思维特训(九) 密度

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特训09 相似三角形的基本模型-2021-2022学年九年级数学上学期重难题型思维特训(北师大版)

特训09相似三角形的基本模型【方法点津】几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于我们快速、准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.【典题精练】类型一平行线型如图9-S-1,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图①为“A”字形,图②为“X”字形,它们都是平行线型的基本图形.图9-S-1图9-S-21.如图9-S-2,在▱ABCD中,E是AB延长线上一点,连接DE交AC于点G,交BC于点F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有对.2.如图9-S-3,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.求证:OA2=OE·OF.图9-S-3常见的有如下三种情形:如图9-S-4①,已知∠1=∠B,则结合公共角∠A得△ADE∽△ABC.如图②,已知∠1=∠B,则结合公共角∠A得△ADE∽△ACB.如图③,已知∠B=∠D,则结合对顶角∠1=∠2得△ADE∽△ABC.图9-S-43.如图9-S-5,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD相交于点G.(1)求证:△AED∽△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.图9-S-54.如图9-S-6①,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交BC于点E,过点D作BD⊥AD,垂足为D.(1)若AE=2BD,求证:CA=CB;(2)在(1)的条件下,过点C作CF⊥AE,垂足为F,如图②,直接写出图中所有与△BDE相似的三角形.图9-S-6将图9-S-4②中的DE向下平移使点C与点E重合,则得图9-S-7①,有△ACD∽△ABC,称之为“母子”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90°,CD为斜边上的高(如图②),则有△ACD ∽△ABC∽△CBD.图9-S-7图9-S-85.如图9-S-8,在△ABC中,P为AB上一点,要使△ACP∽△ABC,还需具备的一个条件是_____.6.如图9-S-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,DE的延长线与BC 的延长线交于点F.求证:(1)△FDC∽△FBD;(2)AC·BF=BC·DF.图9-S-9将图9-S-10中的△ADE绕点A旋转一定角度,得到△ABC,称之为旋转型的基本图形.图9-S-107.如图9-S-11,△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°,连接BF.(1)求证:△CAE∽△CBF;(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.图9-S-118.如图9-S-12,设D为锐角三角形ABC内一点,∠ADB=∠ACB+90°.(1)求证:∠CAD+∠CBD=90°;(2)如图②,过点B作BE⊥BD,BE=BD,连接EC,若AC·BD=AD·BC,求证:△ACD∽△BCE.图9-S-12类型五一线三等角型(1)三等角型相似三角形是以等腰三角形或等边三角形为背景的.图9-S-13(2)三直角型相似三角形是以正方形或矩形为背景的.图9-S-149.如图9-S-15,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.图9-S-1510.在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.(1)如图9-S-16①,求证:DE·CD=DF·BE.(2)若D为BC的中点,如图②,连接EF.①求证:ED平分∠BEF;②若四边形AEDF为菱形,求∠BAC的度数及AE AB的值.图9-S-1611.(1)如图9-S-17①,已知AB⊥l,DE⊥l,垂足分别为B,E,C是l上一点,且∠ACD=90°.求证:△ABC∽△CED;(2)如图9-S-17②,在四边形ABCD中,已知∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,AD=55,求BD 的长.图9-S-17特训09相似三角形的基本模型1.5【解析】本题图中有两组平行线,故存在平行线型的基本图形,把它们一一分离出来,如图①~④.又由于△ADE∽△BFE∽△CFD,故共有5对相似三角形.2.证明:∵EC∥AB,∴OA OE=OB OD,∠EDA=∠DAB.∵∠EDA=∠ABF,∴∠DAB=∠ABF.∴AD∥BC.∴∠OBF=∠ODA,∠OFB=∠OAD.∴△OBF∽△ODA.∴OB OD=OF OA.∴OA OE=OF OA.∴OA2=OE·OF.3.证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A是公共角,∴△ABE∽△ACD.∴AE AD=AB AC,即AE AB=AD AC.又∵∠A是公共角,∴△AED∽△ABC.(2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽△CGE.∴DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GDE=∠GBC.∵BE平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE.∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.4.解:(1)证明:如图,延长AC,BD交于点F.∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠ADF=90°.∵AD平分∠CAB,∴∠DAB=∠DAF.又∵AD=AD,∴△ADB≌△ADF.∴BD=FD.∵AE=2BD,∴AE=BF.∵∠ACE=∠BDE=90°,∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠CBF.又∵∠ACE=∠BCF=90°,AE=BF,∴△ACE≌△BCF.∴CA=CB.(2)∵CF⊥AD,BD⊥AD,∴∠CFE=∠D=90°.又∵∠BED=∠CEF,∴△BDE∽△CFE.∵∠ACE=90°,CF⊥AE,∴△CFE∽△ACE∽△AFC∽△BDE.∵∠ACE=∠ADB=90°,∠CAE=∠DAB,∴△ACE∽△ADB.∴△ADB∽△BDE.∴图中与△BDE相似的三角形有△CFE,△ACE,△AFC,△ADB.5.答案不唯一,如∠PCA=∠B【解析】本题为开放题,答案不唯一.注意到△APC与△ACB属于“母子”型基本图形,而∠A为公共角,故还需具备的一个条件是∠PCA=∠B或∠APC=∠ACB或AC2=AP·AB即AC AP=AB AC.6.证明:(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°.又∵E是AC的中点,∴DE=EC.∴∠EDC=∠ECD.∵∠ACB=90°,∠BDC=90°,∴∠ECD+∠DCB=90°,∠DCB+∠B=90°.∴∠ECD=∠B.∴∠FDC=∠B.又∵∠F=∠F,∴△FDC∽△FBD.(2)∵△FDC∽△FBD,∴DF BF=DC BD.∵∠BDC=∠BCA=90°,∠B=∠B,∴△CBD∽△ABC.∴BD BC=DC AC,即DC BD=AC BC.∴DF BF=AC BC.∴AC·BF=BC·DF.7.解:(1)证明:∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,∴AC BC=CE CF=2,∠ACB=∠ECF=45°.∴∠ACE=∠BCF.∴△CAE∽△CBF.(2)∵△CAE∽△CBF,∴∠CAE=∠CBF,AE BF=AC BC=2.又∵AE=2,∴BF=2.∵∠CAE+∠CBE=90°,∴∠CBF+∠CBE=90°.∴∠EBF=90°.∴EF2=BE2+BF2=12+(2)2=3.∴EF=3.∵CE2=2EF2=6,∴CE=6.8.证明:(1)如图,延长CD交AB于点E.∵∠ADE=∠CAD+∠ACD,∠BDE=∠CBD+∠BCD,∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠CAD+∠CBD+∠ACB.又∵∠ADB=∠ACB+90°,∴∠CAD+∠CBD=90°.(2)∵∠CAD+∠CBD=90°,∠CBD+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE.∵AC·BD=AD·BC,BD=BE,∴AC BC=AD BE.∴△ACD∽△BCE.9.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF.∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF,∴BE CF=DE EF.∵E是BC的中点,∴BE=CE.∴CE CF=DE EF,即DE CE=EF CF.又∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE=∠EFC.∴FE平分∠DFC.10.解:(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B.∴∠FDC=∠DEB.∴△BDE∽△CFD.∴DE DF=BE CD,即DE·CD=DF·BE.(2)①证明:同(1)可证△BDE∽△CFD,∴BE CD=DE DF.∵D为BC的中点,∴BD=CD.∴BE BD=DE DF,即BE DE=BD DF.又∵∠B=∠EDF,∴△BDE∽△DFE.∴∠BED=∠DEF.∴ED平分∠BEF.②∵四边形AEDF为菱形,∴∠AEF=∠DEF,AE=AF=DE.又∵∠BED=∠DEF,∴∠AEF=∠BED=∠DEF=60°.又∵AE=AF,∴∠BAC=60°.又∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形.∴∠B=60°.∴△BED是等边三角形.∴BE=DE.又∵AE=DE,∴AE=12AB.∴AE AB=12.11.解:(1)证明:∵AB⊥l,DE⊥l,∴∠ABC=∠CED=90°,∠ACB+∠BAC=90°.∵∠ACD=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°.∴∠BAC=∠ECD.∴△ABC∽△CED.(2)如图,连接AC.∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=AB2+BC2=5.又∵AD=55,CD=10,∴AC2+CD2=AD2.∴∠ACD=90°.过点D作DE⊥BC交其延长线于点E.由(1)得此时△ABC∽△CED,∴CE AB=DE BC=CD AC=2.∴CE=6,DE=8.在Rt△BDE中,BD=BE2+DE2=(4+6)2+82=241.。

