思维特训(十九) 12n(n-1)的应用
思维特训小学三年级数学应用题(200题)
小学三年级数学应用题（200题）1. 商店有4筐苹果,每筐55千克,已经卖出135千克,还剩多少千克苹果?2. 美术组有24人,体育组的人数是美术组的4倍,两个组共有多少人?3. 每盒粉笔1元3角4分,每瓶墨水6角2分,学校买了6盒粉笔5瓶墨水,共花多少钱?4. 有篮球9个，足球的个数是篮球的8倍，足球有多少个？5. 有足球72个，篮球9个，足球的数量是篮球的多少倍？6. 有足球72个，正好是篮球个数的8倍，篮球有多少个？7. 学校买来6箱图书，每箱50本，平均分给4个年级，每个年级分多少本？8. 在3千米长的公路一边，每隔5米种一棵树，一共要分多少段？9. 小明从家到学校要走200米长的路，如果他来回走2趟共行多少米？10. 商店有黄气球19个，红气球比黄气球少7个，花气球的个数是红气球的2倍，花气球有多少个？11. 同学们做习题，小华做了75道，小明做了85道，小青比小华和小明的总数少30道，小青做了多少道？12. 学校有14棵杨树，杨树的棵数是松树的2倍，柳树比松树多4棵，有多少棵柳树？13. 三年级(1)班有46人，其中21人是女生，男生比女生多多少人？14. 公园有7只大猴，小猴的只数比大猴多9只，公园一共养了多少只猴？15. 甲有140元，甲的钱数是乙的2倍，甲乙共有多少元？16. 一列火车早上5时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地，但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时。
问火车实际每小时行驶多少千米？ (15-5)*120=1200 1200/(10+2)=10017.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶60千米，下午4时到达乙地。
但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？ (16-8)*60=480 480/(8+2)=4818 .小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝，小红买了5枝，小佳没有买。
回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？(7+5)/3=4 8/4=2 2*(7-4)=6 8-6=219.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶，小华买了4瓶，阳阳没有买。
2018年秋人教版七年级数学上思维特训(十二)含答案：古代问题
思维特训(十二) 古代问题方法点津 ·1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中的一种．该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．2．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．它是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算．3．《算学启蒙》分上、中、下三卷，元大德己亥(1299年)朱世杰撰，共20门，凡259问．4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详．典题精练 ·类型一 《九章算术》1．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是( )A ．9x ＋11＝6x －16B ．9x －11＝6x ＋16C .x －119＝x ＋166D .x ＋119＝x －166类型二 《算法统宗》2．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首诗：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则该塔塔顶灯的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．73．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．(1)列方程求壶中原有多少升酒．(2)设壶中原有a0升酒，在第n个店饮酒后壶中余a n升酒，如第一次饮酒后所余酒为a1＝(2a0－5)升，第二次饮酒后所余酒为a2＝2a1－5＝[22a0－(22－1)×5]升，…①用含a n－1的式子表示a n＝__________，再用含a0和n的式子表示a n＝________；②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．类型三《算学启蒙》4．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书中，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？类型四《孙子算经》5．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．其内容为：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”类型五其他古代问题6．甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？(注：小半为四分之一的意思)诗的意思是：甲赶着一群羊在前面走，乙牵着一只羊跟在后面．乙问甲说：“你这群羊有一百只吗？”甲回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？7．我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九客一房空．请你仔细算一算，多少房间多少客？诗的意思是：我问开店的李三公：“有多少客人来住店？”李三公回答说：“一个房间内若住7个客人，则余下7人没处住；一个房间内若住满9人，则又空出一个房间．”求共有多少客房，多少客人？8．有一次，古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课，突然有旁人问：“先生，您能告诉我有多少人在听课吗？”毕达哥拉斯没有直接说出人数，而是十分风趣地答道：“在下面听课的学生当中，有一半是搞数学研究的，14是从事音乐工作的，17是具体职业不清楚的，另外还有3名女性．”从毕达哥拉斯的回答中，你能算出一共有多少学生正在听课吗？9．牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨)、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了．”(1)下表是由牛顿给出的1个例子改写、简化而成的，请填写下表(不必化简)：(2)你能求出商人原来有多少钱吗？详解详析1．B[解析] 利用鸡的价钱相等建立一元一次方程，如果每人出九钱，那么多了十一钱，所以鸡的价钱可以表示为9x －11；如果每人出六钱，那么少了十六钱，所以鸡的价钱还可以表示为6x ＋16，所以有9x －11＝6x ＋16.2．C[解析] 设塔顶有x 盏灯．依题意，得x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x ＋32x ＋64x ＝381，解得x ＝3.3．解：(1)设壶中原有x 升酒．根据题意，得2[2(2x －5)－5]＝5，解得x ＝358. 答：壶中原有358升酒． (2)①a 1＝2a 0－5，a 2＝2a 1－5＝22a 0－(22－1)×5，a 3＝2a 2－5＝23a 0－(23－1)×5，…，所以a n ＝2a n －1－5＝2n a 0－(2n －1)×5.②由题意，得a 4＝24a 0－(24－1)×5＝16a 0－75＝0，解得a 0＝7516. 答：如果在第4个店喝光了壶中酒，那么壶中原有7516升酒． 4．解：设快马x 天可以追上慢马．由题意，得240x －150x ＝150×12，解得x ＝20.答：快马20天可以追上慢马．5．解：设共有客人x 名．根据题意，得12x ＋13x ＋14x ＝65，解得x ＝60. 答：共有客人60名．6．解：设这群羊有x 只．根据题意，得x ＋x ＋12x ＋14x ＋1＝100，解得x ＝36.答：这群羊有36只．7．解：设有x 间客房．由题意，得7x ＋7＝9(x －1)，解得x ＝8.则客人为7×8＋7＝63(人)．即有8间客房、63名客人．8．解：设有x 名学生正在听课．由题意，得12x ＋14x ＋17x ＋3＝x ， 解得x ＝28.答：一共有28名学生正在听课．9．解：(1)表中从上到下依次填：(x －100)＋13(x －100)－100，(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]，(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]＝x. (2)由(1)得(x －100)＋13(x －100)－100＋13[(x －100)＋13(x －100)－100]＝x ， 解得x ＝400.答：商人原来有400镑钱．。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第10集《应用题综合(二))》(附试题)
