成都市高一下期数学期末考试

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四川省成都市成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

四川省成都市成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．1313B ．21313．如图，三棱锥-P ABC 中，PC 二、多选题9．对于两个平面a ，b 和两条直线m ，n ，下列命题中假命题是（）A ．若m a ^，m n ^，则//n aB ．若//m a ，a b ^，则//m b三、填空题13．已知()4,2a =r ，()6,b y =r ，且//a b r r ，则y =___________.14．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x ，17，y ，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x y +=___________.15．一个人骑自行车由A 地出发向东骑行了9km 到达B 地，然后由B 地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30°骑行了16km到达D地，则A，D两地距离为____________km.16．某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由OA，OB，OC，OD四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有___________.一条线段所在的直线竖直向上，则sin AOBÐ=【分析】（1）设AC 中点为D ，则1A D ^平面ABC ，然后由面面垂直的判定可得平面ABC ^平面11ACC A ，从而可得二面角1B AC C --为直二面角；（2）由面面垂直的性质可得BC ^平面11ACC A ，则1BC AC ^，再结合11AC A B ^可得1AC ^平面1A BC ，则11AC AC ^，从而可得11ACC A 为菱形，进而可求得结果；（3）利用等体积法求解即可.【详解】（1）设AC 中点为D ，因为1A 在底面ABC 上的投影恰为AC 的中点.所以1A D ^平面ABC ，因为1A D Ì平面11ACC A ，所以平面ABC ^平面11ACC A ，所以二面角1B AC C --的正弦值为1.（2）因为平面ABC ^平面11ACC A ，且平面ABC Ç平面11ACC A AC =又因为BC AC ^，所以BC ^平面11ACC A ，因为1AC Ì平面11ACC A ，所以1BC AC ^.。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)

成都七中高2026届高一下期期末考试数学试题一.单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2i z =-,则z z -=（）A.B.2iC.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据共轭复数写出z ，即可求出模长.【详解】2i z =- ，2i z ∴=+，即(2i)(2i)2i 2z z -=+--==.故选：C.2.若2,a a = 与b 夹角为60，且()b a b ⊥- ，则b = （）.A.32B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直，结合数量积的定义即可列方程求解.【详解】由()b a b ⊥- ，得20b a b ⋅-= ，故22cos600b b ⋅-=，故1b = 或0b = ，若0b = ，则,a b共线，不满足题意，故1b = ，故选：B3.已知tan 2α=，α为锐角，则πsin()4α+=（）. A.1010B.1010 C.31010-D.31010【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式把πsin()4α+展开，然后利用同角三角函数基本关系即可求解.【详解】πππ2sin(sin coscos sin (sin cos )4442ααααα+=+=+ ,，,α为锐角，sin 0,cos 0αα∴>>，sin tan 2cos ααα== ，sin 2cos αα∴=，又22sin cos 1αα+= sin ,cos 55αα∴==，即35sin cos 5αα+=，得0π2sin()31n cos 4201ααα+=+=.故选：D.4.将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一条对称轴可能为（）.A.5π12B.π12C.5π3D.π3【答案】D 【解析】【分析】根据平移伸缩得到三角函数解析式再求对称轴即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()1πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则对称轴为πππ,Z 232x k k +=+∈,所以对称轴为π2π,Z 3x k k =+∈，当0k =时对称轴为π3x =.故选：D.5.已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，且m αβ⋂=，给出下列四个命题:①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则n α⊥或n β⊥③若,αβγβ⊥⊥，则//αγ④若,//n m n γβ⋂=，则//γα则上述命题中正确的个数为（）.A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用直线、平面间的位置关系判断即可.【详解】对于①，若,//m m n αβ⋂=，则如图所示，第一种情况，n 在,αβ外，可得//n α或//n β；第二种情况，n 在β内，可得//n α；第三种情况，n 在α内，可得//n β，综上所述，//n α或//n β，故①正确；对于②，若,m m n αβ⋂=⊥，则n 与α相交或在α内，n 与β相交或在β内，故②错误；对于③，若m αβαβγβ⊥⋂=⊥，，，则,αγ相交或//αγ，故③错误；对于④，若,,//m n m n αβγβ⋂=⋂=，则//γα或γ与α相交，故④错误.故选：B.6.同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数之差绝对值小于2的概率为（）.A.23B.59C.49D.13【答案】C 【解析】【分析】|根据古典概型计算即可.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数分别为,x y ，共有36种情况，点数之差绝对值小于2的情况有()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5共16种点数之差绝对值小于2的概率为()1642369P x y -<==.故选：C.7.羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色.碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑，一般多建于村寨住房旁.现有一碉楼，其主体部分可以抽象成正四棱台1111ABCD A B C D -，如图，已知该棱台的体积为311224m 8m 4m AB A B ==，，，则二面角1A AB C--的正切值为（）.A.3B.2C.D.32【答案】A 【解析】【分析】先求出正四棱台的高，再取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，即可求解．【详解】解：设正四棱台的高为h ，则(221843V h =++，得()12246416323h =++，得6h =，取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，如图所示：取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，则184=6,22MN OO h EN -====，得6tan 32MN MEN EN∠===，故选：A8.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知160a A == ，，设O G ，分别是ABC 的外心和重心，则AO AG ⋅的最大值是（）A.12B.13 C.14D.16【答案】B 【解析】【分析】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，求得212AO AC AC ⋅= ，212AO AB AB ⋅= ，化解得221166AO AG AB AC +=⋅ ，再通过余弦定理及均值不等式即可求解.【详解】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，因为21|||cos |||||2AO AC AO AC OAC AH AC AC ⋅=⋅∠=⋅= ,同理21|||cos 2|AO AB AO AB OAB AB ⋅=⋅∠= ,则()221332AO AG AO AD AO AB AC ⎛⎫⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭()()222211113666AO AB AC AB b c =⋅+=+=+，在ABC 中，1,60a A ==︒，由余弦定理得2222cos60a b c bc ︒=+-，即221b c bc +=+，由均值不等式，2212bc b c bc +=+≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==等号成立），所以()()()2211111116663AO AG c b bc ⋅=+=+≤+= .故选：B．二.多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知()()1,,2,3a b ==+λλr r，则（）.A.“1λ=”是“a ∥b”的必要条件B.“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件C.“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件D.“12λ=”是“a b ⊥ ”的充分条件【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ：根据向量平行的坐标表示结合充分必要条件分析判断；对于CD ：根据向量垂直的坐标表示结合充分必要条件分析判断.【详解】因为()()1,,2,3a b ==+λλr r，对于选项AB ：若a ∥b，则()23+=λλ，解得1λ=或3λ=-，可知a ∥b，等价于1λ=或3λ=-，若a ∥b ，不能推出1λ=，所以“1λ=”不是“a ∥b”的必要条件，故A 错误；若3λ=-，可以推出a ∥b ，所以“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件，故B 正确；对于选项CD ：若a b ⊥，则230++=λλ，解得12λ=-，可知a b ⊥ ，等价于12λ=-，若a b ⊥ ，可以推出12λ=-，所以“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件，故C 正确；若12λ=，不能推出a b ⊥ ，“12λ=”不是“a b ⊥ ”的充分条件，故D 错误；故选：BC.10.已知一组样本数据()12201220,,,,x x x x x x ≤≤≤ 下列说法正确的是（）.A.该样本数据的第60百分位数为12x B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C.若样本数据的方差2022112520i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和为100D.若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合百分位数、数据方差，以及平均数与方差的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，由200.612⨯=，可得第60百分位数为12132x x +，错误；对于B ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，正确；对于C ，由()11222202011252020i i i i s x x x ===∑-=∑-，则20202221150020i i i i x x x ==-=-∑∑，所以5x =,故这组样本数据的总和等于20100x =，正确；对于D ，若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍，正确．故选：BCD ．11.如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，2,4,AB BC AA '===N 为棱C D ''中点，1,2D M P '=为线段A B '上一动点，下列结论正确的是（）.A.线段DP 长度的最小值为655B.存在点P ,使AP PC +=C.存在点P ，使A C '⊥平面MNP D.以B 为球心，176为半径的球体被平面AB C '所截的截面面积为6π【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，在三角形中，由垂线段最短即可计算得到；对于B ，通过平面翻折，化空间到平面，利用两点之间线段最短计算出AP PC +的最小值，再与C ，依题意作出经过三点,,M N P 的平面，再证明A C '与平面垂直即得；对于D ，利用球的截面圆的性质，先通过等体积求得球心到平面的距离，再由垂径定理求出截面圆半径即得.【详解】对于A ，如图1，因A B A D ''===,BD =,故当DP A B ⊥'时，线段DP 长度最小，此时由等面积，1122DP ⨯⨯，解得655DP ==，故A 正确；对于B ，如图2，将平面A D CB ''旋转至平面11BC D A ',使之与平面A AB '共面，连接1AC 与A B '交于点1P ，此时1111AP PC AC +=为最小值.sinA BA '∠==,190A BC '∠=,故1cos cos(90)sinABC A BA A BA ''∠=∠+=-∠=-由余弦定理，2221122222cos 88(8AC ABC =+-⨯⨯∠=-⨯-=+,故1AC =>因此不存在这样的点P ，使AP PC +=B 错误；对于C ，如图3，取131,,22B E B F A G =='=''，连接FG 交A B '于P ，下证AC MN '⊥.连接D C ',由2D N D DD M DC''=='可得ND M D DC '' ,则得D C MN '⊥,因D A ''⊥平面DCC D '',因MN ⊂平面DCC D '',则D A MN ''⊥,因D C D A D ''''⋂=,,D C D A '''⊂平面A D C ''，故MN ⊥平面A D C ''，又A C '⊂平面A D C '',故A C MN '⊥.同理，A C EN '⊥,因MN EN N ⋂=,,MN EN ⊂平面MEN ,故A C '⊥平面MEN .下证//EF GM .取线段A G '的三等分点,J K ,取A D ''的中点H ，连接,,,EH HJ JF D K ',易证////,EH A B FJ EH A B FJ ''''==,则得EFJH ,得//EF JH ,易得//JH D K ',因//,D M GK D M GK ''=,得D MJK ' ,得//D K GM ',故得//EF GM .同理可得//MN FG ，因此,,,,M N E F G 五点共面．由A C '⊥平面MEN 可得A C '⊥面MNEFG .所以存在这样的点P 使A C '⊥面MNP ，故C正确；对于D ，如图4，以点B 为球心，176为半径的球面被面AB C '所截的截面为圆形，记其半径为r，则r =（*），其中d 为点B 到平面AB C '的距离．由B ABC B AB C V V --''=可得，1133ABC AB C S BB S d ''⨯⨯=⨯⨯ ，则122442132d ⨯⨯⨯==⨯，代入（*），得52r =，所以截面面积225ππ4S r ==，故D 错误．故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查多面体中与动点有关的距离最值，截面性质问题，属于难题.解题关键在于处理距离和的最小值常常需要平面翻折，截面问题，一般应先作出截面，再根据条件分析截面性质，对于球的截面圆，常通过垂径定理求解.三.填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.习主席曾提出“绿水青山就是金山银山”的科学论断，为响应国家号召，农学专业毕业的小李回乡创业，在自家的田地上种植了,A B 两种有机生态番茄共5000株，为控制成本，其中A 品种番茄占40%.为估计今年这两种番茄的总产量，小李采摘了10株A 品种番茄与10株B 品种番茄，其中A 品种番茄总重17kg ，B 品种番茄总重23kg ，则小李今年共可收获番茄约_______kg .【答案】10300【解析】【分析】求解两种番茄的种植株数，利用比例即可求解.【详解】由题意，知A 品种番茄共40%5000=2000⨯株，B 品种番茄3000株，故共可收获番茄约172320003000103001010⨯+⨯=kg ，故答案为：1030013.已知三棱锥A BCD,ABC - 是边长为2的等边三角形，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为_______.【答案】28π3##28π3【解析】【分析】判断出等腰直角三角形BCD △的直角，根据面面垂直的性质说明四边形1O EGO 为矩形，求出相关线段长，即可求得三棱锥外接圆半径，即可求得答案.【详解】由于ABC 是边长为2的等边三角形，故2BC =，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，假设BDC ∠为直角，则BD DC ==112BCD S ==△不合题意；故DBC ∠或DCB ∠为直角，不妨设DBC ∠为直角，则2BD BC ==；设ABC 的中心为G ，E 为BC 的中点，则,,A G E 共线，且AE BC ⊥，由于平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，故⊥AE 平面BCD ，设O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，1O 为DC 中点，即为BCD △的外接圆圆心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BCD ，则1OO AE ∥，连接1OG,O E ，则OG ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ,则OG AE ⊥，又⊥AE 平面BCD ，1O E ⊂平面BCD ，则1AE O E ⊥，则四边形1O EGO 为矩形，则112122323OG O E DB ,AG ====⨯=,故22273OA OG AG =+=，故三棱锥A BCD -的外接球表面积为228π4π3OA ⨯=，故答案为：28π314.在ABC 中，43AB AC AB AC P ⊥==，，，为斜边BC 上一动点，点Q 满足2PQ =，且AQ mAB nAC =+，则2m n +的最大值为______________.【答案】1323+【解析】【分析】取AB 中点D ，连接CD 交AQ 于点E ，由平面向量的线性运算得2AQ m n AE+=，过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=，如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值，即可求解．【详解】AB 中点D ，由题可知点Q 点在以P 为圆心，以2为半径的圆上，则2AQ mAB n AC mAD n AC =+=+；连接CD 交AQ 于点E ，()1AE AD AC λλ=+-，则()()1AQ AQ AQ AE AD AC AE AEλλ=⋅=⋅+- ，故2AQ m n AE+=．过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=．如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值．则3tan tan 2∠=∠=BFQ ADC，得sin ∠=BFQ ，得2,223sin 33BQ AB BF BF m n BFQAD +===+==∠．故答案为：1323+四.解答题:本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是1AA 的中点，点F 在AB上.（1）当F 是AB 的中点时，证明:平面//EFO 平面11A D C ;（2）当F 是靠近B 的三等分点时，求异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3015．【解析】【分析】（1）利用OF OE ，分别为11,BC A C A D 的中位线，得到//OF 平面11A D C ，//OE 平面11A D C ，借助面面平行的判定定理证明即可;（2）由1//OE A C 可知EOF ∠或其补角为异面直线FO 与1AC 所成角，借助余弦定理求出即可.【小问1详解】由正方体1111ABCD A B C D -可知，,O E 是1,AC AA 中点，所以1//,OE A C 因为11A D ⊂平面11,A D C OE ⊄平面11A D C ，所以//OE 平面11A D C .因为F 是AB 中点，O 是AC 中点，所以OF 为ABC 的中位线，故11////OF BC A D ．又由于1AC ⊂平面11,A D C OF ⊄平面11A D C ，所以//OF 平面11A D C ．又,,OE OF O OE OF =⊂ 平面EFO ，故平面//EFO 平面11A D C ．【小问2详解】由1//OE A C 知，异面直线FO 与1AC 所成角即为EOF ∠或其补角．由于1AA ⊥平面,,ABCD AB AO ⊂平面ABCD ，则1AA 与,AB AO 都垂直，所以90EAF EAO ∠=∠=︒，由题意得4AF =，在Rt EAF △中，由勾股定理可得5EF =．易得3AO AE ==，在Rt EAO △中，由勾股定理可得EO =在OAF △中，45CAB ∠=︒，由余弦定理得FO ==，在EOF 中，由余弦定理可得2222cos EF EO FO EO FO EOF =+-⋅⋅∠，代入解得cos 015EOF ∠==>．所以异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值为3015．16.2024年4月26日，主题为“公园城市、美好人居”的世界园艺博览会在四川成都正式开幕，共建成113个室外展园，涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格，吸引了全球各地游客前来参观游玩.现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了50名游客，统计他们的参观时间(从进入至离开该展园的时长，单位:分钟，取整数)，将时间分成[)[)[]455555658595 ，，，，，，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值;（2）由频率分布直方图，试估计该展园游客参观时间的第75百分位数(保留一位小数);（3）由频率分布直方图，估计样本的平均数¯(每组数据以区间的中点值为代表).【答案】（1）0.015a =；（2）78.3（3）69x =．【解析】【分析】（1）应用频率和为1求参数；（2）应用频率分布直方图求百分位数步骤求解；（3）应用频率分布直方图求平均数步骤求解.【小问1详解】由样本频率分布直方图可知()0.0120.0250.035101a +++⨯=，解得0.015a =；【小问2详解】样本频率直方图前三组频率之和为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，前四组频率之和为()0.0100.0250.0350.015100.850.75+++⨯=>，所以样本数据的第七十五百分位数在第四组内，设其为x ，则()750.0150.700.75x -⨯+=，解得78.3=x ，所以样本数据的第七十五百分位数为78.3．由样本估计总体，估计该展园游客参观时间的第七十五百分位数也为78.3；【小问3详解】0.0110500.03510600.02510700.01510800.0151090x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，计算可得，样本的平均数69x =．17.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下:在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球;若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权;比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为23，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.（1）求甲至少赢1个回合的概率;（2）求第二回合中有选手得分的概率;（3）求甲乙两人在比赛中平局的概率.【答案】（1）2627（2）59（3）427．【解析】【分析】（1）根据对立事件概率求法及乘法公式结合条件即得；（2）结合对立事件和独立事件，应用和事件求概率；（3【小问1详解】设事件=i A “第i 回合甲胜”，事件M =“甲至少赢一回合”，故M =“甲每回合都输”．i A 为i A 对立事件，()23i P A =，故()13i P A =．()()()()()()31231231261111327P M P M P A A A P A P A P A ⎛⎫=-=-=-=-=⎪⎝⎭，故甲至少赢1个回合的概率为2627．【小问2详解】设事件N =“第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =⋃，且12A A 和12A A 互斥，则()()()()()()()1212121259P N P A A P A A P A P A P A P A =+=⋅+⋅=，故第二回合有人得分的概率为59．【小问3详解】设事件Q =“甲乙两人平局”，由题可知，只有0:0与1:1两种情况，因此123123Q A A A A A A =⋃，故()()()()()()()()()123123123123427P Q P A A A P A A A P A P A P A P A P A P A =+=+=，故甲乙两人平局的概率为427．18.记ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知4,2,sin sin 2sin a c a A c C b B ==+=，D 是线段AC 上的一点，满足13AD AC =，过D 作一条直线分别交射线BA 、射线BC 于M N 、两点.（1）求b ，并判断ABC 的形状;（2）求BD 的长;（3）求BM BN ⋅的最小值.【答案】（1）b =，钝角三角形（2）2133（3）409【解析】【分析】（1）由正弦定理得b =cos 0A <，得到π2A >，ABC 是钝角三角形；（2）,BA BC 可作为一组基底，求出5cos ,cos 8BA BC B 〈〉== ，根据题目条件得到2133BD BA BC =+ ，平方后2BD，从而求出答案；（3）设,BM xBA BN yBC ==，根据向量共线得到()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈ ，由向量基本定理得到()21,313x y t t ==-，表达出()291BM BN BA BC t t⋅=⋅-⋅ ，其中50BA BC ⋅=>，由基本不等式求出最小值.【小问1详解】由正弦定理得，222sin sin 2s n 2i a a c A c C b B b ⇒+=+=，又4,2a c ==，解得b =．又因为22220b c a +-=-<，故222cos 02+-=<b c a A bc，因为0πA <<，故π2A >，所以ABC 是钝角三角形．【小问2详解】由平面向量基本定理，,BA BC可作为一组基底向量，且有2,4BA BC == ，2225cos ,cos 28a cb BA BC B ac+-〈〉===．由于13AD AC = ，所以()13BD BA BC BA -=- ，故2133BD BA BC =+ ．BD ==3===；【小问3详解】由题意可设,BM xBA BN yBC == ．由于,,M D N 三点共线，设MD tMN =，01t <<，故()BD BM t BN BM -=- ，故()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈．所以()21133BD t x BA ty BC BA BC =-⋅+⋅=+ ，由平面向量基本定理，解得()21,313x y t t ==-，所以()21,313BM BA BN BC t t ==-．因此()()21231391BM BN BA BC BA BC t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭⎝⎭，而||||cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，其中()11122t t t t -+-≤=，当且仅当1t t -=，即12t =时，等号成立，因此当12t =时，409BM BN ⋅= 为最小值．【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.19.如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，90ABC ∠= ，四边形11ABB A 是菱形，D 为AB 中点，1A D ⊥平面ABC ，点1A 到平面11BCC B 1AA 与1CC 的距离为2.（1）求证:CB ⊥平面11ABB A ;（2）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值;（3）若E F ，分别为1AA AC ，的中点，求此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）53412．【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；（2）先根据线面垂直判定定理证明线面垂直，几何法得出线面角，再计算得出正弦值；（3）先找到截面，再计算截面即可.【小问1详解】因为1A D ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，故1A D BC ⊥．又由90ABC ∠=︒，即1,,AB BC AB A D D AB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,1A D ⊂平面11ABB A ，因此BC ⊥平面11ABB A ．【小问2详解】由于菱形11ABB A ，且1A D 为AB 的垂直平分线，因此可知1A AB △和11B A B 均为等边三角形．由BC ⊥平面11,ABB A BB ⊂平面1ABB A ，可得1BC BB ⊥，斜三棱柱进一步可得11B BCC 是矩形．此时作1111,A P BB AQ CC ⊥⊥，连接1,,PQ PC AC ．由题知，112,AQ A P =⊂平面11ABB A ，可得111,BC A P BC BB B BB ⊥⋂=⊂，平面11,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，因此1AP ⊥平面11BCC B ，因此由题知，1,A P PQ PC =⊂平面11BCC B ，所以也有11,A P PQ A P PC ⊥⊥．因此，1ACP ∠为1AC 与平面11BB C C 所成角．在1Rt A PQ △中，1PQ ==，由矩形可知1BC PQ ==．由于1A P =1B AB △中，可以解得12,BB P =为1BB 中点，1BP =．所以，在Rt BCP △中，PC =1Rt ACP △中，1AC =．因此，111115sin ,5A P ACP AC AC ∠===与平面11BB C C所成角的正弦值为5．【小问3详解】延长1,EF C C 交于点M ，连接1MB ，交BC 于N ，连接FN ，如图，故四边形1B EFN 即为所得截面．上一问可知，菱形11ABB A 的边长为2，矩形11B BCC 中1BC =，平行四边形11ACC A中111112,AA CC AC AC AC =====．要计算截面1B EFN 的面积，首先研究1B EM △．在11A B E △中，由于11120EA B ∠=︒，由余弦定理可得1B E =,E F 为中点，因此12EM EF AC ===，此时有1MC AE ==，在直角11MB C中1MB N =为BC 的三等分点．因此1B EM △中，由余弦定理可得2221111cos 25EM MB EB EMB EM MB +-∠==⋅⋅，第21页/共21页所以可以计算得117sin 5EMB ∠=．设截面面积为S ，由于111,23MF ME MN MB ==，有11111115534sin sin 22612B EM NFM B EM S S S ME MB EMB MF MN EMB S =-=⋅⋅∠-⋅⋅∠==△△△因此，此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积为53412．。

