思维特训(九) 密度
特训09 相似三角形的基本模型-2021-2022学年九年级数学上学期重难题型思维特训(北师大版)
特训09相似三角形的基本模型【方法点津】几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于我们快速、准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.【典题精练】类型一平行线型如图9-S-1,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图①为“A”字形,图②为“X”字形,它们都是平行线型的基本图形.图9-S-1图9-S-21.如图9-S-2,在▱ABCD中,E是AB延长线上一点,连接DE交AC于点G,交BC于点F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有对.2.如图9-S-3,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.求证:OA2=OE·OF.图9-S-3常见的有如下三种情形:如图9-S-4①,已知∠1=∠B,则结合公共角∠A得△ADE∽△ABC.如图②,已知∠1=∠B,则结合公共角∠A得△ADE∽△ACB.如图③,已知∠B=∠D,则结合对顶角∠1=∠2得△ADE∽△ABC.图9-S-43.如图9-S-5,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD相交于点G.(1)求证:△AED∽△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.图9-S-54.如图9-S-6①,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交BC于点E,过点D作BD⊥AD,垂足为D.(1)若AE=2BD,求证:CA=CB;(2)在(1)的条件下,过点C作CF⊥AE,垂足为F,如图②,直接写出图中所有与△BDE相似的三角形.图9-S-6将图9-S-4②中的DE向下平移使点C与点E重合,则得图9-S-7①,有△ACD∽△ABC,称之为“母子”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90°,CD为斜边上的高(如图②),则有△ACD ∽△ABC∽△CBD.图9-S-7图9-S-85.如图9-S-8,在△ABC中,P为AB上一点,要使△ACP∽△ABC,还需具备的一个条件是_____.6.如图9-S-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,DE的延长线与BC 的延长线交于点F.求证:(1)△FDC∽△FBD;(2)AC·BF=BC·DF.图9-S-9将图9-S-10中的△ADE绕点A旋转一定角度,得到△ABC,称之为旋转型的基本图形.图9-S-107.如图9-S-11,△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,点E在△ABC内,∠CAE+∠CBE=90°,连接BF.(1)求证:△CAE∽△CBF;(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.图9-S-118.如图9-S-12,设D为锐角三角形ABC内一点,∠ADB=∠ACB+90°.(1)求证:∠CAD+∠CBD=90°;(2)如图②,过点B作BE⊥BD,BE=BD,连接EC,若AC·BD=AD·BC,求证:△ACD∽△BCE.图9-S-12类型五一线三等角型(1)三等角型相似三角形是以等腰三角形或等边三角形为背景的.图9-S-13(2)三直角型相似三角形是以正方形或矩形为背景的.图9-S-149.如图9-S-15,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.图9-S-1510.在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.(1)如图9-S-16①,求证:DE·CD=DF·BE.(2)若D为BC的中点,如图②,连接EF.①求证:ED平分∠BEF;②若四边形AEDF为菱形,求∠BAC的度数及AE AB的值.图9-S-1611.(1)如图9-S-17①,已知AB⊥l,DE⊥l,垂足分别为B,E,C是l上一点,且∠ACD=90°.求证:△ABC∽△CED;(2)如图9-S-17②,在四边形ABCD中,已知∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,AD=55,求BD 的长.图9-S-17特训09相似三角形的基本模型1.5【解析】本题图中有两组平行线,故存在平行线型的基本图形,把它们一一分离出来,如图①~④.又由于△ADE∽△BFE∽△CFD,故共有5对相似三角形.2.证明:∵EC∥AB,∴OA OE=OB OD,∠EDA=∠DAB.∵∠EDA=∠ABF,∴∠DAB=∠ABF.∴AD∥BC.∴∠OBF=∠ODA,∠OFB=∠OAD.∴△OBF∽△ODA.∴OB OD=OF OA.∴OA OE=OF OA.∴OA2=OE·OF.3.证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A是公共角,∴△ABE∽△ACD.∴AE AD=AB AC,即AE AB=AD AC.又∵∠A是公共角,∴△AED∽△ABC.(2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽△CGE.∴DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GDE=∠GBC.∵BE平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE.∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.4.解:(1)证明:如图,延长AC,BD交于点F.∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠ADF=90°.∵AD平分∠CAB,∴∠DAB=∠DAF.又∵AD=AD,∴△ADB≌△ADF.∴BD=FD.∵AE=2BD,∴AE=BF.