四年级数学上册《应用题综合（二）》思维特训案例班级：姓名：效果：例1.有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组，那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了几个小组？例2.四(2)班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果，如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元，已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅员老师带了（）元．例3.下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！”售货员：“同学，你好，想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本，”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好．再见，”根据这段对话元，则钢笔每支（）元，笔记本每本（）元。
例4.老师买了同样数目的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学1个田格本、3个横线本和5个练习本，这时横线本还剩24个，那么田格本和练习本共剩了（）个．例5.一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同，其中数学书和英语书共有16本，语文书和英语书共有17本．有一种书恰好有9本，这种书是（）书．例6.有9张纸牌，分别写着1～9.A、B、c、D四人取牌，每人取2张．已知A 取的两张牌之和是10;B取的两张牌之差是1;C取的两张牌之积是24;D取的两张牌之商是3．剩下的一张牌是（）。
例7.丁丁和爸爸、妈妈在公园里玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的丁丁和妈妈同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸坐的一端仍然着地；丁丁借来一个重量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果丁丁这一端着地．如果丁丁的体重是整数千克，那么丁丁的体重是（）千克．例8.猴王带领一群猴子去摘桃，下午收工后，猴王开始分配，若每只大猴分5个，每只小猴分3个，猴王可以留10个，若每只大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中（不笔括猴王），大猴比小猴多（）只．例9.小甜甜的妈妈给小甜甜买了一包糖，小甜甜每天都要吃掉一部分糖，每天都会吃掉比前一天多的糖，5天一共吃了31颗糖，若是第五天吃的糖是第一天吃的3倍，那么她第四千能吃（）颗糖。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第17集《数字谜》(附试题+答案解析)
四年级数学上册《数字谜》思维特训案例班级：姓名：效果：1.A、B、C各代表不同的数字，要使下面的式子成立，A=_________。
2.如下图所示的竖式中,相同图形表示相同数字．不同图形表示不同数字，则△+Ο+口_________。
3.在下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，则其中四位数“我要参加”最大是________。
4.下面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．如果：巧十解十数十字十谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是____________。
5.下面的乘法算式中，只知道一个数字“8”，请你补全，这个算式的积最小是_________。
6 .在算式+=2010中，不同的字母代表不同的数字，那么A+B+C+D+E+F+G=______。
7. 在下面的乘法竖式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，被乘数等于______。
8. 在下面的口里填上合适的数字后，所得的积是_______。
9.“我爱北京奥运”是个六位数，每个不同的汉字表示不同的数．符合下面竖式的这个六位数是________。
ABCD EFG10.在口内填人适当的数字，下列竖式成立，被除数等于_______。
11.下面竖式中，“学理科到学而思”的每个汉字表示0-9这10个数字中的一个，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，四位数“到学而思”的最大值是_______。
12.请在下图每个方框中填人一个不是8的数字，使乘法竖式成立．13 .在下图方框中填入适当的数字使竖式成立，其中较大的乘数为 ________。
14. 在下面的算式中，“a、b、c”分别代表0～9中的三个不同的数字，那么，数字b是b =15. 电子数字o～9如图1所示，图2是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将图2的电子数字恢复，并将它写成横式形式：__________。
16.下面的算式中，每个汉字代表O～9中的一个数字，不同汉字代表不同数字．相同汉字代表相同数字，美十妙十数十学十花十园=__________。
北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(十三) 因式分解的应用
思维特训(十三) 因式分解的应用方法点津 ·因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，在这些方法的运用中还会涉及一些拆项、添项、整体看问题的思维方式，利用因式分解的一些思维方式及方法可解决一些求值及运算等问题．典题精练 ·类型之一 利用因式分解配方求值1．教科书中这样写道：“我们把多项式a 2＋2ab ＋b 2及a 2－2ab ＋b 2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值或最小值等．例如求式子2x 2＋4x －6的最小值.2x 2＋4x －6＝2(x 2＋2x －3)＝2(x ＋1)2－8.可知当x ＝－1时，2x 2＋4x －6有最小值，最小值是－8.根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)x 是实数，求多项式12x 2＋3x ＋152取得最小值时的x 的值； (2)当a ，b 为何值时，多项式a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18有最小值？并求出这个最小值；(3)当a ，b 为何值时，多项式a 2－2ab ＋2b 2－2a －4b ＋27有最小值？并求出这个最小值．2．已知x ，y 为实数，求u ＝5x 2－6xy ＋2y 2＋2x －2y ＋3的最小值和取得最小值时的x ，y 的值．类型之二 利用因式分解整体代入求值3．已知x 2＋5x －998＝0，试求x 3＋6x 2－993x ＋1021的值．4．已知x 2＋x －1＝0，求多项式21x 4－28x 3－70x 2＋49x ＋1的值．类型之三 利用因式分解简便运算5．计算：20202＋4×2020＋420203＋20202×2－2020×4－8.6．计算：（20172－2023）×（20172＋4031）×20182014×2016×2019×2020.类型之四 利用因式分解解释规律7．观察下列等式：12＋(1×2)2＋22＝9＝(12＋1＋1)2，22＋(2×3)2＋32＝49＝(22＋2＋1)2，32＋(3×4)2＋42＝169＝(32＋3＋1)2，42＋(4×5)2＋52＝441＝(42＋4＋1)2，52＋(5×6)2＋62＝961＝(52＋5＋1)2，…(1)根据以上运算，你发现了什么规律？用含有n(n为正整数)的等式表示该规律；(2)请用分解因式的知识说明你发现的规律的正确性．8．观察并验证下列等式：13＋23＝(1＋2)2＝9，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝36，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝100，(1)续写等式：13＋23＋33＋43＋53＝________．(写出最后结果)(2)我们已经知道1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13＋23＋33＋…＋(n－1)3＋n3＝__________．(结果用因式乘积的形式表示)(3)利用(2)中得到的结论计算：①33＋63＋93＋…＋573＋603；②13＋33＋53＋…＋(2n－1)3.详解详析1． 解：(1)原式＝12(x 2＋6x ＋15)＝12(x 2＋6x ＋9＋6)＝12(x ＋3)2＋3， 可知当x ＝－3时，原式取得最小值．(2)∵a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18＝(a －2)2＋(b ＋3)2＋5，∴当a ＝2，b ＝－3时，多项式a 2＋b 2－4a ＋6b ＋18有最小值，最小值是5.(4)∵a 2－2ab ＋2b 2－2a －4b ＋27＝a 2－2a (b ＋1)＋(b ＋1)2＋(b －3)2＋17＝(a －b －1)2＋(b －3)2＋17，∴当a ＝4，b ＝3时，多项式a 2－2ab ＋2b 2－2a －4b ＋27有最小值，最小值是17.2．解：u ＝5x 2－6xy ＋2y 2＋2x －2y ＋3＝x 2－2xy ＋y 2＋2x －2y ＋1＋4x 2－4xy ＋y 2＋2＝(x －y )2＋2(x －y )＋1＋(2x －y )2＋2＝(x －y ＋1)2＋(2x －y )2＋2.