小学一年级数学思维提升特训题+答案

思维训练题1、A、B、 C 三名运动员在一次运动会上都得了奖。

他们各自参加的项目是篮球、排球和足球。

现在我们知道：(1)A 的身材比排球运动员高；(2)足球运动员比 C 和篮球运动员都矮。

请你想一想：A 是( )运动员，B 是( )运动员，C 是( )运动员。

2、爸爸买了 3 个皮球，两个红的，一个黄的。

哥哥和妹妹都想要。

爸爸叫他们背对着背坐着，爸爸给哥哥塞了个红的，给妹妹塞了个黄的，把剩下的一个球藏在自己背后。

爸爸让他们猜他手里的球是什么颜色的，谁猜对了，就把球给谁。

那么，谁一定能猜对呢 ? ( )。

3、小菲、小南、小阳三个小朋友，分别戴着红、黄、蓝三顶帽子，排着队儿向前走，谁也不回头。

小南能看见一顶红帽子和一顶黄帽子，小菲只能看到一顶黄帽子，而小阳一顶帽子也看不到。

你知道走在第一个的是谁 ?谁又走在第二个 ?最后一个又是谁呢 ?他们又各自戴着什么颜色的帽子呢 ? ( )走在第一个，戴着( )帽子；( )走在第二个，戴着( )帽子；( )走在最后，戴着( )帽子；4、黑兔、灰兔和白兔三只兔子在赛跑。

黑免说：“我跑得不是最快的，但比白兔快。

”请你说说，谁跑得最快 ?谁跑得最慢 ? ( )跑得最快，( )跑得最慢。

5、三个小朋友比大小。

根据下面三句话，请你猜一猜，谁最大 ?谁最小？(1) 芳芳比阳阳大 3 岁；(2) 燕燕比芳芳小 1 岁；(3) 燕燕比阳阳大 2 岁。

( )最大，( )最小。

6、根据下面三句话，猜一猜三位老师年纪的大小。

(1) 王老师说：“我比李老师小。

”(2) 张老师说：“我比王老师大。

”(3) 李老师说：“我比张老师小。

”年纪最大的是( )，最小的是( )。

7、光明幼儿园有三个班。

根据下面三句括，请你猜一措，哪一班人数最少 ?哪一班人数最多 ?(1) 中班比小班少；(2) 中班比大班少；(3) 大班比小班多。

( )人数最少，( )人数最多。

8、三个同学比身高。

甲说：我比乙高；乙说：我比丙矮；丙：说我比甲高。

思维特训(一) “填幻方”问题-文档资料

思维特训(一)“填幻方”问题方法点津·一、杨辉法中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1－S－1.九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．图1－S－1也就是将1～9九个自然数依次斜排为三行三列(如图①)，再把上下两个数(1和9)对换，左右两个数(7和3)对换(如图②)，最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方(如图③)．注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了．二、口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方．具体解释如下：如图1－S－2，“一填首行正中央”，指的是1～9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方．对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方．这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方．图1－S－2典题精练·1．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有数目(个数为1～9)不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1－S－3给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是()图1－S－3图1－S－42．在3×3的方格上做填字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图1－S－5所示，若要填成，则S＝________.图1－S－53．教材在七年级数学(上册)的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图”．如图1－S－6，根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的规律将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数字和相等．图1－S－64．将5，7，9，11，13，15，17，19，21填入如图1－S－7所示的小方格中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．图1－S－75．试将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6填入如图1－S－8所示的3×3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等．图1－S－86．将－15，－12，－9，－6，－3，0，3，6，9填入如图1－S－9所示的3×3方格中，使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.图1－S－97．图1－S－10是一个3×3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．如何把9个连续整数迅速填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题．古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法．图①是把－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法．(1)请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3×3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．第一组：6，5，4，3，2，1，0，－1，－2；第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；第三组：－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8.图1－S－10(2)拓展探究：在图1－S－11所示的9个空格中，填入5个2和4个－2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.图1－S－11(3)拓展探究：将25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这25个数分别填入图1－S－12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等.图1－S－12详解详析1．C2．30[解析] 如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，所以x ＋10＋y＝8＋y＋13，所以x＝11.所以b＋11＋a＝8＋10＋a，所以b＝7，所以S＝b＋10＋13＝30.3.解：填法不唯一，如图：4．解：填法不唯一，如图：5．解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下：故答案如下：6.解：填法不唯一，填图如下：7.解：(1)如图所示(填法不唯一)：(2)填法不唯一，填写如图所示：(3)填写如图所示(填法不唯一)：。