四川省成都市新都区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题(含答案)

成都市新都区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴在规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，满分58分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z 满足：（i 为虚数单位），则z 为（）A ．B ．C．D ．2．在直角坐标平面内，的三顶点的坐标分别为，，，则的面积为（）A ．120B ．60C ．30D ．153．将函数图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移后得函数的图象，则函数的解析式为（）A ．B ．C ．D ．4．在正四棱锥的所有棱长均相等，E 为PC 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为（）()20241i 23i z +=+31i 2-31i 2+15i 22+51i 22+ABC △()1,1A --()7,2B -()3,7C ABC △()sin f x x =12π6()g x ()g x ()1πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()πsin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()πsin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭P ABCD -ABCD5．在直角坐标平面内，已知，，，，以y 轴为旋转轴，将四边形ABCD 旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．6．中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，交AC 于点D ，且，则a 的值为（）A ．BC ．6D ．37．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉，八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点O 为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则的值为（）A ．14B ．12C ．10D ．88．四面体ABCD 中，若，，，则此四面体的外接球的表面积()0,1A -()4,1B --()4,4C -()0,1D 16π36π76π96πABC △120ABC ∠=︒c =BD BC ⊥1BD =ACD △AB AO ⋅DA DB DC ===3BC =5π6BAC ∠=为（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．设都是复数，i 是虚数单位，则下列结论中一定成立的是（）A ．方程无复数解B ．若，则C．D ．10．下列命题正确的是（）A ．一个三棱锥被过三条侧棱的中点的平面所截，截得的两部分为一个三棱台和一个小三棱锥，则此三棱台与小三棱锥的体积比为7B ．圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径，高，则截面三角形面积的最大值为48C ．圆锥被过其顶点的某平面所截，截面形状为一个三角形，若圆锥的底面半径，高，则截面三角形面积的最大值为48D ．若一个平行六面体被某平面所截，所得截面形状为四边形，则此四边形至少有一组对边互相平行11．的内心为P ，外心为O ，重心为G ，若，，下列结论正确的是（）A ．的内切圆半径为B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，满分92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上）12．若，则的值为______．13．欧拉公式：（i 是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为______．14．如图，平面四边形ABCD 中，，，，，沿AC 将折起成直二面角（折起后原来平面图形的D 点变为空间图形的P 点），则折起后四面体PABC 的内切球半径为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或验算步骤．）48π16π12π4π12,,z z z 2350z z -+=368i z z -=+32i z =+1212z z z z =22z z=8r =6h =6r =8h =ABC △5AB AC ==6BC =ABC △32r =6550PA PB PC ++= 6550OA OB OC ++= 1124OG =5sin cos 4αα+=sin 2αi cos isin x e x x =+x ∈R i 1x e -3AD BC ==4AB =AB BC ⊥AD AC ⊥ADC △P AC B --已知函数，其中，且函数的图像的对称中心与对称轴的距离的最小值为．（1）求的解析式；（2）求在区间上的值域．16．（本小题15分）如图，边长为6的正中，点D 在边AC 上，且，点M 在线段BD 上．（1）若，求的值；（2）若，求x 及的值．17．（本小题15分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若．（1）求角C 的大小；（2）设D 是AB 上一点，且，，且，求的面积．18．（本小题17分）如图，四棱锥中，底面ABCD 是边长为4的菱形，，，E 为PA 中点，AC 与BD 交点为O ．（1）求证：平面EBD ；（2）．求证：平面平面PAC ；（3）若，求点C 到平面ABE 的距离．()21cos cos 2f x x x x ωωω=+-0ω>()f x π4()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC △2AD DC =BD m AB nAC =+m n +2AM xAB xAC =+cos AMC ∠ABC △cos 2cos B b aC c c+=2BD DA =1CD =2sin 3sin B A =ABC △P ABCD -4PD PB ==60BAD ∠=︒PC ∥EBD ⊥PA PC =（1）若对恒成立，求的值；（2）求的值域；（3）正五棱锥的所有棱长均为2，求此正五棱锥的表面积．成都市新都区2023-2024学年高一下学期期末测试数学试题参考答案一、单选题：1~8．B C D D C BA A 二、多选题：9．BC 10．ACD 11．ABD三、填空题：12． 13．2 14．四、解答题：15．【详解】（1）．函数的图像的对称中心与对称轴的距离的最小值为．周期为，则，∵，∴所以即为所求函数的解析式．（2）∵，∴由正弦型函数的图像可得即为所求值域．16．【详解】（1）∵，而∴，则即为所求．（2）∵，得，∴，又∵，∴()2sin 3sin cos x x p x q =+x ∀∈R p q +()sin 5sin xf x x=91623()211πcos cos 2cos 2sin 2226f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x π44ππ4T ==2ππ2ω=0ω>1ω=()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23BD AD AB AB AC =-=-+BD m AB nAC=+ 123m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩13m n +=-2AD DC =2AD DC = 32AC AD =2AM xAB xAC =+ 3232AM xAB x AD xAB xAD=+⋅=+∵M 、B 、D 三点共线，∴，则即为所求x 的值．则，∴∴∴，同理可求：∴∴即为所求．【注：也可以利用余弦定理解三角形求解．】17．【详解】（1）∵，由正弦定理知：∴∵，，∴，∵，．（2）由题意得，，，，【法一】在中，，在中，，∵，∴，化简得．31x x +=14x =1142AM AB AC =+ 1142CM AM AC AB AC=-=- ()()()222211111634216444AMAB AC AB ACAB AC ⎛⎫=+=++⋅= ⎪⎝⎭AM = CM =()()2211271644AM CM AB AC ⋅=-=-cos cos ,AM CM AMC AM CM AM CM⋅∠===⋅cos 2cos B b a C c c +=cos sin 2sin cos sin sin B B AC C C+=()sin cos sin sin cos sin 2sin sin cos sin cos sin cos sin B C B C B C A AC C C C C C C++===sin 0A ≠sin 0C ≠1cos 2C =0πC <<π3C =13AD c =23DB c =1CD =ACD △22119cos 23c b ADC c +-∠=BCD △22419cos 43c a CDB c +-∠=πADC BDC ∠+∠=cos cos ADC BDC ∠=-∠2222233a b c +-=在中，，∴，整理得．【注：此法还可以抓住顶点A 或B 在相应的两个三角形分别使用余弦定理可得，只要正确，都应相应给分．】【法二】∵，∴∴∵且得：又∵，则，∴，则∴，即为的面积．18．【详解】（1）设，连结EO ，∵E 为PA 中点，O 为AC 中点，∴，又∵平面EBD ，平面EBD ，∴平面EBD ；（2）连结PO ，∵，O 为BD中点，∴，又∵底面ABCD 为菱形，∴，∵，∴平面PAC ，又∵平面EBD ，∴平面平面PAC ；（3）由（2）得：，由，同理可得：∴面ABCD 可求：，∴而中，，可求：，ABC △222222cos c a b ab C ab ab =+-=+-()22222233a b a b ab +-=+-22429a b ab ++=2BD DA =()123CD CA CB=+ ()()()()22222211124444cos 999CD CA CB CA CBCA CB b a ab C ⎡⎤⎡⎤=+=++⋅=++⎣⎦⎢⎥⎣⎦1CD = π3C =22429a b ab ++=2sin 3sin B A =23b a =2139a =2913a =21sin 2ABC S ab C ===△ABC △AC BD O = EO PC ∥EO ⊂PC ⊄PC ∥PD PB =PO BD ⊥AC BD ⊥PO AC O = BD ⊥BD ⊂EBD ⊥PO BD ⊥PA PC =PO AC ⊥PO ⊥AC =4BD =PO =111243226C ABE E ABC PO V V AC OB --==⨯⨯⨯⨯=⨯=PAB △4AB =PA =4PB =可求：而，则则C 到平面ABE 的距离．19．【详解】（1）∵∴，则．即为所求．【注：还可以代值，构造方程组求解】如：时，；时，，解得，则．即为所求．（2）由，【或】∵，∴，【或】∴即为所求值域．（3）∵，∵，∴，∴（舍）或（舍）或，∴∴12EAB PAB S S ==△△13C ABE EAB C ABE V S d --=△4C ABE -=C ABE d -=()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin x x x x x x x=+=+()()2222sin cos 2cos 1sin sin 4cos 1x x x x x =+-=-41p q =⎧⎨=-⎩3p q +=π2x =10q -=+π6x =13124p q ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭41p q =⎧⎨=-⎩3p q +=()()42sin 23sin 516cos 12cos 1sin sin x x x f x x x x x+===⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+()()2sin 44cos 22cos 21sin x x f x x x x+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-sin 0x ≠[)2cos 0,1x ∈[)cos 21,1x ∈-()5,54f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭3sin 34sin 3sin θθθ=-+3ππ2π2πsin sin cos 1021010⎛⎫=-= ⎪⎝⎭32πππ4sin 3sin 12sin 101010-+=-πsin110=πsin 10=πsin 10=πcos5=πcot 5=∴，而∴12π52cot 225S ⎡⎤=⋅⋅=⎢⎥⎣⎦底252S ==侧S S S =+=表底侧。

2023_2024学年四川省成都市成华区高一下册期末数学模拟测试卷(附答案)