∵∠ACE=∠BDE=90°,∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠CBF.又∵∠ACE=∠BCF=90°,AE=BF,∴△ACE≌△BCF.∴CA=CB.(2)∵CF⊥AD,BD⊥AD,∴∠CFE=∠D=90°.又∵∠BED=∠CEF,∴△BDE∽△CFE.∵∠ACE=90°,CF⊥AE,∴△CFE∽△ACE∽△AFC∽△BDE.∵∠ACE=∠ADB=90°,∠CAE=∠DAB,∴△ACE∽△ADB.∴△ADB∽△BDE.∴图中与△BDE相似的三角形有△CFE,△ACE,△AFC,△ADB.5.答案不唯一,如∠PCA=∠B【解析】本题为开放题,答案不唯一.注意到△APC与△ACB属于“母子”型基本图形,而∠A为公共角,故还需具备的一个条件是∠PCA=∠B或∠APC=∠ACB或AC2=AP·AB即AC AP=AB AC.6.证明:(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°.又∵E是AC的中点,∴DE=EC.∴∠EDC=∠ECD.∵∠ACB=90°,∠BDC=90°,∴∠ECD+∠DCB=90°,∠DCB+∠B=90°.∴∠ECD=∠B.∴∠FDC=∠B.又∵∠F=∠F,∴△FDC∽△FBD.(2)∵△FDC∽△FBD,∴DF BF=DC BD.∵∠BDC=∠BCA=90°,∠B=∠B,∴△CBD∽△ABC.∴BD BC=DC AC,即DC BD=AC BC.∴DF BF=AC BC.∴AC·BF=BC·DF.7.解:(1)证明:∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形,∴AC BC=CE CF=2,∠ACB=∠ECF=45°.∴∠ACE=∠BCF.∴△CAE∽△CBF.(2)∵△CAE∽△CBF,∴∠CAE=∠CBF,AE BF=AC BC=2.又∵AE=2,∴BF=2.∵∠CAE+∠CBE=90°,∴∠CBF+∠CBE=90°.∴∠EBF=90°.∴EF2=BE2+BF2=12+(2)2=3.∴EF=3.∵CE2=2EF2=6,∴CE=6.8.证明:(1)如图,延长CD交AB于点E.∵∠ADE=∠CAD+∠ACD,∠BDE=∠CBD+∠BCD,∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠CAD+∠CBD+∠ACB.又∵∠ADB=∠ACB+90°,∴∠CAD+∠CBD=90°.(2)∵∠CAD+∠CBD=90°,∠CBD+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE.∵AC·BD=AD·BC,BD=BE,∴AC BC=AD BE.∴△ACD∽△BCE.9.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF.∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF,∴BE CF=DE EF.∵E是BC的中点,∴BE=CE.∴CE CF=DE EF,即DE CE=EF CF.又∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE=∠EFC.∴FE平分∠DFC.10.解:(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B.∴∠FDC=∠DEB.∴△BDE∽△CFD.∴DE DF=BE CD,即DE·CD=DF·BE.(2)①证明:同(1)可证△BDE∽△CFD,∴BE CD=DE DF.∵D为BC的中点,∴BD=CD.∴BE BD=DE DF,即BE DE=BD DF.又∵∠B=∠EDF,∴△BDE∽△DFE.∴∠BED=∠DEF.∴ED平分∠BEF.②∵四边形AEDF为菱形,∴∠AEF=∠DEF,AE=AF=DE.又∵∠BED=∠DEF,∴∠AEF=∠BED=∠DEF=60°.又∵AE=AF,∴∠BAC=60°.又∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形.∴∠B=60°.∴△BED是等边三角形.∴BE=DE.又∵AE=DE,∴AE=12AB.∴AE AB=12.11.解:(1)证明:∵AB⊥l,DE⊥l,∴∠ABC=∠CED=90°,∠ACB+∠BAC=90°.∵∠ACD=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°.∴∠BAC=∠ECD.∴△ABC∽△CED.(2)如图,连接AC.∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=AB2+BC2=5.又∵AD=55,CD=10,∴AC2+CD2=AD2.∴∠ACD=90°.过点D作DE⊥BC交其延长线于点E.由(1)得此时△ABC∽△CED,∴CE AB=DE BC=CD AC=2.∴CE=6,DE=8.在Rt△BDE中,BD=BE2+DE2=(4+6)2+82=241.。
小学一年级数学思维提升特训题+答案
思维训练题1、A、B、 C 三名运动员在一次运动会上都得了奖。
他们各自参加的项目是篮球、排球和足球。
现在我们知道：(1)A 的身材比排球运动员高；(2)足球运动员比 C 和篮球运动员都矮。
请你想一想：A 是( )运动员，B 是( )运动员，C 是( )运动员。
2、爸爸买了 3 个皮球，两个红的，一个黄的。
哥哥和妹妹都想要。
爸爸叫他们背对着背坐着，爸爸给哥哥塞了个红的，给妹妹塞了个黄的，把剩下的一个球藏在自己背后。
爸爸让他们猜他手里的球是什么颜色的，谁猜对了，就把球给谁。
那么，谁一定能猜对呢 ? ( )。
3、小菲、小南、小阳三个小朋友，分别戴着红、黄、蓝三顶帽子，排着队儿向前走，谁也不回头。
小南能看见一顶红帽子和一顶黄帽子，小菲只能看到一顶黄帽子，而小阳一顶帽子也看不到。
你知道走在第一个的是谁 ?谁又走在第二个 ?最后一个又是谁呢 ?他们又各自戴着什么颜色的帽子呢 ? ( )走在第一个，戴着( )帽子；( )走在第二个，戴着( )帽子；( )走在最后，戴着( )帽子；4、黑兔、灰兔和白兔三只兔子在赛跑。
黑免说：“我跑得不是最快的，但比白兔快。
”请你说说，谁跑得最快 ?谁跑得最慢 ? ( )跑得最快，( )跑得最慢。
5、三个小朋友比大小。
根据下面三句话，请你猜一猜，谁最大 ?谁最小？(1) 芳芳比阳阳大 3 岁；(2) 燕燕比芳芳小 1 岁；(3) 燕燕比阳阳大 2 岁。
