不定积分的换元积分法常见类型
不定积分之第一换元法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
习题课-不定积分的计算方法
8. 计算积分 1) x arctan x ln(1 x 2 )dx;
令 f ( x ) x ln(1 x 2 ), 则 解： 1 2 1 x2 2 x 2 x ln(1 x 2 ) f ( x ) x ln(1 x )dx 2 dx 2 2 1 x 1 2 1 x2 1 1 2 x ln(1 x 2 ) dx 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 d ( x 2 1) x ln(1 x 2 ) x 2 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 2 x ln(1 x ) x ln(1 x 2 ) C 2 2 2 1 1 2 2 2 (1 x ) ln(1 x ) x C 2 2
7. 设函数 y f ( x ) 是由方程 ( x y ) y x 所确定的隐 dx 函数，求 2 ; y
2 2
解： 设 y tx, 代入方程 y ( x y ) x ,
2 2
t x ( x tx ) x t (1 t ) x 1 1 1 3t 2 x 2 , y . dx 3 2 dt t (1 t ) t (1 t ) t (1 t ) 2 dx 2 2 3t 2 y 2 t (1 t ) t 3 (1 t )2 dt (3 t )dt 3y y 2 ln C 3t 2 ln | t | C x x
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
不定积分的换元积分法
有时计算复杂：在某些情况下，换元后需要进行的计算可 能较为复杂，需要较高的计算能力。
不定积分换元法的发展趋势
理论研究不断深入
随着数学理论的发展，不定积分换元法 的理论体系不断完善，研究不断深入。
VS
应用领域不断拓展
随着科技的发展，不定积分换元法的应用 领域越来越广泛，不仅在数学、物理等领 域得到广泛应用，也逐渐拓展到工程、经 济等领域。
不定积分的换元积分法
2023-12-23
CONTENTS 目录
• 不定积分的概念 • 换元积分法的基本思想 • 常用的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与展望
CHAPTER 01
不定积分的概念
定义与性质
定义
不定积分是微分的逆运算，即求一个 函数的原函数或不定积分。
性质
不定积分具有线性性质、积分常数性 质和积分区间可加性。
第二类换元积分法（变量替换法）
总结词
通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将不定积分转化为容易求解的形式。
详细描述
第二类换元积分法也称为变量替换法。这种方法适用于被积函数中含有根号或分母中含有变量的不定 积分。通过引入新的变量进行替换，可以将不定积分转化为容易求解的形式。常用的替换方法包括三 角函数替换、指数函数替换等。
换元积分法不仅在不定积分和解决实际问题中有应用，在其他数学领域也有广泛的应用。例如，在求 解微分方程、变分法、复变函数等领域中，换元积分法都是一种重要的工具。
通过引入适当的变量替换，可以将复杂的问题转化为更易于处理的形式，从而简化计算或求解过程。
CHAPTER 05
总结与展望
不定积分换元法的优缺点
在不定积分中，如果一个函数可以表示为另一个函数的复合函数，那么可 以通过引入新的变量来简化计算。
25-不定积分换元法
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1) dx d(4x) (2)
4 x 4x
(3)
x 4x2
(2)0 a2 1x2dx1aarctaaxnC
(2)1
1 x2a2
dx1 lnxa 2a xa
C
(2)2
1 dxarcsinx C
a2x2
a
(2)3
1 dxlnx ( x2a2)C
ln xex ln1xex C xlnxln 1xexC
分析:
1 xex(1 xex)
1xexx(e1xxxeexx)
1 xex
11xex
(x1)exdxxexdxexdxd(xex)
例15. 求 ff((xx))f(fx)3(fx2)(x)dx.
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
x2a2
a2 C
x2 a2
例12 . 求 co4sxdx.