因为x ，y 为实数，所以(x －y ＋1)2≥0，(2x －y )2≥0，所以u ≥2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y ＝0时，u 有最小值2，此时x ＝1，y ＝2. 3．解：∵x 2＋5x －998＝0，∴x 2＋5x ＝998.原式＝x (x 2＋5x )＋x 2－993x ＋1021＝998x ＋x 2－993x ＋1021＝x 2＋5x ＋1021＝998＋1021＝2019.4．解：∵x 2＋x －1＝0，∴x 2＋x ＝1，∴21x 4－28x 3－70x 2＋49x ＋1＝21x 2(x 2＋x )－49x 3－70x 2＋49x ＋1＝21x 2－49x 3－70x 2＋49x ＋1＝－49x 3－49x 2＋49x ＋1＝－49x (x 2＋x )＋49x ＋1＝－49x ＋49x ＋1＝0＋1＝1.5．解：20202＋4×2020＋420203＋20202×2－2020×4－8＝（2020＋2）220202×（2020＋2）－4×（2020＋2）＝202222022×（20202－4）＝202222022×（2020＋2）×（2020－2）＝12018. 6．解：原式＝（20172－2017－6）×（20172＋2×2017－3）×20182014×2016×2019×2020＝（2017－3）×（2017＋2）×（2017＋3）×（2017－1）×20182014×2016×2019×2020 ＝2014×2019×2020×2016×20182014×2016×2019×2020＝2018.7．解：(1)规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.(2)n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝n 2＋n 2(n ＋1)2＋(n ＋1)2＝n 2(1＋n 2＋2n ＋1)＋(n ＋1)2＝n 2[n 2＋2(n ＋1)]＋(n ＋1)2＝n 4＋2n 2(n ＋1)＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.8．解：(1)225(2)14n 2(n ＋1)2 (3)①原式＝(3×1)3＋(3×2)3＋(3×3)3＋…＋(3×20)3 ＝27×13＋27×23＋27×33＋…＋27×203＝27×(13＋23＋33＋ (203)＝27×14×202×212 ＝27×44100＝1190700.②原式＝[13＋23＋33＋…＋(2n )3]－[23＋43＋63＋…＋(2n )3]＝14(2n )2(2n ＋1)2－8(13＋23＋33＋…＋n 3) ＝14×4n 2(2n ＋1)2－8×14n 2(n ＋1)2 ＝n 2(2n ＋1)2－2n 2(n ＋1)2＝n 2(2n 2－1)＝2n 4－n 2.。
七年级数学(上)思维特训(9)：整式加减中的“无关”问题(含答案)
思维特训(九)整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二 同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a ＝－3时，求整式7a 2－[5a －(4a －1)＋4a 2]－(2a 2－a ＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a ＝－3看成了a ＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.。
【初中数学】人教版七年级下册思维特训（十九） 古代数学问题(练习题)
人教版七年级下册思维特训（十九）古代数学问题(355)1.被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集并且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．则雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题2.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题:“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”意思是:有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x个、y人，则可以列方程组．3.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．则绳长、井深各是多少尺？”4.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思如下：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间，房客多少人；(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间及以上，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？5.二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果各几个．”计算可得甜果、苦果的个数分别是（）A.648，352B.650，350C.657，343D.666，3346.《一千零一夜》中一段文字翻译如下：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多．”则树上、树下共有只鸽子7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．在《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．则木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺，则可列出方程组为8.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．9.下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．则共有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A.{8x−3=y，7x+4=y B.{8x+3=y，7x−4=yC.{y−8x=3，y−7x=4D.{8x−y=3，7x−y=410.《九章算术》是我国古代编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①②所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是{3x+2y=19，x+4y=23.类似地，图②所示的算筹图我们可以表述为．11.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术方程式．其中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，的钱给乙，则乙的钱数也为50，甲、乙二人各有则甲的钱数为50；而甲把其23多少钱？”请你解答以上问题参考答案1.【答案】:解：设雀、燕每只分别重x斤、y斤．根据题意，得{4x+y=5y+x，5x+6y=1，解得{x=219，y=338．答：雀、燕每只分别重219斤、338斤.2.【答案】:{x+y=100，3x+y3=1003.【答案】:解：设井深x尺，绳长为y尺．依据题意，得{y=3(x+4)，y=4(x+1)，解得{x=8，y=36.答：井深8尺，绳长36尺. 4(1)【答案】设该店有客房x间，房客y人，根据题意,得{7x+7=y,9(x−1)=y,解得{x=8,y=63.答：该店有客房8间，房客63人(2)【答案】若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320(钱)；若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8=288(钱)<320钱．答：若诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算5.【答案】:C【解析】:设甜果、苦果的个数分别是x和y．根据题意，得{x+y=1000，119x+47y=999，解得{x=657，y=343.则甜果、苦果的个数分别是657和3437.【答案】:{y−x=4.5，x−12y=18.【答案】:设鸡有x只，兔有y只．依题意，得{x+y=35,2x+4y=94,解得{x=23,y=12.答：鸡有23只，兔有12只.9.【答案】:A10.【答案】:{2x+y=11，4x+3y=27【解析】:第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程组为{2x+y=11，4x+3y=27.11.【答案】:解：设甲持钱数为x，乙持钱数为y．根据题意，得{x+y2=50，y+23x=50，解得{x=37.5，y=25.答：甲、乙二人原来分别持钱37.5,25.。
数学思维训练作用
数学思维训练作用数学思维训练作用启发孩子的数学思维3-12岁是孩子思维能力发展的重要阶段，更深入的说，也是孩子智力发展的重要阶段。
所以，这一时期如果能够让孩子接受到数学思维训练，会让初中或者高中的学习都变得较为轻松。
并且，暑假时间充足，可以有针对性的、集中给孩子进行思维训练，这样在下一个学年开学的时候，孩子的学习能力就会有一个质的提升。
学习起来也就不觉得困难了。
变被动学习为主动学习如果孩子的思维发展不好，那么面对数学题，他们只会觉得一团乱麻，难以明白其中的原理。
而当孩子的思维能力得到提升以后，在他们看到题目时，就能发现其中设计的巧妙和解题的思路所在。