思维特训(九) 抛物线背景下线段和(差)的最值问题

思维特训(九) 抛物线背景下线段和(差)的最值问题类型一二次函数中的“饮马问题”基本原理：两点之间，线段最短．解题思路：利用抛物线自身的轴对称性找到抛物线上某点关于对称轴的对称点，实现化“折”为“直”，再结合函数的相关知识解决．1．如图9－1，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设P 是直线l 上的一个动点，当PA＋PC 最小时，求点P 的坐标．图9－12．如图9－2，抛物线y＝ax2＋bx＋3 经过A(1，0)，B(4，0)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．图9－23．如图9－3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与x 轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)PQ 是该抛物线对称轴l 上的动线段，且PQ＝1，求PC＋QB 的最小值．图9－3类型二二次函数中线段差的最大值问题基本原理：三角形任何两边之差小于第三边．解题思路：先根据原理确定线段差的最值问题时的图形，再根据已知条件进行求解．4．如图9－4，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A(3，0)，B(1，0)，交y 轴于点C，P 是该抛物线上一动点，点P 从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 不与点A，C 重合)，过点P 作PD∥y 轴交直线AC 于点D.(1)求抛物线的解析式．(2)当D 在线段AC 上运动时，求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－45．2016·眉ft已知：如图9－5，在平面直角坐标系xOy 中，A，B，C 分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，(1)求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM－AM|取最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．图9－56．已知：如图9－6，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 3＋6 与x 轴、y 轴的交点＝－4x分别为A，B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C.(1)直接写出点C 的坐标，并求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)若(1)中抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5 个单位长度，则图象与x 轴交于G，N(点G 在点N 的左侧)两点，交y 轴于点E，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q 到E，N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－63 典题讲评与答案详析 1．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－1，0)，B (3，0)，⎧0＝a －b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1，解得⎨⎩0＝9a ＋3b ＋3， ⎩b ＝2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴对称轴为直线 x ＝1.∵A ，B 是抛物线与 x 轴的交点，∴点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA ＋PC 最小时，点 P 就是直线 BC 与直线 l 的交点(如图)．∵B (3，0)，C (0，3)，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－x ＋3.∵点 P 在直线 l 上，∴点 P 可设为(1，m )．将(1，m )代入 y ＝－x ＋3，可得 m ＝2，∴P (1，2)．2．解：(1)由已知，得⎧a ＋b ＋3＝0， ⎧a ＝4， ⎨ 解得⎨ 15 ⎩16a ＋4b ＋3＝0， ⎩b ＝－ 4 . ∴抛物线的解析式为 y 3 2 15＋3.＝4x － 4 x(2)∵A ，B 关于对称轴对称，如图，连接 BC ，∴BC 与对称轴的交点即为所求的点 P ，此时 PA ＋PC ＝BC ，∴四边形 PAOC 的周长的最小值为 OC ＋OA ＋BC .∵A (1，0)，B (4，0)，C (0，3)， ∴OA ＝1，OC ＝3，BC ＝ OB 2＋OC 2＝5，∴OC ＋OA ＋BC ＝3＋1＋5＝9，∴在抛物线的对称轴上存在点 P ，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 9.3．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－3，0)，B (1，0)，⎧0＝a ＋b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1， ∴⎨⎩0＝9a －3b ＋3， ⎩b ＝－2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.(2)过点 C 作直线 l 的对称点 E ，过点 E 作 EG ⊥AB 于点 G ，过点 Q 作 QF ∥PE ，交 EG 于点 F ，连接 FB ，如图，则有 PC ＝PE ，EF ∥PQ .∵EF ∥PQ ，QF ∥PE ，∴四边形 EFQP 是平行四边形，∴EF ＝PQ ＝1，PE ＝FQ ，∴PC ＝FQ ，∴PC ＋QB ＝FQ ＋QB ，根据两点之间线段最短可得 FQ ＋QB (即 PC ＋QB )的最小值为 FB .∵抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 的对称轴为直线 x ＝－1，C (0，3)，∴点 E 的坐标为(－2，3)， ∴点 F 的坐标为(－2，2)．在 Rt △FGB 中，FG ＝2，GB ＝1－(－2)＝3，根据勾股定理可得 FB ＝ FG 2＋GB 2＝ 13.∴PC ＋QB 的最小值为 13.4．解：(1)∵抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 过点 A (3，0)， B (1，0)， ⎧9＋3b ＋c ＝0， ⎧b ＝－4， ∴⎨ ⎩1＋b ＋c ＝0，解得⎨ ⎩c ＝3， ∴抛物线的解析式为 y ＝x 2－4x ＋3. (2)令 x ＝0，则 y ＝3，∴点 C (0，3)，则直线 AC 的解析式为 y ＝－x ＋3. 设点 P (x ，x 2－4x ＋3)．∵PD ∥y 轴， ∴D (x ，－x ＋3)， ∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x 3 2 9 ．∵a ＝－1＜0，∴当 x 3 －2) ＋4(0<x <3) PD 的长度有最大值9＝2时，线段 4.(3)∵抛物线的对称轴垂直平分 AB ，∴MA ＝MB .由三角形的三边关系，可知|MB －MC |＜BC ，∴当 M ，B ，C 三点共线时，|MB －MC |的值最大，为 BC 的长度．设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)，⎧k ＋m ＝0， ⎧k ＝－3，则⎨ ⎩m ＝3，解得⎨⎩m ＝3，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－3x ＋3.∵抛物线 y ＝x 2－4x ＋3 的对称轴为直线 x ＝2，∴当 x ＝2 时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴M (2，－3)，即抛物线的对称轴上存在点 M (2，－3)，使|MA －MC |的值最大．5．解：(1)设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c .3 ⎧ ＝－4，， ⎨ 由题意易知 A (1，0)，B (0，3)，C (－4，0)，⎧a ＋b ＋c ＝0， ∴⎨c ＝3， ⎩16a －4b ＋c ＝0，⎧a 3 解得⎨b9 ⎩＝－4， c ＝3， ∴经过 A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为 y ＝－3 2 9 ＋3.(2)存在．∵OB ＝3，OC ＝4，OA ＝1，∴BC ＝AC ＝5，AB ＝ 10. 如图，当 BP 綊 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，∴BP ＝AC ＝5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB ，∴点 P 的坐标为(5，3)．4x －4x当点 P 在第二、三象限时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点 P 的坐标为(5，3)时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形．(3)设直线 PA 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)．∵点 A (1，0)，P (5，3)在直线 PA 上，⎧k ＝， ⎧5k ＋m ＝3，4 ∴⎨ ⎩k ＋m ＝0，解得⎨ ⎩m ＝－3 4 ∴直线 PA 的解析式为 y 3 3＝4x －4.当点 M 与点 P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系，知|PM －AM |<PA ，当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |＝PA ，∴当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |的值最大，即 M 为直线 PA 与抛物线的交点． 3 3 y ＝ x －，解方程组 4 4 3 9 ⎩y ＝－4x 2－4x ＋3， ⎧x 1＝1，⎧⎪x 2＝－5，得⎨ ⎨ 9 ⎩y 1＝0，⎪⎩y 2＝－2， ∴点 M 的坐标为(1，0)或(－59 时，|PM －AM |的值最大．此时|PM －AM |的最大值为 5.6．解：(1)如图①，连接 CH .，－2)由轴对称的性质，得 CH ⊥AB ，BH ＝BO ，CH ＝CO ，∴在 Rt △CHA 中，由勾股定理，得4 AC 2＝CH 2＋AH 2. ∵直线 y 3 ＋6 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A ，B ，＝－4x ∴当 x ＝0 时，y ＝6，当 y ＝0 时，x ＝8， ∴B (0，6)，A (8，0)， ∴BO ＝6，OA ＝8，在 Rt △AOB 中，由勾股定理，得 AB ＝10. 设 C (p ，0)，则 OC ＝p ， ∴CH ＝p ，AH ＝4，AC ＝8－p ， ∴(8－p )2＝p 2＋42，解得 p ＝3，∴C (3，0)．设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c . ⎧a 1 ⎧6＝c ，＝4，由题意，得⎨64a ＋8b ＋c ＝0，解得⎨b 11 ⎩0＝9a ＋3b ＋c ，＝－， ⎩c ＝6， ∴抛物线的解析式为 y 1 2 11x ＋6. ＝4x － 41 2 11 1⎛x 11⎫ (2)不存在．理由：如图②，设抛物线对称轴交 x 轴于点 F .∵y ＝4x － 4 x ＋6＝4⎝ － 2 ⎭ 2 25 －16， ∴ 11 25 25 D ( 2 ，－16)，∴DF ＝16. 设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b ′，则有 ⎧6＝b ′， ⎨ ⎧k ＝－2，解得⎨ ⎩0＝3k ＋b ′， ⎩b ′＝6， ∴直线 BC 的解析式为 y ＝－2x ＋6. 设存在点 P 使四边形 ODAP 是平行四边形，P (m ，n )．过点 P 作 PM ⊥OA 于点 M ，则∠PMO ＝∠AFD ＝90°，PO ＝DA ，PO ∥DA ， ∴∠POM ＝∠DAF ，∴△OPM ≌△ADF ， ∴PM ＝DF ＝n 25 25 2m ＋6，＝16，∴16＝－ ∴m 71 ＝32，但 OM ＝AF ＝8 11 5 71 － 2 ＝2≠32， ∴点 P 不在直线 BC 上，即直线 BC 上不存在满足条件的点 P . (3)由题意得，平移后的抛物线的解析式为 y 1 －2)225 为直线 x ＝2.＝4(x －16，∴平移后抛物线的对称轴1 9∴⎨9当x＝0 时，y＝－16；当y＝0 时，01(x－2)225＝41 9解得x1＝－，x2＝.－16，2 2∵点G 在点N 的左侧，∴G(19 9－2，0)，E(0，－16)，N(2，0)．如图③，连接EG，直线EG 交直线x＝2 于点Q，则此时点Q 到E，N的距离之差最大．设直线EG 的解析式为y＝k0x＋b0，则⎧0＝－2k0＋b0，⎧k0＝－8，⎨9 解得⎨9⎩b0＝－16，⎩b0＝－16，∴直线EG 的解析式为y＝－9 9⎧y 9 9 8x－16，⎧x＝2，⎪＝－8x－16，⎪解得⎨ 45⎪⎩x＝2，∴Q(2 45 ．⎪⎩y＝－16，，－16)。