( )最大，( )最小。
6、根据下面三句话，猜一猜三位老师年纪的大小。
(1) 王老师说：“我比李老师小。
”(2) 张老师说：“我比王老师大。
”(3) 李老师说：“我比张老师小。
”年纪最大的是( )，最小的是( )。
7、光明幼儿园有三个班。
根据下面三句括，请你猜一措，哪一班人数最少 ?哪一班人数最多 ?(1) 中班比小班少；(2) 中班比大班少；(3) 大班比小班多。
( )人数最少，( )人数最多。
8、三个同学比身高。
甲说：我比乙高；乙说：我比丙矮；丙：说我比甲高。
思维特训(一) “填幻方”问题-文档资料
思维特训(一)“填幻方”问题方法点津·一、杨辉法中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1－S－1.九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．图1－S－1也就是将1～9九个自然数依次斜排为三行三列(如图①)，再把上下两个数(1和9)对换，左右两个数(7和3)对换(如图②)，最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方(如图③)．注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了．二、口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方．具体解释如下：如图1－S－2，“一填首行正中央”，指的是1～9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方．对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方．这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方．图1－S－2典题精练·1．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有数目(个数为1～9)不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1－S－3给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是()图1－S－3图1－S－42．在3×3的方格上做填字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图1－S－5所示，若要填成，则S＝________.图1－S－53．教材在七年级数学(上册)的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图”．如图1－S－6，根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的规律将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数字和相等．图1－S－64．将5，7，9，11，13，15，17，19，21填入如图1－S－7所示的小方格中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．图1－S－75．试将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6填入如图1－S－8所示的3×3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等．图1－S－86．将－15，－12，－9，－6，－3，0，3，6，9填入如图1－S－9所示的3×3方格中，使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.图1－S－97．图1－S－10是一个3×3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．如何把9个连续整数迅速填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题．古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法．图①是把－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法．(1)请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3×3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．第一组：6，5，4，3，2，1，0，－1，－2；第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；第三组：－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8.图1－S－10(2)拓展探究：在图1－S－11所示的9个空格中，填入5个2和4个－2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.图1－S－11(3)拓展探究：将25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这25个数分别填入图1－S－12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等.图1－S－12详解详析1．C2．30[解析] 如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，所以x ＋10＋y＝8＋y＋13，所以x＝11.所以b＋11＋a＝8＋10＋a，所以b＝7，所以S＝b＋10＋13＝30.3.解：填法不唯一，如图：4．解：填法不唯一，如图：5．解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下：故答案如下：6.解：填法不唯一，填图如下：7.解：(1)如图所示(填法不唯一)：(2)填法不唯一，填写如图所示：(3)填写如图所示(填法不唯一)：。
思维特训(九) 抛物线背景下线段和(差)的最值问题