这会让孩子对数学产生极大的兴趣，把它当做一个挑战，当问题解答成功时，会有很大的成就感。
并且，精锐教育旗下的至慧学堂采用的还不是死板的数学思维训练方法，而是采用了哈佛商学院所用的哈佛案例教学法，这样让孩子在情境中学习，不但学习效率高，还能激发孩子对数学学习的兴趣。
补缺补漏、弯道超越暑期对孩子的学习来说是一个很好的缓冲期。
这一阶段家长要注意的，就是将孩子以往存在的数学学习难点给解决掉，并且再让孩子的数学能力有进一步的提升，能更好地迎接下一年级更难的数学知识。
而家长会说，如果单就书本知识学习的话，传统的补习班不也行吗?其实不然，一方面是因为题海战术治标不治本，孩子会了这一题，但是却不会做下一题，并且它对孩子的思维能力发展并没有好处，反而很容易让孩子形成定势思维。
而到了下一年级，孩子在数学学习上的领悟能力依旧很低，慢慢的成绩又会落下来。
进行思维训练的方法思维训练方法1.脑力激荡法脑力激荡法(Brainstorming)：脑力激荡法是最为人所熟悉的创意思维策略，该方法法是由Osborn早于1937年所倡导，此法强调集体思考的方法，着重互相激发思考，鼓励参加者于指定时间内，构想出大量的意念，并从中引发新颖的构思。
脑力激荡法虽然主要以团体方式进行，但也可于个人思考问题和探索解决方法时，运用此法激发思考。
奥数思维强化特训——归一问题(专项训练)-2024-2025学年六年级数学上册人教版
奥数思维强化特训——归一问题班级：姓名：学号：一、知识点：归一问题：复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。
这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。
有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。
解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。
有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。
二、精讲练习★1.甲、乙、丙三人合买了8根火腿肠,平分着吃,甲没带钱,乙就付了5根的钱,丙付了3根的钱。
之后,甲带来了他应付的8元钱,求乙和丙各应收回多少钱?★2.某水泥厂计划24天生产1080吨水泥，由于技术改进，平均每天比原计划多生产15吨，可比计划提前几天完成？★3.甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天。
一件工程，甲队单独做需经97天，乙队单独做需经75天。
好果两队合做，3月1日开工，那么几月几日可以完工？★★4.小明、小冬、小军三人去超市买笔,小明买了7支,小冬买了5支,小军没带钱。
回家后,三人平分了从超市买回的笔,小军拿出了应付的8元钱,他应付给小明多少钱?他应付给小冬多少钱?★★5.4辆大卡车5次运煤80吨,3辆小卡车8次运煤36吨.现在有煤77吨,用一辆大卡车和小卡车同时运多少次运完？★★6.某工程原计划42人12天（每天按8小时工作）完成，工作7天后因支援其他紧急任务调走了12人，那么剩下的工作还要几天才能完成？若要求按原定日期完工，那么每天得工作多少小时？★★7.3台拖拉机每天耕地5小时,6天可以耕地900公顷。
现有土地3000公顷,如果5台拖拉机用10天耕完,并且每天耕地量不变,每天要耕地几小时?★★★8.一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第2集《整数巧算》(附试题+答案解析)
四年级数学上册《整数巧算》思维特训案例班级：姓名：效果：1.计算：28＋208＋2008＋20008=（）2.计算：（1＋3＋5＋…＋2011）－（2＋4＋ 6＋…＋2010）=（）3.计算：（99999＋9999＋999＋99＋9）÷9=（）4.计算：（6789＋7896＋8967＋9678）÷5=（）5.在下面四个算式中，得数最小的算式是（）①2002×1999－1999②2003×1998－1998②③2004×1997－1997④2005×1996－19966.计算：[2010＋2009×（2010＋1）]÷（2010×2011－1）=（）7.计算：2010×2011－2009×2012=（）8.计算：6×4444×2222＋3333×5555的得数中有（）个数字是奇数。
9.计算：20062007×2007－2006×20072007=（）10.计算：33×20102010－2010×330033=（）11.计算：9999×7777＋3333×6666=（）12.计算：2006×111111111111－1111×200620062006=（）13.计算：20092009×201020102010－20102010×200920092009=（）14.计算：999999×555555－222222×999999=（）15.计算：1234÷9＋3214÷9＋5100÷9＋451÷9=（）16.计算：17×47＋47×19＋19×6＋6×34=（）17.计算：98＋197＋2996＋39995＋499994＋5999993＋69999992＋799999991=（）18.计算：（1419＋14319＋143319＋1433319＋14333319）÷43=（）19.计算：201×891÷111＋201×73÷37=（）20.计算：12345×2345＋2469×38275=（）参考答案1.计算：28＋208＋2008＋20008=（）解：22252原式=（20＋8）＋（200＋8）＋（2000＋8）＋（20000＋8）=20＋200＋2000＋20000＋8×4=222522.计算：（1＋3＋5＋…＋2011）－（2＋4＋6＋…＋2010）=（）解：10061—2011中奇数1006个，偶数1005个，可以用竖式来表示这个算式：因此结果为10063.计算：（99999＋9999＋999＋99＋9）÷9=（）解：12345原式=9×（11111＋1111＋111＋11＋1）÷9=11111＋1111＋111＋11＋1=123454.计算：（6789＋7896＋8967＋9678）÷5=（）解：6666原式=1111×（6＋7＋8＋9）÷5=66665.在下面四个算式中，得数最小的算式是（）①2002×1999－1999②2003×1998－1998②③2004×1997－1997④2005×1996－1996解：④2002×1999－1999=2001×1999,2003×1998－1998=2002×1998,2004×1997－1997=2003×1997,2005×1996－1996=2004×1996.两个数的和一定，两个数越接近，它们的乘积越大，相反的，两个数越远离，它们的乘积越小，所以，得数最小的算式④。
人教版七年级数学上思维特训(十九)含答案：2分之一n(n-1)的应用
思维特训(十九) 12n (n －1)的应用 方法点津 ·1．数学模型下列问题中，n 表示整数，且n ≥2.(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n 个点――→过其中任意两点画直线所画直线的条数为12n (n －1)； (2)一条直线上有n 个点――→以其中任意两个点为端点的线段所得线段的条数为12n (n －1)； (3)平面内有n 条直线――→保证两两相交最多交点的个数为12n (n －1)； (4)有公共顶点的n 条射线――→任意两条均不重合形成角的个数为12n (n －1)． 2．知识迁移(1)n 个球队――→单循环比赛（即每两个队都要打一场比赛）比赛场数为12n (n －1)； (2)n 个人――→每两人握一次手共握手的次数为12n (n －1)． 典题精练 ·1．我们知道过两点有且只有一条直线．阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，图中一共有3×42＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：图19－S－1(1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)．(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点．(1)请用字母表示以O为端点的所有射线；(2)直线AB上的线段共有多少条？(3)以O为顶点的角有多少个？拓展：如图②，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，A n点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？图19－S－23．已知：如图19－S－3.图19－S－3(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；如图②，三条直线相交，最多有________个交点；如图③，四条直线相交，最多有________个交点；如图④，五条直线相交，最多有________个交点．(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2∶1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．图19－S－4(1)探索：①图(a)中直线l上有2个点，则图中有________条线段；②图(b)中直线l上有3个点，则图中有________条线段；…③图(c)中直线l上有n个点，则图中有________条线段．(2)应用上面发现的规律解决下列问题：①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；②某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．