七年级数学(上)思维特训(9)：整式加减中的“无关”问题(含答案)

思维特训(九)整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a ＝－3时，求整式7a 2－[5a －(4a －1)＋4a 2]－(2a 2－a ＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a ＝－3看成了a ＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.。

【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第9集《应用题综合》(附试题+答案解析)

四年级数学上册《应用题综合（一）》思维特训案例班级：姓名：效果：例1.一人看见山上有一群羊，他自言自语道：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半．又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那一只，一共有100只羊。

”山上的羊群共有（）只。

例2.2011年3月11日，日本发生里氏9级大地震．在3月15日，日本本州岛东海岸附近海发生5级地震，已知里氏地震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月1 5日东海岸地震的（）倍．例3.上午黑猩猩推着两筐桃子去集市卖，大筐有400个，小筐有240个，到了中午，两筐都卖了相等个数的桃子，剩下桃子的数量大筐恰好是小筐的5倍，上午共卖出了（）个桃子。

例4.一张试卷共有21道题，答对一道得8分，答错一道扣6分．小明答完了所有的题目，却得了零分，他答对（）道题．例5.已知7个红球和5个白球共重43克，5个红球和7个白球共重47克，那么4个红球和8个白球共重（）克。

例6.甲、乙、丙三条公路，甲公路的长度是乙公路的3倍，乙公路的长度比丙公路的2倍少25千米，甲公路的长度比丙公路长240千米，甲公路长（）千米，乙公路长（）千米，丙公路长（）千米，例7.某班43名同学围成一圈．由班长起从1开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学起从1开始连续报数，结果第一个演节目的是小明，第二个演节目的是小强．那么小明和小强之间有（）名同学．例8.几个小朋友在一起做游戏，选一个小朋友做队长，男孩做队长时，队员中女孩比男孩多一倍；女孩做队长时，队员中男孩和女孩一样多．男孩有（）人，女孩有（）人．例9.柯南家2008年一年用电10200千瓦时，上半年的月平均用电比下半年的月平均用电少100千瓦时．柯南家下半年月平均用电为（）千瓦时．例10.某校男老师的平均年龄是27岁，女老师的平均年龄是32岁，全体老师的平均年龄是30岁．如果男老师比女老师少13名，那么该校共有（）名老师．例11.喜羊羊等一群小羊割了一堆青草准备过冬吃．他们算了一下，平均每只小羊割了45千克．如果除了他们自己外，再分给慢羊羊村长一份，那么每只小羊可分得36千克．回到村里，懒羊羊走来，也要分一份，这样一来，每只小羊就只能分得（）千克草了．例12.某汽车厂同时建成两条生产线．第一条生产线第一个月生产了1000辆汽车，以后每个月比前一个月多生产100辆；第二条生产线第一个月也生产了1000辆汽车，以后每半个月比前半个月多生产50辆．那么，该厂生产20000辆汽车需（）个月．例13.某校学生总人数比四年级人数的6倍少78人，并且除了四年级外其他各年级的学生人数总和力2222人，那么该校共有学生（）人．例14.如下图所示，有海、陆、空三个兵种组成的仪仗队，每兵种队伍有400人，都平均分成8竖行并排前进，海军前后两排间隔1米，陆军前后两排间隔2米，空军前后两排间隔3米，各兵种队伍之间相隔5米，三兵种士兵每分钟都走90米，仪仗队通过检阅台需4分钟．那么检阅台总长为（）米．8竖行例15.某商场有一些糖果，其中水果糖每千克5.6元，奶糖每千克7.2元，巧克力每千克8.8元．奶糖比水果糖少3千克，比巧克力多2千克，这些糖果平均价格每千克7元．那么，巧克力有（）千克．例16. 宁宁、蕾蕾和凡凡三人合租一辆轿车从学校回家（见下图）．他们约定：共同乘坐的部分所产生的车费由乘坐者平均分摊；单独乘坐的部分所产生的车费，由乘坐者单独承担，结果，三人承担的车费分别为10元、25元、85元．宁宁家距离学校12公里，凡凡家距离学校（）公里。

中考物理专题《质量与密度计算题》特训提升培优原卷

专题02 质量与密度计算题专题特训学生（提升培优）二、计算题31．（2021·江苏徐州·八年级期中）细心的小明发现寒冷的冬天在室外的盛水缸常常被裂，如图所示，是什么原因呢？请你帮他做个计算：一个容积为0.18m3的水缸盛满水，则缸中（g取10N/kg）（1）水的重力是多少N？（2）水全部结冰后，冰的体积是多少m3？（浮=0.9×103kg/m3）32．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）小明利用天平和烧杯测量某种液体的密度，得到的数据如表所示。

（1）根据数据绘出图像，并指出图线与m轴交点的物理意义。

（2）液体的密度是多大？33．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）有个体积为0.5 dm3的铁球，其质量为1.58 kg，问：（1）它是实心的还是空心的？（ρ铁＝7.9×103 kg/m3）（2）若它是空心的，空心部分的体积是多大？34．（2021·吴江市高级中学八年级月考）酒的度数表示每100毫升酒液中所含酒精量的毫升数，若现有60度和30度的酒液若干，酒液中的微量元素忽略不计，不考虑酒液混合后体积减少。

求：（1）60度酒液的密度。

（2）如果用这两种酒液进行勾兑，获得42度、1000mL的酒液，那么需要这两种酒液各多少毫升。

（已知ρ酒精＝0.8×103kg/m3，ρ水＝1.0×103kg/m3，不考虑酒液混合后体积减小）（3）我国法律规定：当驾驶员每100mL血液中的酒精含量大于或者等于20mg，小于80mg的驾驶行为，就属于饮酒驾驶；当驾驶员每100mL血液中的酒精含量大于或者等于80mg的驾驶行为，就属于醉酒驾驶。

一个质量为60kg的人体血液总量约为4000mL，则一个60kg的人只要喝了多少毫升的40度白酒就会达到饮酒驾驶的标准?（酒精的密度为0.8×103kg/m3，设人饮酒后酒精全部进入血液，且血液总体积不变）35．（2021·江苏苏州·八年级期中）小聪家最近装修房子，买来一车体积为35m的沙子堆m=的桶，用这只在家门口，为了帮助爸爸估测这堆沙子的质量，他找来一只质量11kgm=；再用这只桶平平地装满一桶沙子，测得桶装满一桶水，测得水和桶的总质量27kgm=。