思维特训(九) 抛物线背景下线段和(差)的最值问题类型一二次函数中的“饮马问题”基本原理：两点之间，线段最短．解题思路：利用抛物线自身的轴对称性找到抛物线上某点关于对称轴的对称点，实现化“折”为“直”，再结合函数的相关知识解决．1．如图9－1，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设P 是直线l 上的一个动点，当PA＋PC 最小时，求点P 的坐标．图9－12．如图9－2，抛物线y＝ax2＋bx＋3 经过A(1，0)，B(4，0)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．图9－23．如图9－3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与x 轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)PQ 是该抛物线对称轴l 上的动线段，且PQ＝1，求PC＋QB 的最小值．图9－3类型二二次函数中线段差的最大值问题基本原理：三角形任何两边之差小于第三边．解题思路：先根据原理确定线段差的最值问题时的图形，再根据已知条件进行求解．4．如图9－4，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A(3，0)，B(1，0)，交y 轴于点C，P 是该抛物线上一动点，点P 从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 不与点A，C 重合)，过点P 作PD∥y 轴交直线AC 于点D.(1)求抛物线的解析式．(2)当D 在线段AC 上运动时，求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－45．2016·眉ft已知：如图9－5，在平面直角坐标系xOy 中，A，B，C 分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，(1)求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM－AM|取最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．图9－56．已知：如图9－6，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 3＋6 与x 轴、y 轴的交点＝－4x分别为A，B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C.(1)直接写出点C 的坐标，并求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)若(1)中抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5 个单位长度，则图象与x 轴交于G，N(点G 在点N 的左侧)两点，交y 轴于点E，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q 到E，N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－63 典题讲评与答案详析 1．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－1，0)，B (3，0)，⎧0＝a －b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1， 解得⎨⎩0＝9a ＋3b ＋3， ⎩b ＝2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴对称轴为直线 x ＝1.∵A ，B 是抛物线与 x 轴的交点，∴点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA ＋PC 最小时，点 P 就是直线 BC 与直线 l 的交点(如图)．∵B (3，0)，C (0，3)，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－x ＋3.∵点 P 在直线 l 上，∴点 P 可设为(1，m )．将(1，m )代入 y ＝－x ＋3，可得 m ＝2，∴P (1，2)．2．解：(1)由已知，得⎧a ＋b ＋3＝0， ⎧a ＝4， ⎨ 解得⎨ 15 ⎩16a ＋4b ＋3＝0， ⎩b ＝－ 4 . ∴抛物线的解析式为 y 3 2 15＋3.＝4x － 4 x(2)∵A ，B 关于对称轴对称，如图，连接 BC ，∴BC 与对称轴的交点即为所求的点 P ，此时 PA ＋PC ＝BC ，∴四边形 PAOC 的周长的最小值为 OC ＋OA ＋BC .∵A (1，0)，B (4，0)，C (0，3)， ∴OA ＝1，OC ＝3，BC ＝ OB 2＋OC 2＝5，∴OC ＋OA ＋BC ＝3＋1＋5＝9，∴在抛物线的对称轴上存在点 P ，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 9.3． 解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－3，0)，B (1，0)，⎧0＝a ＋b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1， ∴⎨⎩0＝9a －3b ＋3， ⎩b ＝－2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.(2)过点 C 作直线 l 的对称点 E ，过点 E 作 EG ⊥AB 于点 G ，过点 Q 作 QF ∥PE ，交 EG 于点 F ，连接 FB ，如图，则有 PC ＝PE ，EF ∥PQ .∵EF ∥PQ ，QF ∥PE ，∴四边形 EFQP 是平行四边形，∴EF ＝PQ ＝1，PE ＝FQ ，∴PC ＝FQ ，∴PC ＋QB ＝FQ ＋QB ，根据两点之间线段最短可得 FQ ＋QB (即 PC ＋QB )的最小值为 FB .∵抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 的对称轴为直线 x ＝－1，C (0，3)，∴点 E 的坐标为(－2，3)， ∴点 F 的坐标为(－2，2)．在 Rt △FGB 中，FG ＝2，GB ＝1－(－2)＝3，根据勾股定理可得 FB ＝ FG 2＋GB 2＝ 13.