1(b)表示一个长方形物块平躺和竖立平衡位置发生了微小的扰动，其中，左边的物块上作用的重力和浮力阻碍了物块进一步偏离其平衡位置，因此平衡是稳定，而右边的物块则相反，其上作用的重力和浮力加剧了偏离其平衡位置，平衡是不稳定。以下来分析浮体平衡和稳定的条件。

图1 浮体的平衡

假设浮体有一个对称面，平衡位置发生扰动时，浮体上各点的位移均平行于对称面，浮体作平面运动。容易说明浮体对铅直和水平扰动是稳定的，仅需考虑浮体对转动方向扰动的稳定性问题。平衡时，浮体与水平面的交面称浮面，记为S。先建立一个与浮体固连的坐标

)1国家自然科学基金资助项目(10772151)

系z y Ox 00：取浮面的形心O 为坐标系原点，浮面与对称面的交线称为浮线，取其为0x 轴， 浮轴0y 铅直向上， z 轴在浮面内并于0x 和0y 轴正交，如图2所示。浮体绕O 点(Oz 轴)转动微小角度θd 时，与浮体固连的坐标系z y Ox 00变成了Oxyz 。设平衡时，浮体重心0C 和

浮心0D 在与y 轴平行的直线上，此直线交x 轴于N 点，设c ND =0，e NO =，d D C =00。

考虑积分

0000000⎰⎰⎰⎰==S

S dy dx x d dy dx d x θθ (1) 因为z 轴是通过S 形心的主轴，故(1)成立。即当绕z 轴作微小转动时，浮体排开水的体积不发生变化，随之其受到的浮力大小不变。

图2 浮心与定倾中心

平衡位置发生微小转角之后，浮体浸入水中部分的形状发生了变化，浮力的作用点位置随之改变，浮心相对浮体由0D 点移至D 点，其相对浮体的轨迹是xy 平面过0D 和D 点的平面曲线，称其为浮心曲线(curve of buoyancy)。杜宾(Dupin)第一定理表明]6[，过D 点的水平线是浮心曲线在该点切线，因此浮力F 作用线是浮心曲线在该点的法线，于是当D 点无限趋近0D 点时，浮力F 作用线与浮轴y 交点M 趋近位于轴y 的一个定点，该点称为定倾中心(metacentre)。定倾中心即为浮心曲线在0D 点处的曲率中心。当发生微小转角θd 时，浮力F 作用线与浮轴y 的交点M 在定倾中心的充分小邻域内，有时又称M 为定倾中心。

如图1(b)，若定倾中心M 位于浮体重心0C 之上，重力和浮力形成了一个“恢复”力偶，浮体的平衡是稳定的；反之，若定倾中心M 位于浮体重心0C 之下，重力和浮力形成了一个

“排斥”力偶，浮体的平衡是不稳定的。对某个平衡位置而言(图2)，定倾中心M 与浮体重心0C 的高度差h 称为定倾高度(metacentre hight)。当0>h 时，浮体的平衡是稳定的；当0

如图2所示，以0D 为坐标原点，建立直角坐标系110y x D ，其中1x 轴和1y 轴分别与x 轴和y 轴平行且指向分别相同，计算D 点的坐标如下]5[：

θθd V

I V dxdy xd x e V x Z S D -=+-+⋅=⎰⎰))((01 (2) 21)(2))(2/(0θθθd V I V dxdy xd xd c V y Z S

D =

--+⋅=⎰⎰ (3) 其中Z I 是平衡时的浮面S 对z 轴的惯性矩，V 是浮体排开水的体积。由(2)和(3)式，

θd V

I ds Z = (4) 其中ds 是浮心曲线上由D 到0D 的弧长。于是

V

I d ds M D Z ==

=θρ0 (5) d V I d h Z -=-=ρ (6) 其中ρ是浮心曲线在0D 点处的曲率半径。

例1]5[],1[ 如图3(a)所示，一根横截面为正方形的长木块漂浮于水面上，试确定其平衡位置稳定性。已知木块和水的比重分别为木μ和水μ，木块的相对密度为水木μμ/=s 。

图3水中漂浮的木块

解法一：设木块平衡时吃水深度为b ，由平衡条件

木水μμl a l ab 2)2()2(= (7) 由(7)，得：

as b 2= (8) 有关量计算如下：

)1(22/00s s

b b a D C d -=-== (9) 2

312)2(12)2(/s b abl l a V I z ===ρ (10) 由(6)

)166(1222+-=-=s s s

b d h ρ (11) 令0=h ，由(11)解出：7886.06/32/1,2113.06/32/121≈+=≈-=s s 。因此，当

2113.0s 时，平衡是稳定的；当7886.02113.0<

容易证明，如将s 换成s s -='1，并将木块的某一个平衡位置沿浮面反射，木块仍保持平衡，而且稳定性不变，因此可设2/1≤s ]6[],5[。

解法二：先求出浮心曲线的表达式，然后确定此曲线在平衡时浮心处的曲率半径。为此，建立与浮体固连的直角坐标系xy C 0，如图3(b)所示。可计算出浮心D 的坐标：

θtan 6s

a x D -= (12) θ2tan 12)1(s

a s a y D +--= (13) 浮体平衡条件(ii)为：

θtan D D y x = (14) 将(12)、(13)代入(14)中，得：

{}

02)1(12tan tan 122=+--s s s a θθ (15) 由(15) 知浮体有平凡的平衡位置：

)0(tan 0

==θθ (16)

及可能有非平凡的平衡位置：

)166(2tan 22+--=s s θ (17)

由(12)和(13)消去θ，得： 23)1(D D x a

s s a y +--= (18) 可见浮心曲线是顶点在))1(,0(s a --点处、开口向上的抛物线。在0D 处的曲率半径为