不定积分的第二类换元积分法
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高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
不定积分的计算
1 2
1 u
du
1ln|u| C 2
注意换回原变量
1ln|2x1|C. 2
例2 求 xsinx2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sinudu
co suC
xsinx2d x1 2sinx22xd x
1 2
sinudu
1cosuC. 2
1cosx2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积 的不定积分问题的.
例1. 求 xlnxdx.
u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
解: 令 ulnx, v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 x2 2
ln x
1 2
(1x3)2dx3
1
(1x3)2d1x3
2(1x3)32 C. 3
例14
求
dx x2 a2 .
解x2d xa2(xa d )(xxa)21a(x 1ax 1a)dx
2 1 a(x 1adxx 1adx)
2 1 a [ x 1 a d (x a ) x 1 a d (x a ) ]
1(x2 1 )arctanx1x C .
2
2
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
例5 求 ln xdx.
解 设 u = lnx, dv = dx, 则 du1dx,vx, x
于是lnxdxx1nx
不定积分第二换元积分法根式换元
不定积分是微积分中的重要概念，而其中的换元积分法更是解题的重要方法之一。
在不定积分中，第二换元积分法和根式换元是两个常见且实用的技巧。
通过本文，我将详细介绍和解释这两种积分法，并且探讨它们在实际问题中的应用。
1. 不定积分的概念和基本原理不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的反运算，可以求出给定函数的原函数。
在符号上，我们通常用∫f(x)dx表示不定积分，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量x。
不定积分的概念和基本原理对于理解第二换元积分法和根式换元是至关重要的，因此我们在解释这两种积分法之前，需先对不定积分有一个清晰的认识。
2. 第二换元积分法的基本原理和应用第二换元积分法是在进行不定积分时常用的一种方法，适用于一些复杂的积分式。
它的基本原理在于通过构造新的变量替代原有的变量，从而将原积分式转化为更简单的形式。
具体来说，假设要对∫f(u)du进行积分，首先通过某种变换将u表示为x的函数，即u=g(x)，然后将du表示为dx的形式，并将原积分式转化为∫f(g(x))g'(x)dx的形式，然后再进行不定积分。
这种变换的巧妙性在于可以减少积分式的复杂程度，使得积分求解更加容易。
在实际应用中，第二换元积分法通常用于处理一些复杂的三角函数、指数函数、对数函数等积分式，能够简化计算过程，提高求解效率。
3. 根式换元的原理和适用范围与第二换元积分法类似，根式换元也是一种常用的积分技巧。
它的基本原理在于通过构造新的变量替代原有的变量，从而将原积分式转化为更简单的形式。
具体来说，假设要对∫f(x)√(ax+b)dx进行积分，首先通过某种变换将√(ax+b)表示为新的变量t的函数，即t=g(x)，然后将原积分式转化为∫f(g(x))g'(x)dx的形式，然后再进行不定积分。
根式换元的适用范围比较广泛，通常用于处理一些复杂的根式函数的积分式，能够简化计算过程，提高求解效率。
4. 第二换元积分法和根式换元的比较和应用举例在实际问题中，我们往往需要根据不同的情况选择合适的积分法来解决问题。
不定积分
1− cos2x sin x = , 2
2
1+ cos2x cos x = 2
2
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例11. 求 解:
sin x d cos x ∫ cos x dx= −∫ cos x
= −ln cosx + C
类似
cos xdx d sin x ∫ sin x = ∫ sin x
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例17 求
∫
dx 1+ x − x2
解:
∫
dx 1+ x − x2
=∫
dx
=∫
2x −1 2 5 12 1− ( ) − (x − ) 5 4 2 2x −1 d( ) 2x −1 5 = arcsin +C 2x −1 2 5 1− ( ) 5
=
2
∫ 5
dx
注 解
当被积函数的分母中含有
= ln sinx + C
机动
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例12. 求 csc xdx.