∴PC ＋QB 的最小值为 13.4．解：(1)∵抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 过点 A (3，0)， B (1，0)， ⎧9＋3b ＋c ＝0， ⎧b ＝－4， ∴⎨ ⎩1＋b ＋c ＝0， 解得⎨ ⎩c ＝3， ∴抛物线的解析式为 y ＝x 2－4x ＋3. (2)令 x ＝0，则 y ＝3，∴点 C (0，3)， 则直线 AC 的解析式为 y ＝－x ＋3. 设点 P (x ，x 2－4x ＋3)．∵PD ∥y 轴， ∴D (x ，－x ＋3)， ∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x 3 2 9 ．∵a ＝－1＜0，∴当 x 3 －2) ＋4(0<x <3) PD 的长度有最大值9＝2时，线段 4.(3)∵抛物线的对称轴垂直平分 AB ，∴MA ＝MB .由三角形的三边关系，可知|MB －MC |＜BC ，∴当 M ，B ，C 三点共线时，|MB －MC |的值最大，为 BC 的长度． 设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)，⎧k ＋m ＝0， ⎧k ＝－3， 则⎨ ⎩m ＝3， 解得⎨⎩m ＝3，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－3x ＋3.∵抛物线 y ＝x 2－4x ＋3 的对称轴为直线 x ＝2，∴当 x ＝2 时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴M (2，－3)，即抛物线的对称轴上存在点 M (2，－3)，使|MA －MC |的值最大．5．解：(1)设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c .3 ⎧ ＝－4， ， ⎨ 由题意易知 A (1，0)，B (0，3)，C (－4，0)，⎧a ＋b ＋c ＝0， ∴⎨c ＝3， ⎩16a －4b ＋c ＝0，⎧a 3 解得⎨b9 ⎩＝－4， c ＝3， ∴经过 A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为 y ＝－3 2 9 ＋3.(2)存在．∵OB ＝3，OC ＝4，OA ＝1，∴BC ＝AC ＝5，AB ＝ 10. 如图，当 BP 綊 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，∴BP ＝AC ＝5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB ，∴点 P 的坐标为(5，3)．4x －4x当点 P 在第二、三象限时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不 是菱形，∴当点 P 的坐标为(5，3)时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形．(3)设直线 PA 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)．∵点 A (1，0)，P (5，3)在直线 PA 上，⎧k ＝ ， ⎧5k ＋m ＝3，4 ∴⎨ ⎩k ＋m ＝0， 解得⎨ ⎩m ＝－3 4 ∴直线 PA 的解析式为 y 3 3＝4x －4.当点 M 与点 P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系，知|PM －AM |<PA ， 当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |＝PA ，∴当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |的值最大，即 M 为直线 PA 与抛物线的交点． 3 3 y ＝ x － ， 解方程组 4 4 3 9 ⎩y ＝－4x 2－4x ＋3， ⎧x 1＝1，⎧⎪x 2＝－5， 得⎨ ⎨ 9 ⎩y 1＝0，⎪⎩y 2＝－2， ∴点 M 的坐标为(1，0)或(－59 时，|PM －AM |的值最大．此时|PM －AM |的最大值 为 5.6．解：(1)如图①，连接 CH .，－2)由轴对称的性质，得 CH ⊥AB ，BH ＝BO ，CH ＝CO ，∴在 Rt △CHA 中，由勾股定理，得4 AC 2＝CH 2＋AH 2. ∵直线 y 3 ＋6 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A ，B ， ＝－4x ∴当 x ＝0 时，y ＝6，当 y ＝0 时，x ＝8， ∴B (0，6)，A (8，0)， ∴BO ＝6，OA ＝8， 在 Rt △AOB 中，由勾股定理，得 AB ＝10. 设 C (p ，0)，则 OC ＝p ， ∴CH ＝p ，AH ＝4，AC ＝8－p ， ∴(8－p )2＝p 2＋42，解得 p ＝3，∴C (3，0)． 设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c . ⎧a 1 ⎧6＝c ， ＝4， 由题意，得⎨64a ＋8b ＋c ＝0，解得⎨b 11 ⎩0＝9a ＋3b ＋c ， ＝－ ， ⎩c ＝6， ∴抛物线的解析式为 y 1 2 11x ＋6. ＝4x － 41 2 11 1⎛x 11⎫ (2)不存在．理由：如图②，设抛物线对称轴交 x 轴于点 F .∵y ＝4x － 4 x ＋6＝4⎝ － 2 ⎭ 2 25 －16， ∴ 11 25 25 D ( 2 ，－16)，∴DF ＝16. 设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b ′，则有 ⎧6＝b ′， ⎨ ⎧k ＝－2， 解得⎨ ⎩0＝3k ＋b ′， ⎩b ′＝6， ∴直线 BC 的解析式为 y ＝－2x ＋6. 设存在点 P 使四边形 ODAP 是平行四边形，P (m ，n )． 过点 P 作 PM ⊥OA 于点 M ， 则∠PMO ＝∠AFD ＝90°，PO ＝DA ，PO ∥DA ， ∴∠POM ＝∠DAF ，∴△OPM ≌△ADF ， ∴PM ＝DF ＝n 25 25 2m ＋6， ＝16，∴16＝－ ∴m 71 ＝32， 但 OM ＝AF ＝8 11 5 71 － 2 ＝2≠32， ∴点 P 不在直线 BC 上，即直线 BC 上不存在满足条件的点 P . (3)由题意得，平移后的抛物线的解析式为 y 1 －2)225 为直线 x ＝2.＝4(x －16，∴平移后抛物线的对称轴1 9∴⎨9当x＝0 时，y＝－16；当y＝0 时，01(x－2)225＝41 9解得x1＝－，x2＝.－16，2 2∵点G 在点N 的左侧，∴G(19 9－2，0)，E(0，－16)，N(2，0)．如图③，连接EG，直线EG 交直线x＝2 于点Q，则此时点Q 到E，N的距离之差最大．设直线EG 的解析式为y＝k0x＋b0，则⎧0＝－2k0＋b0，⎧k0＝－8，⎨9 解得⎨9⎩b0＝－16，⎩b0＝－16，∴直线EG 的解析式为y＝－9 9⎧y 9 9 8x－16，⎧x＝2，⎪＝－8x－16，⎪解得⎨ 45⎪⎩x＝2，∴Q(2 45 ．⎪⎩y＝－16，，－16)。
