不定积分的换元积分法常见类型

Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１１

Ｎｏｖ．２０１２

赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第１１期（上）

２０１２年１１月直接积分法、

第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法是求不定积分的常用方法，换元积分法是求不定积分的重要方法，本文将换元积分法常见的类型归纳如下．1

第一类换元积分法及常见类型定理

设函数ｆ（ｕ）在区间Ｉ内有原函数，ｕ＝φ（ｘ）具有连续

导数且φ（ｘ）的值域包含在Ｉ中，则有换元公式

乙ｆ［φ（ｘ）］φ＇（ｘ）ｄｘ＝［乙ｆ（ｕ）ｄｕ］

ｕ＝φ（ｘ）

类型一：乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄｘ＝１ａ

乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄ（ａｘ＋ｂ）

（ａ≠０）

例1乙ｄｘ４ｘ＋３

解乙ｄｘ４ｘ＋３＝１４乙１４ｘ＋３ｄ（４ｘ＋３）＝１４

ｌｎ｜４ｘ＋３｜＋Ｃ例2乙ｄｘ

（ｘ－１）（３－ｘ）

姨解

乙

ｄｘ（ｘ－１）（３－ｘ）姨＝

乙

ｄｘ－ｘ２＋４ｘ－３姨＝

乙ｄｘ１－（ｘ－２）２

姨＝乙

ｄ（ｘ－２）１－（ｘ－２）２

姨＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ－２）＋Ｃ类型二：乙

ｆ（ｘμ＋１）ｘμｄｘ＝１

μ＋１

乙ｆ（ｘ

μ＋１

）ｄｘμ＋１（μ≠－１）

例3乙ｘ２

１＋ｘ３

姨ｄｘ

解乙ｘ２

１＋ｘ３

姨ｄｘ＝１

３

乙

（１＋ｘ３）１

２

ｄ（１＋ｘ３

）＝２９

（１＋ｘ３）３

２

＋Ｃ

例4乙

ｃｏｓｘ姨ｘ

姨ｄｘ

解

乙

ｃｏｓｘ姨ｘ

姨ｄｘ＝２

乙ｃｏｓｘ姨ｄ（ｘ姨）＝２ｓｉｎｘ姨＋Ｃ类型三：乙

ｆ（ｌｎｘ）１ｘ

ｄｘ＝乙

ｆ（ｌｎｘ）ｄ（ｌｎｘ）

例5

乙

１ｘ（１＋３ｌｎｘ）

ｄｘ解

乙１ｘ（１＋３ｌｎｘ）ｄｘ＝１３乙１１＋３ｌｎｘｄ（１＋３ｌｎｘ）＝１３

ｌｎ｜１＋３ｌｎｘ｜＋Ｃ

类型四：乙ｆ（ｅｘ）ｅｘｄｘ＝乙

（ｅｘ）ｄｅｘ

例6

乙ｄｘ１＋ｅｘ

＝乙１＋ｅｘ

－ｅｘ

１＋ｅ

ｘ

ｄｘ＝乙ｄｘ－

乙ｅ

ｘ

１＋ｅ

ｘ

ｄｘ

＝乙ｄｘ－

乙１

１＋ｅ

ｘ

ｄ（１＋ｅｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ）＋Ｃ

类型五：乙ｆ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝乙

ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｓｉｎｘ

乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｄｘ＝－乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｃｏｓｘ

