三角形全等之倍长中线
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三角形全等之倍长中线
课前预习
1. 填空
(1)三角形全等的判定有:
三边分别___________的两个三角形全等,即(____); 两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____); 两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____); 两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等,即(____); 斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等,即(____).
(2)要证明两条边相等或者两个角相等,可以考虑放在两个三角形中证________;要证明两个三角形全等需要准备______组条件,这三组条件里面必须有______;然后依据判定进行证明,其中AAA ,SSA 不能证明两个三角形全.
2. 想一想,证一证
已知:如图,AB 与CD 相交于点O ,且O 是AB 的中点. (1)当OC =OD 时,求证:△AOC ≌△BOD ; (2)当AC ∥BD 时,求证:△AOC ≌△BOD .
O
B
C D
A
➢ 知识点睛
1. “三角形全等”辅助线:
见中线,要__________,构造______________. 2. 中点的思考方向:
① (类)倍长中线
延长AD 到E ,使DE =AD , 延长MD 到E ,使DE =MD , 连接BE 连接CE
D C
B A
M A
B
C
D
②平行夹中点
F E
D
C
B
A
延长FE 交BC 的延长线于点G
➢ 精讲精练
1. 如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线.
(1)按要求作图:延长AD 到点E ,使DE =AD ;连接BE . (2)求证:△ACD ≌△EBD . (3)求证:AB +AC >2AD .
(4)若AB =5,AC =3,求AD 的取值范围.
2. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,且BD =CD .
求证:AB =AC .
3. 如图,CB 是△AEC 的中线,CD 是△ABC 的中线,且AB =AC .
求证:①CE =2CD ;②CB 平分∠DCE .
D C
B A
D
B A
D C
B A
4. 如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 是AD 上一点,BE =AC ,BE 的延长
线交AC 于点F . 求证:∠AEF =∠EAF .
5. 如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 的中点,EF ∥AD 交CA
的延长线于点F ,交AB 于点G ,BG =CF . 求证:AD 为△ABC 的角平分线.
6. 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在BC 上,点F 是CD 的中点,
且AF ⊥AB ,已知AD =2.7,AE =BE =5,求CE 的长.
7. 如图,在正方形ABCD 中,CD =BC ,∠DCB =90°,点E 在CB 的延长线上,
过点E 作EF ⊥BE ,且EF=BE .连接BF ,FD ,取FD 的中点G ,连接EG ,CG .
求证:EG =CG 且EG ⊥CG .
F E
D
B
A
G
F
E
D
B
A
G
D
A
F
E D
C
B A
【参考答案】
➢ 课前预习
1. (1)相等,SSS ;夹角,SAS ;夹边,ASA ;对边,AAS ;
直角,HL
(2)全等,三,边 2. (1)证明:如图
∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO
在△AOC 和△BOD 中
AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOC ≌△BOD (SAS ) (2)证明:如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B
在△AOC 和△BOD 中
A B AO BO
AOC BOD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AOC ≌△BOD (ASA ) ➢ 精讲精练 1. 解:(1)如图,
2
1B
C
D
A
(2)证明:如图, ∵AD 为BC 边上的中线
∴BD =CD
在△BDE 和△CDA 中
12BD CD ED AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA (SAS ) (3)证明:如图, ∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2 AD
在△ABE 中,AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD (4)在△ABE 中,
AB -BE 由(3)得 AE =2AD ,BE =AC ∵AC =3,AB =5 ∴5-3 2. 证明:如图,延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE 在△ADC 和△EDB 中 CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪ ∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ADC ≌△EDB (SAS ) ∴AC =EB ,∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 3. 证明:如图,延长CD 到F ,使DF =CD ,连接BF ∴CF =2CD ∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD 2 1E D C B A