七年级数学(上)思维特训(9)：整式加减中的“无关”问题(含答案)
思维特训(九)整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二 同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a ＝－3时，求整式7a 2－[5a －(4a －1)＋4a 2]－(2a 2－a ＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a ＝－3看成了a ＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第9集《应用题综合》(附试题+答案解析)
四年级数学上册《应用题综合（一）》思维特训案例班级：姓名：效果：例1.一人看见山上有一群羊，他自言自语道：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半．又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那一只，一共有100只羊。
”山上的羊群共有（）只。
例2.2011年3月11日，日本发生里氏9级大地震．在3月15日，日本本州岛东海岸附近海发生5级地震，已知里氏地震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月1 5日东海岸地震的（）倍．例3.上午黑猩猩推着两筐桃子去集市卖，大筐有400个，小筐有240个，到了中午，两筐都卖了相等个数的桃子，剩下桃子的数量大筐恰好是小筐的5倍，上午共卖出了（）个桃子。
例4.一张试卷共有21道题，答对一道得8分，答错一道扣6分．小明答完了所有的题目，却得了零分，他答对（）道题．例5.已知7个红球和5个白球共重43克，5个红球和7个白球共重47克，那么4个红球和8个白球共重（）克。
例6.甲、乙、丙三条公路，甲公路的长度是乙公路的3倍，乙公路的长度比丙公路的2倍少25千米，甲公路的长度比丙公路长240千米，甲公路长（）千米，乙公路长（）千米，丙公路长（）千米，例7.某班43名同学围成一圈．由班长起从1开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学起从1开始连续报数，结果第一个演节目的是小明，第二个演节目的是小强．那么小明和小强之间有（）名同学．例8.几个小朋友在一起做游戏，选一个小朋友做队长，男孩做队长时，队员中女孩比男孩多一倍；女孩做队长时，队员中男孩和女孩一样多．男孩有（）人，女孩有（）人．例9.柯南家2008年一年用电10200千瓦时，上半年的月平均用电比下半年的月平均用电少100千瓦时．柯南家下半年月平均用电为（）千瓦时．例10.某校男老师的平均年龄是27岁，女老师的平均年龄是32岁，全体老师的平均年龄是30岁．如果男老师比女老师少13名，那么该校共有（）名老师．例11.喜羊羊等一群小羊割了一堆青草准备过冬吃．他们算了一下，平均每只小羊割了45千克．如果除了他们自己外，再分给慢羊羊村长一份，那么每只小羊可分得36千克．回到村里，懒羊羊走来，也要分一份，这样一来，每只小羊就只能分得（）千克草了．例12.某汽车厂同时建成两条生产线．第一条生产线第一个月生产了1000辆汽车，以后每个月比前一个月多生产100辆；第二条生产线第一个月也生产了1000辆汽车，以后每半个月比前半个月多生产50辆．那么，该厂生产20000辆汽车需（）个月．例13.某校学生总人数比四年级人数的6倍少78人，并且除了四年级外其他各年级的学生人数总和力2222人，那么该校共有学生（）人．例14.如下图所示，有海、陆、空三个兵种组成的仪仗队，每兵种队伍有400人，都平均分成8竖行并排前进，海军前后两排间隔1米，陆军前后两排间隔2米，空军前后两排间隔3米，各兵种队伍之间相隔5米，三兵种士兵每分钟都走90米，仪仗队通过检阅台需4分钟．那么检阅台总长为（）米．8竖行例15.某商场有一些糖果，其中水果糖每千克5.6元，奶糖每千克7.2元，巧克力每千克8.8元．奶糖比水果糖少3千克，比巧克力多2千克，这些糖果平均价格每千克7元．那么，巧克力有（）千克．例16. 宁宁、蕾蕾和凡凡三人合租一辆轿车从学校回家（见下图）．他们约定：共同乘坐的部分所产生的车费由乘坐者平均分摊；单独乘坐的部分所产生的车费，由乘坐者单独承担，结果，三人承担的车费分别为10元、25元、85元．宁宁家距离学校12公里，凡凡家距离学校（）公里。
中考物理专题《 质量与密度计算题》特训提升培优原卷
专题02 质量与密度计算题专题特训学生（提升培优）二、计算题31．（2021·江苏徐州·八年级期中）细心的小明发现寒冷的冬天在室外的盛水缸常常被裂，如图所示，是什么原因呢？请你帮他做个计算：一个容积为0.18m3的水缸盛满水，则缸中（g取10N/kg）（1）水的重力是多少N？（2）水全部结冰后，冰的体积是多少m3？（ 浮=0.9×103kg/m3）32．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）小明利用天平和烧杯测量某种液体的密度，得到的数据如表所示。
（1）根据数据绘出图像，并指出图线与m轴交点的物理意义。
（2）液体的密度是多大？33．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）有个体积为0.5 dm3的铁球，其质量为1.58 kg，问：（1）它是实心的还是空心的？（ρ铁＝7.9×103 kg/m3）（2）若它是空心的，空心部分的体积是多大？34．（2021·吴江市高级中学八年级月考）酒的度数表示每100毫升酒液中所含酒精量的毫升数，若现有60度和30度的酒液若干，酒液中的微量元素忽略不计，不考虑酒液混合后体积减少。