∫
1 sin x 解: ∫ cscxdx = ∫ dx = ∫ 2 dx sin x sin x 1 d(cos x) = −∫ 2 1− cos x
1 (1− cos x)2 1 1− cos x +C = ln + C = ln 2 2 sin x 2 1+ cos x
1 1 = ∫ du 2 u 1 1 = ln | u| +C = ln | 3+ 2x | +C. 2 2
一般地
1 1 ∫ f (ax + b)dx = ∫ a f (ax + b)d(ax + b) = a[∫ f (u)du]u=ax+b
不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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铃
一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
不定积分方法总结
应尽量避免。 对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
第二类换元法
第四章
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
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例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
不定积分第二种换元法
通过简单的积分问题，如 $int x^2 dx$，展示如何使用第二种换元法进行求解。解析过程中强调变量代 换和积分区间的调整。
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
不定积分的第二类换元法
不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法，也称为变换型积分法，是求解某些复杂不定积分问题的一种重要方法。
它的核心思想是通过引入新的变量替换原积分式中的自变量，从而将原积分转化为形式更简单的积分式。
通过适当的变换可以简化积分的计算过程，使得原本难以求解的积分问题变得可行。
第二类换元法的基本步骤如下：1.首先，观察被积函数的形式，尝试找到适合的新的变量来代替原积分中的自变量。
通常可以根据被积函数的特点，选择适当的变换方法。
比如，当被积函数中出现平方根、指数函数、三角函数等形式时，可以考虑使用适当的换元方法。
2.其次，根据选择的新变量进行变换。
这里需要根据换元法的不同种类进行具体分析。
变换后的积分式可能比原式更简单，也可能更加复杂。
但是通过适当的变换，可以使得原本难以求解的积分问题变得可行。
3.然后，对于变换后的积分式，进行必要的代数运算。
这可能包括合并分式、分配开来等操作，以达到简化积分的目的。
4.最后，根据变换后的积分式求解不定积分。
这里需要利用基本的不定积分公式，以及特定函数的积分性质进行计算。
在具体计算过程中，需要注意变换后的新变量与原变量之间的关系，并进行适当的替换。
需要注意的是，不定积分的第二类换元法并非适用于所有问题，它仅仅是求解一部分特殊问题的方法之一。
对于一些特殊的积分问题，可能需要结合其他方法（如分部积分法、换元积分法等）进行求解。
举个例子来说明第二类换元法的具体应用：考虑求解不定积分∫(2x+1)√(2x+1)dx。
这里，我们可以选择新的变量u=2x+1来代替原式中的自变量x。
进行变换后，积分式变为∫√u du。
根据换元后的积分式，我们可以轻松求解得到积分的结果：(2/3)u^(3/2) + C，其中C为常数。
再将u=2x+1代回原始变量x，最终得到不定积分的结果：(2/3)(2x+1)^(3/2) + C。
通过上述例子可以看出，第二类换元法使原先较为复杂的积分问题变得简单易解。
不定积分求解方法换元法
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C
a
a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d (ax)
a2 x2 a 1 (ax)2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u )f(u ),u(x)可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)d x
f[(x) ](x)d x F[(x) ]CF(u)Cu(x) f(u)duu (x)
f[(x) ](x)dx 第一类换元法 f (u)du 第二类换元法
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a f(axb) d(axb)
(2 ) f(xn)xn 1d x1 f (xn) d x n n
万 能
(3) f(xn)1dx1 xn
f
du u2 a2
lnuu2a2C 1
lnxx2a2C 1
ln a2 x x2a2
C1
lnx x2a2 C(C C 1 2 la n )
x a 时，
dx x2 a2
lnx x2a2C
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20190917考点9 不定积分的第二换元法
勾股定理
9-1，(2016 年 15 题 4 分)计算：
(
1 x
1
1 x2
)dx
_______
9-2，(2016 年 24 题 8 分)计算：计算 x cos x2dx
9-3，(2015 年 7 题 4 分) (x2 sin x)dx 【 】
A. -2x-1+cosx+C
1 dt
a2 sin 2 t
1
a2
csc2 x
