第五章 系统的稳定性2

22
所以K1＝10时，相角裕度为
γ = 180° + ϕ (ωc ) = 180° − 90° − arctgωc − arctg(ωc 5) = 19.5°
书中求法：
2.84(dB)
−40 1
ωc
当ω=1时, 实际值为：
10 20 lg G ( jω ) H ( jω ) = 20 lg = 2.84dB 1× 2 × 1.04
5
3 Bode判据 设系统开环传递函数在 [s] 平面的右半平面的极点数为 P，则对应闭环系统的稳定性判据是： ¾在Bode图上，当ω由0变到+∞时，在开环对数幅频特 性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对 -1800 线 正穿越的次数与负穿越的次数之差为P/2时，闭环系统 稳定；否则，闭环系统不稳定。 ¾当系统开环稳定(P=0)时，若开环对数幅频特性比其 对数相频特性先交于横轴，即ωc<ωg ，则闭环系统稳 定；若有ωg<ωc ，则闭环系统不稳定；若ωc=ωg，则 闭环系统临界稳定。
代入得
1 − 0.2ω g 2 = 0
ω g = 5s −1
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所以K1＝10时，相角裕度为
γ = 180° + ϕ (ωc ) = 180° − 90° − arctgωc − arctg(ωc 5) = 19.5°
当K1从10变到100时，幅频特性上移20dB，如上图中虚 线所示，此时
′ ω1 ) = 20 lg K ′ = 20 lg 20 40 lg(ωc
1 Kg
jY (ω )
jY (ω )
γ
γ
ϕ
X (ω )
ϕ
X (ω )
1 Kg
18
几点说明： ① 对于 — 个稳定的最小相位系统，其相角裕度应为正 值，增益裕度应大于1 ； ② 严格地讲，应当同时给出相角裕度和增益裕度，才能 确定系统的相对稳定性。但在粗略估计系统的暂态响 应指标时，主要对相角裕度提出要求。 ③ 为使系统有满意的稳定储备，以及得到较满意的暂态 响应，在工程实践中，一般希望
令
tan(a + b) =
cos(a + b) cos a cos b − sin a sin b = =0 sin(a + b) sin a cos b + cos a sin b
分子分母同除以 cos a cos b 得：
cos a cos b − sin a sin b 1 − tan a tan b = =0 sin a cos b + cos a sin b tan a + tan b
ϕ (ω )(°)
ω
伯德图
解：系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点， 即P=0，而在L(ω)≥0的频段内，相频特性ϕ(ω)不穿 越－180°线，故闭环系统必然稳定。
10
第五章
系统的稳定性
系统稳定性的概念 Routh稳定判据 Nyquist稳定判剧 Bode稳定判剧 系统的相对稳定性
ω1=1， ω2=5。20lgK = 20lg2 = 6dB。
画出对数幅频特性曲线
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L(ω )(dB)
ωc
ωc′
ω
由图可知
− 40(lg ω c − lg ω1 ) = 0 − 20 lg K 40 lg(ω c ω1 ) = 20 lg K = 20 lg 2
所以K1＝10时，剪切频率为 ωc = 2 = 1.414
3
2 穿越的概念
[GH]
1
(−1, j 0)
Im
ω = +∞
ω=0
20lgGH
1
2
ωc
3
4
ω
2
3
0
Re
0
ωc
-1800
ω g1
ωg 2
ω
¾开环Nyquist轨迹在点(-1,j0)以左穿过负实轴称为“穿越”。
¾若沿频率ω增加的方向，开环轨迹自上而下（相位增加） 穿过点 (-1,j0)以左的负实轴称为正穿越；反之称为负穿越。 ¾若沿 ω 增加的方向，开环轨迹自点 (-1,j0)以左的负实轴 开始向下称为半次正穿越；反之称为半次负穿越。
12
1. 相角裕度γ 在频率特性上对应于幅值 A(ω) ＝ 1( 即 L(ω)=0)的角频 率称为剪切频率(截止频率)，以ωc表示。 在剪切频率处，相频特性距－180°线的相位差γ叫做 相角裕度。即
γ = ϕ (ωc ) − ( −180°) = 180° + ϕ (ωc )
具有正相角裕度的系统不仅稳定，而且还有相当的稳 定储备，它可以在ωc的频率下，允许相角再增加（迟 后）γ度才达到临界稳定状态。 相角裕度也叫相位稳定性储备。
50 100
ω
−
π
2
ω
− π
3 π − 2
γ =55D