解: c4 ox s(c2x o )2s(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
不定积分(二)
不定积分
例5 求 sin 3xsin 5xdx
解： sin 3xsin 5xdx
1 2
[
c
os(3x
5x)
cos(3x
5x)]dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos(2x)dx
1 2
c
os8xdx
1 2
cos2xdx
1 sin 8x 1 sin 2x C
2 sin 2x
1
(ln
tan
3
x) 2
C
3
不定积分
2、
ln(1 x) x(1
ln x)
xdx
[ln(1
x)
lnΒιβλιοθήκη x]d[ln(1x)
ln
x]
1 [ln(1 x) ln x]2 C 2
1 [ln 1 x ]2 C 2x
[ln(1 x) ln x]
解：1、tan3 xsec3 xdx tan2 x sec2 xdsec x
(sec2x 1)sec2 xd (sec x)
sec4 xd(secx) sec2 xd(secx)
1 sec5 x 1 sec3 x C
C
3
3
不定积分
练习
1、e2xdx
3、x3 sin(x4 1)dx
5、
ln x dx x
7、ex 2 ex dx
2、 4x 1dx
18 不定积分的第一类换元积分法
从被积函数中明显的复合部分去确定 u
u tan x,
tan x sin x cos x dx tan x dx 2 tan x cos x 1 d( tan x) tan x
d( tan x) sec2 xdx,
1 d( tan x) dx. 2 cos x
2 tan x C.
10
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f [j ( x)]j ( x)dx f [j ( x)]dj ( x),
通过凑微分确定 u
ln x 例8 dx x ln x d( ln x) 1 2 ln x C. 2 x dx 例9 4 1 x 1 1 2 d( x ) 2 2 2 1 (x ) 1 arctan( x 2 ) C. 2
x ln(1 e x ) C
e x dx d(e x )
13
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铃
1 dx 例12 求 x 1 e x 1 e 法二 dx x dx x x 1 e e (1 e ) e x dx d(e x ) 1 1 x x de du x x u e e (1 e ) u (1 u ) 1 1 (u 1) u du du u (1 u ) u u 1 1 1 du d(u 1) u u 1 ln u ln(u 1) C
换元积分过程
u j ( x )
f [j ( x )]j ( x )dx
F [j ( x )] C
凑微分: j ( x )dx dj ( x )
f [j ( x )]dj ( x ) 换元:
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
第二节 不定积分的换元积分法
例22 求
∫
1
2
1 x 4 − x arcsin 2
2
dx .
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1
dx = ∫
1
2
x 1− arcsin 2 2
x d x 2
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
例23. 求
(x +1)e 1 1 dx = ∫( x − )d(xex ) 解: 原式= ∫ x x xe (1+ xex ) xe 1+ xe
x
= ln xex −ln 1+ xex +C = x +ln x −ln 1+ xex +C
1 1+ xex − xex 分析: 分析 x x = xe (1+ xe ) xex (1+ xex )
(x +1 exdx = xexdx +exdx )
例24. 求
f (x) f ′′(x) f (x) 1− dx 解: 原式 = ∫ 2 f ′(x) f ′ (x)
d(x + a) 1 d(x −a) −∫ = ∫ x +a 2a x −a
1 x −a 1 +C = [ ln x−a −ln x+ a ] +C = ln 2a x +a 2a
常用的几种配元形式:
1 1 ∫ f (ax +b)dx = ) a 1 n n− 1 2) ∫ f (x ) x dx = n 1 n 1 3) ∫ f (x ) d x = n x
1 1 2 = ( 2 x + 3) − ( 2 x − 1) 2 + C . 12 12
不定积分的换元法
一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
不定积分的第一换元积分法
第一类换元法的基本定理：
如果F u 是 f u 在区间I上的一个原函数
即:F u f u
u ( x )
f (u ) du F (u ) c
则： f ( ( x )) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x))
f (u)ddu F (u) C
ax 2 b u
u ax 2 b
1 1 1 2 1 u c ( ax b ) c 1 2 a ( 1) 2 a ( 1) 1 1 ln u c ln ax 2 b c 1 2a 2a
x ln(1 e x ) C .