思维特训(二) 四冲程内燃机

思维特训(二) 四冲程内燃机|典|例|分|析|四冲程内燃机中的计算例 2021·内江汽车的发动机工作时，吸入汽缸的汽油和空气的比例，决定了汽车的动力性能和经济性能。

某汽车四冲程汽油发动机的汽缸总排量为2 L (发动机每个工作循环吸入或排出的流体体积称为汽缸排量)，发动机工作时，吸入汽缸的是由汽油和空气所形成的混合物，混合物的密度ρ＝1.44 kg /m 3，汽油和空气的质量比为1∶15，汽油的热值q ＝4.5×107 J /kg 。

假如发动机曲轴在1 min 内转动3×103转，发动机的效率为40%，那么，在这种情况下：(1)汽车在1 min 内做的有用功是多少？(2)汽车在平直的公路上匀速行驶时受到的阻力为f ＝3×103 N ，汽车行驶的速度是多少？[答案] (1)发动机转速为3×103 r /min ，那么每分钟完成的工作循环数为1500个，其中吸气冲程1500个，吸入的混合气的体积为1500×2 L ，根据空气和汽油的质量比为15∶1可知，汽油的质量占这些混合气体质量的116。

每分钟吸入汽油的质量：m ＝116ρV ＝116×1.44 kg /m 3×1500×2×10－3 m 3＝0.27 kg ；这些汽油完全燃烧放出的热量：Q 放＝qm ＝4.5×107 J /kg ×0.27 kg ＝1.215×107 J ；汽车在1 min 内做的有用功：W ＝Q 放η＝1.215×107 J ×40%＝4.86×106 J 。

(2)汽车在1 min 内做的有用功的功率：P ＝W t ＝4.86×106 J 60 s＝8.1×104 W 。

因为汽车匀速行驶，所以汽车受到的阻力与牵引力是一对平衡力，大小相等，即F ＝f ＝3×103 N ，根据P ＝Fv 可得，汽车行驶的速度：v＝PF＝8.1×104W3×103N＝27 m/s。

2022-2023学年八年级物理上学期专题期末特训特殊方法测量物质密度

特殊方法测量物质密度1、某同学为了测量碎玻璃和沙石的密度，用一只质量为1 kg的空桶装满水，测得桶和水的质量为11 kg，再将1 kg的碎玻璃放入盛满水的水桶中，水溢出后测得剩余质量为11.6 kg。

另取一只完全相同的空桶，在桶里装满沙石，测得桶和沙石的质量为29 kg。

已知ρ水＝1.0×103 kg/m3，下列说法错误的是() A．沙石的密度比水的大B．桶的容积是0.01 m3C．碎玻璃的密度为2.5×103 kg/m3D．沙石的密度小于2.8×103 kg/m32、一次实验课上，老师提供给同学们下列器材：一架已调好的天平(无砝码)、两个完全相同的烧杯、一个量筒、水、滴管，要求用上述器材来测一个合金块的密度。

某同学设计好实验方案后，进行如下操作：(1)将两个空烧杯分别放在天平的左右两盘内，把合金块放在左盘烧杯内。

(2)_______________________________，直到天平平衡。

(3)将右盘烧杯内水全部倒入空量筒中，测出水的体积(如图甲所示)，用细线拴好合金块，将其放入如图甲的量筒中，测量水和合金块的总体积(如图乙)，则合金块的密度为________kg/m3。

(4)评估：测出的合金块密度值与真实值相比偏小，其原因是________________________________________。

3、如图所示，是测量酱油密度的实验。

(1)水的质量是________g，水的体积是________ cm3。

(水的密度为1.0 g/cm3)(2)酱油的质量是________ g，酱油的体积是________ cm3，酱油的密度是______ g/cm3。

4、小明用天平和量筒测量一个外形不规则且不溶于水的固体的密度(已知该固体的密度小于水的密度)。

测量过程如下：(1)将天平放在水平桌面上，把游码调至标尺左端的零刻度线处，调节平衡螺母，使指针指在分度盘的________，天平平衡。

思维特训物态变化

思维特训物态变化|典|例|分|析|不同温标的同一温度计例 1 一支水银温度计连水银泡总长10 cm ，最大刻度A 处离顶部2 cm 。

将此温度计放入35 ℃的温水中，液面升到B 处，B 离顶部6.2 cm ，如图1－TX －1所示。

再将此温度计放入40 ℃的热水中，液面升至离顶部3.2 cm 处。

此温度的最大刻度值是________，表示人体正常体温的刻度值位置距顶部________cm 。

图1－TX －1[解析] 由题意可知：B 处代表35 ℃，B 离顶部6.2 cm ；再将此温度计放入40 ℃的热水中，液面升至离顶部3.2 cm 处，那么温度升高5 ℃时，液柱升高3 cm ，即1 cm 代表的温度是53 ℃。

而A 与B 的距离为6.2 cm －2 cm ＝4.2 cm ，那么A 处的温度，即最大刻度值为35 ℃＋4.2×53 ℃＝42 ℃。

由于人体的正常体温为37 ℃，那么以B 处的35 ℃为起点，得出37 ℃处距离顶端的距离为6.2 cm －37 ℃－35 ℃53 ℃/cm ＝5 cm 。

[答案] 42 ℃ 5拓展实验题——含盐的冰熔化时的特点例 2 雪灾给人民的生活、生产带来很多困难。

小亮看到抢险队员在冰雪覆盖的道路上洒大量的盐，他产生了这样的疑问：含盐的冰熔化时跟纯净的冰熔化时的特点有何不同？为此，他进行了以下探究过程：他用同样多的纯水、淡盐水、浓盐水制得纯冰、淡盐冰、浓盐冰，然后将这些冰弄碎放入试管中，在碎冰块中插入温度计，记下此时温度计的示数。

每隔0.5分钟记录一次温度计的示数，同时观察试管中冰块状态的变化。

在选择冰块吸热方式时有如图1－TX －2甲所示的三种方法，请你为他选择一种最正确的方法。

你选择的方法是________(选填〝A 〞〝B 〞或〝C 〞)。

选择这种方法的好处是________。

(当时的室温大约是10 ℃)图1－TX －2在相同条件下测量三者的温度变化，得到三条温度变化曲线(纯冰对应曲线①、淡盐冰对应曲线②、浓盐冰对应曲线③)。

逻辑思维要怎么锻炼

逻辑思维要怎么锻炼逻辑思维锻炼思维能力的训练是一种有锻炼目的、有计划、有系统的教育社交活动。

对它的作用不可轻估。

人的天性对思维能力具有影响力，但后天的教育与训练对思维能力的影响更大、更深。

许多研究成果暗示着，后天环境能在很大程度上造就一个新人。

思维能力的写作技巧训练主要目的是改善思维品质，提高师生的思维能力，只要能实际训练中把握住思维品位，或进行有的放矢的努力，就能顺利地卓有成效地坚持下去。

思维并非神秘之物，尽管看不见，摸不着，来无影，去无踪，但它还是实实在在，有特点、有品质的普遍心理现象。

(1)推陈出新训练法当看到、听到或者接触到一件事情、一种事物时，应当尽可能赋予它们的新的性质，摆脱旧有方法束缚，运用新观点、新方法、新结论，反映出独创性，按照这个采取思路对学生进行思维方法特训，往往能收到大行其道的方若县结果。