2023_2024学年四川省成都市成华区高一下册期末数学模拟测试卷一、单选题1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（）11i -i A ．B ．C ．D ．11i 22-11i 22+11i 22-+11i 22--【正确答案】A【分析】先将化简后，再求出其共轭复数即可.11i -【详解】因为，11i 11i1i (1i)(1i)22+==+--+所以其共轭复数为.11i 22-故选：A.2．已知向量满足，且，则（）,a b 1a b ⋅= 22a b == a b -=r rA B C ．1D ．12【正确答案】B【分析】转化为平面向量的数量积可求出结果.【详解】a b -=r r ===故选：B3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）,m n ,αβA ．若，则B ．若，则,m n n α∥∥//m α,m n αα∥∥m n ∥C ．若，则D ．若，则,,m n m n αβ∥∥∥αβ∥,,m n αβαβ⊥⊥⊥m n⊥【正确答案】D【分析】由空间中的线面关系，结合特例法判断ABC ，根据两平面的法向量的位置关系判断两直线的位置关系判断.D 【详解】对于A ，若，则或，错误；,m n n α∥∥//m αm α⊂对于B ，若，的位置关系不确定，可以平行、相交、异面直线，错误；,m n αα∥∥,m n 对于C ，若，则或者相交，错误；,,m n m n αβ∥∥∥αβ∥αβ，对于D ，若，可得的方向向量分别是的法向量，因为，所以,m n αβ⊥⊥,m n ,αβαβ⊥的法向量垂直，所以的方向向量垂直，则，正确.,αβ,m n m n ⊥故选：D.4．在中，，则（）ABC2,30AB AC B ===A =A ．或B ．C ．或D ．120 30120105 15105【正确答案】C【分析】由余弦定理求出，再由余弦定理求出，根据三角形内角和可得答案.BC C 【详解】由余弦定理得，2222cos30AC AB BC AB BC =+-⋅⋅所以，2244BC BC =+-220BC -+=得或，1=BC 1BC =当时，1=BC 222cos 2BC AC AB C BC AC +-=⋅==因为，所以，，0180C <<45C =A =105当时，，1BC =222cos 2BC AC ABC BC AC +-=⋅==因为，所以，，0180C << 135C = A =15所以或.A =105A =15故选：C5．在平行四边形中，为对角线上靠近点的三等分点，延长交于，ABCD E AC C DE BC F 则（）DF =A ．B ．12AB AD- 12AB AD+C ．D ．12AB AD -12AB AD +【正确答案】A【分析】根据三角形相似推出为的中点，再根据平面向量的线性运算可得答案.F BC 【详解】易知，，所以，又，所以，即为ADE CFE !!12CF CE AD AE ==BC AD =12CF BC=F的中点，BC 所以.DF AF AD AB BF AD =-=+- 12AB AD AD =+- 12AB AD=-故选：A6．在中，若，，则的形状为（）ABC 222sin sin sin A C B =-()2cos AB BC AC C =-ABC A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．有一个内角为的直角三角形60【正确答案】D【分析】由正弦定理推出，结合推出，，可90C =()2cos AB BC AC C =-2AB BC =60B =得答案.【详解】由以及正弦定理得，即，则222sin sin sin A C B =-222BC AB AC =-222BC AC AB +=，，，BC AC ⊥90C = cos 0C =又，所以，，，即的形状为有()2cos AB BC AC C =-2AB BC =1cos 2BC B AB ==60B = ABC 一个内角为的直角三角形.60︒故选：D.7．在直三棱柱中，，则直线与所111ABC A B C -190,1,2CAB AB AC AA ∠====1AC 1BA 成角的余弦值为（）A B C D 【正确答案】B 【分析】连接、交于，取的中点，连、，可得（或其补角是1AC 1A C D BC E DE AE ADE ∠直线与所成的角），计算可得答案.1AC 1BA 【详解】连接、交于，取的中点，连、，1AC 1A C D BC E DE AE则，则或其补角是直线与所成的角，1//DE BA ADE ∠1AC 1BA 在直三棱柱中，，因为，111ABC A B C -1AA AB ⊥12AA=AB =所以，1BA ===112DE BA ==在直三棱柱中，，因为，，111ABC AB C -1A A AC ⊥12A A =1AC =所以1A C ==AD =因为，所以，，90,1CAB AB AC ∠===3BC ==1322AE BC ==在中，.ADE V 222cos 2ADDE AE ADE AD DE +-=⋅Ð=所以直线与.1AC 1BA故选：B.8．如图，设是平面内相交成的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的,Ox Oy 60︒21,e ex y 单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，12OP xe ye =+ (),x y OP Oxy 记作．若，则的值为(),OP x y =u u u r()()12cos ,1,1,sin ,OP OP θθ== π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭121,2OP OP ⋅=- θ（）A ．B ．C ．D ．3π4π5π44π3【正确答案】B【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出12e e ⋅ ，利用平面向量数量积的运算性质可求得答案.221121=cos si ,n O e P OP e e e θθ+=+ 【详解】由平面向量数量积的定义可得，2121211cos 60122e e e e ⋅=⋅=⨯=由题意可得()()12cos ,1,1,sin ,OP OP θθ==π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭121,2OP OP ⋅=- 221121=cos si ,n O e P OP e e e θθ+=+ 所以，()()()221212112122cos sin cos sin co s +s +1in O e e e e e e e P OP e θθθθθθ=+⋅+=⋅+⋅ ，()2sin s 11+cos cos in 12θθθθ=++=-设，+cos ==sin t θθ4θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为，所以，π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3π7π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，πsin 4θ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣)=t ⎡∈⎣由()2sin sin 11+cos cos 12θθθθ++=-可得，221114012322t t t t ⎛⎫++=-⇒+⎪-+= ⎝⎭解得（舍去），，3=t -=1t -由，0sin sin +cos 112cos 1c s os in θθθθθθ=-⇒+=⇒=因为所以π3π,,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,θ=故选：B.二、多选题9．已知复数为虚数单位，下列说法正确的是（）121i,23i,i z z =-=-+A ．在复平面内对应的点位于第四象限12z z +B ．若，则()()12i i ,z a z b a b +=+∈R 3ab =-C ．若是关于的方程的一个根，则1z x ()20,x px q p q ++=∈R 0p q +=D ．若向量分别对应的复数为，则向量对应的复数为,OA OB 12,z z AB 34i-【正确答案】BC【分析】对于A ，求出，根据复数的坐标可得A 错误；对于B ，根据复数的运算以及复12z z +数相等的条件可得B 正确；对于C ，将代入方程，根据复数相等的条件可得C 正确；对于1z D ，根据复数的向量表示可得D 错误.【详解】对于A ，在复平面内对应的点位于第二象限，故A 错误；1212i z z +=-+(1,2)-对于B ，由得，得，()12i iz a z b +=+()()1i i 23i i a b -+=-++()()11i 23i a a b ++-=-++得，得，，所以，故B 正确；1213a a b +=-⎧⎨-=+⎩3a =-1b =3ab =-对于C ，因为是关于的方程的一个根，11i z =-x ()20,x px q p q ++=∈R 所以，即，得，故C 正确；()21i (1i)0p q -+-+=()2i 0p q p +-+=0p q +=对于D ，因为向量分别对应的复数为，,OA OB12,z z 所以，()21,23i 1i 34iAB OB OA z z =--=-+--=-+对应的复数为，故D 错误.AB34i -+故选：BC10．已知为的外接圆圆心，，下列说法正确的是（）O ABC 2,AB AC AO AO AC+== A ．三点共线,,B O C B ．60B =C ．AB =D ．向量在向量上的投影向量为BA BC 34BC u uu r 【正确答案】ACD【分析】作出图，根据平面向量的基本定理运算判断选项A ，利用圆周角的性质判断得，再结合是等边三角形，可判断得，从而得可判90BAC ∠= AOC 60ACB ∠= 30ABC ∠= 断选项B ，在直角三角形中，利用三角函数列式计算可判断选项C ，根据投影的概念，再结合三角函数计算可判断选项D.【详解】如图，根据平行四边形法则，即，2AB AC AB BD AD AO +=+==2AD AO =所以为的中点，即为与的交点，O AD O AD BC 所以为的中点，所以三点共线，故A 正确；O BC ,,B O C 因为为的外接圆圆心，所以为圆的直径，O ABC BC O 所以，所以，90BAC ∠=12AO BC = 又，所以是等边三角形，AO AC = AOC 所以，，故B 错误；60ACB ∠=30ABC ∠=在中，，所以C 正确；Rt ABC △tan 60ABAC=AB =作于点，则向量为向量在向量上的投影向量，AE BC ⊥E BE BA BC因为，所以，sin 60BABC=BA =34BC = 所以，即向量在向量上的投影向量为，故D 正确.34BE BC = BA BC 34BC u uu r 故选：ACD11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的是（）A ．112A ωϕ=B ．函数的图象关于直线对称()f x 56x =C ．函数在上单调递增()f x 25,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数2x f ω⎛⎫ ⎪⎝⎭π12()g x ()g x 【正确答案】AD【分析】根据图象求出，得A 正确；由以及正弦函数的性质可,,A ωϕπ()2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得B 不正确；C 错误；根据图象变换规律得D 正确.【详解】由图可知，，所以，，2A =11143124T =-=1T =2π2π2π1T ω===由五点作图法可得，得，1π2π122ϕ⋅+=π3ϕ=所以，故A 正确；22π1π12123A ωϕ⋅==⨯由以上知，，，π()2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭55π()2sin 2π2sin 2π0663f ⎛⎫=⋅+== ⎪⎝⎭所以函数的图象不关于直线对称，故B 不正确；()f x 56x =由，得，因为在上不单调，2534x ≤≤5ππ17π2π336x ≤+≤sin y x =5π17π,36⎡⎤⎢⎣⎦所以函数在上不单调，故C 错误；()f x 25,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2x f ω⎛⎫ ⎪⎝⎭π()2sin 2π3x f x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位后得到函数2x f ω⎛⎫ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12()g x 的图象，则为偶函数，故D 正确.ππ2sin 22cos 2123x x⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()g x 故选：AD12．魏晋时期著名数学家刘徽解释了《九章算术-商功》中记录的空间几何体“堑堵、阳马、鳖臑”的形状和产生过程，即：“邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，其意思是：把正方体或长方体斜向分解成两个堑堵，再把堑堵斜向分解得到一个阳马和一个鳖臑，两者的体积比为定值．如图，在长方体被平面截得两个“堑堵”，其中一个“堑堵”又被平面1111ABCD A B C D -11ABC D 11BCC ADD -截为一个“阳马”和一个“鳖臑”，则下列说法正确的是（）1D BC1D ABCD-11D BCC -A ．“阳马”是一个底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”1D ABCD -为四个面全是直角三角形的三棱锥11D BCC -B ．“阳马”的体积是“鳖臑”的体积的2倍1D ABCD -11D BCC -C ．“阳马”的最长棱和“鳖臑”的最长棱不相等1D ABCD -11D BCC -D ．若，“鳖臑”的所有顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则1AB =11D BCC -5π长方体的体积的最大值为21111ABCD A B C D -【正确答案】ABD【分析】对于A ，根据长方体的性质结合线面垂直的性质和判定分析判断，对于B ，根据棱锥的体积公式计算判断，对于C ，计算出各个棱长后分析判断，对于D ，根据鳖臑”的外接球就是长方体的外接球，求出长方体的对角线11D BCC -1111ABCD A B C D -【详解】对于A ，因为四边形是矩形，平面，所以“阳马”是ABCD 1DD ⊥ABCD 1D ABCD -一个底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，因为平面，平面，所以，同理可得，11D C ⊥11BCC B 1BC ⊂11BCC B 111D C BC ⊥1BC D C ⊥又因为，，所以都为直角三角形，111D C CC ⊥1BC C C ⊥111111,,,BCC BCD BC D D C C 所以“鳖臑”为四个面全是直角三角形的三棱锥，正确，11D BCC -对于B ，设，则，1,,AB a AD b AA c ===111133D ABCD ABCD V S DD abc -=⋅=，1111111113326D BCC BCC V S D C bca abc-=⋅=⨯= 所以“阳马”的体积是“鳖臑”的体积的2倍，正确，1D ABCD -11D BCC -对于C ，设，则“阳马”的最长棱为，“鳖1,,AB a AD b AA c ===1D ABCD -1D B =臑”的最长棱为，11D BCC -1D B =所以“阳马”的最长棱和“鳖臑”的最长棱相等，错误，1D ABCD -11D BCC -对于D ，设“鳖臑”的外接球的半径为，则由“鳖臑”的外接球的表面积11D BCC -R 11D BCC -为，得，解得5π24π5πR =R =因为“鳖臑”的外接球与长方体的外接球是同一个球，所以11D BCC -1111ABCD A B C D -12D B R ==设，则，，所以，即，当且仅1,BC x AA y ==2215x y ++=224x y +=2242x y xy =+≥2xy ≤当时取等号，x y ==则长方体的体积为，当且仅当1111ABCD A B C D -2V xy =≤x y ==所以长方体的体积的最大值为2，正确，1111ABCD A B C D -故选：ABD 三、填空题13．已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为．【正确答案】15π【分析】求出圆锥的母线长即可得侧面积．【详解】由题意底面半径为，高为，则母线长为，3r =4h=5l ==所以侧面积为．3515S rl πππ==⨯⨯=故．15π14．若复数（，为虚数单位），且，则的最小值为i z x y =+,x y ∈R i221x y +=3iz -．【正确答案】2【分析】根据复数的几何意义可求出结果.【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是单位圆，||1z ==z 又的几何意义是圆上的动点与定点之间的距离，3iz -221x y +=(,)x y (0,3)所以的最小值为.3iz -12=故答案为.215．已知函数在上有且仅有一个零点，则的值为 ()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N [)0,πω．【正确答案】1【分析】令，，求出，再根据在上有且仅有一个零点列式可求ππ4x k ω+=Z k ∈x ()f x [)0,π出结果.【详解】令，，得，，ππ4x k ω+=Z k ∈ππ4k x ω-=Z k ∈因为函数在上有且仅有一个零点，()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N [)0,π所以，得，ππ4<ππ2π4πωω⎧-⎪⎪⎪⎨⎪-⎪≥⎪⎩3744ω<≤又，所以.N ω∈1ω=故答案为.116．已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则ABCD 30,DAB E ∠=AD 的取值范围为．EB EC ⋅【正确答案】[)0,∞+【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结BC Q EQ 221(4)4EB EC EQ CB ⋅=- 合菱形的几何性质可得答案.【详解】取的中点，连接，则，BC Q EQ 2EB EC EQ +=所以，2222211[()()](4)144EB EC EB EC EB EC EQ CB EQ ⋅=+--=-=-当且仅当时，有最小值，则有最小值，EQ BC ⊥EQ 21EQ - 此时菱形的面积，1112sin 3022221222EQ BC AB AD EQ EQ ⨯=⨯⨯⨯⨯⇒⨯=⨯⨯⨯⨯⇒= 最小值为，21EQ - 110-=因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，E AD EQ 21EQ - 的取值范围为，EB EC ⋅[)0,∞+故[)0,∞+四、解答题17．已知向量．()()4,,2,1,a m b m ==-∈R(1)若，求；a b ⊥m (2)若与的夹角为锐角，求的取值范围．a b m 【正确答案】(1)8m =(2)且.8m <2m ≠-【分析】（1）由可求出结果；0a b ⋅=（2）根据且、不共线列式可求出结果.0a b ⋅>a b 【详解】（1）若，则，即，.a b ⊥ 0a b ⋅=80-=m 8m =（2）若与的夹角为锐角，则且、不共线，a b 0a b ⋅>a b 由，得，即，0a b ⋅>80m ->8m <假设、共线，则，即，a b42m -=2m =-所以当与的夹角为锐角时，且.a b 8m <2m ≠-18．已知，且π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα+=(1)求的值；tan α(2)若，求的值．()()10,π,tan 22βαβ∈+=-αβ+【正确答案】(1)13(2)3π4αβ+=【分析】（1）根据已知条件求出和，可得；sin αcos αtan α（2）根据求出，再根据角的范围可得结果.()()tan 2tan αβαβα⎡⎤+=++⎣⎦()tan αβ+【详解】（1）因为，所以，化简得sin cos αα+=()22sin cos αα+=，32sin cos 5αα=因为，所以，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos sin αα>所以，cos sin αα-===所以cos α==sin α==所以.sin 1tan cos 3ααα===（2）由（1）知，，所以1tan 3α=()()tan 2tan αβαβα⎡⎤+=++⎣⎦()()tan tan 1tan tan αβααβα++=-+所以，解得，()()1tan 13121tan 3αβαβ++-=-+()tan 1αβ+=-因为，，所以，0πβ<<π02α<<3π02αβ<+<所以.3π4αβ+=19．如图，在三棱锥中，，在上，且．-P ABC 90,1,2ABC AB BC ∠===O AC BO AC ⊥(1)求三棱锥与三棱锥的体积之比；P ABO -P BCO -(2)若点在上，且．证明：平面．D PC 15PD PC=//OD PAB 【正确答案】(1).1:4(2)证明见解析【分析】（1）转化为底面积之比可求出结果；（2）由，可得平面.//OD PA //OD PAB 【详解】（1）因为，所以90,1,2ABC AB BC ∠=== AC ==因为，所以，所以BO AC ⊥1122AB BC BO AC⋅=⋅AB BC BO AC ⋅==所以，AO ===OC ==所以，::1:4ABOBCO S S AO OC ==!!所以.::1:4P ABO P BCO ABOBCO V V S S --==!!（2）由（1）知，，又，15AO AC =15PD PC=所以，又平面，平面，//OD PA OD ⊄PAB PA ⊂PAB 所以平面．//OD PAB20．已知函数．()ππsin sin cos 44f x x x x x⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的最小正周期和对称中心；()f x(2)已知锐角的三个角的对边分别为，若，求周长ABC ,,A B C ,,a b c ()4f A a ==ABC 的最大值．【正确答案】(1)的最小正周期为，对称中心为.()f x πππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k ∈Z (2)12【分析】（1）化简，根据正弦函数的最小正周期公式和对称中心可求出结果；()f x（2）由为锐角得，根据的范围求出的最大值后可得周长的()f A =A π3A =B sin sin BC +最大值.【详解】（1）()ππsin sin cos 44f x x x x x⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin cos cos sin sin cos cos sin sin cos 4444x x x x x x⎫⎛⎫=+-+⎪⎪⎭⎝⎭sin cos x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎭)22sin cos sin cos x x x x =-+12sin 22x x =+.πsin(23x =-的最小正周期为，()f x 2ππ2=令，，得，，π2π3x k -=Z k ∈ππ26k x =+Z k ∈所以的对称中心为.()f x ππ,026k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k ∈Z（2）由为锐角三角形，，()f A =πsin(23A -=ABC π02A <<所以，所以，.ππ2π2333A -<-<ππ233A-=π3A=因为，，所以，同理得，4a =π3A=sin sin a B b B A ===c C =所以2πsin sin sin sin 3B C B B ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2π2πsin sin cos cos sin 33B B B=+-，1sin sin 2B B B =++3sin 2B B =π6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，且，所以，2ππ032C B <=-<π02B <<ππ62B <<所以，ππ2π363B <+<所以当，即时，π6B +π2=π3B =sin sin B C +从而取得最大值为.4sin )a b c B C ++=++12即周长的最大值为.ABC 1221．如图，已知正方体的棱长为分别为的中点．1111ABCD A B C D -2,,E F ,BC CD(1)求证：平面平面；1D AF ⊥1D DE (2)记直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，求的余弦1D F 1DDE 1θ1D A 1D DE 2θ12θθ+值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用平面几何知识推出，再根据线面垂直的判定得平面，AF DE ⊥AF ⊥1D DE最后根据面面垂直的判定定理得平面平面；1D AF ⊥1D DE （2）根据平面，得，，在中，由余弦定理可求出AF ⊥1D DE 11FD G θ=Ð12AD G θ=Ð1AD F △结果.【详解】（1）在正方形中，设与交于，ABCD AF DE G 因为分别为的中点．所以，，,E F ,BC CD 1tan 2∠=DAF 1tan 2EDF ∠=所以，所以，DAF EDF =ÐÐπ2DAF ADG EDF ADG +=+=ÐÐÐÐ所以，即，π2AGD =ÐAF DE ⊥在正方体中，因为平面，平面，1111ABCD A B C D -1D D ⊥ABCD AF ⊂ABCD 所以，又，平面，1D D AF ⊥1DD DE D = 1,DD DE ⊂1D DE 所以平面，又平面，AF ⊥1D DE AF ⊂1D AF 所以平面平面.1D AF ⊥1D DE （2）由（1）知，平面，所以，，AF ⊥1D DE 11FD G θ=Ð12AD G θ=Ð因为正方体的棱长为，所以，，1111ABCD A B C D -21AD =1D F =AF =所以.121cos()cos AD F θθ+=Ð22211112AD D F AF AD D F +-=⋅==22．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．ABCDEF 111111A B C D EF(1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，,,A M N 75MAN ∠=米，求该电缆的长度；45,50AMN AM ∠== (2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号111,,B D E 1,2,3塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察32B 2D 30,2 号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1米，2E 45 a 则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）．【正确答案】(1)米.50+(2)米.1a⎛ ⎝【分析】（1）根据正弦定理求出三角形边长，可得三角形周长；（2）在直角梯形中，过作，垂足为，求出米，在1122B D D B 2B 212B M D D ^M 112B D B M a ==直角梯形中，过作，垂足为，求出米，再由1122E D D E 2D 212D N E E ^N 2E N =可得结果.1222B B D M E N ++【详解】（1）因为，，所以，75MAN ∠= 45AMN ∠=60ANM ∠= ()sin sin 75sin 4530MAN ∠==+ sin 45cos30cos 45sin30=+o o oo.12==由正弦定理得，得sin sin MN AM MAN ANM =ÐÐsin sin AM MANMN ANM ⋅=ÐÐ==，sin sin AN AM AMN ANM =ÐÐsin sin AM AMNAN ANM=ÐÐ==所以该电缆的长度为.50AM MN AN ++=++50=+（2）在直角梯形中，过作，垂足为，1122B D D B 2B 212B M D D ^M 则米，，米，12B B a =2230D B M =Ð2D M=所以米，所以米，22tan 30D MB M a === 112B D B M a ==所以正六边形米，111111A B C D EF =在直角梯形中，过作，垂足为，1122E D D E 2D 212D N E E ^N 则米，，所以米，2D N=2245E D N =Ð2E N =所以3号塔吊高为米.1a a ⎛=+ ⎝。