( x) u ( x ) 1 类型IV : dx du ln u c ( x) u ln ( x) c
例10： 计 算 下 列 不 定 积 分 ： (1) tan xdx ( 2 ) cot xdx ( 4 ) csc xdx (3) sec xdx 1 (5) dx ax b
类型 V :
f (arctan x) u arctanx dx f (u )du 2 1 x
x 2 arctan 2 x 例11：计算不定积分： 1 x 2 dx x 2 arctan 2 x （1 x 2） 1 arctan 2 x 解： dx 2 1 x 2 dx 1 x 1 arctan 2 x dx dx dx 2 2 1 x 1 x 2 x arctan x arctan xd (arctan x )
1 ln ax b c a
(a x) (a x) ( a x )( a x ) dx
不定积分-换元积分法
f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C
2
如何应用此定理？
要计算不定积分 g( x)dx
若 有g( x) f [ ( x)] ( x) 则
g( x)dx f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x) u ( x ) f (u)du [F (u) C ]u ( x)
[G (t ) C ]t 1 ( x ) G[ 1 ( x )] C
证 明 ： d [G[ 1 ( x)]] dG[ 1 ( x)] dt
dx
dt
dx
g(t) 1 f [ (t)] (t) 1
dx
(t)
dt
f [ (t )] f ( x )
21
3、第二类换元法应用举例
ax
a2 (arcsin x x a2 x 2 ) C
t
2
aa a
a2
xx
arcsin
a2 x2 C
a2 x2
2
a2
22
例2 求 解令
x 3 4 x 2 dx.
x 2sint dx 2costdt t ,
2 2
x 3 4 x 2 dx 2sint 3 4 4sin2 t 2cos tdt
x (t ) 应在相应区间上单调、可导,且 (t ) 0
20
2、定理4.2.2 设x (t )是 某 区 间 内 的 单 调 ， 可导 函 数 ， 且 (t ) 0， 又 设 函 数f [ (t )] (t ) g(t )具 有 原 函 数
G (t)，则有换元公式
f ( x)dx x (t) f [ (t)] (t)dt g(t)dt
解
cos A cos B 1 [cos( A B) cos( A B)],
求不定积分的几种基本方法
x
dx x2
1
1 dt arcsin t C arcsin 1 C.
1 t2
x
综合起来，得
x
dx arcsin 1 C.
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
解 为使被积函数有理化．利用三角公式
令 x a sin t,t ( , ), 则它是
22
sin2 t cos2 t 1
不定积分 换元法
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 a
du
1
a m 1
1
u
m 1
C
注: 当
时
例2. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想到公式
1 a
2
解:
1 ( x)2
a
dx
1 u2
arctan u C
dx
du
令u
2
2
2
dx
2
(x 2
2
a )
2
2
1 2
d( x a )
2
3 2
a
2
(x
2
a )
d( x a )
2
2
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1
x a
, 则 du 1 a
1 a
a 1 u2
du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 2 1 (a)
x d (a) x 1 (a) 2
想到
du 1 u
2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
3
例9. 求 解法1
1 ex .
dx
(1 e ) e 1 e
2不定积分
u = ex −1, 则 令
4
u2 +1−1
− 4(u − arctanu) + C
