思维特训(十九) 12n(n-1)的应用

思维特训(十九) 12n (n －1)的应用

方法点津 ·

1．数学模型

下列问题中，n 表示整数，且n ≥2.

(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n 个点

――→过其中任意两点画直线所画直线的条数为12

n (n －1)； (2)一条直线上有n 个点――→以其中任意两个点为端点的线段所得线段的条数为12

n (n －1)； (3)平面内有n 条直线――→保证两两相交最多交点的个数为12

n (n －1)； (4)有公共顶点的n 条射线

――→任意两条均不重合形成角的个数为12n (n －1)． 2．知识迁移

(1)n 个球队――→单循环比赛（即每两个队都要打一场比赛）比赛场数为12

n (n －1)； (2)n 个人――→每两人握一次手共握手的次数为12

n (n －1)． 典题精练 ·

1．我们知道过两点有且只有一条直线．

阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：

如图19－S －1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A ，B ，C ，D ，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：

过A 点可以画出三条通过其他三点的直线，过B 点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C 点、D 点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB 和直线BA 是一条直线，因此，

图中一共有3×42

＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：

图19－S－1

(1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；

若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；

若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)．

(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．

2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点．

(1)请用字母表示以O为端点的所有射线；

(2)直线AB上的线段共有多少条？

(3)以O为顶点的角有多少个？

拓展：如图①，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，A n点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？

图19－S－2

3．已知：如图19－S－3.

图19－S－3

(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；

如图①，三条直线相交，最多有________个交点；

如图①，四条直线相交，最多有________个交点；

如图①，五条直线相交，最多有________个交点．

(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？

(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2①1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？

4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，A n在直线l上．

图19－S－4

(1)探索：

①图(a )中直线l 上有2个点，则图中有________条线段；

①图(b )中直线l 上有3个点，则图中有________条线段；

①图(c )中直线l 上有n 个点，则图中有________条线段．

(2)应用上面发现的规律解决下列问题：

①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；

①某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．

5．阅读理解：

我们知道：一条线段有两个端点，线段AB 和线段BA 表示同一条线段．

若在直线l 上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n 个不同的点，则共有线段________条(用含n 的式子表示)．

类比探究：

以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．

图19－S －5

(1)如图19－S －5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；

(2)若引出n 条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n 的式子表示)．

拓展应用：

一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？

详解详析

1．解：(1)5个点，共画5×（5－1）2

＝10(条)直线， 6个点，共画6×（6－1）2

＝15(条)直线， n 个点，共画12

n(n －1)条直线．

(2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2，

即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．

2．解：操作：(1)射线OA 1，OA 2，OA 3，OA 4，OA 5. (2)10条． (3)10个．

拓展：直线AB 上的线段共有12n(n －1)条；以O 为顶点的角有12

n(n －1)个． 3．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．

(2)30条直线相交，最多有30×292

＝435(个)交点． (3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．

4．解：探索：

(1)①有1条线段． ①有3条线段．

①有n （n －1）2

条线段． (2)①全部赛完共需6×52

＝15(场)比赛． ①共握手20×192

＝190(次)． 5．解：阅读理解：3 6

n （n －1）2

类比探究：(1)引出两条射线，共有4条射线，锐角的个数为6.

(2)引出n 条射线，共有(n ＋2)条射线，锐角的个数为（n ＋1）（n ＋2）2

. 拓展应用：将8个火车站点看作一条直线上的8个点，则共有线段的条数为8×（8－1）2

＝28，

故需要车票的种数为28×2＝56.