2023-2024学年四川省成都市高一下学期期末质量检测数学试题(含解析)

4
C.
5
D. 4 5
B. sin15sin 30sin 75 1 8
C. cos2 15 sin2 15 3 2
D.
tan 48 tan 72 1 tan 48 tan 72
3
【正确答案】D 【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.
【详解】A 选项， cos82sin 52 sin 82cos128
【正确答案】B 【分析】由复数的除法法则求解即可
【详解】
2i 1 2i
2 i1 2i 1 2i1 2i
5i 5
i
，
D. 4 3 i 55
故选：B
2. 化简 PA PB AB 所得的结果是（）
A. 2 AB
B. 2BA
C. 0
【正确答案】C
【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.
【详解】 PA PB AB PA AB PB PB PB 0 .
D.
tan 48 tan 72 1 tan 48 tan 72
3
5. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a=
2 ，b=
3
，B
π 3
，则角
A
为（
）
3π
A.
4
π
B.
3
π
C.
4
π 3π
D. 或
44
6. “石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年， 2020 年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过 10000 件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金” 的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体

2024届四川省成都市温江区数学高一下期末考试试题含解析

2024届四川省成都市温江区数学高一下期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，扇形OAB 的圆心角为90︒，半径为1，则该扇形绕OB 所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A ．34π B ．2π C ．3π D ．4π2．在△ABC 中，AC 2=，BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°3．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（） A ．11<a bB ．2ab<bC ．22ac <bcD ．22a ab b >>4．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（） A ．3 B ．0C ．1-D ．15．若实数满足，则的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．6．已知集合3{|}U x y x ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=U A C B ⋂（）A ．∅B ．RC ．{|0}x x >D ．{0}7．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（）A ．14B ．27C ．28D ．328．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ( )． A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －6＝09．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A ．1283B ．24-C ．21-D ．1110．下列说法不正确的是（） A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．平行于圆台底面的平面截圆台，截面是圆面D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

成都七中高 2026 届高一下期期末考试数学试题一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若z=2−i ,则|z−z|=（） .A. √2B. 2iC. 2D. 42. 若|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗夹角为60∘ ,且b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗) ,则|b⃗⃗|=（）.A. √32B. 1C. √3D. 23. 已知tanα=2,α为锐角,则sin(α+π4)=（） .A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10104. 将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可能为（）.A. 5π12B. π12C. 5π3D. π35. 已知α,β,γ是三个不同的平面, m,n是两条不同的直线,且α∩β=m ,给出下列四个命题: ①若m//n ,则n//α或n//β②若m⊥n ,则n⊥α或n⊥β③若α⊥β , γ⊥β ,则α//γ④若γ∩β=n,m//n ,则γ//α则上述命题中正确的个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 36. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（）.A. 23B. 59C. 49D. 137. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为“云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为224 m3,AB=8 m ,A1B1=4 m ,则二面角A1−AB−C的正切值为（）.A. 3B. 3√22 C. √3 D. 328. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a =1,A =60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是（） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 已知 a ⃗⃗=(1,λ),b ⃗=(λ+2,3) ,则（）.A. “ λ=1 ” 是 “ a⃗⃗//b ⃗ ” 的必要条件 B. “ λ=−3 ” 是 “ a ⃗⃗//b ⃗ ” 的充分条件 C. “ λ=−12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的充分条件 10. 已知一组样本数据 x 1,x 2,⋯,x 20,(x 1≤x 2≤⋯≤x 20) 下列说法正确的是（）.A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x 12B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数C. 若样本数据的方差 s 2=120∑x i 220i=1−25 ,则这组样本数据的总和为 100D. 若由 y i =2x i (i =1,2,⋯,20) 生成一组新的数据 y 1,y 2,⋯,y 20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍11. 如图,在长方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 中, AB =BC =2,AA ′=4,N 为棱 C ′D ′ 中点,D ′M =12,P 为线段 A ′B 上一动点,下列结论正确的是（）. A. 线段 DP 长度的最小值为 6√55B. 存在点 P ,使 AP +PC =2√3C. 存在点 P ,使 A ′C ⊥ 平面 MNPD. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB ′C 所截的截面面积为 6π 三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .13. 已知三棱锥 A −BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A −BCD 的外接球表面积为 .14. 在 △ABC 中, AB ⊥AC,AB =4,AC =3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 |PQ |=2 ,且 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 2m +n 的最大值为 .四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA 1 的中点,点 F 在 AB 上.(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A 1D 1C ;(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A 1C 所成角的余弦值.16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为“公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成[45,55),[55,65),⋯,[85,95]五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I) 求图中a的值;(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表).17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;(II) 求第二回合中有选手得分的概率;(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a =4,c =2 , asinA +csinC =2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD =13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M 、N 两点.(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;(II) 求 BD 的长;(III) 求 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A 1B 1C 1−ABC 中, ∠ABC =90∘ ,四边形 ABB 1A 1 是菱形, D 为 AB 中点, A 1D ⊥ 平面 ABC ,点 A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 √3,AA 1 与 CC 1 的距离为 2 . (I) 求证: CB ⊥ 平面 ABB 1A 1 ;(II) 求 A 1C 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值;(III) 若 E,F 分别为 AA 1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B 1EF 所截的截面面积.。

成都市2024届数学高一下期末达标测试试题含解析

成都市2024届数学高一下期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（）A ．B ．C ．D ．2．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．303．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 4．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β2，则cosβ＝（） A ．3210B ．210C ．7210 D ．210或7210 5．已知函数f ：R +→R +满足：对任意三个正数x ，y ，z ，均有f （3xyzxy yz zx ++）3f x f y f z ++=（）（）（）.设a ，b ，c 是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（）A ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等差数列B ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c ）一定是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c）一定是等比数列 6．已知数列满足，，则的值为（） A ．2B ．-3C ．D ．7．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（） A ．56B ．2536C ．13D ．11368．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．239．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（） A ．80B ．40C ．60D ．2010．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（） A ．38B ．34C ．35D ．45二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

四川省成都市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)