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方法2 方法 (先换元,再分部) 令 u = ex −1, 则 故
= 2u ln(1+ u )
2
1+
−1
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第四章 四
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
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1 dx (ab ≠ 0) . 例6. 求 ∫ (asin x + bcos x)2
解法 1 原式 = ∫
dx
(a tan x + b) cos x
2
2
令 t = tan x
1 dt =− +C =∫ a(a t + b) (at + b)2 cos x =− +C a(a sin x + bcos x)
1 d (2x) 1 解: I = ∫ = ln 2x + 4x2 + 9 + C 2 (2x)2 + 32 2
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例22. 求 解: 原式 = ∫
5 ( 2 )2 − (x − 1)2 2
d (x − 1) 2
例23. 求 解: 原式 = −∫
d e−x 1− e−2x
4 1= + C 5 1 4 B+ C = + 6 15 2
1 4 2x −1 原式 = − 5 1+ 2x 1+ x2
微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结
微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结作者：王闪闪来源：《新校园·中旬刊》2014年第04期摘要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。
关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。
定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C例2①■■②■■分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。
解：①■■dx=■■dx=■■d(x+1)=■arctan■+C②■■=■■=ln■+C类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)=-■+C类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)例6■■dx=■■dex=■arcan■+C类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx=-■f(cosc)d(cosx)例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+Cⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。
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Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１１
Ｎｏｖ．２０１２
赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第１１期（上）
２０１２年１１月直接积分法、
第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法是求不定积分的常用方法，换元积分法是求不定积分的重要方法，本文将换元积分法常见的类型归纳如下．1
第一类换元积分法及常见类型定理
设函数ｆ（ｕ）在区间Ｉ内有原函数，ｕ＝φ（ｘ）具有连续
导数且φ（ｘ）的值域包含在Ｉ中，则有换元公式
乙ｆ［φ（ｘ）］φ＇（ｘ）ｄｘ＝［乙ｆ（ｕ）ｄｕ］
ｕ＝φ（ｘ）
类型一：乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄｘ＝１ａ
乙ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄ（ａｘ＋ｂ）
（ａ≠０）
例1乙ｄｘ４ｘ＋３
解乙ｄｘ４ｘ＋３＝１４乙１４ｘ＋３ｄ（４ｘ＋３）＝１４