求：（1）60度酒液的密度。
（2）如果用这两种酒液进行勾兑，获得42度、1000mL的酒液，那么需要这两种酒液各多少毫升。
（已知ρ酒精＝0.8×103kg/m3，ρ水＝1.0×103kg/m3，不考虑酒液混合后体积减小）（3）我国法律规定：当驾驶员每100mL血液中的酒精含量大于或者等于20mg，小于80mg的驾驶行为，就属于饮酒驾驶；当驾驶员每100mL血液中的酒精含量大于或者等于80mg的驾驶行为，就属于醉酒驾驶。
一个质量为60kg的人体血液总量约为4000mL，则一个60kg的人只要喝了多少毫升的40度白酒就会达到饮酒驾驶的标准?（酒精的密度为0.8×103kg/m3，设人饮酒后酒精全部进入血液，且血液总体积不变）35．（2021·江苏苏州·八年级期中）小聪家最近装修房子，买来一车体积为35m的沙子堆m=的桶，用这只在家门口，为了帮助爸爸估测这堆沙子的质量，他找来一只质量11kgm=；再用这只桶平平地装满一桶沙子，测得桶装满一桶水，测得水和桶的总质量27kgm=。
思维特训(二) 四冲程内燃机
思维特训(二) 四冲程内燃机|典|例|分|析|四冲程内燃机中的计算例 2021·内江汽车的发动机工作时，吸入汽缸的汽油和空气的比例，决定了汽车的动力性能和经济性能。
某汽车四冲程汽油发动机的汽缸总排量为2 L (发动机每个工作循环吸入或排出的流体体积称为汽缸排量)，发动机工作时，吸入汽缸的是由汽油和空气所形成的混合物，混合物的密度ρ＝1.44 kg /m 3，汽油和空气的质量比为1∶15，汽油的热值q ＝4.5×107 J /kg 。
假如发动机曲轴在1 min 内转动3×103转，发动机的效率为40%，那么，在这种情况下：(1)汽车在1 min 内做的有用功是多少？(2)汽车在平直的公路上匀速行驶时受到的阻力为f ＝3×103 N ，汽车行驶的速度是多少？[答案] (1)发动机转速为3×103 r /min ，那么每分钟完成的工作循环数为1500个，其中吸气冲程1500个，吸入的混合气的体积为1500×2 L ，根据空气和汽油的质量比为15∶1可知，汽油的质量占这些混合气体质量的116。
每分钟吸入汽油的质量：m ＝116ρV ＝116×1.44 kg /m 3×1500×2×10－3 m 3＝0.27 kg ； 这些汽油完全燃烧放出的热量：Q 放＝qm ＝4.5×107 J /kg ×0.27 kg ＝1.215×107 J ；汽车在1 min 内做的有用功：W ＝Q 放η＝1.215×107 J ×40%＝4.86×106 J 。
(2)汽车在1 min 内做的有用功的功率：P ＝W t ＝4.86×106 J 60 s＝8.1×104 W 。
因为汽车匀速行驶，所以汽车受到的阻力与牵引力是一对平衡力，大小相等，即F ＝f ＝3×103 N ，根据P ＝Fv 可得，汽车行驶的速度：v＝PF＝8.1×104W3×103N＝27 m/s。
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思维特训(九) 密度|典|例|分|析|混合密度的计算例题 2019·呼和浩特王慧同学利用所学知识，测量一件用合金制成的实心构件中铝所占比例。
她首先用天平测出构件质量为374 g ，用量杯测出构件的体积是100 cm 3。
已知合金由铝与钢两种材料合成，且铝的密度为2.7×103 kg /m 3，钢的密度为7.9×103 kg /m 3。
如果构件的体积等于原来两种金属体积之和，求：(1)这种合金的平均密度。
(2)这种合金中铝的质量占总质量的百分比。
[答案] (1)这种合金的平均密度：ρ＝m V ＝374 g 100 cm3＝3.74 g /cm 3＝3.74×103 kg /m 3。
(2)设铝的质量为m 铝，钢的质量为m 钢，则m 铝＋m 钢＝374 g ①；构件的体积等于原来两种金属体积之和，则m 铝ρ铝＋m 钢ρ钢＝100 cm 3，即m 铝2.7 g /cm 3＋m 钢7.9 g /cm 3＝100 cm 3②。
联立①①式，解得m 铝＝216 g 。
则这种合金中铝的质量占总质量的百分比为216 g 374 g×100%≈57.8%。
|思|维|集|训|1．有两个质量相等的球，其体积之比V 1∶V 2＝1∶5，密度之比ρ1∶ρ2＝4①1，其中一个球是空心的，已知实心球的体积为 V ，则空心球的空心部分的体积为( )A ．2VB ．VC ．0.2VD ．0.25V2．阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为56.9 cm 3，若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5 cm 3和96.5 cm 3，则王冠中银的质量和金的质量之比为( )A ．1∶8B ．1①9C ．1∶10D .1∶113．(多选)现有密度分别为ρ1、ρ2(ρ1＜ρ2)的两种液体，质量均为m 0，某工厂要用它们按体积比1①1的比例配制一种混合液(设混合前后总体积不变)，且使所得混合液的质量最大，则( )A ．这种混合液的密度为2ρ1ρ2ρ1＋ρ2B ．这种混合液的密度为ρ1＋ρ22C ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ρ1ρ2m 0 D ．按要求配制后，剩下的那部分液体的质量为⎝⎛⎭⎪⎫1－ρ2ρ1m 0 4．如图9－TX －1所示，A 、B 两个高度相等、底面积不同的薄壁圆柱形容器中，分别盛有质量相等的甲、乙两种液体。
若在两容器中分别再倒入原液体至倒满，则( )A ．倒入的质量m 甲一定小于m 乙B ．倒入的质量m 甲可能等于m 乙C ．倒入的质量m 甲可能大于m 乙D ．倒入的体积V 甲一定等于V 乙图9－TX －15．如图9－TX －2所示，甲、乙为两个实心均匀正方体，它们的质量相等。
若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度的部分，并将截去部分叠放在对方剩余部分上，此时它们的质量分别为m 甲′和m 乙′，下列判断正确的是( )图9－TX －2A ．m 甲′可能小于m 乙′B ．m 甲′一定小于m 乙′C ．m 甲′可能大于m 乙′D ．m 甲′一定大于m 乙′6．如图9－TX －3所示，一个实心圆球分为内外两层。
内层由甲物质组成，外层由乙物质组成，且内层半径是外层半径的13，内层质量是外层质量的12。