2022~2023学年度下期高中2022级期末考试数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面有四个命题：①{}{}33x x ⊆≥；②若{R 2a B x x ==∈≥+，则a B ∈；③若a -不属于N *，则a 属于N *；④若{{,A x y B y y ====，则A B=其中真命题的个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A ,B 判断④.【详解】①由子集概念知{}{}33x x ⊆≥正确；②因为2<+，所以a B ∉，故错误；③当0a =时，0N *-∉，0N *∉，故错误；④因为{[]{[]1,1,0,1A x y B y y ===-===，所以A B ≠，故错误.故选：B2.已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则22xy x y --的最小值为（）A.2B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由已知可得121x y+=，再利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为正实数x ，y 满足2x y xy +=，所以121x y+=，则()1242222448y x xy x y x y x y x y x y ⎛⎫--=+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2y x =且121x y+=，即2x =，4y =时取等号.故选：C.3.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A.4m =B.()f x 是减函数C.()f x 是奇函数D.()f x 是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB ，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数()()233mf x m m x =--为幂函数，则2331m m --=，解得4m =或1m =-.当4m =时，()4f x x =在区间()0,∞+上单调递增，不满足条件，排除A ；当1m =-时，()1f x x -=在区间()0,∞+上单调递减，满足题意.函数()1f x x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，但不是减函数，排除B ；因为函数定义域关于原点对称，且1()()f x f x x-==--，所以函数()f x 是奇函数，不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.4.标准的围棋共19行19列,361个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即5210000，下列数据最接近36152310000的()lg30.477»是（）A.3710-B.3610-C.3510-D.3410-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.【详解】由题意，对于36152310000，有36136152523lg lg3lg10000361lg352410000=-=⨯-⨯3610.47752435.803=⨯-⨯=-，所以36135.8035231010000-≈，分析选项B 中3610-与其最接近.故选：B. 5.已知π5sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.23310- B.23310C.33410+ D.33410【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到sin 235x =，从而求出cos 2x ，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为π5sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin cos cos sin 445x x -=，所以()25sin cos 25x x -=，即()2211sin cos 2sin cos 25x x x x +-=，所以sin 235x =，则4cos 25x ==±，所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin 333x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭413525412=+=±±⨯⨯.故选：D6.已知ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，D 是AB 上的三等分点（靠近点A ）且1CD =，()sin ()(sin sin )a b A c b C B -=+-，则2+a b 的最大值是（）A.B. C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得ACB ∠，再设ACD θ∠=，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到π2)3a b θ+=+，从而得解.【详解】因为()sin ()(sin sin )a b A c b C B -=+-，由正弦定理得()()()a a b c b c b -=+-，则222a ab c b -=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c ACB ab +-∠==，(0,π)ACB ∠∈，则π3ACB ∠=，设ACD θ∠=，则π3BCD θ∠=-，且π03θ<<，在ACD 中，sin sin AD CDAθ=，则sin sin AD A θ⋅=，在BCD △中，πsin sin()3BD CDB θ=-，则πsin sin()3BD B θ⋅=-，又223c BD AD ==，即π(sin 2sin )sin sin()33c A B θθ+=+-，又由正弦定理知2sin c R ACB =∠=（R 为ABC 的外接圆半径），所以3113π(sin 2sin )sin sin sin cos sin()3223223A B θθθθθ+=+-=+=+，则π(2sin 4sin )sin()63R A R B θ+=+，即π2)3a b θ+=+，又ππ2π333θ<+<，故当ππ32θ+=，π6θ=时，max (2)a b +=故选：A7.已知O 为ABC 的外心，A 为锐角且22sin 3A =，若AO AB AC αβ=+ ，则αβ+的最大值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】D 【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，设ABC 外接圆的半径3R =，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得A 点坐标，代入ABC 外接圆的方程得到()18932αβαβ+=+，由此利用基本不等式即可得解.【详解】以BC 边所在的直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图，（D 为BC 边的中点），由外接圆的性质得BOD COD BAC ∠=∠=∠，因为BAC ∠为锐角且sin 3BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠==，设外接圆的半径3R =，则OA OB OC 3===，因为1cos cos 3OD A COD OC =∠==，所以1OD =，DC ==，所以()B -，()C ，()0,1O ，设(),A m n ，则ABC 外接圆的方程为：()2219x y +-=，因为AO AB AC αβ=+，所以()()(),1,,m n m n m n αβ--=--+-.则()()1m m m n n nαβαβ⎧-=--+⎪⎨-=--⎪⎩，解得)111m n βααβαβ⎧-=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，则)1,11A βααβαβ⎛⎫-- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭，代入外接圆方程得：()()()()22228911βαβααβαβ---+=+-+-，整理得：()18932αβαβ+=+，由基本不等式得：()2189322αβαβ+⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当αβ=取等号.化简得：()()281890αβαβ+-++≥，解得34αβ+≤或32αβ+≥，由图知：1αβ+<，所以34αβ+≤，故αβ+的最大值为34.故选：D.8.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ABC内一个动点，且满足12DP PB +=+，则直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1222⎡⎢⎣⎦D.13,22⎡⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】求得点P 的轨迹是平面11A BC 内以点O 为圆心，半径为1的圆，可得111////AD BC B M ，进而可得出题中所求角等于直线1B M 与直线1B P 的夹角，然后过点O 作OH ⊥平面ABCD 于点H ，过点H 作HN BC ⊥于点N ，连接ON ，找出使得1PB M ∠最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围.【详解】连接1B D 交平面11A BC 于点O ，延长线段CB 至点M ，使得CB BM =，连接1B M 、OM 、PM ，如下图所示：已知在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥底面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，111DD AC ∴⊥，又四边形1111D C B A 为正方形，所以，1111AC B D ⊥，1111DD B D D ⋂= ，11A C ∴⊥平面11B DD ，1B D ⊂ 平面11B DD ，111B D A C ∴⊥，同理11B D A B ⊥，1111A C A B A = ，1B D ∴⊥平面11A BC ，三棱锥111B A B C -的体积为11131193322B A BC V -=⨯⨯=，(11123933242A B C S =⨯=△，111111933393222B A BC V B O O -=⨯⨯==，可得11133B O B D ==，所以，线段1B D 的长被平面11A BC 与平面1AD C 三等分，且与两平面分别垂直，而正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以13OB =，3OD =其中1PO B D ⊥，不妨设OP x =，由题意可1213PB PD +=+，22123213x x +++=1x =，所以，点P 在平面11A BC 内以点O 为圆心，半径为1的圆上.因为111////AD BC B M ，所以，直线1B M 与直线1B P 的夹角即为直线1B P 与直线1AD 所成角.接下来要求出线段1B M 与PM 的长，然后在1B PM △中利用余弦定理求解.如图，过点O 作OH ⊥平面ABCD 于点H ，过点H 作HN BC ⊥于点N ，连接ON ，根据题意可知2OH =，1HN BN ==，且ON MN ⊥，所以，5ON =，24521OM =+=如图所示，121OP OP ==，当点P 在1P处时，1PB M ∠最大，当点P 在2P 处时，1PB M ∠最小.这两种情况下直线1B P 与直线1B M 夹角的余弦值最大，为111cos sin 2PB M PB O ∠=∠=；当点P 在点O 处时，1PB M ∠为直角，此时余弦值最小为0.综上所述，直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点P 的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，复数()()()2111i z m m m =-++∈R ，()2cos isin z θθθ=+∈R ，则（）A.任意m ∈R ，均有12z z >B.任意1m ≥，均有10z ≥C.存在m ∈R ，使得12z z = D.存在m ∈R ，使得1221z z -=-【答案】AD 【解析】【分析】利用复数的概念、相等的条件、模长公式一一判定即可.【详解】根据复数的概念可知()()()2111i 1z m m m =-++≥不能与实数比大小，故B 错误；由复数的模长公式可得121z z ===，易知()()2221011m m ⎧-≥⎪⎨+≥⎪⎩，且不能同时取得等号，故121z z >=，即A 正确；12z z -即动点E ()21,1m m -+到动点F ()cos ,sin θθ的距离，显然E 在抛物线()211yx =++上，F 在单位圆上，如图所示，当0,45m θ==- 时，12z z -1=，故D 正确；若存在m ∈R ，使得12z z =，则21cos 1sin m m θθ-=⎧⎨+=⎩，由上知()()22222111cos sin m m θθ-++>=+，即上述方程组无解，故C 错误；故选：AD10.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题是真命题的是（）A.若cos cos a B b A =，则ABC 为等腰三角形B.若π4B =，c =65b =，则ABC 只有一解C.若()cos 2cos 0b A a c B +-=，则π3B =D.若ABC 为锐角三角形，则()()222222sin cos a b c A ab c B+->+-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 、C ：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B ：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D ：根据题意结合正弦函数单调性分析判断.【详解】对于选项A ：由cos cos a B b A =，由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，则()sin 0A B -=，因为0,πA B <<，则ππA B -<-<，可得0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于选项B ：若π4B =，c =65b =，则6sin 15c B c =<<=所以ABC 有两解，故B 错误；对于选项C ：若()cos 2cos 0b A a c B +-=，有正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos 0B A A C B +-=，则()sin 2sin cos B A C B +=，即sin 2sin cos C C B =，因为(),0,πB C ∈，则sin 0C >，可得1cos 2B =，所以π3B =，故C 正确；对于选项D ：若ABC 为锐角三角形，则π2A B π<+<，可得π2A B >-，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，又因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222cos 02a b cA ab+-=>，可得2220a b c +->，所以()()222222sin cos a b c A ab c B +->+-，故D 正确．故选：ACD.11.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（）A.()f x 是以π2为周期的周期函数B.()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.()f x 的值域为[]0,1D.存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，验证()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，得到A 错误B 选项，根据5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<，得到()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，换元后得到()()221111222t g t t t =--+=-++，利用复合函数单调性求出答案；C 选项，令πsin cos 0,4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，此时得到21sin cos 2m x x -=，换元后得到()()221111222m u m m m =-++=--+，由m ⎡∈⎣求出值域；D选项，由()()f x a f x a -+=+得到只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，从而得到22ππ,Z 24k a k =-∈且33π,Z 4k a k =∈，结合()0,3a ∈，解不等式，得到相应的：2113,22k ⎛⎫∈⎪⎝⎭且2k Z ∈，且31,2,3k =，验证后得到答案.【详解】πππππsin cos sin cos 22222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()cos sin sin cos x x x x f x =-+≠，所以函数()f x 的周期不为π2，故选项A 错误；5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<，故()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，令sin cos x x t +=，则πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π53π,π442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1t ⎡⎤∈-⎣⎦，且t 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，又21sin cos 2t x x -=，故()()221111222t g t t t =--+=-++，开口向下，对称轴为1t =-，故()2122t g t t =--+在1⎡⎤-⎣⎦单调递增，由复合函数满足同增异减可知：()f x 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，B 正确；令πsin cos 0,4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，若[]π2π,2ππ4x k k +∈+，Z k ∈，即π3π2π,2π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时，sin cos m x x =+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x =++=+，故21sin cos 2m x x -=，若(]π2ππ,2π2π4x k k +∈++，Z k ∈，即3π7π2π,2π44x k k ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，Z k ∈时，此时()sin cos m x x =-+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x=++=+此时21sin cos 2m x x -=，综上：对于x ∈R ，均有21sin cos 2m x x -=，所以()sin cos sin cos f x x x x x =+-变形为()()221111222m u m m m =-++=--+，因为m ⎡∈⎣，所以当1m =时，()u m 取得最大值，最大值为1，其中()110122u =-+=，11122u =-+=-，因为1122<-，故()u m 最小值为12，综上：()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错；()π1sin cos sin cos sin 242f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则()()π1sin 2242f x a x a x a ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭，假设()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，()()π1π1sin 22sin 224242x a x a x a x a ⎛⎫⎛⎫-++--+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，由ππ44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++⎪ ⎝⎭⎝⎭可得：1πππ44x a x a k -++=+++，1k Z ∈①，或22πππ,Z 44x a x a k k -+++++=∈②，其中由①得：1π2k x =-，1k Z ∈，不能对所有x 恒成立，舍去；由②得：22ππ,Z 24k a k =-∈，由()()sin 22sin 22x a x a +=-+可得：332222π,Z x a x a k k +-+=∈③，由③得：33π,Z 4k a k =∈，故需要保证22ππ,Z 24k a k =-∈与33π,Z 4k a k =∈同时成立，令()2ππ0,324k -∈，解得：2113,22k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且2k Z ∈，令()3π0,34k ∈，解得：3120,πk ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3Z k ∈，故31,2,3k =，取31k =，此时3ππ44k a ==，此时令2πππ244k a =-=，解得：21131,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求，取32k =，此时3ππ42k a ==，此时令2πππ242k a =-=，解得：23N 2k =∉，舍去，取33k =，此时3π3π44k a ==，此时令2ππ3π244k a =-=，解得：21132,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求，综上：存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数，π4a =，3π4就是这两个实数，D 正确．故选：BD ．【点睛】sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-三者的关系如下：()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，()2sin cos 12sin cos x x x x -=-，()()22sin cos sin cos 4sin cos x x x x x x +--=，当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决.12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为622-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，3BG AG ==1333FG BG ==，22333BF BG ==22126333AF AG FG =-=-=，63OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即222262333R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：62R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径62R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则622r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos23AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅，故1arccos3AMC ∠=，故交线AC 13，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则ST ===则由C 选项的分析知：TG SH ==，所以2GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为22a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()22cos 2R f x x x a a =+∈，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是4，则=a _____．【答案】1【解析】【分析】化简()f x ，根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质得到当ππ262x +=时，()f x 取得最大值为34a +=，即可得出答案.【详解】()2π2cos 21cos 222sin 216f x x x a x x a x a ⎛⎫=++=+++=+++ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ262x +=时，()f x 取得最大值为34a +=，则1a =.故答案为：114.对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a 、b 满足0≥> a b ，a 与b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b = ___________【答案】32【解析】【分析】由题意可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b = ，2t b a = ，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论．【详解】因为cos |Z 2a a b n a b n b b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⋅⎩⎭ ，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭．又由0a b ≥> ，则1a b ≥，01b a<≤ ，可设m ∈Z ，Z t ∈，令2m a b = ，2t b a = ，且0m t ≥>，又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出31m t =⎧⎨=⎩，所以322m a b == ．故答案为：32．15.在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：13212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．16.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧 BC上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先由余弦定理求出3BD =，从而得到AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得：2212cos 14432BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=+-⨯=因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧 BC上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，设 BC 与AD 相交于点M ， 11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ，则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒，故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===，即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点，连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =，由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =；如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ，其中1A N ==，设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：1AO ==OC ===，解得：32h =，此时外接球半径为2OC ==，故外接球表面积为134π13π4⨯=，但因为点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3m =-，z =（2）1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简(3i)z ⋅+，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出m 的值，即可求出z ，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简1z ，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】∵1i z m =+，∴1i z m =-，∴i)(1i)(3i)(3)(13)i z m m m +=-+=++-，(3+i)z ⋅为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-，故13i z =-，则z ==【小问2详解】2023450533i i i i ⨯+===- ，()()()()20231i 1+3i i i 331=i 13i 13i 1+3i 1010a a a a a z z ∴+-+-+===+--，复数1z 所对应的点在第二象限，∴301031010a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得133a -<<，故实数a 的取值范围为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =，过D 的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）.（1）用AB ，AC表示AD ；（2）若AE AB λ= ，AF AC μ=，求2λμ+的最小值.【答案】（1）1233AD AB AC =+ （2）83【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据（1）的结论，转化用AE ，AF 表示AD，根据D 、E 、F 三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；【小问1详解】因为2BD DC = ，所以22AD AB AC AD -=- ，化简得1233AD AB AC =+ ；【小问2详解】因为AE AB λ= ，AF AC μ=，1233AD AB AC =+ ，所以3231A E D A A F μλ=+，由图可知0λ>，0μ>又因为D 、E 、F 三点共线，所以12133λμ+=，所以()124448223333333μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=⎪⎝⎭，当433μλλμ=，即423μλ==时，2λμ+取最小值83.19.设()()sin cos R f x x x x =+∈.（1）判断函数2π2y fx ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的奇偶性，并写出最小正周期；（2）求函数()π4y f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π[0,]2上的最大值.【答案】（1）非奇非偶函数，π（2）12+【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简2π2y f x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；（2）化简()π4y f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合π[0,]2x ∈，求得ππ3π2[,]444x -∈-，结合正弦函数的性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意得()πsin cos )4f x x x x =+=+，故222ππ3π)]2sin ()4422πx x x y f⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎣=+⎦++⎭3π1cos(2)1sin 22x x =-+=-，令()1sin 2g x x =-，x ∈R ,由于()1sin 2()1sin 2g x x x -=--=+不恒等于()g x ，也不等于()g x -，故2π2y fx ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为非奇非偶函数，其最小正周期为2ππ2=；【小问2详解】由题意可得()π)]()π44y f x x x f x ⎛⎫=-= ⎭+⎪⎝22(1cos 2)2cos sin 222x x x x x-=+=+πsin(2422x =-+，因为π[0,]2x ∈，所以ππ3π2[,444x -∈-，故π2)2sin(142[,]x -∈-，故πsin(2)42x -+的最大值为212+，即函数()π4y f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π[0,]2上的最大值为12+.20.某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E （单位：EXP ）与游玩时间t （单位：小时）满足关系式：22020E t t a=++()0t >；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.（1）当2a =时，写出累计经验值E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累计经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为()H t ，若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围.【答案】（1）22040,03()109,3535950,5t t t f t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，(6)59f =（EXP ）.（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算；（2）根据题意可得当03t <≤时，20()2024aH t t t=++≥恒成立，利用参变分离结合二次函数分析运算.【小问1详解】由题意可得：当03t <≤时，则2()2020f t t t a =++，且2(3)3203206920f a a =+⨯+=+；当35t <≤时，则()6920f t a =+；当5t >时，则()()69205055020319f t a t t a =+--=-++；综上所述：22020,03()2069,355020319,5t t a t f t a t t a t ⎧++<≤⎪=+<≤⎨⎪-++>⎩.若2a =，则22040,03()109,3535950,5t t t f t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，所以(6)35950659f =-⨯=（EXP ）.【小问2详解】由（1）可得：22020,03()2069,355020319,5t t a t f t a t t a t ⎧++<≤⎪=+<≤⎨⎪-++>⎩，则()2020,032069(),352031950,5at t t f t a H t t t t a t t ⎧++<≤⎪⎪+⎪==<≤⎨⎪+⎪->⎪⎩，由题意可得：当03t <≤时，20()2024aH t t t=++≥恒成立，整理得24200t t a -+≥对任意03t <≤恒成立，因为2420y t t a =-+的开口向上，对称轴(]20,3t =∈，则2t =时，2420y t t a =-+取到最小值204a -，可得2040a -≥，解得15a ≥，所以实数a 的取值范围为1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD ，该曲线段可近似看作函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点坐标为()1,2C -.第二部分是长为1千米的直线段DE ，//DE x 轴.跑道的最后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 EF.（1）若新校门位于图中的B 点，其离AF 的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O 点的万象楼，求该学生走过的路BO 的长；（2）若点P 在弧 EF上，点M 和点N 分别在线段OF 和线段OE 上，若平行四边形OMPN 区域为学生的休息区域，记POF θ∠=，请写出学生的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值.【答案】（1千米（2）43π23πsin 203633S θθ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；π6θ=【解析】【分析】（1）由图可知2A =，34T =，利用2πT ω=求出ω，再代入点()1,2C -求出解析式，即可求出B 点的坐标，进而可求BO 的长；（2）由已知可求出E 点坐标，进而得到圆O 的半径OE 的长和π6EOD ∠=，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出PNO S ，进而得到平行四边形OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，利用正弦函数的性质即可求出最大值.【小问1详解】解：由条件知，2A =，又因为()()1434T =---=，则2π12T ω==，所以π6ω=.又因为当1x =-时，有π2sin 26y ϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且()0,πϕ∈，所以2π3ϕ=.所以曲线段ABCD 的解析式为π2π2sin 63y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]4,0x ∈-.由π2π2sin 163y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()π2ππ2π636x k k +=+∈Z ，或()π2π5π2π636x k k +=+∈Z 解得()1312x k k =-+∈Z ，又因为[]4,0x ∈-，所以0k =，13x =-，所以()3,1B -；或()2112x k k =+∈Z ，无论k 为何值都不符合[]4,0x ∈-，舍去，所以OB ==BO 的长为千米.【小问2详解】由题可知，当0x =时，π2π2sin 063y ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(D 则(E，2OE ==，π6EOD ∠=，所以3πEOF ∠=.在PNO 中，2OP OE ==，π2ππ33PNO ∠=-=，NPO θ∠=，2πππ33NOP θθ∠=--=-，则由正弦定理sin sin sin OP ON PNPNO NPO NOP==∠∠∠πsin sin 3ON PNθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得4343π333ON PN θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，故134343πsin 24333PNO S NP NO PNO θθ⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⨯⨯- ⎪⎝⎭△2π1sin cos sin 32θθθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11ππ2cos 22034443633θθθθ⎫⎛⎫⎫=⨯+-=+-<<⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππ22063PNO S S θθ⎛⎫⎫==+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△，当π6θ=时，πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时S 取得最大值.【点睛】已知()()()0,0f x Asin x A ωϕω+=＞＞的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和ϕ，常用如下两种方法：（1）由2πT ω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=（或0πx ωϕ+=），即可求出ϕ.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出ω和ϕ，若对A ，ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．（1）求证：直线1//A D 平面11BC D ；（2）设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱12AA =，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角；（3）若12,2AB AC BC A AB ===∠=，在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【答案】（1）证明见解析（2）23arctan3（3）2369+【解析】【分析】（1）证明出四边形11A D BD 为平行四边形，从而11//A D BD ，得到线面平行；（2）先证明出E 为三等分点，然后运用余弦定理求出1AB 可得；（3）因为在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.【小问1详解】斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点，所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //，所以四边形11A D BD 为平行四边形，所以11//A D BD ，因为1BD ⊂平面11BC D ，1A D ⊄平面11BC D ，所以1//A D 平面11BC D ；【小问2详解】因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ，所以111C D AB ⊥,又1BC 与1AB 互相垂直，1111BC C D C ⋂=,111,BC C D ⊂面11BC D 故1AB ⊥面11BC D ,得11⊥AB BD .即11B D E 为直角三角形，在11ABB A 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =，由余弦定理可得：()2222221111111111117322cos 21232t B E AB A B AA t A B A B D AB A B t ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭∠====⋅⨯⨯解之：2t =，所以11π,6A B A ∠=故112D E =11111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB ∴==∴=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD ∴⊥在11BD C △中，11tan 3D BC ∠=.1A D 与1BC 所成的角为23arctan .3【小问3详解】过B 作1BP AA ⊥于P ，过P 作1FP CC ⊥于F ，连BFBPF ∴ 为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,2AB AC BC ===，所以222AC BC AB +=，故AC ⊥BC ，则112CD AB ==设2,BP t =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得63t =，2326,33BP AP ==；由最小角定理112cos cos cos 263A AC A AB BAC ∠=∠∠=⨯1sin 3PF AC A AC =∠=由CD ⊥面11ABB A ,易知1BP CC ⊥，23BF PF BP ∴===内切圆半径为：13r =则12362sin .9h r r r A AB +=++∠=解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.。

成都数学高一下期末(答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：12727]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．112．(0分)[ID ：12722]ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．(0分)[ID ：12718]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（） A ．11.4万元 B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元4．(0分)[ID ：12694]设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m5．(0分)[ID ：12635]已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 6．(0分)[ID ：12629]设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=6057，则1a 2+4a 2018的最小值为A ．1B ．23C ．136D ．327．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生9．(0分)[ID ：12653]（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4510．(0分)[ID ：12640]在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（）A ．30B ．45C ．60D ．9011．(0分)[ID ：12638]在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =60C =12．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（）A ．5B ．6C ．8D ．1013．(0分)[ID ：12700]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12697]已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（） A．B．C．(2,D ．（2，4）15．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（） A ．68B ．67C ．61D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12822]已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________17．(0分)[ID ：12818]在ABC ∆中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为__________．18．(0分)[ID ：12802]已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______．19．(0分)[ID ：12793]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.20．(0分)[ID ：12776]若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.21．(0分)[ID ：12746]在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的点共有________个．22．(0分)[ID ：12740]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______23．(0分)[ID ：12735]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f（2|a-1|）＞f （，则a 的取值范围是______. 24．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．25．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 三、解答题26．(0分)[ID ：12920]某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:127．(0分)[ID ：12909]在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．28．(0分)[ID ：12905]某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为33ACB ππ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭，墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记ABC θ∠=. （1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，ABC ∆的面积尽可能大，当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.29．(0分)[ID ：12896]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？30．(0分)[ID ：12844]在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．A11．D12．C13．B14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查17．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式18．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用19．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱20．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直21．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r＝2∴圆心到直线x+y+1＝22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答23．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得24．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则25．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .解析：B 【解析】试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．4．B解析：B 【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5．B解析：B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.6．D解析：D 【解析】【分析】先利用等差数列的求和公式得出S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，再利用等差数列的基本性质得出a 2+a 2018=a 1+a 2019=6，再将代数式a 2+a 2018和1a 2+4a 2018相乘，展开后利用基本不等式可求出1a 2+4a2018的最小值.【详解】由等差数列的前n 项和公式可得S 2019=2019(a 1+a 2019)2=6057，所以，a 1+a 2019=6，由等差数列的基本性质可得a 2+a 2018=a 1+a 2019=6， ∴6(1a 2+4a2018)=(a 2+a 2018)(1a 2+4a2018)=5+4a 2a2018+a 2018a 2≥5+2√4a 2a2018⋅a 2018a 2=9，所以，1a 2+4a2018≥96=32，当且仅当4a 2a 2018=a 2018a 2，即当a 2018=2a 2时，等号成立，因此，1a 2+4a2018的最小值为32，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