(2) 聚合抽象训练法把所有感知到的对象依据一定的标准聚合起来，显示出它们的共性和本质，这能增强学生的创造性思考思维活动。

这个训练方法首先要对感知材料形成总体轮廓认识，从感觉上为发现十分突出的特点;其次要从感觉到共性问题中肢解分析，形成若干分析群，进而抽象出本质特征;再次，要对抽象出来的事物本质进行概括性描述，最后形成具有指导意义的理性成果。

(3) 循序渐进训练法这个训练法对学生的思维很有裨益，能增强领袖的分析思维能力和预见思维能力能力，能够保证领导者事先对某个设想进行严密的思考，在思维倚靠上借助于逻辑推理的形式，把结果推导出来。

(4) 生疑提问训练法此训练法是对事物或过去一直被人认为是正确的东西或某种固定的思考模式敢于并且善于或提出新观点和和兰新建议，并能运用各种证据，证明上新结论的正确性。

这也标志着一个学生创新能力的高低。

训练方法是：首先，每当观察到一件事物或仔细分析现象时，无论是初次还是多次接触，都要问为什么，并且养成习惯;其次，每当遇到工作中的环境问题时，尽可能地尽可能寻求其他自身运动的规律性，或从不同角度、不同方向变换观察同一问题，以免被知觉假象所迷惑。

利用浮力测密度！（附上密度、浮力的思维导图）

利用浮力测密度！（附上密度、浮力的思维导图）
物质的密度、液体浮力的知识导图，就在这里啦！
物质的质量与密度
液体浮力
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【初中数学】人教版七年级下册思维特训（十九）古代数学问题(练习题)

人教版七年级下册思维特训（十九）古代数学问题(355)1.被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集并且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．则雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题2.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”意思是:有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x个、y人，则可以列方程组．3.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．则绳长、井深各是多少尺？”4.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思如下：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间，房客多少人；(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间及以上，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？5.二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果各几个．”计算可得甜果、苦果的个数分别是（）A.648，352B.650，350C.657，343D.666，3346.《一千零一夜》中一段文字翻译如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多．”则树上、树下共有只鸽子7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．在《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．则木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺，则可列出方程组为8.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．9.下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．则共有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A.{8x−3=y，7x+4=y B.{8x+3=y，7x−4=yC.{y−8x=3，y−7x=4D.{8x−y=3，7x−y=410.《九章算术》是我国古代编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①②所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是{3x+2y=19，x+4y=23.类似地，图②所示的算筹图我们可以表述为．11.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术方程式．其中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，的钱给乙，则乙的钱数也为50，甲、乙二人各有则甲的钱数为50；而甲把其23多少钱？”请你解答以上问题参考答案1.【答案】:解：设雀、燕每只分别重x斤、y斤．根据题意，得{4x+y=5y+x，5x+6y=1，解得{x=219，y=338．答：雀、燕每只分别重219斤、338斤.2.【答案】:{x+y=100，3x+y3=1003.【答案】:解：设井深x尺，绳长为y尺．依据题意，得{y=3(x+4)，y=4(x+1)，解得{x=8，y=36.答：井深8尺，绳长36尺. 4(1)【答案】设该店有客房x间，房客y人，根据题意,得{7x+7=y,9(x−1)=y,解得{x=8,y=63.答：该店有客房8间，房客63人(2)【答案】若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320(钱)；若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8=288(钱)<320钱．答：若诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算5.【答案】:C【解析】:设甜果、苦果的个数分别是x和y．根据题意，得{x+y=1000，119x+47y=999，解得{x=657，y=343.则甜果、苦果的个数分别是657和3437.【答案】:{y−x=4.5，x−12y=18.【答案】:设鸡有x只，兔有y只．依题意，得{x+y=35,2x+4y=94,解得{x=23,y=12.答：鸡有23只，兔有12只.9.【答案】:A10.【答案】:{2x+y=11，4x+3y=27【解析】:第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程组为{2x+y=11，4x+3y=27.11.【答案】:解：设甲持钱数为x，乙持钱数为y．根据题意，得{x+y2=50，y+23x=50，解得{x=37.5，y=25.答：甲、乙二人原来分别持钱37.5,25.。

等量思维轻松解决利用浮力测密度问题

等量思维轻松解决利用浮力测密度问题发表时间：2020-11-18T15:25:50.313Z 来源：《中国教师》2020年17卷第21期作者：詹京都[导读] 通过对几个例子的分析，展示了如何快速用等量思维解决测固体密度和液体密度的问题，詹京都广东省佛山市佛山市华英学校 528000摘要：通过对几个例子的分析，展示了如何快速用等量思维解决测固体密度和液体密度的问题，从而培养学生利用等量思维的能力。

关键词：浮力，密度，等量浮力知识是初中物理知识的重点、也是难点，特别是浮力的应用——利用浮力测密度，更是令学生感到头痛的问题。

其实难只难在一点：学生缺乏寻找等量的思维和习惯。

什么是等量？等量是指大小相等的物理量，即不同的时刻、不同的情景当中大小相等的物理量。

例如，用同一矿泉水瓶装满水，然后把水倒掉再装满食用油，等量是水和油的体积；把同一石块，浸没在水当中和浸没在食用油当中，等量是石头排开水和排开食用油的体积；把一木块放入水中漂浮，等量是木块受到的浮力和木块的重力。

初中物理利用浮力测密度，主要有两种类型：一是测固体的密度；二是测液体的密度。

下面我们看看，如何用等量思维快速的想出测物体密度的方法。

1 测固体密度例1：给你弹簧测力计、烧杯、细线、水，如何测量一个小金属块的密度？（水的密度已经为ρ水）分析：金属块的密度，要算金属块密度，只要求出金属块的质量和体积即可。

质量，用弹簧测力计测出金属块的重力，就可算出。

金属块的体积怎么求呢？这是经常卡住学生的地方，其实只要找出等量即可。

当金属块浸没在水中时，等量是金属块的体积和金属块排开水的体积的体积，而，用学生所熟悉的称重法（F浮=G-F拉）测出浮力就解决问题了。

测量步骤：（1）用细线绑住金属块，用弹簧测力计测出它的重力G金；（2）烧杯装适量水，让小金属块浸没在水中，读出弹测力计的示数F；推导过程：本题的难点是求金属块的体积V金，V金=V排就是解题的关键节点。

思考问题的时候往哪两个物理量是等量这个方向想。

人教版八年级物理上册《密度》基础思维课件(原创)