那么，甲、乙两种物质的密度之比是________。
(球的体积V ＝4πR 33) 图9－TX －37．2019·乌鲁木齐2019年5月5日，凝聚着国人梦想的国产大飞机C 919首飞成功。
C 919为了减重，使用了大量新型合金材料。
飞机某合金部件由甲、乙两种金属构成，已知甲、乙按质量比2①1混合后的密度与甲、乙按体积比3①4混合后的密度相等，则甲、乙的密度之比为________。
若该合金部件比传统上全部使用金属甲时质量减少了50%，则该合金部件中甲、乙的质量之比为________。
8．为了保护环境，治理水土流失，学校的环保小组测定了山洪冲刷地面时洪水中的平均含沙量(即每立方米的洪水中所含泥沙的质量)。
治理环境之前，他们共采集了40 dm 3的水样，称得其总质量为40.56 kg ，已知干燥的泥沙的密度为2.4×103 kg /m 3，试求洪水中的平均含沙量。
9．某校“STS ”活动小组前往酒厂考察，同学们了解到白酒是发酵后的粮食里的酒精，从酒糟中蒸煮汽化出来注入储酒罐中的，罐里的白酒度数很高，一般不宜饮用，需要与适量水勾兑(混合)后才能出售。
有关行业规定：白酒的“度数”是指气温在20 ℃时，100 mL 酒中所含酒精的毫升数。
试回答：该厂生产的每瓶装“500 mL 45度”的白酒，质量是多少？是否恰好为一斤酒(一斤等于500 g )？这种酒的密度是多少？(ρ酒精＝0.8×103 kg /m 3)详解详析1．B [解析] 球的实心部分的体积之比V 1实V 2实＝mρ1m ρ2＝ρ2ρ1＝14，而球的体积之比为1①5，且只有一个球是空心的，所以球2是空心的，球1是实心的，即V V 2实＝14，且V V 2实＋V 空＝15，解得空心部分的体积为V 空＝V 。
2．B [解析] 王冠的质量：m ＝m 金＋m 银；设王冠中含金和银的体积分别为V 金、V 银，则V 金＋V 银＝56.9 cm 3，即m 金ρ金＋m 银ρ银＝56.9 cm 3。
根据题意得：ρ金＝m 金＋m 银52.5 cm 3，ρ银＝m 金＋m 银96.5 cm 3，故可以得出：m 金 m 金＋m 银52.5 cm 3＋m 银m 金＋m 银96.5 cm 3＝56.9 cm 3，解得：m 银：m 金＝1∶9。
3．BC [解析] 我们设混合液中两种液体的体积均为V ，则混合液体的体积为2V ，两种液体的质量分别为m 1＝ρ1V ，m 2＝ρ2V ，则混合液体的质量为m ＝m 1＋m 2＝ρ1V ＋ρ2V ，所以混合液体的密度为ρ＝ρ1V ＋ρ2V 2V ＝ρ1＋ρ22，故A 错误、B 正确。
因为ρ1＜ρ2，按体积比1①1的比例配制的溶液中混合液的最大质量：m ＝m 1＋m 0＝ρ1V ＋m 0＝ρ1m 0ρ2＋m 0＝(1＋ρ1ρ2)m 0，则剩下的那部分液体的质量为2m 0－(1＋ρ1ρ2)m 0＝(1－ρ1ρ2)m 0，故C 正确、D 错误。
4．A [解析] 图中甲液面高于乙液面，而甲、乙两种液体的质量相等，可以理解为倒入相同质量的甲、乙两种液体，A 容器中的液面升高得快一些，故假设再倒入质量相等的甲、乙两种液体，A 容器恰好装满，而B 容器则还未装满，仍需再加一部分液体，故装满时倒入的甲液体的质量一定小于乙液体的质量，A 项正确，B 、C 项错误；由图可知，甲液体的体积较大，密度应较小，又倒入的甲液体的质量小于乙液体的质量，由公式V ＝m ρ可知，在m 、ρ大小均不相等，且又“同小”的条件下，不能确定体积的大小关系，故D 项是错误的。
5．D [解析] 根据题设条件可知，甲、乙两个正方体的质量是相等的，若截去相同的高度，则甲截去的质量比例较小，乙截去的质量比例较大，故甲截去的质量小于乙截去的质量，将截去部分叠放在对方剩余部分上后，则甲的质量一定大于乙的质量。
6．13∶1 [解析] 假设实心圆球的半径为R ，则内层半径为R 3，内层的体积为481πR 3，外层的体积为V 外＝43πR 3－481πR 3＝10481πR 3；设内层的质量为m ，故ρ内＝81m 4πR 3，ρ外＝81m 52πR 3，所以ρ内：ρ外＝13①1。
7．8∶3 2①3 [解析] 甲、乙按质量比2①1混合时，m 甲＝2m 乙，由密度公式可得混合后密度ρ＝m 甲＋m 乙V 甲＋V 乙＝2m 乙＋m 乙2m 乙ρ甲＋m 乙ρ乙＝3ρ甲ρ乙ρ甲＋2ρ乙。
甲、乙按体积比3∶4混合时，V 甲＝34V 乙，由密度公式可得混合后密度ρ′＝m 甲′＋m 乙′V 甲′＋V 乙′＝ρ甲·34V 乙＋ρ乙V 乙34V 乙＋V 乙＝37ρ甲＋47ρ乙。
混合后的密度相等，所以3ρ甲ρ乙ρ甲＋2ρ乙＝37ρ甲＋47ρ乙，解得：ρ甲ρ乙＝83或ρ甲ρ乙＝11(不合题意，舍去)。
该合金部件比传统上全部使用金属甲时质量减少了50%，即m 合＝12M 甲，使用合金和传统上使用甲制作该部件的体积应相等，所以ρ合＝12ρ甲，由密度公式有：m 甲″＋m 乙″m 甲″ρ甲＋m 乙″38ρ甲＝12ρ甲，解得：m 甲″m 乙″＝23。
8．设所取水样总体积为V ，依题意可知，V 是水的体积V 水与水中泥沙体积V 泥之和；水样总质量m 同样是水的质量与水中泥沙质量之和，即：⎩⎨⎧V 水＋V 泥＝V ρ水V 水＋ρ泥V 泥＝m 水样中泥沙体积：V 泥＝m －ρ水V ρ泥－ρ水＝40.56 kg －1.0×103 kg/m 3×40×10－3 m 32.4×103 kg/m 3－1.0×103 kg/m 3＝4×10－4 m 3。
水样中泥沙的总质量：m ′＝ρ泥V 泥＝2.4×103 kg/m 3×4×10－4 m 3＝0.96 kg ，水样共40 dm 3，即40×10－3 m 3，因此洪水中的平均含沙量为m ′V ＝0.96 kg 40×10－3 m 3＝24 kg/m 3。
9．由题知，“45度”指气温在20 ℃时，100 mL 酒中所含酒精的体积为45 mL ，则所含水的体积为55 mL 。
故500 mL 酒中所含酒精的体积：V 酒精＝5×45 mL ＝225 mL ＝225 cm 3，酒精的质量：m 酒精＝ρ酒精V 酒精＝0.8 g/cm 3×225 cm 3＝180 g ；所含水的体积：V 水＝500 mL －225 mL ＝275 mL ＝275 cm 3，水的质量：m 水＝ρ水V 水＝1 g/cm 3×275 cm 3＝275 g ；白酒的质量：m ＝m 酒精＋m 水＝180 g ＋275 g ＝455 g 。
因为455 g ＜500 g ，故每瓶酒质量小于一斤。
白酒的体积：V ＝500 mL ＝500 cm 3，这种白酒的密度：ρ＝m V ＝455 g 500 cm 3＝0.91 g/cm 3。