5．阅读理解：我们知道：一条线段有两个端点，线段AB 和线段BA 表示同一条线段．若在直线l 上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n 个不同的点，则共有线段________条(用含n 的式子表示)．类比探究：以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．图19－S －5(1)如图19－S －5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；(2)若引出n 条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n 的式子表示)．拓展应用：一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？详解详析1．解：(1)5个点，共画5×（5－1）2＝10(条)直线， 6个点，共画6×（6－1）2＝15(条)直线， n 个点，共画12n(n －1)条直线． (2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2， 即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．2．解：操作：(1)射线OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5. (2)10条． (3)10个．拓展：直线AB 上的线段共有12n(n －1)条；以O 为顶点的角有12n(n －1)个． 3．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．(2)30条直线相交，最多有30×292＝435(个)交点． (3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．4．解：探索：(1)①有1条线段． ②有3条线段．③有n （n －1）2条线段． (2)①全部赛完共需6×52＝15(场)比赛． ②共握手20×192＝190(次)． 5．解：阅读理解：3 6n （n －1）2类比探究：(1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6.(2)引出n 条射线，共有(n ＋2)条射线，锐角的个数为（n ＋1）（n ＋2）2. 拓展应用：将8个火车站点看作一条直线上的8个点，则共有线段的条数为8×（8－1）2＝28，故需要车票的种数为28×2＝56.。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第9集《应用题综合》(附试题+答案解析)
四年级数学上册《应用题综合（一）》思维特训案例班级：姓名：效果：例1.一人看见山上有一群羊，他自言自语道：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半．又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那一只，一共有100只羊。
”山上的羊群共有（）只。
例2.2011年3月11日，日本发生里氏9级大地震．在3月15日，日本本州岛东海岸附近海发生5级地震，已知里氏地震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月1 5日东海岸地震的（）倍．例3.上午黑猩猩推着两筐桃子去集市卖，大筐有400个，小筐有240个，到了中午，两筐都卖了相等个数的桃子，剩下桃子的数量大筐恰好是小筐的5倍，上午共卖出了（）个桃子。
例4.一张试卷共有21道题，答对一道得8分，答错一道扣6分．小明答完了所有的题目，却得了零分，他答对（）道题．例5.已知7个红球和5个白球共重43克，5个红球和7个白球共重47克，那么4个红球和8个白球共重（）克。
例6.甲、乙、丙三条公路，甲公路的长度是乙公路的3倍，乙公路的长度比丙公路的2倍少25千米，甲公路的长度比丙公路长240千米，甲公路长（）千米，乙公路长（）千米，丙公路长（）千米，例7.某班43名同学围成一圈．由班长起从1开始连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学起从1开始连续报数，结果第一个演节目的是小明，第二个演节目的是小强．那么小明和小强之间有（）名同学．例8.几个小朋友在一起做游戏，选一个小朋友做队长，男孩做队长时，队员中女孩比男孩多一倍；女孩做队长时，队员中男孩和女孩一样多．男孩有（）人，女孩有（）人．例9.柯南家2008年一年用电10200千瓦时，上半年的月平均用电比下半年的月平均用电少100千瓦时．柯南家下半年月平均用电为（）千瓦时．例10.某校男老师的平均年龄是27岁，女老师的平均年龄是32岁，全体老师的平均年龄是30岁．如果男老师比女老师少13名，那么该校共有（）名老师．例11.喜羊羊等一群小羊割了一堆青草准备过冬吃．他们算了一下，平均每只小羊割了45千克．如果除了他们自己外，再分给慢羊羊村长一份，那么每只小羊可分得36千克．回到村里，懒羊羊走来，也要分一份，这样一来，每只小羊就只能分得（）千克草了．例12.某汽车厂同时建成两条生产线．第一条生产线第一个月生产了1000辆汽车，以后每个月比前一个月多生产100辆；第二条生产线第一个月也生产了1000辆汽车，以后每半个月比前半个月多生产50辆．那么，该厂生产20000辆汽车需（）个月．例13.某校学生总人数比四年级人数的6倍少78人，并且除了四年级外其他各年级的学生人数总和力2222人，那么该校共有学生（）人．例14.如下图所示，有海、陆、空三个兵种组成的仪仗队，每兵种队伍有400人，都平均分成8竖行并排前进，海军前后两排间隔1米，陆军前后两排间隔2米，空军前后两排间隔3米，各兵种队伍之间相隔5米，三兵种士兵每分钟都走90米，仪仗队通过检阅台需4分钟．那么检阅台总长为（）米．8竖行例15.某商场有一些糖果，其中水果糖每千克5.6元，奶糖每千克7.2元，巧克力每千克8.8元．奶糖比水果糖少3千克，比巧克力多2千克，这些糖果平均价格每千克7元．那么，巧克力有（）千克．例16. 宁宁、蕾蕾和凡凡三人合租一辆轿车从学校回家（见下图）．他们约定：共同乘坐的部分所产生的车费由乘坐者平均分摊；单独乘坐的部分所产生的车费，由乘坐者单独承担，结果，三人承担的车费分别为10元、25元、85元．宁宁家距离学校12公里，凡凡家距离学校（）公里。
思维特训(六) 与一元二次方程有关的阅读理解
思维特训(六)与一元二次方程有关的阅读理解阅读材料型题是近年来中考试题中出现的新题型，它以内容丰富、构思新颖别致、题型多样为特点，由阅读材料和解决问题两部分组成，让考生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，进而解决问题．解答阅读理解题，要读懂材料，正确理解题意，弄清题目要求，理清问题与材料之间的关系．把问题带到题目中，认真理解材料所提供的思路，多角度去思考，或直接运用阅读中得到的方法、思想解决问题，或在材料中所提供的信息的基础上加以类比、变式、拓展得到类似的方法进行求解．类型一十字相乘法解一元二次方程1．阅读下列材料：(1)将多项式x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：①竖分二次项与常数项：xx－57，x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：7x＋(－5x)＝2x←x×7＝7x，x×(－5)＝－5x且7x＋(－5x)＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：(1)x2－10x＋21＝0；(2)x2＋2x＝8；(3)x2－5x－6＝0.类型二换元法解一元二次方程2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知(x＋y－3)(x＋y＋4)＝－10，求x＋y的值．解：设t＝x＋y，则原方程变形为(t－3)(t＋4)＝－10，即t2＋t－2＝0，∴(t＋2)(t－1)＝0，∴t1＝－2，t2＝1，∴x ＋y ＝－2或x ＋y ＝1.解答问题：已知(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋2)＝7，求x 2＋y 2的值．类型三 含绝对值的一元二次方程的解法3．阅读例题，解答问题．例：解方程：x 2＋||x ＋1－1＝0.解：(1)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，原方程化为x 2＋x ＋1－1＝0，即x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1.(2)当x ＋1＜0，即x ＜－1时，原方程化为x 2－(x ＋1)－1＝0，即x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.∵x ＜－1，∴x 1＝－1，x 2＝2都舍去．综上所述，原方程的解是x 1＝0，x 2＝－1.依照上述解法，解方程：x 2－2||x －2－4＝0.类型四 与一元二次方程有关的几何问题的解法4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少．下边是小明同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．小明的作业解：x 2－7x ＋10＝0，∵a ＝1，b ＝－7，c ＝10，∴b 2－4ac ＝9＞0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝7±32，∴x 1＝5，x 2＝2.