乙ｆ（ｔａｎｘ）ｄｘｃｏｓ２

ｘ＝乙

ｆ（ｔａｎｘ）ｄｔａｎｘ

乙ｆ（ｃｏｔｘ）ｄｘｓｉｎ２

ｘ

＝－乙ｆ（ｃｏｔｘ）ｄｃｏｔｘ

例7乙ｓｉｎ２

ｘｃｏｓ３

ｘｄｘ．

解

乙ｓｉｎ２

ｘｃｏｓ３

ｘｄｘ＝乙ｓｉｎ２

ｘｃｏｓ２

ｘ·ｃｏｓｘｄｘ

＝乙ｓｉｎ２

ｘ（１－ｓｉｎ２

ｘ）ｄ（ｓｉｎｘ）＝乙（ｓｉｎ２

ｘ－ｓｉｎ４

ｘ）ｄ（ｓｉｎｘ）

＝１３ｓｉｎ３ｘ－１５

ｓｉｎ５ｘ＋Ｃ．例8乙ｄｘｓｉｎ４

ｘ

ｄｘ解

乙ｄｘｓｉｎ４

ｘ

ｄｘ＝乙ｃｓｃ４

ｘｄｘ＝乙ｃｓｃ２

ｘｃｓｃ２

ｘｄｘ＝－乙

（１＋ｃｏｔ２ｘ）ｄｃｏｔｘ＝－ｃｏｔｘ－１３ｃｏｔ３ｘ＋Ｃ

类型六：乙ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）１１＋ｘ

２ｄｘ＝乙

ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）ｄ（ａｒｃｔａｎｘ）

乙ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）１

１－ｘ

２

姨ｄｘ＝乙

ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）ｄ（ａｒｃｓｉｎｘ）

不定积分的换元积分法常见类型

程建玲1，郭汉东2

（１．郑州华信学院，河南新郑

４５１１００；２．郑州大学西亚斯国际学院，河南

新郑

４５１１００）

摘要：本文归纳总结了不定积分的换元积分法常见类型，并给出典型例子解题技巧．关键词：不定积分；被积函数；换元积分法中图分类号：Ｏ１７２．２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）１１－０００９－０２

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例9

乙ａｒｃｔａｎ

ｘ姨ｘ姨（１＋ｘ）

ｄｘ

解

乙

ａｒｃｔａｎｘ姨ｘ姨（１＋ｘ）

ｄｘ＝２乙

ａｒｃｔａｎｘ

姨ｄｘ姨１＋（ｘ姨）２

＝２

乙ａｒｃｔａｎｘ姨ｄａｒｃｔａｎｘ

姨＝（ａｒｃｔａｎｘ姨）２＋Ｃ

这几种常见类型，在解题时应灵活多变，例如利用三角函数的凑微分公式换元：

ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝２ｓｉｎｘｄｓｉｎｘ＝ｄａｉｎ２ｘ或ｓｉｎ２ｘｄｘ＝－２ｃｏｓｘｄｃｏｓｘ＝－ｄｃｏｓ２ｘ

ｃｏｓ２ｘｄｘ＝（ｃｏｓ２

ｘ－ｓｉｎ２

ｘ）ｄｘ＝ｃｏｓｘｄｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｄｃｏｓｘ＝ｄｓｉｎｘｃｏｓｘ

例如被积函数的分母出现

１ｆ（ｘ）

姨ｄｘ的形式时，应注意

考察能否凑成ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）

姨的形式．如果能，

则利用乙

ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）

姨＝２乙

ｄ

ｆ（ｘ）姨＝２ｆ（ｘ）姨＋Ｃ．被积函数为ｆ＇（ｘ）ｆ（ｘ）

的形式时，则可利用乙ｆ＇（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝乙ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）

