不定积分的换元积分法常见类型

Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１１
Ｎｏｖ．２０１２
赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第１１期（上）
２０１２年１１月直接积分法、
第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法是求不定积分的常用方法，换元积分法是求不定积分的重要方法，本文将换元积分法常见的类型归纳如下．1
第一类换元积分法及常见类型定理
设函数ｆ（ｕ）在区间Ｉ内有原函数，ｕ＝φ（ｘ）具有连续
导数且φ（ｘ）的值域包含在Ｉ中，则有换元公式
乙ｆ［φ（ｘ）］φ＇（ｘ）ｄｘ＝［乙ｆ（ｕ）ｄｕ］
ｕ＝φ（ｘ）
类型一：乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄｘ＝１ａ
乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄ（ａｘ＋ｂ）
（ａ≠０）
例1乙ｄｘ４ｘ＋３
解乙ｄｘ４ｘ＋３＝１４乙１４ｘ＋３ｄ（４ｘ＋３）＝１４
ｌｎ｜４ｘ＋３｜＋Ｃ例2乙ｄｘ
（ｘ－１）（３－ｘ）
姨解
乙
ｄｘ（ｘ－１）（３－ｘ）姨＝
乙
ｄｘ－ｘ２＋４ｘ－３姨＝
乙ｄｘ１－（ｘ－２）２
姨＝乙
ｄ（ｘ－２）１－（ｘ－２）２
姨＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ－２）＋Ｃ类型二：乙
ｆ（ｘμ＋１）ｘμｄｘ＝１
μ＋１
乙ｆ（ｘ
μ＋１
）ｄｘμ＋１（μ≠－１）
例3乙ｘ２
１＋ｘ３
姨ｄｘ
解乙ｘ２
１＋ｘ３
姨ｄｘ＝１
３
乙
（１＋ｘ３）１
２
ｄ（１＋ｘ３
）＝２９
（１＋ｘ３）３
２
＋Ｃ
例4乙
ｃｏｓｘ姨ｘ
姨ｄｘ
解
乙
ｃｏｓｘ姨ｘ
姨ｄｘ＝２
乙ｃｏｓｘ姨ｄ（ｘ姨）＝２ｓｉｎｘ姨＋Ｃ类型三：乙
ｆ（ｌｎｘ）１ｘ
ｄｘ＝乙
ｆ（ｌｎｘ）ｄ（ｌｎｘ）
例5
乙
１ｘ（１＋３ｌｎｘ）
ｄｘ解
乙１ｘ（１＋３ｌｎｘ）ｄｘ＝１３乙１１＋３ｌｎｘｄ（１＋３ｌｎｘ）＝１３
ｌｎ｜１＋３ｌｎｘ｜＋Ｃ
类型四：乙ｆ（ｅｘ）ｅｘｄｘ＝乙
（ｅｘ）ｄｅｘ
例6
乙ｄｘ１＋ｅｘ
＝乙１＋ｅｘ
－ｅｘ
１＋ｅ
ｘ
ｄｘ＝乙ｄｘ－
乙ｅ
ｘ
１＋ｅ
ｘ
ｄｘ
＝乙ｄｘ－
乙１
１＋ｅ
ｘ
ｄ（１＋ｅｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ）＋Ｃ
类型五：乙ｆ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝乙
ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｓｉｎｘ
乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｄｘ＝－乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｃｏｓｘ
乙ｆ（ｔａｎｘ）ｄｘｃｏｓ２
ｘ＝乙
ｆ（ｔａｎｘ）ｄｔａｎｘ
乙ｆ（ｃｏｔｘ）ｄｘｓｉｎ２
ｘ
＝－乙ｆ（ｃｏｔｘ）ｄｃｏｔｘ
例7乙ｓｉｎ２
ｘｃｏｓ３
ｘｄｘ．
解
乙ｓｉｎ２
ｘｃｏｓ３
ｘｄｘ＝乙ｓｉｎ２
ｘｃｏｓ２
ｘ·ｃｏｓｘｄｘ
＝乙ｓｉｎ２
ｘ（１－ｓｉｎ２
ｘ）ｄ（ｓｉｎｘ）＝乙（ｓｉｎ２
