全等三角形之倍长中线法
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课 题: 《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中 , AD 是 BC 边中线
方式 1：直接倍长 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
A A
B
C
D
B
C
D
方式 2：间接倍长 作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长线于 E
A
E
延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CN A
方法 2：辅助线同上，利用面积
A
B
C
D
方法 3：倍长中线 AD
例 3：已知在△ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE 方法 1：过 D 作 DG∥AE 交 BC 于 G，证明ΔDGF≌ΔCEF
A
D
B
F
C
E
方法 2：过 E 作 EG∥AB 交 BC 的延长线于 G，证明ΔEFG≌ΔDFB 方法 3：过 D 作 DG⊥BC 于 G，过 E 作 EH⊥BC 的延长线于 H,证明ΔBDG≌ΔECH
M
D
B
E T C
D
B E
C
F
2、如图，AD 为 ABC的中线，DE 平分 BDA交 AB 于 E，DF 平分 ADC交 AC 于 F. 求证：BE CF EF
提示：方法 1：在 DA 上截取 DG=BD，连结 EG、FG，证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF
≌ΔDGF，所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边
A
E F
B
C
D
第 14 题图
方法 2：倍长 ED 至 H，连结 CH、FH，证明 FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于 M，AT 平分 BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE//AB
交 BC 于 E，求证：CT=BE.提示：过 T 作 TN⊥AB 于 N，证明ΔBTN≌ΔECD A
F
B
D
C
E
【经典例题】 例 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线 AD，利用三角形两边之和大于第三边
M B
D
C
N
例 2： ABC中，AD 是 BAC的平分线，且 BD=CD，求证 AB=AC
方法 1：作 DE⊥AB 于 E，作 DF⊥AC 于 F，证明二次全等
求证：AE 平分 BAC
方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG
A
F
B
D
E
C
第 1 题图
方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH
例 6：已知 CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长 AE 至 F，连结 DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
A
B
ED
C
【融会贯通】 1、在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线 段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
A
提示：延长 AE、DF 交于 G，证明 AB=GC、AF=GF，所以 AB=AF+FC
例 4：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 提示：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形 BEG 是等腰三角形
A
F E
B
D
C
例 5：已知：如图，在 ABC中， AB AC ，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF //Βιβλιοθήκη BaiduBA交 AE 于点 F，DF=AC.
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中 , AD 是 BC 边中线
方式 1：直接倍长 延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE
A A
B
C
D
B
C
D
方式 2：间接倍长 作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长线于 E
A
E
延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CN A
方法 2：辅助线同上，利用面积
A
B
C
D
方法 3：倍长中线 AD
例 3：已知在△ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CE 方法 1：过 D 作 DG∥AE 交 BC 于 G，证明ΔDGF≌ΔCEF
A
D
B
F
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方法 2：过 E 作 EG∥AB 交 BC 的延长线于 G，证明ΔEFG≌ΔDFB 方法 3：过 D 作 DG⊥BC 于 G，过 E 作 EH⊥BC 的延长线于 H,证明ΔBDG≌ΔECH
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E T C
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B E
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2、如图，AD 为 ABC的中线，DE 平分 BDA交 AB 于 E，DF 平分 ADC交 AC 于 F. 求证：BE CF EF
提示：方法 1：在 DA 上截取 DG=BD，连结 EG、FG，证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF
≌ΔDGF，所以 BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边
A
E F
B
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第 14 题图
方法 2：倍长 ED 至 H，连结 CH、FH，证明 FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于 M，AT 平分 BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE//AB
交 BC 于 E，求证：CT=BE.提示：过 T 作 TN⊥AB 于 N，证明ΔBTN≌ΔECD A
F
B
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【经典例题】 例 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线 AD，利用三角形两边之和大于第三边
M B
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例 2： ABC中，AD 是 BAC的平分线，且 BD=CD，求证 AB=AC
方法 1：作 DE⊥AB 于 E，作 DF⊥AC 于 F，证明二次全等
求证：AE 平分 BAC
方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG
A
F
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第 1 题图
方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH
例 6：已知 CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长 AE 至 F，连结 DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
A
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【融会贯通】 1、在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线 段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
A
提示：延长 AE、DF 交于 G，证明 AB=GC、AF=GF，所以 AB=AF+FC
例 4：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF 提示：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形 BEG 是等腰三角形
A
F E
B
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C
例 5：已知：如图，在 ABC中， AB AC ，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF //Βιβλιοθήκη BaiduBA交 AE 于点 F，DF=AC.