大学微积分l知识点讲解总结(二)

大学微积分l知识点讲解总结(二) 【第五部分】不定积分

1.书本知识(包含一些补充知识)

(1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称 F (x )是 f (x )的一个“原函数”。

(2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其c 为常数)

(3)基本积分表

⎰⎰+==c x dx dx 1

c x dx x +⋅+∂=⋅+∂∂⎰11

1 (α≠1,α为常数) c dx x

x +=⋅⎰ln 1 ()()()⎰⎰⎰

⎰⎰+-⋅=⋅+-=⋅-+-=⋅++=⋅≠+=⋅c

x x x dx x c x x dx x c x arc x dx x c e dx e

a a a c a a dx a x x x

x

ln ln arccos arcsin 11

cot arctan 1110ln 2

2或或为常数,,> ()c x a x a a dx x a c a

x a dx x a c a x dx x a c x x dx x

+-+⋅=⋅-+=⋅++=⋅-+++=⋅+⎰⎰⎰⎰ln 211arctan 11arcsin 11ln 11

c x x x

d c

shx dx chx c

chx dx shx +-=-+=⋅+=⋅⎰⎰⎰cos ln cos cos

c

x dx x c x dx x c

x dx x +=⋅+=⋅+-=⋅⎰⎰⎰cos ln tan sin cos cos sin

c x dx x +=⋅⎰sin ln cot

c

x dx x x c

x dx x x c

x dx x c

x dx x c

x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c

x x dx x c

x x dx x +-=⋅⋅+=⋅⋅+-=⋅+=⋅+--=⋅+-=⋅++=⋅+-=

⋅+-=⋅++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰csc cot csc sec tan sec cot csc tan sec cot cot tan tan 2sin 4

12cos 2sin 4

12sin cos csc ln csc tan sec ln sec 222222 c x dx a x a x ++=⋅++⎰22ln 1

22

(4)零函数的所有原函数都是c

(5)C 代表所有的常数函数

(6)运算法则

[]⎰⎰⎰⎰⎰⋅±⋅=⋅±⋅⋅=⋅⋅dx x g dx x f dx x g x f dx

x f a dx x f a )()()()()()(②①

数乘运算

加减运算线性运算

(7)[][]c x F dx x x f +=⋅⎰)()(')(ϕϕϕ复合函数的积分:

c

b x F dx b x f

c b ax F a b ax

d b ax f a dx b ax f ++=⋅+++⋅=+⋅+⋅=⋅+⎰⎰⎰)()()(1)()(1)(一般地,

(9)连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。

(10)不定积分的计算方法

①凑微分法(第一换元法),利用复合函数的求导法则

②变量代换法(第二换元法),利用一阶微分形式不变性

t

a x dx a x t a x dx a x t a x dx x a tan sec sin 222222⋅=⇒⋅+⋅=⇒⋅-⋅=⇒⋅-⎰⎰

⎰

③分部积分法:

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==du

v v u dv u dx

x v x u x v x u dx x v x u dx x v x u dx x v x u x v v x u u 简写为:并有:也存在存在,则均可导,且若)()(')()()(')()(')()()(')(),(

【解释:一阶微分形式不变性】

释义:函数

对应:y=f(u) du u f du y dy ⋅=⋅=)(''功能:

说明:

(8)

[][][]()[]变性。

这称为一阶微分形式不,均有是自变量还是间变量因此,无论带入得:

因为的微分形式为:

为间变量,自变量为那么复合函数

复合函数求导得:,即变量为函数即为复合函数。自是间变量,即如果的微分形式为:是自变量,则函数此时如果设函数为du

u f dy u du

u f dy du dx x g x g u dx x g x g f dx y dy u x g x x g f y x g x g f y x g y x x g u u du

u f du y dy u f y u u f y ⋅=⋅==⋅=⋅⋅=⋅===⋅===⋅=⋅===)(')('.)('),(.)(')(''')()(). (')('',)(:

),()('')(),( (11)c x dx a x a x ++⇒⋅++⎰22ln 1

22

(12)分段函数的积分

例题说明:{

}dx x ⋅⎰2,1max ()

需要调整

连续的原则,需要说明的一点,依据)>()()<()>()

321322132222,,1323

111-1-3231),1max(111-11-,1max c c c x c x x c x x c x dx x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≤≤++-=⋅⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰ (13)在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其的一

⎰⎰⋅-=⋅x d x dx x dx cos sin sin 23的部分。如次方处理到最后

化简的目的。

并以达到再进行计算或将二者合量将其转化成同一次方要通过三角函数公式尽则需情况同时出现且指数不同的与,若遇到)在做不定积分问题时(,cosx sinx 14 2

x cos 2x sin 2sinx sinx 15⋅=的问题,则,如果单独遇到)在计算不定积分过程(

(16)隐函数求不定积分

例题说明:

,带入。所以:所以:解法带入。,则:令解法确定的隐函数,试求是由方程例题:设∂

∂=∂∂+∂=∂=-∂=-⇒=-+-⇒=--=-==-⋅=-⎰cos sin ;cos sin sin sin 1cos )(11)()(2,1