ｌｎ｜４ｘ＋３｜＋Ｃ例2乙ｄｘ
（ｘ－１）（３－ｘ）
姨解
乙
ｄｘ（ｘ－１）（３－ｘ）姨＝
乙
ｄｘ－ｘ２＋４ｘ－３姨＝
乙ｄｘ１－（ｘ－２）２
姨＝乙
ｄ（ｘ－２）１－（ｘ－２）２
姨＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ－２）＋Ｃ类型二：乙
ｆ（ｘμ＋１）ｘμｄｘ＝１
μ＋１
乙ｆ（ｘ
μ＋１
）ｄｘμ＋１（μ≠－１）
例3乙ｘ２
１＋ｘ３
姨ｄｘ
解乙ｘ２
１＋ｘ３
姨ｄｘ＝１
３
乙
（１＋ｘ３）１
２
ｄ（１＋ｘ３
）＝２９
（１＋ｘ３）３
２
＋Ｃ
例4乙
ｃｏｓｘ姨ｘ
姨ｄｘ
解
乙
ｃｏｓｘ姨ｘ
姨ｄｘ＝２
乙ｃｏｓｘ姨ｄ（ｘ姨）＝２ｓｉｎｘ姨＋Ｃ类型三：乙
ｆ（ｌｎｘ）１ｘ
ｄｘ＝乙
ｆ（ｌｎｘ）ｄ（ｌｎｘ）
例5
乙
１ｘ（１＋３ｌｎｘ）
ｄｘ解
乙１ｘ（１＋３ｌｎｘ）ｄｘ＝１３乙１１＋３ｌｎｘｄ（１＋３ｌｎｘ）＝１３
ｌｎ｜１＋３ｌｎｘ｜＋Ｃ
类型四：乙ｆ（ｅｘ）ｅｘｄｘ＝乙
（ｅｘ）ｄｅｘ
例6
乙ｄｘ１＋ｅｘ
＝乙１＋ｅｘ
－ｅｘ
１＋ｅ
ｘ
ｄｘ＝乙ｄｘ－
乙ｅ
ｘ
１＋ｅ
ｘ
ｄｘ
＝乙ｄｘ－
乙１
１＋ｅ
ｘ
ｄ（１＋ｅｘ）＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ）＋Ｃ
类型五：乙ｆ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝乙
ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｓｉｎｘ
乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｄｘ＝－乙ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｃｏｓｘ
乙ｆ（ｔａｎｘ）ｄｘｃｏｓ２
ｘ＝乙
ｆ（ｔａｎｘ）ｄｔａｎｘ
乙ｆ（ｃｏｔｘ）ｄｘｓｉｎ２
ｘ
＝－乙ｆ（ｃｏｔｘ）ｄｃｏｔｘ
例7乙ｓｉｎ２
ｘｃｏｓ３
ｘｄｘ．
解
乙ｓｉｎ２
ｘｃｏｓ３
ｘｄｘ＝乙ｓｉｎ２
ｘｃｏｓ２
ｘ·ｃｏｓｘｄｘ
＝乙ｓｉｎ２
ｘ（１－ｓｉｎ２
ｘ）ｄ（ｓｉｎｘ）＝乙（ｓｉｎ２
ｘ－ｓｉｎ４
ｘ）ｄ（ｓｉｎｘ）
＝１３ｓｉｎ３ｘ－１５
ｓｉｎ５ｘ＋Ｃ．例8乙ｄｘｓｉｎ４
ｘ
ｄｘ解
乙ｄｘｓｉｎ４
ｘ
ｄｘ＝乙ｃｓｃ４
ｘｄｘ＝乙ｃｓｃ２
ｘｃｓｃ２
ｘｄｘ＝－乙
（１＋ｃｏｔ２ｘ）ｄｃｏｔｘ＝－ｃｏｔｘ－１３ｃｏｔ３ｘ＋Ｃ
类型六：乙ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）１１＋ｘ
２ｄｘ＝乙
ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）ｄ（ａｒｃｔａｎｘ）
乙ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）１
１－ｘ
２
姨ｄｘ＝乙
ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）ｄ（ａｒｃｓｉｎｘ）
不定积分的换元积分法常见类型
程建玲1，郭汉东2
（１．郑州华信学院，河南新郑
４５１１００；２．郑州大学西亚斯国际学院，河南
新郑
４５１１００）
摘要：本文归纳总结了不定积分的换元积分法常见类型，并给出典型例子解题技巧．关键词：不定积分；被积函数；换元积分法中图分类号：Ｏ１７２．２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）１１－０００９－０２
９－－
例9
乙ａｒｃｔａｎ
ｘ姨ｘ姨（１＋ｘ）
ｄｘ
解
乙
ａｒｃｔａｎｘ姨ｘ姨（１＋ｘ）
ｄｘ＝２乙
ａｒｃｔａｎｘ
姨ｄｘ姨１＋（ｘ姨）２
＝２
乙ａｒｃｔａｎｘ姨ｄａｒｃｔａｎｘ
姨＝（ａｒｃｔａｎｘ姨）２＋Ｃ
这几种常见类型，在解题时应灵活多变，例如利用三角函数的凑微分公式换元：
ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ＝２ｓｉｎｘｄｓｉｎｘ＝ｄａｉｎ２ｘ或ｓｉｎ２ｘｄｘ＝－２ｃｏｓｘｄｃｏｓｘ＝－ｄｃｏｓ２ｘ
ｃｏｓ２ｘｄｘ＝（ｃｏｓ２
ｘ－ｓｉｎ２
ｘ）ｄｘ＝ｃｏｓｘｄｓｉｎｘ＋ｓｉｎｘｄｃｏｓｘ＝ｄｓｉｎｘｃｏｓｘ
例如被积函数的分母出现
１ｆ（ｘ）
姨ｄｘ的形式时，应注意
考察能否凑成ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