＝ｌｎ｜ｆ（ｘ）｜＋Ｃ．2

第二类换元积分法及其常见类型定理

设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上连续，又ｘ＝ψ（ｔ）在ｔ对应的

区间上的导数ψ＇（ｔ）连续，且ψ＇（ｔ）≠０，则有换元公式

乙ｆ（ｘ）ｄｘ＝［乙ｆ［ψ（ｔ）］ψ＇（ｔ）ｄｔ］

ｔ＝ψ－１

（ｘ）

其中ｔ＝ψ－１（ｘ）是ｘ＝ψ（ｔ）的反函数．

类型一：被积函数为ｆ（ａｘ＋ｂｎ

姨）则令ｔ＝ａｘ＋ｂ

ｎ

姨例10乙ｘ－２

１＋ｘ－３

３姨

ｄｘ

解

令ｔ＝ｘ－３３

姨，则ｘ＝ｔ３＋３，ｄｘ＝３ｔ２ｄｔ，所以乙ｘ－２

１＋ｘ－３

３

姨

ｄｘ＝

乙ｔ３

＋３－２１＋ｔ

３ｔ２

ｄｔ＝乙３ｔ２（ｔ２

＋１－ｔ）ｄｔ＝３（１５ｔ５＋１３ｔ３－１４

ｔ４）＋Ｃ

＝３５（ｘ－３）５

３－３４

（ｘ－３）４

３

＋ｘ＋Ｃ．类型二：被积函数为ｆ（ａｘ＋ｂｎ姨，ａｘ＋ｂｍ

姨）（ｍ，ｎ为正整数），则令ａｘ＋ｂｐ

姨＝ｔ，其中ｐ为ｍ，ｎ的最小公倍数．

例11乙

ｄｘ

ｘ姨（１＋ｘ３

姨）

解

令ｘ＝ｔ６（ｔ＞０），则ｄｘ＝６ｔ５ｄｔ

乙

ｄｘｘ姨（１＋ｘ３

姨

）＝乙

６ｔ５ｔ３（１＋ｔ２）

ｄｔ＝６

乙

ｔ２１＋ｔ２

ｄｔ６

乙

（１－１１＋ｔ

２）ｄｔ＝６（ｔ－ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ＝６（ｘ６姨－ａｒｃｔａｎｘ６

姨）＋Ｃ．

类型三：被积函数为ｆ（ａ２－ｘ２姨），则令ｘ＝ａｓｉｎｔ（－π２

＜ｔ＜

π２

）．例如：乙

ａ２－ｘ２姨ｄｘ（ａ＞０）

类型四：被积函数为ｆ（ａ２＋ｘ２姨），则令ｘ＝ａｔａｎｔ（－π２＜ｔ＜

π２

）．例如：

乙ｄｘｘ２

＋ａ

２

姨（ａ＞０）

类型五：被积函数为ｆ（ｘ２－ａ２姨），则令ｘ＝ａｓｅｃｔ例如：

乙ｄｘｘ２

－ａ

２

姨（ａ＞０）

除了这五种基本类型，还有其他类型，例如乙ｅｘ

＋１

姨ｄｘ，则可令ｅｘ＋１姨＝ｔ．

另外，被积函数是三角函数有理式时，也可用换元法将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，可归类如下：

（一）当Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）是ｓｉｎｘ的奇函数，及Ｒ（－ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）＝－Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓ），可令ｕ＝ｃｏｓｘ，即可化为ｕ的有理函数的不定积分．

例12乙ｄｘ

ｓｉｎ（２ｘ）＋２ｓｉｎｘ

解

乙ｄｘｓｉｎ（２ｘ）＋２ｓｉｎｘ＝乙ｄｘ２ｓｉｎｘ（１＋ｃｏｓｘ）

＝

乙ｓｉｎｘｄｘ２ｓｉｎ２

ｘ（１＋ｃｏｓｘ）＝－１２乙ｄｃｏｓｘ（１－ｃｏｓ２

ｘ）（１＋ｃｏｓｘ）

令ｕ＝ｃｏｓｘ＝－１

２

乙ｄｕ（１－ｕ２

）（１＋ｕ）＝－１４乙（１－ｕ）＋（１＋ｕ）（１－ｕ）（１＋ｕ）

２

ｄｕ＝－１８ｌｎ（１＋ｕ）＋１８ｌｎ（１－ｕ）＋１４（１＋ｕ）＋Ｃ

＝１８

［ｌｎ（１－ｃｏｓｘ）－ｌｎ（１＋ｃｏｓｘ）＋２１＋ｃｏｓｘ］＋Ｃ．

（二）当Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓ）是ｃｏｓｘ的奇函数，即Ｒ（ｓｉｎｘ，－ｃｏｓｘ）＝－Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ），可令ｕ＝ｓｉｎｘ，即可化为ｕ的有理函数的不定积分．

例如解

乙ｃｏｓｘｄｘ

２＋ｃｏｓ２ｘ

姨时，化为

乙ｄｓｉｎｘ３－２ｓｉｎ

２

ｘ

姨，令

ｕ＝ｓｉｎｘ解之即可．——————————————————

—参考文献：

〔1〕同济大学数学系.高等数学及其应用[M].北京：高等教育

出版社，2008.

〔2〕北京师范大学数学科学学院.高等数学[M].北京：北京师

范大学出版社，2009.

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