密度
基础思维课件
考情分析
对本知识点中考考查的重点是对密度的理解,运用密度的计算式分析问题。
思维导图
思维导图解读
1.探究同种物质的质量与体积的关系
(1)实验步骤 ①取大小不同的若干铝块,分别用天平测出它们的质量,用刻度尺测出边长后算出它们的体积; ②分别求出质量与体积的比值; ③将测量、计算的数据填入表格中; ④以体积V为横坐标,以质量m为纵坐标,在方格纸上绘出质量随体积变化的图象; ⑤换两个大小不同的铁块或木块,重复上面的步骤。 (2)实验结论同种物质,质量与体积的比值一定;不同物质,其比值一般不同。
思维导图解读
3.密度的计算公式
思维导图解读
3.密度的计算公式
思维导图解读
3.密度的计算公式
典例精析
【例3】(四川中考)甲、乙两种物质的质量和体积关系如图所示,由图象可知( D )
A.ρ甲>ρ乙 B.ρ甲<ρ乙 C.若V甲=V乙,则m甲<m乙 D.若m甲=m乙,则V甲>V乙
典例精析
【例4】一只容器能装下1 kg水,它一定也能装下1 kg( D )
A.煤油
B.汽油
C.酒精
D.酱油
谢谢
思维导图解读
2.密度
(3)影响密度的因素 ①温度:一般来说,物体受热膨胀,遇冷收缩,即温度变化时体积改变,因此物质的密度在温度升高时会变小,在温度降低时会变大。(水例外,它在4 ℃时密度最大。) ②状态:物体发生物态变化时体积会发生改变,物质的密度也会随之发生改变。在通常情况下,同种物质组成的物体固态时密度最大,液态次之,气态时密度最小。(水例外,固态比液态的密度小。) ③气压:气体的密度随压强的增大而增大,随压强的减小而减小。因为质量不变时, 压强增大则体积减小,导致密度增大;反之亦然。 ④浓度:液体的浓度变大时,密度增大,浓度减小时,密度减小。

奥数思维强化特训——归一问题(专项训练)-2024-2025学年六年级数学上册人教版

奥数思维强化特训——归一问题班级：姓名：学号：一、知识点：归一问题：复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。

这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。

有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。

解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。

二、精讲练习★1.甲、乙、丙三人合买了8根火腿肠,平分着吃,甲没带钱,乙就付了5根的钱,丙付了3根的钱。

之后,甲带来了他应付的8元钱,求乙和丙各应收回多少钱?★2.某水泥厂计划24天生产1080吨水泥，由于技术改进，平均每天比原计划多生产15吨，可比计划提前几天完成？★3.甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天。

一件工程，甲队单独做需经97天，乙队单独做需经75天。

好果两队合做，3月1日开工，那么几月几日可以完工？★★4.小明、小冬、小军三人去超市买笔,小明买了7支,小冬买了5支,小军没带钱。

回家后,三人平分了从超市买回的笔,小军拿出了应付的8元钱,他应付给小明多少钱?他应付给小冬多少钱?★★5.4辆大卡车5次运煤80吨,3辆小卡车8次运煤36吨.现在有煤77吨,用一辆大卡车和小卡车同时运多少次运完？★★6.某工程原计划42人12天（每天按8小时工作）完成，工作7天后因支援其他紧急任务调走了12人，那么剩下的工作还要几天才能完成？若要求按原定日期完工，那么每天得工作多少小时？★★7.3台拖拉机每天耕地5小时,6天可以耕地900公顷。

现有土地3000公顷,如果5台拖拉机用10天耕完,并且每天耕地量不变,每天要耕地几小时?★★★8.一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。

5升6思维特训：长方体和正方体综合(试题)含参考答案

5升6思维特训：长方体和正方体综合（试题）一、选择题1．把3个相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了248cm，那么原来1个小长方体的体积是（）3cm。

A．180 B．120 C．602．一个长方体表面积是130平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米那么这个长方体的体积是（）立方厘米。

A．100 B．110 C．180 D．3603．一个几何体如图，其中三角形面积为6cm2，它的体积是（）。

A．30cm3B．60cm3C．无法计算4．下图是由棱长为1cm的小正方体组成，从图形中拿掉一个小正方体后，这个图形的（）。

5．一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。

这个铁块的体积是（）3cm。

A．300 B．400 C．600 D．8006．把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体滑虚线切成两个立体图形，下图中（）的切法增加的表面积最小。

A．B．C．D．二、填空题7．从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示。

算一算，这个空心零件的体积是( )cm3，表面9．把下面这个展开图折成一个长方体。

①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 8 块。

②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共21224×=块。

③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共4624×=块。

④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共2228××=块。

检验：总块数44464=××=，各类块数之和82424864=+++=。

【解决问题】用棱长1cm 的小正方体拼成一个长6cm 、宽4cm 、高5cm 的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？①三面涂色的小正方体共块。

②两面涂色的小正方体共块。

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思维特训(九) 密度|典|例|分|析|混合密度的计算例题 2019·呼和浩特王慧同学利用所学知识，测量一件用合金制成的实心构件中铝所占比例。

她首先用天平测出构件质量为374 g ，用量杯测出构件的体积是100 cm 3。

已知合金由铝与钢两种材料合成，且铝的密度为2.7×103 kg /m 3，钢的密度为7.9×103 kg /m 3。

如果构件的体积等于原来两种金属体积之和，求：(1)这种合金的平均密度。

(2)这种合金中铝的质量占总质量的百分比。

[答案] (1)这种合金的平均密度：ρ＝m V ＝374 g 100 cm3＝3.74 g /cm 3＝3.74×103 kg /m 3。

(2)设铝的质量为m 铝，钢的质量为m 钢，则m 铝＋m 钢＝374 g ①；构件的体积等于原来两种金属体积之和，则m 铝ρ铝＋m 钢ρ钢＝100 cm 3，即m 铝2.7 g /cm 3＋m 钢7.9 g /cm 3＝100 cm 3②。

联立①①式，解得m 铝＝216 g 。

则这种合金中铝的质量占总质量的百分比为216 g 374 g×100%≈57.8%。

|思|维|集|训|1．有两个质量相等的球，其体积之比V 1∶V 2＝1∶5，密度之比ρ1∶ρ2＝4①1，其中一个球是空心的，已知实心球的体积为 V ，则空心球的空心部分的体积为( )A ．2VB ．VC ．0.2VD ．0.25V2．阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为56.9 cm 3，若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5 cm 3和96.5 cm 3，则王冠中银的质量和金的质量之比为( )A ．1∶8B ．1①9C ．1∶10D .1∶113．(多选)现有密度分别为ρ1、ρ2(ρ1＜ρ2)的两种液体，质量均为m 0，某工厂要用它们按体积比1①1的比例配制一种混合液(设混合前后总体积不变)，且使所得混合液的质量最大，则( )A ．这种混合液的密度为2ρ1ρ2ρ1＋ρ2B ．这种混合液的密度为ρ1＋ρ22C ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ρ1ρ2m 0 D ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为⎝⎛⎭⎪⎫1－ρ2ρ1m 0 4．如图9－TX －1所示，A 、B 两个高度相等、底面积不同的薄壁圆柱形容器中，分别盛有质量相等的甲、乙两种液体。

若在两容器中分别再倒入原液体至倒满，则( )A ．倒入的质量m 甲一定小于m 乙B ．倒入的质量m 甲可能等于m 乙C ．倒入的质量m 甲可能大于m 乙D ．倒入的体积V 甲一定等于V 乙图9－TX －15．如图9－TX －2所示，甲、乙为两个实心均匀正方体，它们的质量相等。

若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度的部分，并将截去部分叠放在对方剩余部分上，此时它们的质量分别为m 甲′和m 乙′，下列判断正确的是( )图9－TX －2A ．m 甲′可能小于m 乙′B ．m 甲′一定小于m 乙′C ．m 甲′可能大于m 乙′D ．m 甲′一定大于m 乙′6．如图9－TX －3所示，一个实心圆球分为内外两层。