姨的形式．如果能，
则利用乙
ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
姨＝２乙
ｄ
ｆ（ｘ）姨＝２ｆ（ｘ）姨＋Ｃ．被积函数为ｆ＇（ｘ）ｆ（ｘ）
的形式时，则可利用乙ｆ＇（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝乙ｄｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
＝ｌｎ｜ｆ（ｘ）｜＋Ｃ．2
第二类换元积分法及其常见类型定理
设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上连续，又ｘ＝ψ（ｔ）在ｔ对应的
区间上的导数ψ＇（ｔ）连续，且ψ＇（ｔ）≠０，则有换元公式
乙ｆ（ｘ）ｄｘ＝［乙ｆ［ψ（ｔ）］ψ＇（ｔ）ｄｔ］
ｔ＝ψ－１
（ｘ）
其中ｔ＝ψ－１（ｘ）是ｘ＝ψ（ｔ）的反函数．
类型一：被积函数为ｆ（ａｘ＋ｂｎ
姨）则令ｔ＝ａｘ＋ｂ
ｎ
姨例10乙ｘ－２
１＋ｘ－３
３姨
ｄｘ
解
令ｔ＝ｘ－３３
姨，则ｘ＝ｔ３＋３，ｄｘ＝３ｔ２ｄｔ，所以乙ｘ－２
１＋ｘ－３
３
姨
ｄｘ＝
乙ｔ３
＋３－２１＋ｔ
３ｔ２
ｄｔ＝乙３ｔ２（ｔ２
＋１－ｔ）ｄｔ＝３（１５ｔ５＋１３ｔ３－１４
ｔ４）＋Ｃ
＝３５（ｘ－３）５
３－３４
（ｘ－３）４
３
＋ｘ＋Ｃ．类型二：被积函数为ｆ（ａｘ＋ｂｎ姨，ａｘ＋ｂｍ
姨）（ｍ，ｎ为正整数），则令ａｘ＋ｂｐ
姨＝ｔ，其中ｐ为ｍ，ｎ的最小公倍数．
例11乙
ｄｘ
ｘ姨（１＋ｘ３
姨）
解
令ｘ＝ｔ６（ｔ＞０），则ｄｘ＝６ｔ５ｄｔ
乙
ｄｘｘ姨（１＋ｘ３
姨
）＝乙
６ｔ５ｔ３（１＋ｔ２）
ｄｔ＝６
乙
ｔ２１＋ｔ２
ｄｔ６
乙
（１－１１＋ｔ
２）ｄｔ＝６（ｔ－ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ＝６（ｘ６姨－ａｒｃｔａｎｘ６
姨）＋Ｃ．
类型三：被积函数为ｆ（ａ２－ｘ２姨），则令ｘ＝ａｓｉｎｔ（－π２
＜ｔ＜
π２
）．例如：乙
ａ２－ｘ２姨ｄｘ（ａ＞０）
类型四：被积函数为ｆ（ａ２＋ｘ２姨），则令ｘ＝ａｔａｎｔ（－π２＜ｔ＜
π２
）．例如：
乙ｄｘｘ２
＋ａ
２
姨（ａ＞０）
类型五：被积函数为ｆ（ｘ２－ａ２姨），则令ｘ＝ａｓｅｃｔ例如：
乙ｄｘｘ２
－ａ
２
姨（ａ＞０）
除了这五种基本类型，还有其他类型，例如乙ｅｘ
＋１
姨ｄｘ，则可令ｅｘ＋１姨＝ｔ．
另外，被积函数是三角函数有理式时，也可用换元法将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，可归类如下：
（一）当Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）是ｓｉｎｘ的奇函数，及Ｒ（－ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）＝－Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓ），可令ｕ＝ｃｏｓｘ，即可化为ｕ的有理函数的不定积分．
例12乙ｄｘ
ｓｉｎ（２ｘ）＋２ｓｉｎｘ
解
乙ｄｘｓｉｎ（２ｘ）＋２ｓｉｎｘ＝乙ｄｘ２ｓｉｎｘ（１＋ｃｏｓｘ）
＝
乙ｓｉｎｘｄｘ２ｓｉｎ２
ｘ（１＋ｃｏｓｘ）＝－１２乙ｄｃｏｓｘ（１－ｃｏｓ２
ｘ）（１＋ｃｏｓｘ）
令ｕ＝ｃｏｓｘ＝－１
２
乙ｄｕ（１－ｕ２
）（１＋ｕ）＝－１４乙（１－ｕ）＋（１＋ｕ）（１－ｕ）（１＋ｕ）
２
ｄｕ＝－１８ｌｎ（１＋ｕ）＋１８ｌｎ（１－ｕ）＋１４（１＋ｕ）＋Ｃ
＝１８
［ｌｎ（１－ｃｏｓｘ）－ｌｎ（１＋ｃｏｓｘ）＋２１＋ｃｏｓｘ］＋Ｃ．
（二）当Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓ）是ｃｏｓｘ的奇函数，即Ｒ（ｓｉｎｘ，－ｃｏｓｘ）＝－Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ），可令ｕ＝ｓｉｎｘ，即可化为ｕ的有理函数的不定积分．
例如解
乙ｃｏｓｘｄｘ
２＋ｃｏｓ２ｘ
姨时，化为
乙ｄｓｉｎｘ３－２ｓｉｎ
２
ｘ
姨，令
ｕ＝ｓｉｎｘ解之即可．——————————————————
—参考文献：
〔1〕同济大学数学系.高等数学及其应用[M].北京：高等教育
出版社，2008.
〔2〕北京师范大学数学科学学院.高等数学[M].北京：北京师
范大学出版社，2009.
１０－－。