2022-2023学年四川省成都市高一下学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若点(),0a 是函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，则a 的值可以是（）A ．π3B ．π2C ．π6-D ．π3-【答案】C【分析】根据正弦函数的对称中心可求出结果.【详解】依题意可得ππ6a k +=，Z k ∈，所以ππ6a k =-，Z k ∈，当0k =时，π6a =-.故选：C 2．复数31()1z i i-=+(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i【答案】A【分析】根据复数的乘法及除法运算求出z ，得到z ，即可求解.【详解】∵()()()2i 11i 2111i i i i i 2---===-++-,()3i iz ∴=-=∴i z =-∴z 的虚部为1-故选：A3．已知,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，则2a b →→-=（）A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】先根据(2)a b b →→→-⊥得221a b b →→→⋅==，再根据向量模的公式计算即可得答案.【详解】因为,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，所以20a b b →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，所以221a b b →→→⋅==，所以22222443a b a b a a b b →→→→→→→→-=-=-⋅+=.故选：B .【点睛】本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.4．若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.【详解】ππ3cos cos 445αα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππ37cos 22cos 12144525αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且ππcos 2cos 2sin 242ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若m n ∥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α∥，n β∥，则αβ∥D ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为m α⊥，n β⊥，若m ，n分别在直线,m n 上为平面α，β的法向量，且m n ⊥ ，故αβ⊥，所以选项A 说法正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而//n β，因此αβ⊥，所以选项B 说法正确；当αβ⋂时，如下图所示：也可以满足m n ⊥，//m α，//n β，所以选项C 说法不正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以//αβ，因此选项D 说法正确，故选：C6．记函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若ππ42T <<，且()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】分析可知函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，可得出()31k k ω=+∈Z ，再利用函数()f x 的最小正周期求出ω的取值范围，即可得出ω的值.【详解】对任意的x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值或最小值，故函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，故()ππππ362k k ω+=+∈Z ，解得()31k k ω=+∈Z ，又因为0ω>且函数()f x 的最小正周期T 满足ππ42T <<，即π2ππ42ω<<，解得48ω<<，故7ω=.故选：D.7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A ．2530πB ．3016πC ．3824πD ．4350π【答案】A【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.则()3314π9486πm 23V =⨯⨯⨯=半球，()239141134m V ππ=⨯⨯=圆柱，()()22319911π30910πm 3V =⨯+⨯+⨯=圆台，所以()3486π1134π910π2530πm V V V V =++=++=半球圆柱圆台.故选:A.8．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最小值为（）A ．0B ．165-C ．245-D ．565-【答案】C【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径222445,24255416r AD BC ⨯====+=+，设E 为斜边BC 的中点，,PA AE θ=，则[]0,πθ∈，因为455PA = ，5AE = ，则()()()21625PB PC PA AB PA AC PA PA AB AC PA AE ⋅=+⋅+=+⋅+=+⋅ 16451625cos 8cos 555θθ=+⨯⨯=+，故当πθ=时，PB PC⋅ 的最小值为1624855-=-.故选：C.二、多选题9．下列说法中错误的是（）A ．已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则a 与b可以作为平面内所有向量的一组基底B ．已知()()1,3,0,1a b =-=，则a 在b 上的投影向量的坐标是()0,3-C ．若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则a b⊥ D ．平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则ABC 为锐角三角形【答案】AD【分析】利用基底定义判断选项A ；利用向量数量积定义判断选项B ；利用向量垂直充要条件判断选项C ；利用向量夹角定义判断选项D.【详解】选项A ：已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则2a b = ，则//a b ，则a 与b不可以作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；选项B ：a 在b 上的投影向量为()()2210310,1031a b b b ⋅⨯-⨯==- ，，故B 正确；选项C ：若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则22a b a b+=- 即()()22a ba b +=-，整理得0a b ⋅=，则a b ⊥ ，故C 正确；选项D ：平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则(2,1)BA =--，(1,2)BC =- ，则220BA BC ⋅=-+=，则BA BC ⊥ ，则ABC 为直角三角形，故D 错误；故选：AD.10．复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若12z z >，则2212z z >B ．若20z ≠，则1122z z z z =C ．若32i z =-+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则19p q +=D ．若12i 2z ≤-≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π【答案】BCD【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.【详解】对于A ，令122i,1z z ==,满足12z z >,但2212z z <,，故A 错误；对于B,设1i,(,z a b a b =+∈R 且不同时为0)，()2i ,z c d c d =+∈R 12i i z a b z c d +=+()()()()i i i i a b c d c d c d +-=+-()22i ac bd bc ad c d ++-=+22221()()ac bd bc ad c d=++-+()()2222221a bc dc d =+++2222a b c d+=+12z z =，故B 正确；对于C ，32i z =-+，且z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根,32i z ∴=--也是关于x 的方程20x px q ++=的另一个根,()()()32i 32i ,32i 32i p q ⎧-++--=-⎪∴⎨-+--=⎪⎩解得6,13p q ==，故19p q +=,故C 正确,对于D,设i,,z a b a b =+∈R ,则()()222i 2i 2z a b a b -=+-=+-,故221(2)2a b ≤+-≤,圆22(2)2x y +-=的面积为2π,圆22(2)1x y +-=的面积为π,故点Z 的集合所构成的图形的面积为2πππ-=,故D 正确.故选:BCD.11．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且23a =，233AB AC S ⋅= ，下列选项正确的是（）A ．π3A =B ．若ABC 有两解，则b 取值范围是()23,4C ．若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是[]2,4D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为3【答案】ABD【分析】根据向量运算结合面积公式得到π3A =，A 正确；根据sin b A a b <<，代入数据则可判断B 正确；确定ππ62B <<，计算()4sin 2,4b B =∈，C 错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：233AB AC S ⋅= ，故231cos sin 32cb A bc A =⨯，故tan 3A =，()0,πA ∈，所以π3A =，故A 正确；对选项B ：若△ABC 有两解，则sin b A a b <<，即3232b b <<，则()23,4b ∈，故B 正确；对选项C ：ABC 为锐角三角形，则π02B <<，ππ32A B B +=+>，故ππ62B <<，则1sin 12B <<，sin sin b a B A=，故()sin 4sin 2,4sin a B b B A ==∈，故C 错误；对选项D ：若D 为BC 边上的中点，则()12AD AB AC =+ ，故()()()2222221112cos 444AD AB AC c bc A b b c bc =+=++=++ ，又222222cos 12a b c bc A b c bc =+-=+-=，2212b c bc +=+，由基本不等式得22122b c bc bc +=+≥，当且仅当23b c ==时等号成立，故12bc ≤，所以()21112336942AD bc bc bc ⎡⎤=++=+≤+=⎣⎦ ，故3AD ≤ ，正确；故选：ABD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACD D ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为223【答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B,如图所示,以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D ,()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以()12,2,2A C =- ，()2,2,0AC =- ，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=--- ，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z =则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得()11,1,1n =设平面EFG 的法向量()2222,,n x y z =,则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩取21x =,得21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭ ,平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n设12n kn = ,即()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得451,k λ==，01λ≤≤ ，不合题意∴线段1B C 上不存在点G ,使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n =则22sin 8129FG n FG n θλλ⋅==-+ 因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以22222sin 3981292θλλ=≤=-+所以sin θ的最大值为223．故D 正确．故选：ABD三、填空题13．若角α的终边上有一点()1,4P -，则tan 2α=．【答案】815【分析】先根据定义求出角α的正切，再利用二倍角公式求解.【详解】由题意得4tan 41α-==-，故()()22242tan 88tan 21tan 1161514ααα⨯--====----.故答案为：81514．记ABC 面积为3，60B =︒，223a c ac +=，则b =.【答案】22【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin 324ABC S ac B ac === ，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =（负值舍去）.故答案为：22.15．如图，在三棱锥A BCD -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，2AD =，AD ⊥平面ABC ，E 为CD 的中点，则直线BE 与AD 所成角的余弦值为.【答案】23【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得,,AD AB AC 两两垂直，从而将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，再利用异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.【详解】因为AD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，，AC ⊂平面ABC ，所以AD AB ⊥，AD AC ⊥，又AB AC ⊥，所以,,AD AB AC 两两垂直，将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，如图所示，易知//BF AD ，所以直线BE 与AD 所成角即为BF 与BE 所成角为FBE ∠（或其补角），由题意可知，2221321122BF BE FE ⎛⎫===++= ⎪⎝⎭，，在FBE 中，由余弦定理，得222222332222cos 323222BF BE FE FBE BF BE ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⋅⨯⨯，所以直线BE 与AD 所成角的余弦值为23.故答案为：23.16．在平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AC AB =，1AD CD ==，则BD 的最大值为.【答案】3【分析】设CAD α∠=，利用三角函数函数得2cos AC α=，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.【详解】设CAD α∠=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12cos ACADα=，代入数据得2cos AC α=，3AC AB = ，2cos 23cos 33AB αα∴==，在ABD △中运用余弦定理得222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，即2224cos 2312cos 1sin 33BD ααα=++⨯⨯⨯224cos 2312cos 1sin 33ααα=++⨯⨯⨯41cos 223sin 21323αα+=⨯++223545cos 2sin 2sin 2333363πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,666α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ262α+=，即π6α=时，2BD 的最大值为3，则BD 的最大值为3.故答案为：3.【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设CAD α∠=，再利用三角函数和余弦定理得到222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.四、解答题17．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的12倍，得到()g x 的图像，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据给定的函数图像，利用“五点法”作图求解即可；（2）利用函数图像变换求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）依题意，由图像得1A =，12πππ2362T =-=，解得πT =，又0ω>，则2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图像上，则πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈，即π2π6k ϕ=+，Z k ∈，而π2ϕ<，则π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）依题意，()ππππ2sin 22sin 46666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π4666x -≤-≤，而函数sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此有π1sin 4,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．已知()1f x m n =⋅- ，其中()3,2cos m x = ，()()sin2,cos R n x x x =∈ .(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，2a bc =，求11tan tan B C+的值.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)233【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解；（2）根据已知先求角A ，再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.【详解】（1）()1(3,2cos )(sin 2,cos )1f x a b x x x =⋅-=⋅- 2π3sin 22cos 13sin 2cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，得ππππ36k x k -≤≤+，Z k ∈所以()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）∵()π2sin 26f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴ππ62A +=，∴π3A =，∵2a bc =，则由正弦定理得2sin sin sin A B C =⋅．∴11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin B C C B C BB C B C B C ++=+=()2sin sin sin 1123πsin sin sin sin sin sin 3sin 3B C A A B CB C A A +======.19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，2AD =，22DC =，四边形DCFE 为梯形，//DE CF ，CD DE ⊥，3DE =，6CF =，45ADE ︒∠=，平面ADE ⊥平面DCFE.(1)求证：//AE 平面BCF ；(2)求直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面ABCD 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)66(3)32【分析】（1）由线面平行的判定定理可得//AD 平面BCF ，//DE 平面BCF ，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案；（2）作AO DE ⊥于O ，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ADE ，AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，求出正弦值即可；（3）由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，可得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BC ⊂平面BCF ，AD ⊄平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，∵//DE CF ，CF ⊂平面BCF ，DE ⊄平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂平面ADE ，∴平面//BCF 平面ADE ，∵AE ⊂平面BCF ，∴//AE 平面BCF.（2）∵平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，CD DE ⊥ ，CD ⊂平面DCFE ，CD \^平面ADE ，AD ⊂ 平面ADE ，CD AD ∴⊥，()222222223AC AD CD ∴=+=+=，作AO DE ⊥于O ，分别连接,,AC AO CO ，因为平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，AO ⊂平面ADE ，所以AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，所以直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，45ADE ∠= ，∴22ADAO ==，所以26sin 623AO ACO AC ∠===．直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值为66；（3）连接DF 由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，所以距离CDF ACDS AOd S ⋅=，又由已知可得116226222CDF S CF CD =⋅=⨯⨯=，1222222ACD S =⨯⨯=，2AO =，所以6223222d ⨯==．20．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ABC 区域）进行分区改造.BNC 区域为蔬菜种植区，CMA 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，MNC 区域规划为学生自主栽培区.MNC 的周围将筑起护栏.已知20m AC =，40m AB =，60BAC ∠=︒，30MCN ∠=︒.(1)若10m AM =，求护栏的长度（MNC 的周长）；(2)学生自主栽培区MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1)()30103m +(2)有，()230023m-【分析】（1）利用余弦定理证得AM CM ⊥，从而判断得ANC 是正三角形，由此得解；（2）在ANC 与ACM △中，利用正弦定理求得CN 与CM 关于θ的表达式，从而利用三角形的面积公式得到CMN S 关于θ的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【详解】（1）依题意，在AMC 中，20m AC =，10m AM =，60BAC ∠=︒，所以2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=，则03m 1CM =，222AC CM AM =+，即AM CM ⊥，所以30ACM ∠=︒，又30MCN ∠=︒，故60ACN ∠=︒，所以ANC 是正三角形，则20m CN AN AC ===，10m MN AN AM =-=，所以护栏的长度（MNC 的周长）为()30103m CM CN MN ++=+.（2）学生自主栽培区MNC 的面积有最小值()230023m -，理由如下：设ACM θ∠=(060θ︒<<︒)，在ANC 中，30MCN ∠=︒，则()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-，由正弦定理得()20sin 60sin 90cos CN AC θθ==︒︒-，得103cos CN θ=，在ACM △中，18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-，由正弦定理得()sin60sin 120CM AC θ=︒︒-，得()103sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 3024sin 120cos CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒=︒- ()23003004sin120cos cos120sin cos 2sin cos 23cos θθθθθθ==︒-︒+()300300sin 23cos 232sin 2603θθθ==+++︒+，所以当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，CMN 的面积取得最小值为()23300020233m =-+﹒21．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △所处的位置，连接PB ，PC ，如图2.(1)若342PB =，求证：PE BC ⊥；(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --的正切值为269，求PB 的长.【答案】(1)证明见解析(2)11【分析】（1）利用勾股定理推得BE PE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证得PE ⊥平面BCDE ，由此得证；（2）利用线面与面面垂直的判定定理求得二面角P DE A --与二面角P BC E --的平面角，从而利用勾股定理得到关于CG x =的方程，解之即可得解.【详解】（1）在图1中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，所以30A =︒，23AC =，则3AD =，3322AE AD ==，52BE =，则32PE AE ==，又342PB =，所以222PE BE PB +=，则BE PE ⊥，因为DE AB ⊥，则PE DE ⊥，又,,DE BE E DE BE ⋂=⊂平面BCDE ，所以PE ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PE BC ⊥.（2）由题意知,DE BE DE PE ⊥⊥，,PE EB E PE ⋂=⊂平面,PEB EB ⊂平面PEB ，因而ED ⊥平面PEB ，则PEA ∠为二面角P DE A --的平面角（或补角），即PEA ∠为锐角，又ED ⊂平面BCDE ，因而平面PBE ⊥平面BCDE .作PH BE ⊥所在的直线于点H ，如图，又平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PH ⊂平面PBE ，所以PH ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PH BC ⊥，作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，又,,PH HG H PH HG =⊂ 面PHG ，故BC ⊥面PHG ，因为PG ⊂面PHG ，则BC PG ⊥，所以PGH ∠为二面角P BC E --的平面角（或补角），设PGH θ∠=，则26tan 9θ=，在ABC 中，30A =︒，设304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，因而22933264,3(2)422PH x x x HG HB x ⎛⎫=--=-==- ⎪⎝⎭，在直角三角形PHG 中，26tan 9PH HG θ==，即2642693(2)x x x -=-，解得12x =或1611x =（舍去），此时2,3PHH B ==，从而2211PBPHH B =+=.22．在ABC 中，a ，b ，c ，分别是角A ，B ，C 的对边，请在①sin sin sin A C b c B a c--=+；②sin sin 2B Cc a C +=两个条件中任选一个，解决以下问题：(1)求角A 的大小；(2)如图，若ABC 为锐角三角形，且其面积为32，且12AM AC = ，2AN NB = ，线段BM 与线段CN相交于点P ，点G 为ABC 重心，求线段GP 的取值范围.【答案】(1)π3A =(2)113,612⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用AB、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP，利用面积公式求出2bc =，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【详解】（1）若选①，因为sin sin sin A C b cB a c --=+，由正弦定理可得，a c b c b a c--=+，化简可得222a b c bc =+-，又因为2222cos a b c bc A =+-，则1cos 2A =，()0,πA ∈，故π3A =.若选②，因为sinsin 2B C c a C +=，由正弦定理可得，sin sin sin sin 2A C A C π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且sin 0C ≠，则cos2sin cos 222A A A =，且cos 02A≠，所以1sin 22A =，其中π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26A =，则π3A =.（2）由题意可得23AN AB = ，12AM AC =，所以()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，因为C 、N 、P 三点共线，故设()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+-，同理M 、B 、P 三点共线，故设()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- ，则()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124A AB A PC =+ ，则()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=-⎪⎝⎭，因为13sin 22ABC S bc A == ，所以2bc =，又因为ABC 为锐角三角形，当C 为锐角，则0AC BC ⋅> ，即()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即22b c b>=，所以1b >；当B 为锐角，则0AB CB ⋅> ，即()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则2c b >，即22b b⋅>，所以02b <<；综上可得12b <<，又因为1212GP AB AC =⋅-，则()222222222216144|2444|4||424GP AB ACAB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b=-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ ，因为12b <<，则214b <<，且()164f x x x=-+在(1,4)上单调递减，()()113,44f f ==，所以()()4,13f x ∈，即()22216144||44,13GP b b=-+∈uuu r ，所以113,612GP ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．。

2023_2024学年四川省成都市高一下册期末考试数学模拟测试卷(附答案)