ｘ－ｓｉｎ４
ｘ）ｄ（ｓｉｎｘ）
＝１３ｓｉｎ３ｘ－１５
ｓｉｎ５ｘ＋Ｃ．例8乙ｄｘｓｉｎ４
ｘ
ｄｘ解
乙ｄｘｓｉｎ４
ｘ
ｄｘ＝乙ｃｓｃ４
ｘｄｘ＝乙ｃｓｃ２
ｘｃｓｃ２
ｘｄｘ＝－乙
（１＋ｃｏｔ２ｘ）ｄｃｏｔｘ＝－ｃｏｔｘ－１３ｃｏｔ３ｘ＋Ｃ
类型六：乙ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）１１＋ｘ
２ｄｘ＝乙
ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）ｄ（ａｒｃｔａｎｘ）
乙ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）１
１－ｘ
２
姨ｄｘ＝乙
ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）ｄ（ａｒｃｓｉｎｘ）
不定积分的换元积分法常见类型
程建玲1，郭汉东2
（１．郑州华信学院，河南新郑
４５１１００；２．郑州大学西亚斯国际学院，河南
新郑
４５１１００）
摘要：本文归纳总结了不定积分的换元积分法常见类型，并给出典型例子解题技巧．关键词：不定积分；被积函数；换元积分法中图分类号：Ｏ１７２．２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）１１－０００９－０２
９－－
例9
乙ａｒｃｔａｎ
ｘ姨ｘ姨（１＋ｘ）
ｄｘ
解
乙
ａｒｃｔａｎｘ姨ｘ姨（１＋ｘ）
ｄｘ＝２乙
ａｒｃｔａｎｘ
姨ｄｘ姨１＋（ｘ姨）２
＝２
乙ａｒｃｔａｎｘ姨ｄａｒｃｔａｎｘ
姨＝（ａｒｃｔａｎｘ姨）２＋Ｃ
这几种常见类型，在解题时应灵活多变，例如利用三角函数的凑微分公式换元：
ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝２ｓｉｎｘｄｓｉｎｘ＝ｄａｉｎ２ｘ或ｓｉｎ２ｘｄｘ＝－２ｃｏｓｘｄｃｏｓｘ＝－ｄｃｏｓ２ｘ
ｃｏｓ２ｘｄｘ＝（ｃｏｓ２
ｘ－ｓｉｎ２
ｘ）ｄｘ＝ｃｏｓｘｄｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｄｃｏｓｘ＝ｄｓｉｎｘｃｏｓｘ
例如被积函数的分母出现
１ｆ（ｘ）
姨ｄｘ的形式时，应注意
考察能否凑成ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
姨的形式．如果能，
则利用乙
ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
姨＝２乙
ｄ
ｆ（ｘ）姨＝２ｆ（ｘ）姨＋Ｃ．被积函数为ｆ＇（ｘ）ｆ（ｘ）
的形式时，则可利用乙ｆ＇（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝乙ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
＝ｌｎ｜ｆ（ｘ）｜＋Ｃ．2
第二类换元积分法及其常见类型定理
设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上连续，又ｘ＝ψ（ｔ）在ｔ对应的
区间上的导数ψ＇（ｔ）连续，且ψ＇（ｔ）≠０，则有换元公式
乙ｆ（ｘ）ｄｘ＝［乙ｆ［ψ（ｔ）］ψ＇（ｔ）ｄｔ］
ｔ＝ψ－１
（ｘ）
其中ｔ＝ψ－１（ｘ）是ｘ＝ψ（ｔ）的反函数．
类型一：被积函数为ｆ（ａｘ＋ｂｎ
姨）则令ｔ＝ａｘ＋ｂ