ω g
若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，则取其 最大者来判别系统稳定性。
7
Bode判据与Nyquist判据相比较具有的优点： ①Bode图容易绘制； ②用Bode图上的渐近线可粗略判断系统稳定性； ③用Bode图可找出系统各环节中引起不稳定产生的 主要因素并可合理选择其中参数进行校正； ④调整开环增益K时，对应系统 Bode 图会产生上下 平移，故容易找出系统稳定所需的增益值。
11
5.5 系统的相对稳定性和稳定裕度
相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面 的极点，且闭环系统是稳定的； 乃氏曲线G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系 统的稳定程度越高；反之，G(jω)H(jω)离(－1, j0) 点越近，则闭环系统的稳定程度越低； 如果G(jω)H(jω)穿过(－1, j0)点，则闭环系统处于 临界稳定状态。 稳定裕度：衡量闭环稳定系统稳定程度的指标， 常用的有相角裕度γ和幅值裕度 Kg。
8
10 已知系统开环传递函数 G(s)H(s) = s(0.1s +1) 试用对数判据判别闭环稳定性。
解：绘制系统开环对数频率特性如图
P=0， ωc<ωg 闭环稳定。
9
L(ω )(dB)
系统开环传递函数为
K G ( s) H ( s) = s (Ts + 1)
ω
ω = 1/ T
试用对数稳定判据判 断其稳定性 。
K g = 1 A(ω g )
在Bode图上，增益裕度改以分贝(dB)表示
K g = − 20 lg A (ω g ) = − L (ω g )
16
对于稳定的系统，L(ωg )必在Bode图0dB线以下，这时称 为正增益裕度，如图 (c) 所示。 对于不稳定系统， L(ωg )必在0dB线以上，这时称为负增 益裕度，如图 (d) 所示。
ω
14
相应地，在乃氏图中，γ 即为乃氏曲线与单位圆的交点A 对负 实轴的相位差值。 对于稳定系统，A点必在负实轴以下。如图(a) 所示。 对于不稳定系统，A点必在负实轴以上，如图 (b) 所示。
1 Kg
jY (ω )
jY (ω )
γ
ϕ
X (ω )
γ
ϕ
X (ω )
1 Kg
15
2. 增益裕度Kg 在相频特性等于－180°的频率ωg （穿越频率） 处，开环幅频特性A(ωg)的倒数，称为增益裕 度，记做Kg 。即
γ = 30° ~ 60°
Kg ≥ 2
K g ≥ 6dB
19
④ 对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间 存在唯一的对应关系。上述相角裕度意味着，系统 开 环 对 数 幅 频 特 性 在 剪 切 频 率处的斜率应大于－ 40dB/dec，且有一定宽度。在实际中常取－20dB/dec。 ⑤ 在闭环稳定条件下，稳定裕度越大，反映系统稳定 程度越高。稳定裕度也间接反映了系统动态过程的 平稳性，裕度大意味着超调小、振荡弱，阻尼大。
2.84 − 0 = 40(lg ωc − lg1)
ωc = 1.178s −1
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ωg 的求解
ϕ (ω g ) = −1800
− 900 − tan −1 ω g − tan −1 0.2ω g = −1800 tan −1 ω g + tan −1 0.2ω g = 900 tan −1 ω g = a tan −1 0.2ω g = b
20
单位反馈系统开环传递函数为
K1 G ( s) = s ( s + 1)( s + 5)
分别求取K1= 10及K1= 100时的相角裕度和增益裕度 。 解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。 K1=10时
K1 2 G (s) = = 5s (1 + s )(1 + s 5) s (1 + s )(1 + s 5)
ωc′ = 20 = 4.472
′ ) = 180° − 90° − arctgωc ′ − arctg(ωc ′ 5) = −29.2° γ = 180° + ϕ (ωc
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欲 求 增 益 裕 度 ， 则 须 先 求 出 ωg ， 这 里 给 出 MATLAB计算的值。 sys=tf([10],conv(conv([1 0],[1 1]),[1 5])); margin(sys); figure sys=tf([100],conv(conv([1 0],[1 1]),[1 5])); margin(sys);