当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5，5，2；当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边长分别是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根． (1)当m ＝2时，求①ABC 的周长；(2)当①ABC 为等边三角形时，求m 的值．5．阅读下列内容，并解题：我们知道，计算n 边形的对角线条数公式为：12n (n －3)． 如果一个n 边形共有20条对角线，那么可以得到方程12n (n －3)＝20. 整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5.∵n 为大于或等于3的整数，∴n ＝－5不合题意，舍去，∴n ＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，解答下列问题：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A 同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A 同学的说法正确吗？为什么？类型五 构造一元二次方程6．问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝y 2. 把x ＝y 2代入已知方程，得(y 2)2＋y 2－1＝0. 化简，得y 2＋2y －4＝0.故所求方程为y 2＋2y －4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数；(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．详解详析1．解：(1)x2－10x＋21＝0.因式分解，得(x－3)(x－7)＝0，∴x－3＝0或x－7＝0，∴x1＝3，x2＝7.(2)x2＋2x＝8.整理，得x2＋2x－8＝0，因式分解，得(x－2)(x＋4)＝0，∴x－2＝0或x＋4＝0，∴x1＝2，x2＝－4.(3)x2－5x－6＝0.因式分解，得(x－6)(x＋1)＝0，∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x1＝6，x2＝－1.2．解：设t＝x2＋y2，则原方程变形为(t－4)(t＋2)＝7，即t2－2t－15＝0，解得t1＝5，t2＝－3(不合题意，舍去)，∴x2＋y2＝5.3．解：x2－2|x－2|－4＝0.(1)当x－2≥0，即x≥2时，原方程化为x2－2(x－2)－4＝0，即x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.∵x≥2，∴x＝0舍去．(2)当x －2＜0，即x ＜2时，原方程化为x 2＋2(x －2)－4＝0，即x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2.∵x ＜2，∴x ＝2舍去．综上所述，原方程的解是x 1＝2，x 2＝－4.4．解：发现思考：错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5. 错误原因：此时不能构成三角形．探究应用：(1)当m ＝2时，方程为x 2－2x ＋34＝0，∴x 1＝12，x 2＝32. 当腰为12时，12＋12＜32，∴12，12，32不能构成三角形； 当腰为32时，等腰三角形的三边长分别为32，32，12，此时周长为32＋32＋12＝72. 故当m ＝2时，△ABC 的周长为72. (2)若①ABC 为等边三角形，则原方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(－m )2－4(m 2－14)＝m 2－2m ＋1＝0， ∴m 1＝m 2＝1.故当①ABC 为等边三角形时，m 的值为1.5．解：(1)设多边形的边数为n ，根据题意得12n (n －3)＝14， 整理得n 2－3n －28＝0，解得n ＝7或n ＝－4.∵n 为大于或等于3的整数，∴n ＝－4不合题意，舍去，∴n ＝7，即多边形的边数是7.(2)A 同学的说法不正确．理由如下：当12n (n －3)＝10时，整理得n 2－3n －20＝0，解得n ＝3±892，∴符合方程n 2－3n －20＝0的正整数n 不存在，∴多边形的对角线不可能有10条．6．解：(1)设所求方程的根为y ，则y ＝－x ， 所以x ＝－y .把x ＝－y 代入已知方程x 2＋x －2＝0， 得(－y )2＋(－y )－2＝0.化简，得y 2－y －2＝0.故所求方程为y 2－y －2＝0.(2)设所求方程的根为y ，则y ＝1x ，所以x ＝1y . 把x ＝1y代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0，得 a (1y )2＋b ·1y＋c ＝0， 去分母，得a ＋by ＋cy 2＝0.若c ＝0，有ax 2＋bx ＝0，于是方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为0，不符合题意． ∴c ≠0，故所求方程为cy 2＋by ＋a ＝0(c ≠0)．。
【初中数学】人教版九年级上册思维特训（二） 一元二次方程根与系数的关系运用技巧(练习题)
人教版九年级上册思维特训（二）一元二次方程根与系数的关系运用技巧(353)1.如果方程x2+px+q=0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2=−p，x1·x2=q．请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a，b满足a2−15a−5=0，b2−15b−5=0，求ab +ba的值；(3)已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值2.已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．3.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，求m的值4.已知关于x的一元二次方程x2−6x+(2m+1)=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1x2+x1+x2⩾20，求m的取值范围．5.已知x1,x2是一元二次方程(a−6)x2+2ax+a=0的两个实数根．(1)是否存在实数a，使−x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．(2)求使代数式(x1+1)(x2+1)的值为负整数的实数a的整数值．6.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(3a−1)x+2a2−1=0的两个实数根，且(3x1−x2)(x1−3x2)=−80成立，求实数a的可能值7.关于x的一元二次方程3x2+mx−8=0有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m的值．8.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根−2和m．求m，n的值．9.已知一元二次方程x2+3x−4=0的两根为x1，x2，求x12+x1x2+x22的值10.已知关于x的方程x2+2x−k=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若α，β是这个方程的两个实数根，求α1+α+β1+β的值；(3)根据(2)的结果你能得出什么结论？参考答案1(1)【答案】解：设关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0)的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−m，x1·x2=n，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−mn，1x1·1x2=1n，∴所求的一元二次方程为x2+mn x+1n=0，即nx2+mx+1=0(n≠0)(2)【答案】①当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2−15x−5=0的两根，∴a+b=15，ab=−5，∴ab +ba=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=152−2×(−5)−5=−47. ②当a=b时，ab+ba=1+1=2.∴ab +ba的值为−47或2(3)【答案】∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=−c，ab=16c，∴a，b是关于x的方程x2+cx+16c =0的两根，∴Δ=c2−4×16c≥0.∵c>0，∴c3≥64，从而c≥4，∴正数c的最小值为42(1)【答案】∵方程有实数根，∴Δ=(−4)2−4m=16−4m≥0，∴m≤4(2)【答案】∵x1+x2=4，∴5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x1=2，∴x1=−2.把x1=−2代入x2−4x+m=0，得(−2)2−4×(−2)+m=0，解得m=−123.【答案】:解：根据根与系数的关系，得α+β=−(2m+3),αβ=m2, ∴1α+1β=β+ααβ=−(2m+3)m2=−1,即m2−2m−3=0.