ｎ
姨例10乙ｘ－２
１＋ｘ－３
３姨
ｄｘ
解
令ｔ＝ｘ－３３
姨，则ｘ＝ｔ３＋３，ｄｘ＝３ｔ２ｄｔ，所以乙ｘ－２
１＋ｘ－３
３
姨
ｄｘ＝
乙ｔ３
＋３－２１＋ｔ
３ｔ２
ｄｔ＝乙３ｔ２（ｔ２
＋１－ｔ）ｄｔ＝３（１５ｔ５＋１３ｔ３－１４
ｔ４）＋Ｃ
＝３５（ｘ－３）５
３－３４
（ｘ－３）４
３
＋ｘ＋Ｃ．类型二：被积函数为ｆ（ａｘ＋ｂｎ姨，ａｘ＋ｂｍ
姨）（ｍ，ｎ为正整数），则令ａｘ＋ｂｐ
姨＝ｔ，其中ｐ为ｍ，ｎ的最小公倍数．
例11乙
ｄｘ
ｘ姨（１＋ｘ３
姨）
解
令ｘ＝ｔ６（ｔ＞０），则ｄｘ＝６ｔ５ｄｔ
乙
ｄｘｘ姨（１＋ｘ３
姨
）＝乙
６ｔ５ｔ３（１＋ｔ２）
ｄｔ＝６
乙
ｔ２１＋ｔ２
ｄｔ６
乙
（１－１１＋ｔ
２）ｄｔ＝６（ｔ－ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ＝６（ｘ６姨－ａｒｃｔａｎｘ６
姨）＋Ｃ．
类型三：被积函数为ｆ（ａ２－ｘ２姨），则令ｘ＝ａｓｉｎｔ（－π２
＜ｔ＜
π２
）．例如：乙
ａ２－ｘ２姨ｄｘ（ａ＞０）
类型四：被积函数为ｆ（ａ２＋ｘ２姨），则令ｘ＝ａｔａｎｔ（－π２＜ｔ＜
π２
）．例如：
乙ｄｘｘ２
＋ａ
２
姨（ａ＞０）
类型五：被积函数为ｆ（ｘ２－ａ２姨），则令ｘ＝ａｓｅｃｔ例如：
乙ｄｘｘ２
－ａ
２
姨（ａ＞０）
除了这五种基本类型，还有其他类型，例如乙ｅｘ
＋１
姨ｄｘ，则可令ｅｘ＋１姨＝ｔ．
另外，被积函数是三角函数有理式时，也可用换元法将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，可归类如下：
（一）当Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）是ｓｉｎｘ的奇函数，及Ｒ（－ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）＝－Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓ），可令ｕ＝ｃｏｓｘ，即可化为ｕ的有理函数的不定积分．
例12乙ｄｘ
ｓｉｎ（２ｘ）＋２ｓｉｎｘ
解
乙ｄｘｓｉｎ（２ｘ）＋２ｓｉｎｘ＝乙ｄｘ２ｓｉｎｘ（１＋ｃｏｓｘ）
＝
乙ｓｉｎｘｄｘ２ｓｉｎ２
ｘ（１＋ｃｏｓｘ）＝－１２乙ｄｃｏｓｘ（１－ｃｏｓ２
ｘ）（１＋ｃｏｓｘ）
令ｕ＝ｃｏｓｘ＝－１
２
乙ｄｕ（１－ｕ２
）（１＋ｕ）＝－１４乙（１－ｕ）＋（１＋ｕ）（１－ｕ）（１＋ｕ）
２
ｄｕ＝－１８ｌｎ（１＋ｕ）＋１８ｌｎ（１－ｕ）＋１４（１＋ｕ）＋Ｃ
＝１８
［ｌｎ（１－ｃｏｓｘ）－ｌｎ（１＋ｃｏｓｘ）＋２１＋ｃｏｓｘ］＋Ｃ．
（二）当Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓ）是ｃｏｓｘ的奇函数，即Ｒ（ｓｉｎｘ，－ｃｏｓｘ）＝－Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ），可令ｕ＝ｓｉｎｘ，即可化为ｕ的有理函数的不定积分．
例如解
乙ｃｏｓｘｄｘ
２＋ｃｏｓ２ｘ
姨时，化为
乙ｄｓｉｎｘ３－２ｓｉｎ
２
ｘ
姨，令
ｕ＝ｓｉｎｘ解之即可．——————————————————
—参考文献：
〔1〕同济大学数学系.高等数学及其应用[M].北京：高等教育
出版社，2008.
〔2〕北京师范大学数学科学学院.高等数学[M].北京：北京师
范大学出版社，2009.
１０－－。