三角形全等之倍长中线

三角形全等之倍长中线

课前预习

1. 填空

（1）三角形全等的判定有：

三边分别___________的两个三角形全等，即（____）； 两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）； 两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）； 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．

（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA ，SSA 不能证明两个三角形全．

2. 想一想，证一证

已知：如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB 的中点． （1）当OC =OD 时，求证：△AOC ≌△BOD ； （2）当AC ∥BD 时，求证：△AOC ≌△BOD ．

O

B

C D

A

➢ 知识点睛

1. “三角形全等”辅助线：

见中线，要__________，构造______________． 2. 中点的思考方向：

① （类）倍长中线

延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE

D C

B A

M A

B

C

D

②平行夹中点

F E

D

C

B

A

延长FE 交BC 的延长线于点G

➢ 精讲精练

1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．

（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．

（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．

2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．

求证：AB =AC ．

3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．

求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．

D C

B A

D

B A

D C

B A

4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长

线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．

5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA

的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．

6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，

且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．

7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，

过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．

求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．

F E

D

B

A

G

F

E

D

B

A

G

D

A

F

E D

C

B A

【参考答案】

➢ 课前预习

1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；

直角，HL

（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图

∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO

在△AOC 和△BOD 中

AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B

在△AOC 和△BOD 中

A B AO BO

AOC BOD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 解：（1）如图，

2

1B

C

D

A

（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线

∴BD =CD

在△BDE 和△CDA 中

12BD CD ED AD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图， ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD

在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中，

AB -BE

由（3）得 AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3

2. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE

在△ADC 和△EDB 中

CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE

∴AB =AC

3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF

∴CF =2CD

∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD

2

1E

D

C

B A