∵Δ=(2m+3)2−4m2>0，∴{m2−2m−3=0，(2m+3)2−4m2>0，解得m=34(1)【答案】根据题意，得Δ=(−6)2−4(2m+1)⩾0，解得m⩽4【解析】:一元二次方程有实数根，则Δ⩾0，进而求出m的取值范围(2)【答案】根据题意，得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x2⩾20，所以2(2m+1)+6⩾20，解得m⩾3，而m⩽4，所以m的取值范围为3⩽m⩽4【解析】:根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，将其代入2x1x2+x1+ x2⩾20，解关于m的不等式，并结合(1)中的结论确定出满足条件的m的取值范围5(1)【答案】存在．根据题意，得Δ=(2a)2−4×a(a−6)=24a≥0，解得a≥0.又∵a−6≠0，∴a≠6.由根与系数的关系，得x1+x2=−2aa−6，x1x2=aa−6．∵−x1+x1x2=4+x2，∴x1+x2+4=x1x2,即−2a a−6+4=aa−6， 解得a =24.经检验，a =24是方程−2aa−6+4=aa−6的解(2)【答案】原式=x 1+x 2+x 1x 2+1=−2aa−6+aa−6+1=66−a ． ∵66−a 为负整数，∴6−a =−1或6−a =−2或6−a =−3或6−a =−6, 解得a =7或a =8或a =9或a =12.6.【答案】:解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a −1)x +2a 2−1=0的两个实数根， ∴Δ=(3a −1)2−4(2a 2−1)=(a −1)(a −5)≥0，x 1+x 2=−(3a −1)，x 1x 2=2a 2−1，而(3x 1−x 2)(x 1−3x 2)=−80， ∴3x 12−10x 1x 2+3x 22=−80， 即3(x 1+x 2)2−16x 1x 2=−80， ∴3[−(3a −1)]2−16(2a 2−1)=−80，∴5a 2+18a −99=0，解得a =3或a =−335．当a =3时，方程x 2+(3a −1)x +2a 2−1=0的Δ<0， ∴a =3不合题意，舍去，∴a =−3357.【答案】:设方程的另一个根为t ． 依题意得3×(23)2+23m −8=0， 解得m =10． 又23t =−83， 所以t =−4． 综上所述，该一元二次方程的另一个根是−4，m 的值为10．【解析】:另一种方法：x 1x 2=c a =−83，则另一个根是−4，又x 1+x 2=−b a =−103，所以m =10.8.【答案】:解：∵关于x 的方程x 2+x +n =0有两个实数根−2,m ,∴{−2m =n ，−2+m =−1，解得{m =1，n =−2，即m,n 的值分别是1，−29.【答案】:解：根据题意得x 1+x 2=−3，x 1x 2=−4，所以x 12+x 1x 2+x 22=(x 1+x 2)2−x 1x 2=(−3)2−(−4)=1310(1)【答案】解：Δ=4+4k，∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即4+4k>0，∴k>−1(2)【答案】由根与系数的关系可知α+β=−2，αβ=−k，∴α1+α+β1+β=α(1+β)+β(1+α)(1+α)(1+β)=α+β+2αβ1+α+β+αβ=−2−2k1−2−k=2(3)【答案】当k>−1时，α1+α+β1+β的值与k值无关。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第12集《相遇问题》(附试题+答案解析)
四年级数学上册《相遇问题》思维特训案例班级：姓名：效果：1 甲乙两人分别以每小时4.5千米，5.5千米的速度从相距55千米的两地同时向对方出发地前进，当两人从面对面相距13千米到背对背相距13千米，他们走了几小时？2. 摩托车和白行车从相距298千米的甲、乙两地相向而行．摩托午每小时行52千米，自行车每小时行18千米．途中摩托车发生故障，修理了1小时，然后继续前进，两车相遇时摩托车行了多少千米？3.A、B两站相距560千米，客车与货车同时从A站出发驶向B站，客车每小时行80千米，货车每小时行40千米，客车到达B站停留一小时，又以原速度返回A站，两车相遇的地点离A站多少千米？4. 甲、乙两人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇，如果两人的速度每小时各增加1千米，那么相遇地点距离前一次相遇地点1千米，甲每小时行多少千米？乙每小时行多少千米？5.A、B两地相距2000米，小明早起去B地办事，同时他的宠物狗花花也从A地出发，在AB两地间不停的来回跑动，如果小明每分钟走50米，花花每分钟跑200米，那么在小明到B地的过程中，花花和小明共遇到____次。
（包括花花、小明迎面相遇以及花花背后追上小明两种情况）6. 有一条圆形跑道长600米，小明和小秫在同一地点同时出发，沿跑道背向而行，小明每分钟前行90米，小林每分钟前行60米，经过20分钟后，两人相遇了____ 次．7. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果两人都按照原定速度行进，3小时可以相遇，现在甲比原计划每小时少走1千米，乙比原计划每小时少走0. 5千米，结果两人用了4小时相遇.A、B两地相距____千米．8.小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米．小王步行，速度为每小时4千米，如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王，那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？9.甲、乙两人同时从A，B两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A，B 两地的距离为（）米．A. 500B.750C.900D. 120010.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米．两车继续各自前行，分别到达B、A两地后立即返回，不作停留，在离A 地70千米处第二次相遇.A、B两地间的距离为多少千米？11.欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米．两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是。
【思维特训案例-讲练合卷】四年级数学上册思维特训案例第14集《基本方法求面积》(附试题+答案解析)
四年级数学上册《基本方法求面积》思维特训案例班级：姓名：效果：1.若将一个边长为6厘米的正方形盖在一个三角形上，使两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的三分之二，那么这个三角形的面积是平方厘米．2.正方形一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米．3.一块由一个三角形和一个平行四边形组成的玉米地，其形状如下图所示（单位：米）．它的面积是平方米．4.在下图中，四边形ABCD，DEFG均为正方形，C、D、E三点在同一条直线上，已知CE=14厘米，AG=2厘米，那么两个正方形的面积之和是平方厘米．5.在下图中，I3C一10厘米，EC一6厘米，直角三角形EDF的面积比直角三角形FAB的面积小5平方厘米．那么，长方形ABCD的面积是平方厘米．6.正方形ABCD与长方形BEFG如下图放置，AG=CE=2厘米，那么正方形ABCD的面积比长方形BEFG的面积大平方厘米.7.下图中甲的面积比乙的面积大平方厘米．8.如下图所示，将2006个边长为8厘米的正方形纸片，每4厘米错开排列起来，那么这2006张纸片覆盖的面积是平方厘米．9. E是正方形ABCD的边CD上的三等分点（见下图），BE把正方形分成一个梯形和一个三角形．梯形的周长比三角形的周长大8厘米．正方形ABCD的面积是平方厘米.10.下图是回字形的长方形草地（单位:厘米），阴影部分的面积为平方厘米.11.下图（单位：厘米）中大正方形中阴影部分的面积是平方厘米.12.如下图所示，四边形ABCD是梯形，上底是8厘米，下底是16厘米．点E是Bc边上任意一点，如果△AED的面积是30平方厘米，那么梯形AI3CD的面积是平方厘米13. 如下图所示，将图1中的等腰直角三角形的两端如图2那样折起，再对折后可得图3那样的图形.请问图3中的阴影部分的面积是多少平方厘米？参考答案1.若将一个边长为6厘米的正方形盖在一个三角形上，使两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的三分之二，那么这个三角形的面积是平方厘米．【答案】48﹦24（平方厘米），所以三角形的面积为【分析】重叠部分的面积为6×6×2324×2﹦48（平方厘米）．2.正方形一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米．【答案】84.5【分析】正方形的面积=对角线×对角线÷2．此正方形的面积：13×13÷2﹦84.5（平方厘米）3.一块由一个三角形和一个平行四边形组成的玉米地，其形状如下图所示（单位：米）．它的面积是平方米．【答案】87【分析】面积是：6×8÷2+7×9﹦87（平方米）4.在下图中，四边形ABCD，DEFG均为正方形，C、D、E三点在同一条直线上，已知CE﹦14厘米，AG﹦2厘米，那么两个正方形的面积之和是平方厘米．【答案】100【分析】由题意，两正方形的边长和是14厘米，差是2厘米，所以大正方形边长为8厘米，小正方形边长为6厘米，所以面积和是8×8+6×6﹦100（平方厘米）．5.在下图中，I3C一10厘米，EC一6厘米，直角三角形EDF的面积比直角三角形FAB的面积小5平方厘米．那么，长方形ABCD的面积是平方厘米．