1 a2
cot
t
C
1 a2
a2 x2 C x
根据三角函数定义，由图可见：
设 x=a•tant,有 sint= x a2 x2
则 dx=asec2tdt； 1 = a2 x2 sint x
a2 x2 a2(1 tan2 t) asect
ln | t 1 | C t 1
ln | x 2 1 | C x 2 1
倍数是 6，设 6 x =t>0，则
x
3
=t
3
x
=t2,有
6
5
x=t ,dx=6t dt,
dx
x3 x
6t 5 t3 t2
dt
6
t
t3
1
dt
6
t
3
1 t 1
1
dt
9-6，(2015 年 23 题 8 分) 计算
4
x x2
dx
3
考点习题：用第二换元法求不定积分 (答 案)
(1)
x 1 dx
3 3x 1
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
不定积分换元积分和分部积分
1 1 x x 2 dx a x 2 d a 1 1 a a
(公式)
1
1 x arctan C 。 a a
例11． 当a>0时， 1 1 a 2 x 2 dx a
1 x 1 a
2
dx
x d 2 a x 1 a
(例2)
1 1 1 1 x(1 2 ln x) dx 1 2 ln x ( x dx ) 1 2 ln x d (ln x) 1 1 1 ln | 1 2 ln x | C d (1 2 ln x) 2 2 1 2 ln x
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f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x ) f (u )du f (u)C f [(x)]C。
x2
1 1 x2 x2 2 例4 ． xe dx e dx e C 。 4 2 2 2 3 x 2 3 e3 x 3 x dx 2 e d x e d 3 x e 例5 5 ． 3 3 x
4 4 2 2 2 2
3 1 31 1 1 3 1 1 n 4x )C x sin 2 x sin 4 x C 。 sin 4x )C ( xsin 2x x sin 2x si 8 4 24 32 8 8 4 32
1 1 例 ． (cos 例16 16 16 cos 3 3x x cos cos 2 2x x dx dx (cos x x cos cos 5 5x x) )dx dx cos 2 2 1 1 sin x sin 5x C。 2 10
1 2 1 3 5 7 sin x sin x sin x C。 3 5 7 1 1 1 11 例14 ． 2x C 14 x sin sin 2x C。 cos x dx 2 (1cos 2x) dx 2 44 2
不定积分 换元法
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 a
du
1
a m 1
1
u
m 1
C
注: 当
时
例2. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想到公式
1 a
2
解:
1 ( x)2
a
dx
1 u2
arctan u C
dx
du
令u
2
2
2
dx
2
(x 2
2
a )
2
2
1 2
d( x a )
2
3 2
a
2
(x
2
a )
d( x a )
2
2
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1
x a
, 则 du 1 a
1 a
a 1 u2
du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 2 1 (a)
x d (a) x 1 (a) 2
想到
du 1 u
2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
3
例9. 求 解法1
1 ex .
dx
(1 e ) e 1 e
不定积分第2换元法
sin
x1 2
2 arcsin x 1 x 1
4 (x 1)2 C
sin
2t
x1 2
4( x1)2
22
2020/2/29
不定积分的计算
例11 求积分 I
dx
x x2 a2
(a 0)
解：当a x 时，令x 1, t (0, 1 )
t
a
解：当0 x a,
xa sin t ,dxa costdt
I1
a2 x2 a cost
a2 a4
cos2 sin 4
t t
dt
a
t
x c ostsin
t
x/ a2
a x2
/
a
a2 x2 tan t x / a2 x2
1 sec2 t 积分 1 1
第二换元法例(续1)
解：I 2
ax,代换asect tan tdt
x aSe c t x 2 a 2 atgt
a sect a tan t
x
x2 a2
整理
1
dt 1 t C
a
a
sin t x2 a2 / x
t
a
令x12sin t
4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt
4( x1)2 2cost
sin 2t 2sin t cost
分项积分
2t sin 2t C
2 t
x-1 2 x 1 4 (x 1)2
4 (x 1)2
2
2
代回t
a
rc
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第6章 章
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
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F (t) C F[j -1(x)] C.