2
Nyquist图上单位圆对应Bode图上0分贝线； Nyquist图上负实轴对应Bode图上-1800线。
[GH]
1
(−1, j 0)
Im
4
ω = +∞
ω=0
20lgGH
1
2
ωc
3
4
ω
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2
3
0
Re
0
ωc
-1800
ω g1
ωg 2
ω
Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线 与横轴交点的频率，即输入与输出幅值相等时的频率，称 为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为ωc。 Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线 与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率， 记为ωg。
4
[GH]
1
(−1, j 0)
Im
ω = +∞
ω=0
20lgGH
1
2
ωc
3
4
ω
2
3
0
Re
0
ωc
-1800
ω g1
ωg 2
ω
Bode图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内， 沿 ω 增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿过－ 180°线，称为正穿越 ( 相角增加 ) ；反之，称为负穿越 （相角减少）。 Bode 图上， ϕ (ω) 自－ 180°线开始向上，称为半个正 穿越， ϕ(ω)自－180°线开始往向，称为半个负穿越。
6
（ 1 ）若对数幅频曲线 穿越零分贝线时的相角大 于 -1800 ， 系 统 稳 定 。 反 之，系统不稳定。 （2）若相频曲线穿越1800线时的对数幅频特性 的值为负则系统稳定。反 之，系统不稳定。此时的 对数幅频特性值的负值即 为幅值裕量。
20
dB 16 ω c =7 5 10
1
1 5 d B
L(ω )(dB) L(ω )(dB)
ω
ω
ϕ (ω )(°)
ϕ (ω )(°)
ω ω
在图 (c)中，对数幅频特性还可上移Kg，即开环系统的增益 增加Kg倍，则闭环系统达到稳定的临界状态。 17
在乃氏图中，乃氏曲线与负实轴的交点到原点的距离即为 1/Kg ，它代表在频率ωg处开环频率特性的模。 对于稳定系统，1/Kg＜1，如图(a) 所示； 对于不稳定系统有1/Kg＞1，如图 (b) 所示。
第五章
系统的稳定性
5.1系统稳定性的概念 5.2 Routh稳定判据 5.3 Nyquist稳定判剧 5.4 Bode稳定判剧 5.5系统的相对稳定性
1
5.4 对数频率稳定判据
对数频率稳定判据是乃氏判据的另一种形式，即利用 开环系统的伯德图来判别系统的稳定性。 1. 系统开环频率特性的 Nyquist 图和 Bode 图之间的对应 关系 Nyquist图上以原点为圆心的单位圆 ÅÆ Bode图对数 幅频特性的0分贝线 单位圆以外ÅÆL(ω)>0的部分 单位圆内部ÅÆL(ω)<0的部分 Nyquist 图上的负实轴 ÅÆ Bode 图上相频特性的－ 180°线。
26
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routh判据 系统闭环 传递函数 特征方程
奈氏判据
对数判据
代数判据
几何判据
系统开环 传递函数
频率特性
奈氏图 稳定性判据 绝对稳定性 博德图 系统稳定性 系统闭环传递 函数无右极点 相角裕量 相对稳定性 幅值裕量
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基本环节 奈氏图 博德图 基本环节 奈氏图 频率特性 博德图 基本环节 奈氏图 频率特性 博德图 稳态输出信号（同频率正弦 正弦输入信号 频率特性 奈氏图 博德图 频率特性 信号） 稳态输出信号（同频率正弦 正弦输入信号 频率特性 信号） 稳态输出信号（同频率正弦 正弦输入信号 频率特性 信号） 正弦输 入信号
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对于稳定的系统， ϕ(ωc)必在伯德图－180°线以上，这 时称为正相角裕度，或者有正相角裕度，如图(c) 所示。 对于不稳定系统， ϕ(ωc)必在－180°线以下，这时称为 负相角裕度，如图(d) 所示;
L(ω )(dB) L(ω )(dB)
ω
ω
ϕ (ω )(°)
ω
ϕ (ω )(°)