内层由甲物质组成，外层由乙物质组成，且内层半径是外层半径的13，内层质量是外层质量的12。

那么，甲、乙两种物质的密度之比是________。

(球的体积V ＝4πR 33) 图9－TX －37．2019·乌鲁木齐2019年5月5日，凝聚着国人梦想的国产大飞机C 919首飞成功。

C 919为了减重，使用了大量新型合金材料。

飞机某合金部件由甲、乙两种金属构成，已知甲、乙按质量比2①1混合后的密度与甲、乙按体积比3①4混合后的密度相等，则甲、乙的密度之比为________。

若该合金部件比传统上全部使用金属甲时质量减少了50%，则该合金部件中甲、乙的质量之比为________。

8．为了保护环境，治理水土流失，学校的环保小组测定了山洪冲刷地面时洪水中的平均含沙量(即每立方米的洪水中所含泥沙的质量)。

治理环境之前，他们共采集了40 dm 3的水样，称得其总质量为40.56 kg ，已知干燥的泥沙的密度为2.4×103 kg /m 3，试求洪水中的平均含沙量。

9．某校“STS ”活动小组前往酒厂考察，同学们了解到白酒是发酵后的粮食里的酒精，从酒糟中蒸煮汽化出来注入储酒罐中的，罐里的白酒度数很高，一般不宜饮用，需要与适量水勾兑(混合)后才能出售。

有关行业规定：白酒的“度数”是指气温在20 ℃时，100 mL 酒中所含酒精的毫升数。

试回答：该厂生产的每瓶装“500 mL 45度”的白酒，质量是多少？是否恰好为一斤酒(一斤等于500 g )？这种酒的密度是多少？(ρ酒精＝0.8×103 kg /m 3)详解详析1．B [解析] 球的实心部分的体积之比V 1实V 2实＝mρ1m ρ2＝ρ2ρ1＝14，而球的体积之比为1①5，且只有一个球是空心的，所以球2是空心的，球1是实心的，即V V 2实＝14，且V V 2实＋V 空＝15，解得空心部分的体积为V 空＝V 。

2．B [解析] 王冠的质量：m ＝m 金＋m 银；设王冠中含金和银的体积分别为V 金、V 银，则V 金＋V 银＝56.9 cm 3，即m 金ρ金＋m 银ρ银＝56.9 cm 3。

根据题意得：ρ金＝m 金＋m 银52.5 cm 3，ρ银＝m 金＋m 银96.5 cm 3，故可以得出：m 金 m 金＋m 银52.5 cm 3＋m 银m 金＋m 银96.5 cm 3＝56.9 cm 3，解得：m 银：m 金＝1∶9。

3．BC [解析] 我们设混合液中两种液体的体积均为V ，则混合液体的体积为2V ，两种液体的质量分别为m 1＝ρ1V ，m 2＝ρ2V ，则混合液体的质量为m ＝m 1＋m 2＝ρ1V ＋ρ2V ，所以混合液体的密度为ρ＝ρ1V ＋ρ2V 2V ＝ρ1＋ρ22，故A 错误、B 正确。

因为ρ1＜ρ2，按体积比1①1的比例配制的溶液中混合液的最大质量：m ＝m 1＋m 0＝ρ1V ＋m 0＝ρ1m 0ρ2＋m 0＝(1＋ρ1ρ2)m 0，则剩下的那部分液体的质量为2m 0－(1＋ρ1ρ2)m 0＝(1－ρ1ρ2)m 0，故C 正确、D 错误。

4．A [解析] 图中甲液面高于乙液面，而甲、乙两种液体的质量相等，可以理解为倒入相同质量的甲、乙两种液体，A 容器中的液面升高得快一些，故假设再倒入质量相等的甲、乙两种液体，A 容器恰好装满，而B 容器则还未装满，仍需再加一部分液体，故装满时倒入的甲液体的质量一定小于乙液体的质量，A 项正确，B 、C 项错误；由图可知，甲液体的体积较大，密度应较小，又倒入的甲液体的质量小于乙液体的质量，由公式V ＝m ρ可知，在m 、ρ大小均不相等，且又“同小”的条件下，不能确定体积的大小关系，故D 项是错误的。

5．D [解析] 根据题设条件可知，甲、乙两个正方体的质量是相等的，若截去相同的高度，则甲截去的质量比例较小，乙截去的质量比例较大，故甲截去的质量小于乙截去的质量，将截去部分叠放在对方剩余部分上后，则甲的质量一定大于乙的质量。

6．13∶1 [解析] 假设实心圆球的半径为R ，则内层半径为R 3，内层的体积为481πR 3，外层的体积为V 外＝43πR 3－481πR 3＝10481πR 3；设内层的质量为m ，故ρ内＝81m 4πR 3，ρ外＝81m 52πR 3，所以ρ内：ρ外＝13①1。

7．8∶3 2①3 [解析] 甲、乙按质量比2①1混合时，m 甲＝2m 乙，由密度公式可得混合后密度ρ＝m 甲＋m 乙V 甲＋V 乙＝2m 乙＋m 乙2m 乙ρ甲＋m 乙ρ乙＝3ρ甲ρ乙ρ甲＋2ρ乙。

甲、乙按体积比3∶4混合时，V 甲＝34V 乙，由密度公式可得混合后密度ρ′＝m 甲′＋m 乙′V 甲′＋V 乙′＝ρ甲·34V 乙＋ρ乙V 乙34V 乙＋V 乙＝37ρ甲＋47ρ乙。

混合后的密度相等，所以3ρ甲ρ乙ρ甲＋2ρ乙＝37ρ甲＋47ρ乙，解得：ρ甲ρ乙＝83或ρ甲ρ乙＝11(不合题意，舍去)。

该合金部件比传统上全部使用金属甲时质量减少了50%，即m 合＝12M 甲，使用合金和传统上使用甲制作该部件的体积应相等，所以ρ合＝12ρ甲，由密度公式有：m 甲″＋m 乙″m 甲″ρ甲＋m 乙″38ρ甲＝12ρ甲，解得：m 甲″m 乙″＝23。

8．设所取水样总体积为V ，依题意可知，V 是水的体积V 水与水中泥沙体积V 泥之和；水样总质量m 同样是水的质量与水中泥沙质量之和，即：⎩⎨⎧V 水＋V 泥＝V ρ水V 水＋ρ泥V 泥＝m 水样中泥沙体积：V 泥＝m －ρ水V ρ泥－ρ水＝40.56 kg －1.0×103 kg/m 3×40×10－3 m 32.4×103 kg/m 3－1.0×103 kg/m 3＝4×10－4 m 3。

水样中泥沙的总质量：m ′＝ρ泥V 泥＝2.4×103 kg/m 3×4×10－4 m 3＝0.96 kg ，水样共40 dm 3，即40×10－3 m 3，因此洪水中的平均含沙量为m ′V ＝0.96 kg 40×10－3 m 3＝24 kg/m 3。

9．由题知，“45度”指气温在20 ℃时，100 mL 酒中所含酒精的体积为45 mL ，则所含水的体积为55 mL 。

故500 mL 酒中所含酒精的体积：V 酒精＝5×45 mL ＝225 mL ＝225 cm 3，酒精的质量：m 酒精＝ρ酒精V 酒精＝0.8 g/cm 3×225 cm 3＝180 g ；所含水的体积：V 水＝500 mL －225 mL ＝275 mL ＝275 cm 3，水的质量：m 水＝ρ水V 水＝1 g/cm 3×275 cm 3＝275 g ；白酒的质量：m ＝m 酒精＋m 水＝180 g ＋275 g ＝455 g 。

因为455 g ＜500 g ，故每瓶酒质量小于一斤。

白酒的体积：V ＝500 mL ＝500 cm 3，这种白酒的密度：ρ＝m V ＝455 g 500 cm 3＝0.91 g/cm 3。