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
22
a2 x2 a sect.
•去 根 x2 - a2 (a 0) 式作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令x asin t dx acostdt t - ,
ln | x x2 a2 | C
❖（2）根式代换(去根式)
例4 求
1 dx x (1 3 x )
解 令 x t 6 (t 0), dx 6t5dt
1 dx x (1 3 x )
t
3
6t 5 (1 t
2
)
dt
6t 2 1 t2
dt
6
t
2 1 1 t
-
2
1
dt
6
1
1 1 t2
dt
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5
1
求 1 ex dx
解令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),
dx
t
2t 2 -1
dt.
1 dx
1 ex
1 t
t
2t 2-
dt 1
2
t
2
dt -1
ln t -1 C
（3）求
xdx 2x - x2
解
xdx 2x - x2
(x -1)dx 2x - x2
dx 2x - x2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
课堂小结
熟记第二换元积分法的几种基本类型，会 用第二换元积分法去求一些不定积分,如果 被积函数含有根式，考虑用第二换元积分法
解 令x a tant dx a sec2 tdt t - ,
1 dx x2 a2
1 a sec2 tdt a sect
2 2
辅助三角形
sectdt ln | sect tan t | C1
代回
ln
x2 a2 x aa
C1
ln | x x2 a2 | C1 - ln a
t 1
2ln( 1 ex -1) - x C
(3)倒代换 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方
例6
求
1 x(x7
dx 2)
较高时幂),可作倒代换x 1.
t
解
令x 1, t
dx
-
1 t2
dt
1
x(x7
dx 2)
t 17 t
-
1 t2
2
dt
-
t6 1 2t 7 dt 1 d(1 2t 7 )
❖（1）三角代换去根式
•去 根 a2 - x2 (a 0) 式作代换 x a sin t, t (- , ), dx acostdt
22
a2 - x2 a cost.
•去 根 a2 x2 (a 0) 式作代换 x a tan t, t (- , ), dx asec2 tdt
14 1 2t7
- 1 ln |1 2t7 | C
14
-
1>14>ln>| 2
x7
|
1 2
ln
|
x
|
C
课堂练习：
(1) 1 dx. x3 x4 1 dx
(2) 4x2 9
xdx
（3） 2x - x2
（1） 求 1 dx. x3 x4 1
解
令x 1,
t
dx
-
1 t2
dt
x3
1 dx x4 1
2 2
a2 - x2 dx a2 - a2 sin2 ta costdt
a2 cos2 tdt a2 Nhomakorabea1 cos2tdt 2
辅助三角形
a2 (t 1 sin 2t) C
22
a2 (t sin t cost) C
2
回
a2 arcsin x x a2 - x2 C
代
2
a2
例2 求 1 dx (a 0) x2 a2
第四章 不定积分
第二节 不定积分的换元积分法
主要内容：
1. 第二类换元法基本定理 2. 第二类换. 元法基本类型
.
一、第二类换元法基本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
f (x)dx f [j(t)]j(t)dt
课后练习
P140
1(35)(37)
例9 求
xdx 2x - x2
解
xdx 2x - x2
(x -1)dx 2x - x2
dx 2x - x2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
t -3
1 t -4
1
-
1 t2
dt
- t3 dt - 1 1 d(t 4 1)
1 t4
4 1t4
- 1 1 t 4 C - x4 1 C.
2
2x2
（2）求
dx 4x2 9
解
dx 4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x)
2 (2x)2 32
1 ln 2x 4x2 9 C 2
其中tj-1(x)是xj(t)的反函数.
这是因为, 由复合函数和反函数求导法则,
{F[j -1(x)]}
F (t)
dt dx
f
[j(t)]j(t)
1 dx
f
[j(t)]
f
(x)
.
dt
一、第二类换元法基本类型
❖（1）三角代换去根式
❖（2）根式代换(去根式) ❖（3）倒代换
22
a2 x2 a sect.