2023_2024学年四川省成都市高一下册期末考试数学模拟测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数为实数是“”成立的（）ii a b z +=a b ∈R 0a =A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数为实数的条件分析判断【详解】，22i i i i i i a b a b z b a ++===-当复数为实数时，，ii a b z +=a b ∈R 0a =当时，为实数，0a =(R)z b b =∈所以复数为实数是“”成立的充要条件，ii a b z +=a b ∈R 0a =故选：C2. 若将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积2cm 为（）A. B.C. D. 38cm 3cm 332πcm 3343πcm 【正确答案】D【分析】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球，求出球的半径，从而可求出球的体积【详解】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球，因为正方体的棱长为，所以其内切球的半径为，2cm 1cm所以制作的最大零件的体积为，2344π1πcm 33⨯=故选：D3. 设，是两个不共线的向量，且向量与是平行向量，则实数的a b2a b λ+ (31)a b λ-+ λ值为（）A. B. 1C. 1或D. 或23-23-1-23-【正确答案】C【分析】由共线向量定理结合题意求解即可.【详解】因为向量与是平行向量，2a b λ+(31)a b λ-+ 所以存在唯一实数，使，k ()(31)22a b k a b ka k bλλλ-+=+=+因为，是两个不共线的向量，a b所以，则，，3121k k λλ-=⎧⎨=⎩()312λλ-=2320λλ--=解得或，1λ=23λ=-故选：C4. 函数取得最小值时，的值为（）ππcostan (11)22y θθθ=-<<θA. B. 0C. D. 12-1223【正确答案】B【分析】根据正切函数的性质将函数转化为分段函数，分别确定各段的单调性，即可得函数取最小值时，的值.θ【详解】函数ππcostan (11)22y θθθ=-<<则当时，，10θ-<≤πππcostan sin 222y θθθ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭又，所以函数在上单调递减；ππ,022θ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦πsin2y θ=-(]1,0θ∈-当时，，所以函数在上单调递增；01θ<<πππcostan sin 222y θθθ==πsin 2y θ=()0,1θ∈所以当时，函数取得最小值.0θ=ππcostan (11)22y θθθ=-<<故选：B .5. 《九章算术商功》中提及的“鳖臑”现意为四个面均为直角三角形的三棱锥，则“鳖臑”中相互垂直的平面有（）对A. 4B. 3C. 2D. 1【正确答案】B【分析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理判断.【详解】如果三棱锥有一个顶点处有3个直角，设，,,PA PB PA PC PB PC ⊥⊥⊥设，故,,PA a PB b PC c ===222222222,,,AB a b AC a c CB c b =+=+=+故，，，222AB AC CB +>222AB CB AC +>222CB AC AB +>从而为锐角三角形，与题设矛盾；ABC 若每个顶点处有均有一个直角，不妨设，,,,PA AB AB BC BCCP CP AP ⊥⊥⊥⊥将三棱锥沿展开，则展开后的四边形内角为凸四边形且其内角和大于，PB π42π2⨯=矛盾，综上，“鳖臑”对应的三棱锥必有一个顶点处有两个直角，如图所示：设，,,,PA AB PA AC AB BC PB BC ⊥⊥⊥⊥由，且，,PA AB PA AC ⊥⊥AB AC A ⋂=得平面ABC ，又平面PAB ，平面PAC ，PA ⊥PA ⊂PA ⊂所以平面平面ABC ，平面平面ABC ，PAB ⊥PAC ⊥由，且，,BC AB BC PB ⊥⊥AB PB B ⋂=得平面PAB ，又平面PBC ，BC⊥PA ⊂所以平面平面PAB ，PBC ⊥所以“鳖臑”中相互垂直的平面有3对，故选：B6. 已知点，，在所在平面内，且，N O P ABC 3PA PB PC PN ++=，，则点，，依次是的（222OA OB OC == PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅N O P ABC ）A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心【正确答案】A【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可【详解】由，得，3PA PB PC PN ++= ()()()PA PN PB PN PC PN -+-+-= 所以，设的中点为，连接，则，0NA NB NC ++= AB D ND 2+= NA NB ND 所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上，2NC DN =N AB N ,AC BC 所以点是的重心，N ABC由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以222OA OB OC == OA OB OC ==O ABC 为的外心，O ABC 由，得，所以，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= 所以，所以，同理得，所以为的垂心，PB CA ⊥PB AC ⊥PC AB ⊥P ABC 故选：A7. 已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边ABC A BC a b c 2b =3c =的取值范围为（）a A. B.C.D.(1,5)()()⋃【正确答案】C【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：ABC 2b =3c =a ，222cos 02b c a A bc +-=<于是得，，解得，即222222313a b c >+=+=0a >a >5a b c <+=，5a <<所以最大边的取值范围是.a )故选：C8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向(,)AB x y = (,)AB x y =θ量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θ点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P (1,2)A B A π3，则点的坐标为（）12,2P -B A.B.52,2-512⎛-+⎝C.D. 2,2-(12+-【正确答案】D 【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果.(),B x y AP【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转，(),B x y ()1,2AB x y =--B A π3即将点绕点沿逆时针方向旋转，B A 5π3可得，()()()()5π5π5π5π1cos 2sin ,1sin 2cos 3333AP x y x y ⎡⎤=----+-⎢⎥⎣⎦化简可得，，111,1222AP x y x y ⎡⎤⎛⎛⎫=+-+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦ 又因为，33,2AP=--所以，解得，所以.1132213122x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩12x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(12B -故选：D二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知的角，，所对的边分别为，，，，则ABC A B C a b c 2b ca =cos bB =下列说法正确的是（）A. B. 60B =︒0AB CB AC AB CB⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭C. 为等腰非等边三角形D. 为等边三角形ABC ABC 【正确答案】ABD【分析】A，利用正弦定理化简得到求解判断；BCD ，由cos b B =tan B =，，利用余弦定理求解判断.2b ca =60B =︒【详解】A.，则，cos b B =cos sin B B =tan B =60B =︒故正确；B. 因为，，所以，即，则，2b ca =60B =︒2221cos 22a c b B ac +-==2220+-=a c ac a c =所以是正三角形，所以，故正确；ABC 0AB CB AC AB CB⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ C. 由B 知：为等边三角形，故错误；ABC D. 由B 知：为等边三角形，故正确.ABC 故选：ABD10. 已知三条不同的直线，，和三个不同的平面，，，下列说法正确的是（ l m n αβγ）A. 若，，则l α⊥m l ⊥//m αB. 若，为异面直线，且，，，，则m n n ⊂αm β⊂//m α//n β//αβC. 若，，则m l ⊥m βγ= l β⊥D .若，，，，，两两垂直，则，，也两两垂直l αβ= m βγ= n γα=I αβγl m n 【正确答案】BD【分析】对于A ，或；由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可判断//m αm α⊂B ；对于C ，不一定成立；用反证法可判断D.l β⊥【详解】若，，则或，故A 错误；l α⊥m l ⊥//m αm α⊂设，，因为，所以，m γ⊂m αγ'= //m α//m m '又，，所以，m β⊂m β'⊄//m β'又因为，为异面直线，，，，则直线与必相交，m n n ⊂α//n βm α'⊂n m '所以，故B 正确；//αβ若，，则不一定成立，故C 错误；m l ⊥m βγ= l β⊥若，，，，，两两垂直，l αβ= m βγ= n γα=I αβγ则，，必相交于同一点，l m n P 假设与不垂直，则存在直线，使得，，l m l 'l m '⊥l m P '= 所以直线与可确定平面，且，l 'm γ'γβ'⊥这说明过内的直线可作两个平面与垂直，而这是不可能的，βm β所以假设不成立，即，l m ⊥同理可证，，即，，两两垂直，故D 正确.l n ⊥m n ⊥l m n 故选：BD11. 正弦最初的定义（称为古典正弦定义）为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，BOC ∠(0,π)BC D BC 当圆心角时，的“古典正弦”除以的可能取值为（）π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭θtanθA. 1B. C. D. 02312【正确答案】BC【分析】根据古典正弦定义，的“古典正弦”除以为，利用倍角正弦、余弦θtan θ2sin2tan θθ公式，根据余弦函数的性质及函数单调性求最值即可．【详解】由题可得的“古典正弦”除以为：θtan θ22sin2sincos 2sin cos 2cos 1122222costan sin 22sincoscoscos2222θθθθθθθθθθθθθ-====-由于，所以，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,24θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2θ⎫∈⎪⎪⎭令，则，所以设，cos 2t θ=t ⎫∈⎪⎪⎭2sin122tan y t t θθ==-t ⎫∈⎪⎪⎭由基本初等函数的单调性可知函数在上是增函数，函数在2y t =t ⎫∈⎪⎪⎭1y t =-上是增函数，t ⎫∈⎪⎪⎭则函数在上单调递增，12y t t =-t ⎫∈⎪⎪⎭所以，则的“古典正弦”除以为的取值范围为.()120,1y t t =-∈θtan θ2sin2tan θθ()0,1故选：BC.12. 在棱长为4的正方体中，，，，，分别是，，1111ABCD A B C D -E F G R S 11A B BD ，，的中点，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近11B D 1AC 11B C H 1C G G I CF 的三等分点，为底面上的动点，且面，则（）F P 1111D C B A //DP ACE A. //RI CHB. 三棱锥的外接球的球心到面的距离为H ABC -ABC 43C. 多面体为三棱台1EB S ABC -D. 在底面上的轨迹的长度是P 1111D C B A 【正确答案】ACD 【分析】在平面中，由中位线定理、平行直线判断定理，以及平行的传递性可得11AA C C ，可判断选项A 正确；确定三棱锥的外接球的球心在直线上位置，//RI CH H ABC -O FG 即可求出球心到面的距离，可判断选项B 错误；根据棱台的定义判断多面体ABC 为三棱台，可判断选项C 正确；找到过点与面平行的平面，即可找到1EB S ABC -D ACE 点的轨迹，可判断选项D 正确.D 【详解】根据题意，可知平面，RI CH ⊂、11AA C C 如图画出平面，取的中点，连接，11AA C C IC Q GQ FG 、在中，由中位线定理可知，1ACC △112RF CC =所以为中点，则在中，由中位线定理得，，R FG GFQ //RI GQ 由，得，1Rt GFQ Rt CC H @ 1GQF CHC Ð=Ð由平行线性质，1HCQ CHC Ð=Ð所以，可得HCQ GQF Ð=Ð//GQ CH 所以，选项A 正确；//RI CH依题意，由于为直角三角形，则其外心为点，ABC F 又因为平面，FG ⊥ABC 可知三棱锥的外接球的球心在直线上（如图），H ABC -O FG 设，由中，FO x =Rt OGH Rt OFC 、OH OC R ==得，即，()22224x FC x GH +=-+(()22224x x +=-+解得，，则球心到面的距离为，选项B 错误；109x =ABC 109由题意，可知平面平面，1//EB S ABC 延长，与交于点，与交于点，1BB CS AE 、、1BB CS K 1BB AE K '由于，且，1B S BC ∥112B S BC =所以为的中点，同理为的中点，1B BK 1B BK ¢所以与重合，即多面体三条侧棱交于一点，K K '1EB S ABC -故多面体为三棱台，选项C 则正确；1EB S ABC -取的中点，连接，1111A D C D 、N M 、MN DM DN 、、由题意易知，平面，平面，MN ES ∥ES ⊂ACE MN ⊄ACE 所以平面，同理平面，MN ACE DM ∥ACE 平面，平面，，MN ⊂DMN DM ⊂DMN MN DM M ⋂=所以平面平面，//DMN ACE 当点时，平面，所以平面，P MN ∈DP ⊂DMN DP ∥ACE则在底面上的轨迹为，且D 正确.P 1111D C B A MN MN =故选：ACD方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长．（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 在正三棱柱中，为棱的中点，，则异面直线与ABC A B C '''-D AC 2AB BB '==BD所成角的为__________．B C ''【正确答案】π6【分析】根据异面直线的定义结合正三棱柱的几何性质即可得为异面直线与DBC ∠BD 所成角，从而可得答案.B C ''【详解】正三棱柱中，ABC A B C '''-//BC B C''所以为异面直线与所成角DBC ∠BD B C ''又为正三角形，为棱的中点，所以ABC D AC π6DBC ∠=则异面直线与所成角的为.BD B C ''π6故答案为.π614. 已知两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为A B ，，则在上的投影向量为__________．(1,0)AS = (B S = A S B S【正确答案】14⎛ ⎝【分析】先求得与夹角的余弦值，再根据投影向量的定义求出在上的投影向量A SB S A S B S 即可．【详解】设与的夹角为，A SB S θ则，101cos 122A B A B S S S S θ⋅+===⨯⋅ 所以在上的投影向量为.A SB S11cos 1(24B A B S S S θ⋅=⨯= 故答案为.14⎛ ⎝15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点．若，P ABCD -ABCD E PD 1AP =，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离AD =34=AB P ABCD -E PBC 为__________．【正确答案】##0.3310【分析】根据几何体性质结合体积分割求解三棱锥的体积，在根据等体积法可求解P ABE -点到平面的距离.E PBC 【详解】由题可得，当底面时，三棱锥的体积取到最大值PA ⊥ABCD P ABCD -如图，取中点，取中点，连接PA M AD N ,,EM EN AE因为底面，为的中点．为的中点，所以，PA ⊥ABCD E PD N AD //PA EN1122EN AP ==所以底面，则EN ⊥ABCD 11313342E ABCD ABCD V S EN -=⋅=⨯= 又由底面，底面，所以PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD⊥因为矩形，则，又平面，所以平面ABCD AB AD ⊥,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB AD ⊥PAB又为的中点．为的中点，所以，，则平E PD M PA //EMAD 12EM AD ==EM ⊥面PAB则111313324P ABE E PAB PAB V V S EM --==⋅=⨯⨯⨯=又1131334P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯=所以P BCE P ABCD E ABCD P ABE V V V V ----=--=-=又，因为平面，，所以平面，又54PB ==AD ⊥PAB //AD BC BC ⊥PAB 平面，所以，PB ⊂PAB BC PB ⊥设点到平面的距离为,E PBCh 所以，则.11153324P BCE E PBC PBC V V S h --==⋅=⨯⨯= 310h =故点到平面的距离为.E PBC 310故答案为.31016. 在中，若，，的内角平分线交边于点，ABC 12AB AC AB AC ⋅=- BD DC = BAC ∠BC E若，外接圆的直径为__________．6AD =AE =ABC【正确答案】【分析】根据可得，从而得，利用三角12AB AC AB AC ⋅=-2π3BAC ∠=π3BAE CAE ∠=∠=形面积公式可得，再利用，结合数量积的运算可得)bc b c =+6AD =，从而可得，利用余弦定理得，最后应用正弦定理即可得221440b c bc +--=bc a 外接圆的直径.ABC 【详解】又，所以，1cos 2AB AC AB AC BAC AB AC AB AC ⋅=⋅⋅∠=- 1cos 2BAC ∠=-因为，所以，则()0,πBAC ∠∈2π3BAC ∠=π3BAE CAE ∠=∠=又，所以ABE AEC ABC S S S =+ ，111sin sin sin 222AB AC BAC AB AEBAE AB AE CAE ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠则，整理得：①，111222bc b c =⨯+⨯)bc b c =+又，所以1122AD AB AC =+，1122AD AB AC =+==则，整理得②，6=221440b c bc +--=联立①②可得：，解得或（舍）()22411520bc bc --=48bc =24bc =-在中，由余弦定理可得ABC ，所以，222222cos 2144240a b c bc BAC b c bc bc =+-∠=++=+=a =设外接圆的半径为，由正弦定理可得ABCR 2sin a R BAC ===∠所以外接圆的直径为.ABC故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知，，，．(0,0)O (1,2)A (4,5)B ()OP OA t AB t R =+∈ （1）为何值时，点在轴上？t P y （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围．OP AB t 【正确答案】（1）13t =-（2）21t <-【分析】（1）由，得到点P 的坐标，再根据点在轴上求解；OP OA t AB =+ P y （2）由，得到与不共线，再根据与的夹角是钝角，由3(31)3(32)t t +≠+OP AB OPAB 求解.0OP AB ⋅< 【小问1详解】解：由题意知：，，(1,2)OA = (4,5)(1,2)(3,3)AB =-= 所以，(1,2)(3,3)(31,32)OP OA t AB t t t =+=+=++ ．(31,32)P t t ∴++因为点在轴上，P y 所以，解得．310t +=13t =-【小问2详解】因为，3(31)3(32)t t +≠+所以与不共线．OP AB又与的夹角是钝角，OP AB 所以只需，0OP AB ⋅< 即，3(31)3(32)0t t +++<解得．21t <-18. 已知函数的最小值为．()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3-（1）求函数的单调递减区间；()f x （2）英国数学家泰勒（B ．Taylor ，1685-1731）发现了如下公式：，其中，该公式被编入246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ !(1)(2)321n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯ 计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：（结果精确到小数点后4位，参考数据：π13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，）51 2.5108!-≈⨯71 2.81010!-≈⨯【正确答案】（1）， π4π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）0.0806【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数，进而根据正弦函数的性质即可求解；（2）结合诱导公式化简，进而结合泰勒公式求解即可.π12cos113f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【小问1详解】()ππππππsin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 666666f x x x x a x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-++++=-++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πcos 2sin 6x x a x a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭所以，即，()min 23f x a =-+=-1a =-所以，()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令，，ππ3π2π2π262k x k +≤+≤+Z k ∈即，，π4π2π2π33k x k +≤≤+Z k ∈所以函数的单调递减区间，．()f x π4π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【小问2详解】由（1）知，()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，ππππ12sin 112sin 112cos113362f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由泰勒公式得：11111cos1110.50.041670.001390.0000250.000000280.540304722!4!6!8!10!=-+-+-+≈-+-+-+≈ ，所以．π12cos1120.5403047210.08063f ⎛⎫-=-≈⨯-≈ ⎪⎝⎭19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ，为线段的中点，为线段上的动点，平面平2PA AB ==E PB F BC ADE 面．PBC l =（1）证明：；//l BC（2）若到平面的距离为1，求与平面所成角的最小值．l PAD AF PBC 【正确答案】（1）证明见解析（2）π6【分析】（1）由已知得，再利用线面平行的判定定理和性质定理可证得结论；//BC AD （2）由到平面的距离为1，根据线面垂直的性质结合已知可得，再由线面l PAD BC AB ⊥垂直的判定可得平面，则，由等腰三角形的性质可得，则BC ⊥PAB BC AE ⊥AE PB ⊥平面，从而得为与平面所成角，然后在中求解即可.⊥AE PBC AFE ∠AF PBC AEF △【小问1详解】证明：因为底面为菱形，所以ABCD //BC AD因为平面，平面，BC ⊄ADE AD ⊂ADE 所以平面．//BC ADE 又平面，平面平面，所以．BC ⊂PBC ADE PBC l =//BC l 【小问2详解】因为，，所以，//BC l //BC AD //l AD l 不在面PAD 内，AD 在面PAD 内，所以平面，//l PAD 又到平面的距离为1，所以点到平面的距离为2．l PAD B PAD 因为底面，平面，所以平面底面，PA ⊥ABCD PA ⊂PAD PAD ⊥ABCD 又平面底面，PAD ⋂ABCD AD =所以点到平面的距离等于点到的距离，为2．B PAD B AD 又，所以．2AB =BC AB ⊥又因为，，平面，所以平面．BC PA ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB BC ⊥PAB 因为平面，所以．AE ⊂PAB BC AE ⊥又，为线段的中点，所以．2PA AB ==E PB AE PB ⊥又，平面，平面，所以平面．PB BC B ⋂=PB ⊂PBC BC ⊂PBC ⊥AE PBC所以为与平面所成角．AFE ∠AF PBC 又．tan AE AFE EF ∠==EF≤≤所以当．EF =tan AFE ∠所以与平面所成角的最小值为．AF PEC π620. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，．ABC A B C a b c 8b =5c =（1）若，求；cos sin 0aC C b c+--=A （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的值域．2π()cos 212f A A A ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭条件①：；2220AC AB BC ≤+-≤ 条件②：．0cos sin A A ≤≤注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】（1）π3A =（2）0,1⎡⎣【分析】（1）由及正弦定理得cos sin 0a C C b c +--=，利用诱导公式及三角恒等变换可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=，结合角的范围即可求解；π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）利用三角恒等变换化简为，选择①由()π12sin 23f x A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得，结合余弦定理可得2220AC AB BC ≤+-≤ 2220b c a ≤+-≤，再利用正弦函数的性质即可求解；选择②，由，可得ππ42A ≤≤0cos sin A A ≤≤，再利用正弦函数的性质即可求解.ππ42A ≤≤【小问1详解】由及正弦定理得cos sin 0a C C b c --=．sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=因为，sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+．sin cos sin sin 0A C A C C --=由于，，所以．sin 0C >cos 10A A --=π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭又，，故，即．0πA <<π5π66A ∴-<<ππ66A -=π3A =【小问2详解】2π()cos 21cos 2)sin 212fA A A A A ⎛⎫=++-+=---+ ⎪⎝⎭．π12sin 212sin23A A A ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭选择条件①：因为，所以，2220AC AB BC ≤+-≤ 2220b c a ≤+-≤根据余弦定理可得，．2222cos 80cos b c a bc A A +-==所以，又，所以．0cos A ≤≤0πA <<ππ42A≤≤所以，即，5ππ4π2633A ≤+≤π1sin 232A ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故．()0,1f A ⎡∈⎣选择条件②：因为，又，所以，0cos sin A A ≤≤0πA <<ππ42A ≤≤所以，即．5ππ4π2633A ≤+≤π1sin 232A ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭故．()0,1f A ⎡∈⎣21. 已知的角，，所对的边分别为，，，点是所在平面内的一ABC A B C a b c O ABC 点．（1）若点是的重心，且，求的最小值；O ABC 0OA OB ⋅= cos C （2）若点是的外心，，且，，O ABC BO BA BC λμ=+ λμ∈R 4a =6c =有最小值，求的取值范围．21sin ()2m B m λμ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R m 【正确答案】（1）45（2）213,44m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，由余弦定理列出方程，然后再由基本不等式即可得到结果；（2）根据题意，分别表示出，然后代入计算，即可得到结果.,λμ【小问1详解】延长，，分别交边，，于点，，，AO BO CO BC AC AB D E F 依题意有，．1122FO AB c ==32CF c =在和中，由余弦定理有，CAF V CAB △cos cos CAF CAB ∠=∠即，化简有，222222322222c c b b c ac bc b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=⋅2225a b c +=．22222222244245cos 2252525a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===⋅≥⋅=当且仅当时，等号成立，a b =所以的最小值为．cos C 45 【小问2详解】由题意可知：，解得，183624cos 824cos 16BO BA B BO BC B λμλμ⎧⋅==+⎪⎨⋅==+⎪⎩ 2232cos 6sin 23cos 4sin B B B B λμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩则221(32cos )23cos sin sin 2642m B B B m B λμ--⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭．26cos (49)cos 612B m B m -++=今，cos ,(1,1)t B t =∈-原式有最小值，所以．26(49)6t m t m =-++49(1,1)12m t +-∈-解得．213,44m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭22. 如图，在五边形中，四边形为矩形，点为边的中点，ABCFD ABCD E BC ，，．沿，将，折起，使得2AB AD ==//DF EC DF FC ⊥EC ED BEC AED △，重合于点，得到四棱锥，为侧棱靠近的三等分点．A B PP ECFD -G PD P（1）求与所成的角；CG ED （2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．PED PCF【正确答案】（1）π2（2）【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得面，然后由余弦定理可得，再结合PE ⊥PCD CG 勾股定理即可得到，从而可得面，即可得到结果；PD GC ⊥GC ⊥PED （2）根据题意，先由条件找到所求二面角，然后通过计算，即可得到结果.【小问1详解】由题可知，，，，．2ED EC DC ===1PE =PC PD ==PE PC ⊥PE PD ⊥又，面，面，所以面．PC PD P ⋂=PD ⊂PCD PC ⊂PCD PE ⊥PCD 又面，所以．GC ⊂PCD PE GC⊥在中，由余弦定理可得，PCD ．2221cos 23DP CP DC DPC DP CP +-∠===⋅在中，PCG13PG PD ==，CG ===所以，即．222PG CG PC +=PD GC ⊥又，面，面，所以面．PE PD P = PD ⊂PED PE ⊂PED GC ⊥PED 又面，所以．故与所成的角为．ED ⊂PED ED GC ⊥CG ED π2【小问2详解】因为，，所以，．//DF EC DF FC ⊥π3CDF ∠=1FD =又，所以延长，必交于一点．FD EC <ED CF H 所以平面平面．PED PCF PH =又面，过点作，连接，则或其补角为所求．GC ⊥PED G GQ PH ⊥CQ GQC ∠又，所以．π6PDE ∠=5π6PDH ∠=又，所以．π3FDH ∠=2DH DC ==在中，由余弦定理可得，PDH △．PH ===设点到的距离为，在中，运用等面积法则有D PH d PDH △sin PD DH PDH d PH ⋅∠==所以，13GQ d ==在中，．Rt CGQtan GC GQC GQ ∠==所以平面与平面所成锐二面角的正切值为．PED PCF。