【答案】35【分析】长方形ABCD与三角形BCE的画积差就是三角形ABF与三角形DEF的面积差，所以长方形ABCD的面积是10×6÷2+5﹦35（平方厘米）．6.正方形ABCD与长方形BEFG如下图放置，AG﹦CE﹦2厘米，那么正方形ABCD 的面积比长方形BEFG的面积大平方厘米.【答案】4【分析】正方形ABCD与长方形BEFG的面积差就是长方形AGHD与长方形CEFH 的面积差，长方形CEFH的面积﹦CH×2，长方形AGHD的面积﹦AD×2，则长方形AGHD与长方形CEFH的面积差就是一个边长为2的正方形的面积．所以正方形ABCD的面积比长方形BEFG的面积大4平方厘米．7.下图中甲的面积比乙的面积大平方厘米．【答案】8【分析】利用差不变，S甲–S乙﹦8×6÷2﹦8×4÷2﹦8（平方厘米）．8.如下图所示，将2006个边长为8厘米的正方形纸片，每4厘米错开排列起来，那么这2006张纸片覆盖的面积是平方厘米．【答案】96304【分析】由图可知除最上面一个正方形为完整图形外，其余的2005个正方形均重叠了一小部分面积，且被重叠的面积为4×4﹦16（平方厘米），则每增加一个正方形纸片，增加的面积为8×8－16﹦48（平方厘米），因此，2006个纸片的总面积为64+48×2005﹦96304（平方厘米）．9. E是正方形ABCD的边CD上的三等分点（见下图），BE把正方形分成一个梯形和一个三角形．梯形的周长比三角形的周长大8厘米．正方形ABCD的面积是平方厘米.【答案】36【分析】设CE﹦a厘米，那么正方形边长等于3a厘米，8﹦C梯形ABED－ C∆BCE﹦AB+BE+ ED+ DA – BE－ CE－ BC﹦ 3a+3a+2a －a － 3a ﹦4a，所以n﹦2，所以正方形边长为6厘米，面积为36平方厘米．10.下图是回字形的长方形草地（单位:厘米），阴影部分的面积为平方厘米.【答案】428【分析】 S阴影﹦18×30－（30－8－8）×(18－5－5)﹦428（平方厘米）11.下图（单位：厘米）中大正方形中阴影部分的面积是平方厘米.【答案】3【分析】S阴影﹦4×4－1×4÷2×2－3×3﹦3（平方厘米）12.如下图所示，四边形ABCD是梯形，上底是8厘米，下底是16厘米．点E是Bc边上任意一点，如果△AED的面积是30平方厘米，那么梯形AI3CD的面积是平方厘米【答案】90【分析】方法一：三角形ADE的高为30×2÷8﹦7.5（厘米），那么梯形面积为(8+16)×7.5÷2﹦90（平方厘米）．方法二：由于BC﹦2AD，△AEB与△ECD的面积和是△AED画积的2倍，所以梯形的面积是30×(1+2)﹦90（平方厘米）．13. 如下图所示，将图1中的等腰直角三角形的两端如图2那样折起，再对折后可得图3那样的图形.请问图3中的阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】9. 375【分析】等腰直角三角形底边上的高长度为底边的一半，原i角形面积为：10×5÷2﹦25平方厘米；现在所求的阴影部分的面积为原三角形与下图的等腰直角j角形的差的一半．则阴影部分面积为： (25－5×2.5÷2)÷2﹦9. 375（平方厘米）．。
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思维特训(十九) 12n (n －1)的应用
方法点津 ·
1．数学模型
下列问题中，n 表示整数，且n ≥2.
(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n 个点
――→过其中任意两点画直线所画直线的条数为12
n (n －1)； (2)一条直线上有n 个点――→以其中任意两个点为端点的线段所得线段的条数为12
n (n －1)； (3)平面内有n 条直线――→保证两两相交最多交点的个数为12
n (n －1)； (4)有公共顶点的n 条射线
――→任意两条均不重合形成角的个数为12n (n －1)． 2．知识迁移
(1)n 个球队――→单循环比赛（即每两个队都要打一场比赛）比赛场数为12
n (n －1)； (2)n 个人――→每两人握一次手共握手的次数为12
n (n －1)． 典题精练 ·
1．我们知道过两点有且只有一条直线．
阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：
如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：
过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，
图中一共有3×42
＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：
图19－S－1
(1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；
若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；
若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)．
(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．
2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点．
(1)请用字母表示以O为端点的所有射线；
(2)直线AB上的线段共有多少条？
(3)以O为顶点的角有多少个？
拓展：如图①，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，A n点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？
图19－S－2
3．已知：如图19－S－3.
图19－S－3
(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；
如图①，三条直线相交，最多有________个交点；
如图①，四条直线相交，最多有________个交点；
如图①，五条直线相交，最多有________个交点．
(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？
(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2①1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？
4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．
图19－S－4
(1)探索：
①图(a )中直线l 上有2个点，则图中有________条线段；
①图(b )中直线l 上有3个点，则图中有________条线段；
①图(c )中直线l 上有n 个点，则图中有________条线段．
(2)应用上面发现的规律解决下列问题：
①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；
①某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．
5．阅读理解：
我们知道：一条线段有两个端点，线段AB 和线段BA 表示同一条线段．
若在直线l 上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n 个不同的点，则共有线段________条(用含n 的式子表示)．
类比探究：
以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．
图19－S －5
(1)如图19－S －5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；
(2)若引出n 条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n 的式子表示)．
拓展应用：
一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？
详解详析
1．解：(1)5个点，共画5×（5－1）2
＝10(条)直线， 6个点，共画6×（6－1）2
＝15(条)直线， n 个点，共画12
n(n －1)条直线．
(2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2，
即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．
2．解：操作：(1)射线OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5. (2)10条． (3)10个．
拓展：直线AB 上的线段共有12n(n －1)条；以O 为顶点的角有12
n(n －1)个． 3．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．
(2)30条直线相交，最多有30×292
＝435(个)交点． (3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．
4．解：探索：
(1)①有1条线段． ①有3条线段．
①有n （n －1）2
条线段． (2)①全部赛完共需6×52
＝15(场)比赛． ①共握手20×192
＝190(次)． 5．解：阅读理解：3 6
n （n －1）2
类比探究：(1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6.
(2)引出n 条射线，共有(n ＋2)条射线，锐角的个数为（n ＋1）（n ＋2）2
. 拓展应用：将8个火车站点看作一条直线上的8个点，则共有线段的条数为8×（8－1）2
＝28，
故需要车票的种数为28×2＝56.。