•去 根 x2 - a2 (a 0) 式作代换 x asect, t (0, )
2 x2 - a2 a tan t.
dx asect tantdt
y sec x
例1 求 a2 - x2 dx (a 0)
解 令x asin t dx acostdt t - ,
ln | x x2 a2 | C
❖（2）根式代换(去根式)
例4 求
1 dx x (1 3 x )
解 令 x t 6 (t 0), dx 6t5dt
1 dx x (1 3 x )
t
3
6t 5 (1 t
2
)
dt
6t 2 1 t2
dt
6
t
2 1 1 t
-
2
1
dt
6
1
1 1 t2
dt
6[t
-
arctant]
C
6[6 x - arctan 6 x ] C
❖（2）根式代换(去根式)
例5
1
求 1 ex dx
解令 t 1 ex , ex t 2 -1,
x ln(t 2 -1),
dx
t
2t 2 -1
dt.
1 dx
1 ex
1 t
t
2t 2-
dt 1
2
t
2
dt -1
ln t -1 C
（3）求
xdx 2x - x2
解
xdx 2x - x2
(x -1)dx 2x - x2
dx 2x - x2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
课堂小结
熟记第二换元积分法的几种基本类型，会 用第二换元积分法去求一些不定积分,如果 被积函数含有根式，考虑用第二换元积分法
解 令x a tant dx a sec2 tdt t - ,
1 dx x2 a2
1 a sec2 tdt a sect
2 2
辅助三角形
sectdt ln | sect tan t | C1
代回
ln
x2 a2 x aa
C1
ln | x x2 a2 | C1 - ln a
t 1
2ln( 1 ex -1) - x C
(3)倒代换 一些情况下(如被积函数是分式, 分母的方
例6
求
1 x(x7
dx 2)
较高时幂),可作倒代换x 1.
t
解
令x 1, t
dx
-
1 t2
dt
1
x(x7
dx 2)
t 17 t
-
1 t2
2
dt
-
t6 1 2t 7 dt 1 d(1 2t 7 )
❖（1）三角代换去根式
•去 根 a2 - x2 (a 0) 式作代换 x a sin t, t (- , ), dx acostdt
22
a2 - x2 a cost.
•去 根 a2 x2 (a 0) 式作代换 x a tan t, t (- , ), dx asec2 tdt
14 1 2t7
- 1 ln |1 2t7 | C
14
-
1>14>ln>| 2
x7
|
1 2
ln
|
x
|
C
课堂练习：
(1) 1 dx. x3 x4 1 dx
(2) 4x2 9
xdx
（3） 2x - x2
（1） 求 1 dx. x3 x4 1
解
令x 1,
t
dx
-
1 t2
dt
x3
1 dx x4 1
2 2
a2 - x2 dx a2 - a2 sin2 ta costdt
a2 cos2 tdt a2 Nhomakorabea1 cos2tdt 2
辅助三角形
a2 (t 1 sin 2t) C
22
a2 (t sin t cost) C
2
回
a2 arcsin x x a2 - x2 C
代
2
a2
例2 求 1 dx (a 0) x2 a2
第四章 不定积分
第二节 不定积分的换元积分法
主要内容：
1. 第二类换元法基本定理 2. 第二类换. 元法基本类型
.
一、第二类换元法基本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
f (x)dx f [j(t)]j(t)dt
课后练习
P140
1(35)(37)
例9 求
xdx 2x - x2
解
xdx 2x - x2
(x -1)dx 2x - x2
dx 2x - x2
- 1
d(2x - x2 )
d(x -1)
2 2x - x2
1- (x -1)2
- 2x - x2 arcsin(x -1) C
t -3
1 t -4
1
-
1 t2
dt
- t3 dt - 1 1 d(t 4 1)
1 t4
4 1t4
- 1 1 t 4 C - x4 1 C.
2
2x2
（2）求
dx 4x2 9
解
dx 4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x)
2 (2x)2 32
1 ln 2x 4x2 9 C 2