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z =(2−ai)(1+2i)为纯虚数，则实数a =( )A. −2B. 2C. −1D. 12.已知向量a =(2,−1)，b =(k,2)，且(a +b )//a ，则实数k 等于( )A. −4B. 4C. 0D. −323.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γC. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//nD. 若m//α，m//β，则α//β4.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为线段AC 和线段A 1B 的中点，求直线MN 与平面A 1B 1BA 所成角为是( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 75∘5.已知cos 2α=23，则cos(π4−α)cos(π4+α)的值为( )A. 13B. 23C.23 D.2 296.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为−12b ，则|a−b |=( )A. 1B. 2C.2D.37.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H(单位：米，记水筒M 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式H =2sin(π30t +φ)+54，φ∈(0,π2)，且t =0时，盛水筒M 位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M 距离水面的高度为( )米．A. 3.25B. 2.25C. 1.25D. 0.258.已知角α，β满足cos α=13，cos (α+β)cos β=14，则cos (α+2β)的值为( )A. 112B. 18C. 16D. 14二、多选题：本题共3小题，共15分。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷答案

成都七中高2026届高一下期数学期末考试参考答案一．单项选择题−14：CBDD −58：BCAB8．解析：设D 为BC 边中点，则23A A A AD O G O ⎛⎫= ⎪⎝⎭21()32A AO AC B =+()AB AO AC =+312211AB AC =+66=+b c 6()122, 在∆ABC 中,==︒a A 1,60,由余弦定理得=+−︒a b c bc 2cos 60222,∴+=+b c bc 122, 由均值不等式,+=+≥bc b c bc 1222,所以≤bc 1（当且仅当==b c 1等号成立）, 所以1111()(1)(11)6663A AG O c b bc =+=+≤+=22,故选B. 二．多项选择题9．BC 10．BCD 11．AC11．解析：A ：当⊥'AP A B 时，线段DP 长度最小，此时=AP =DP ，A 正确；B ：将面''A D CB 旋转至面'A AB 同一平面，连接AC ，此时+=AP PC AC 为最小值，=>=AC 不存在这样的点P ，故B 错误； C ：如图，取='B E 1，='B F 21，='A G 23，连接FG 交'A B 于P ，易证此时⊥'A C MN ，⊥'A C EN ，且M N E F G ,,,,五点共面．因为MN EN N =，面⊥'A C MNEFG ，所以存在这样的点P 使面⊥'A C MNP ，故C 正确； D ：以点B 为球心，617为半径的球面被面'AB C 所截的截面为圆形，记其半径为r ，则=r d 为点B 到平面'AB C 的距离．由=−−''V V B ABC B AB C 易求得B 到平面'AB C 的距离为34，解得=r 25，所以截面面积==ππS r 4252，D 错误．本题选AC 三．填空题12．1030013．π32814．+3214．解析：取AB 中点D ，则2AQ m AB nAC m AD nAC =+=+ ；连接CD 交AQ 于点E ，则()1AE AD AC λλ=+−，且()()1AQAQAQ AE AD AC λλ=⋅=⋅+−AE AE ，故+=AE m n AQ2．17．解：I ()设事件=A i “第i 回合甲胜”,事件=M “甲至少赢一回合”,故=M “甲每回合都输”.A A i i ,为对立事件,=P A i 32(),故=P A i 31)(. ……2分 =−=−P M P M P A A A ()1()1()123⎝⎭ ⎪=−=⎛⎫P A P A P A 3271=12631()()()-123，故甲至少赢1个回合的概分为2726． ……5分(II)设事件=N “第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =，且A A 12和A A 12互斥，则=+=⋅+⋅=P N P A A P A A P A P A P A P A 9()512121212)()()()()()(, 故第二回合有人得分的概分为95. ……10分 (III)设事件=Q “甲乙两人平局”，由题可知，只有1：1与0：0两种情况，因此13123Q A A A A A A =2，故=+=P Q P A A A P A A A P A P A P A ()221312313)()()()()(+=P A P A P A 274123)()()(, 故甲乙两人平局的概分为274. ……15分18．解：(I)由正弦定理得，+=a c b 2,222解得=b ….…4分又因为+−=−<b c a 20222，故=<+−bcA b c a 2cos 0222，>πA 2，所以△ABC 是钝角三角形． …………6分 (II)由平面向量基本定理，BA ，BC 可作为一组基底向量，且有2BA =，4BC =，cos ,cos BA BC B <>===+−ac a c b 285222．由于1AD AC =3，所以21BD BA BC =+33． …………8分 2222212152()2cos BD BD BD BA BA BC B BC ⎛⎫=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅== ⎪33339． …………11分 (III) 由题意可设BM xBA = ，BN yBC = ．由于M ，D ，N 三点共线，可设(1)BD t BM t BN =−+，∈t 0,1)(．所以21(1)BD t x BA ty BC BA BC =−⋅+⋅=+33，由平面向量基本定理，解得()−=t x 312 ，=ty 31 ，所以()2BM BA =−t 31 ，1BN BC =t 3 ． …………13分因此()212BM BN BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⋅t t t t 3139(1)， …………15分而cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，因此当=t 21时，40BM BN ⋅=9为最小值． ……17分19．证明：(I)因为面平⊥A D ABC 1，面平⊂BC ABC ，故⊥A D BC 1． ……2分又由∠=︒ABC 90，即⊥AB BC ，1AB A D D =，因此面平⊥BC ABB A 11．……5分 (II)由于菱形ABB A 11，且A D 1为AB 的垂直平分线，因此可知△A AB 1和△B A B 11均为等边三角形．由面平⊥BC ABB A 1，⊂BB 1面平ABB A 1，可得⊥BC BB 1，结合斜三棱柱进一步可得B BCC 11是矩形． …………6分此时作⊥A P BB 11，⊥A Q CC 11，连接PQ ，PC ，A C 1．由题知，=A Q 21，面平⊂A P ABB A 111，可得⊥BC A P 1，1BC BB B =，因此⊥A P 1平面BCC B 11，因此由题知，=A P 1，⊂PQ PC 平面BCC B 11，所以也有⊥A P PQ 1，⊥A P PC 1．因此，角成所为面平与∠A CP A C BB C C 1111． …………8分进一步，在△R A PQ t 1 中，==Q P 1 ，由矩形可知==BC PQ 1 ．一一方面，由于=A P 1△B AB 1中，可以解得=BB 21，P 为BB 1中点，=BP 1．所以，在△R BCP t 中，PC △A CP R t 1中，=A C 1∠===A C A CP A P 5sin 111，值弦正的角成所面平与A C BBC C 111． ……11分 (III)延长EF ，C C1交于点M ，连接MB 1，交BC 于N ，连接FN ，如右图，故四边形B EFN 1即为所得截面． ………12分由上一问可知，菱形ABB A 11的边长为2，矩形B BCC 11中=BC 1，平行四边形ACC A 11中==AA CC 211，===A C A C AC 111．要计算截面B EFN 1的面积，首先研究△B EM 1．在△A B E 11中，由于∠=︒EA B 12011，由余弦定理可得=B E 1，E F 为中点，因此===EM EF A C 21，此时有==MC AE 1，在直角△MB C 11中=MB 1，N 为BC 的三等分点． …………14分因此△B EM 1中，由余弦定理可得⋅⋅∠==+−EM MB EMB EM MB EB 25cos 1121221，所以可以计算得∠=EMB 5sin 1．设截面面积为S ，由于=MF ME 21，=MN MB 311，有△△△=−=⋅⋅∠−⋅⋅∠=S S S ME MB EMB MF MN EMB S B EM NFM B EM 226sin sin 11511111因此，此斜三棱柱被平面B EF 1 ……………17分。

成都市高一下期数学期末考试

B C A 成都市高一下期调研考试——数学一、选择题〔每题5分，共50分〕 1. 0a b <<，那么以下不等式正确的选项是〔〕A ．22a b <B ．11a b < C ．22a b < D ． 2ab b <2. 如图，一个“半圆锥〞的正视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为〔〕A ．33π B ．23π C ．36π D ．3π3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设22S =，410S =，那么6S 等于( 〕Ａ．12 Ｂ．18Ｃ．24 Ｄ．42 4. a ＞0,b ＞0，a 1+b3=1，那么a+2b 的最小值为( ) A.7+26 B.23 C.7+23 D.145. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得60AC =m ，井顶B 的仰角45α︒=，井底C 的仰角15︒，那么井架的高BC 为〔〕A ．202mB ．302mC ．203mD ．303m 6.△ABC 中，假设()()0CA CB AC CB +⋅+=，那么△ABC 为〔〕A 正三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 无法确定 7. 两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，那么使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是〔〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，假设()cos a b c C =+，那么△ABC 的形状是〔〕9. 函数y=log 2x+log x (2x)的值域是( )A .(]1,--∞B .[)+∞,3C .[]3,1-D .(][)+∞--∞,31,10. 在△ABC 中，,E F 分别是AC ，AB 的中点，且32AB AC =，假设BE t CF <恒成立，那么t 的最小值为〔〕A ． 78B ． 67C ．45D ．43 二、填空题〔每题5分，共25分〕11. 不等式201x x -+≤的解集是 . 12.等差数列}{n a 中，240,30,1849===-n n S a S ，那么n 的值为 . 13.函数2cos sin y x x =+的最大值是．14. 假设方程211x kx x -=-有两个实数根，那么实数k 的取值范围是 .15.以下命题：①ABC ∆中，假设A B <,那么cos2cos2A B <；②假设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，那么C B A ++14的最小值为π9 ③16sin 62sin 6n n a n ππ=++()n N *∈，那么数列{}n a 中的最小项为193； ④假设函数2()log (1)f x x =+，且0a b c <<<，那么()()()f a f b f c a b c <<； ⑤函数22()25413f x x x x x =-++-+的最小值为29. 其中所有正确命题的序号是三、解答题〔16—19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分〕 16. {}n a 是公比大于1的等比数列,n S 是{}n a 的前n 项和.假设37S =,且13a +,23a ,34a +构成等差数列.〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式.〔Ⅱ〕令22log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,a 、b 、c 成等比数列，且3cos 4B =. 〔Ⅰ〕求11tan tan A C+的值；〔Ⅱ〕设32BA BC =,求a 、c 的值.18. 定义在R 上的函数2()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中a R ∈). 〔Ⅰ〕解关于x 的不等式()0f x >;〔Ⅱ〕假设不等式()3f x x ≥-对任意2x >恒成立,求a 的取值范围.19. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 11,a =142n n S a +=+ 〔1〕设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列〔2〕求数列{}n a 的通项公式。

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