离散数学课后习题标准答案-(左孝凌版)
(整理)离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
《离散数学》(左孝凌 李为鉴 刘永才编著)课后习题答案 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)
习题 1-5（1）证明：a)(P∧(P→Q))→Q⇔(P∧(┐P∨Q))→Q⇔(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q⇔(P∧Q)→Q⇔┐(P∧Q)∨Q⇔┐P∨┐Q∨Q⇔┐P∨T⇔Tb)┐P→(P→Q)⇔P∨(┐P∨Q)⇔ (P∨┐P)∨Q⇔T∨Q⇔Tc)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)因为(P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R)所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。
d)((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))⇔((a∨c)∧b)∨(c∧a)⇔((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))⇔(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。
（2）证明：a)(P→Q)⇒P→(P∧Q)解法1：设P→Q为T（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T命题得证解法2：设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。
解法3：(P→Q) →(P→(P∧Q))⇔┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))⇔┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))⇔T所以(P→Q)⇒P→(P∧Q)b)(P→Q)→Q⇒P∨Q设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，所以(P→Q)→Q⇒P∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q成立。
（3）解：a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳光明创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)欧阳光明（2021.03.07）1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学 左孝凌 课后习题解答 详细
pq 00 01 10 11
p→q 1 1 0 1
表 1.24 q∧(p→q)
0 1 0 1
q∧(p→q)→p 1 0 1 1
5
第1章 习题解答
使得公式 q∧(p→q)→p 成真的赋值是：00，10，11，使得公式 q∧(p→q)→p 成假的赋 值是：01。
⑵ p→(q∨r) 的真值表如表 1.25 所示。
1
0
1
010 0
1
0
1
011 1
1
0
1
100 1
1
0
1
101 1
1
0
1
110 0
0
1
0
111 1
1
1
1
由上表可见：p→(q→r)和(p∧q)→r 的真值表完全相同，所以 p→(q→r)(p∧q)→r。
⑸p→(q→p)p→(p→q)
证明：证明 p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表 1.33 所示。
1
10 0
11
1
11 1
00
0
由上表可见：(p↔q)和 p↔q 的真值表完全相同，所以(p↔q)p↔q。 ⑷p→(q→r)(p∧q)→r 证明：证明 p→(q→r)和(p∧q)→r 的真值表如表 1.32 所示。
表 1.32
p q r q→r p→(q→r) p∧q (p∧q)→r
000 1
1
0
1
001 1
4
第1章 习题解答
习题 1.3
1.设 A、B、C 是任意命题公式，证明： ⑴AA ⑵若 AB，则 BA ⑶若 AB，BC，则 AC 证明：⑴由双条件的定义可知 A↔A 是一个永真式，由等价式的定义可知 AA 成立。 ⑵因为 AB，由等价的定义可知 A↔B 是一个永真式，再由双条件的定义可知 B↔A 也是一个永真式，所以，BA 成立。 ⑶对 A、B、C 的任一赋值，因为 AB，则 A↔B 是永真式， 即 A 与 B 具有相同的真 值，又因为 BC，则 B↔C 是永真式， 即 B 与 C 也具有相同的真值，所以 A 与 C 也具有 相同的真值；即 AC 成立。 2.设 A、B、C 是任意命题公式， ⑴若 A∨CB∨C, AB 一定成立吗？ ⑵若 A∧CB∧C, AB 一定成立吗？ ⑶若¬A¬B，AB 一定成立吗？ 解：⑴不一定有 AB。若 A 为真，B 为假，C 为真，则 A∨CB∨C 成立，但 AB 不成立。 ⑵不一定有 AB。若 A 为真，B 为假，C 为假，则 A∧CB∧C 成立，但 AB 不 成立。 ⑶一定有 AB。 3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 ⑴ q∧(p→q)→p ⑵ p→(q∨r) ⑶ (p∨q)↔(q∨p) ⑷ (p∧q)∨(r∧q)→r ⑸ ((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r) 解：⑴ q∧(p→q)→p 的真值表如表 1.24 所示。
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)(2)
故由的定义，必有P为To
所以(P Q) A Q P
解法2:
由体题可知，即证((P Q) A Q)rP是永真式。
((P Q) A Q)t P
习：「睥P
(((PA Q) V (m Q))A Q)f
但我数学不及
(「((P\ Q) V (「PAnQ)) V「Q) VP
(A V B) (A A B)或」(A B)「((A - B)A (Br A))
「((「AV B) A (「BV A))
「((「AA「B) V (「AAA) V (B AnB)
V (B A A))
「((「AN「B) V (B A A))
「(「(A V B)) V (A A B)
(A V B) An(A A B)
(「(A A B) A (「BV D)) V C
(「(A A B) An(「DA B)) V C
「((A A B) V (「DAB)) V C
((A V「D)A B)tC
(B A (Dr A)) tC
(8)解：
a)((A r B) (「Br「A)) A C
((「AV B) (B V「A)) A C
((「AV B) (「AV B)) A C
"C C
b)AV (「AV (BA「B)) (A V「A) V (B An
B)TV F T
c)(A A B/\ C)V (「AAB/\ C)
(A V「A) A (B A C)
TA(B A C)
B/\ C
(9)解：1)设C为T, A为T, B为F,则满足AV C BV C,但A B不成立。
2)设C为F, A为T, B为F,则 满足ANC B/\ C,但A B不成立。
离散数学课后习题答案左孝凌版
离散数学课后习题答案(左孝凌版)１-1，１-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题,真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题,真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题,真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解:原子命题:我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操,我就出外旅游拉。
（3）解:a)(┓P ∧R）→Qb)Ｑ→Rc)┓Pd)Ｐ→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R：我有时间。
Ｐ:天下雨。
Q (R∧┓P）:我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R：我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→Ｒ）∧(R→Ｑ)：一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。
(5) 解:a)设Ｐ：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Ｑb)设P:小李看书。
Q:小李听音乐。
Ｐ∧Qc)设P:气候很好。
Q：气候很热。
P∨Ｑd)设Ｐ：ａ和ｂ是偶数。
Q:a+b是偶数。
P→Qe)设Ｐ:四边形ＡBCD是平行四边形。
Q ：四边形AＢCＤ的对边平行。
P Qf)设Ｐ：语法错误。
Q:程序错误。
R：停机。
(P∨ Q）→ R(6) 解:a)Ｐ:天气炎热。
Ｑ：正在下雨。
P∧Ｑb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
Ｓ:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N：小李是革新者。
M∨Nf)L：你看电影。
M:我看电影。
┓Ｌ→┓Ｍg)P:我不看电视。
Q：我不外出。
Ｒ:我在睡觉。
Ｐ∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Ｑ:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3(1)解：a)不是合式公式,没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对)d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2)解:a）A是合式公式，(A∨B）是合式公式,(Ａ→(Ａ∨Ｂ)) 是合式公式。
离散数学课后习题答案左孝凌版(20200602075307)
..
（6 ）解： P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。 这个人起初主： (P∧ Q∧R) S
a） ((((A → C)→((B∧ C)→A)) →((B∧C)→ A))→ (A→C)) b） ((B→A)∨ (A→B))。 （ 4）解： a) 是由 c) 式进行代换得到，在 c) 中用 Q 代换 P, (P→P)代换 Q. d) 是由 a) 式进行代换得到，在 a) 中用 P→ (Q→ P)代换 Q.
A；(A ∨B)； (A→(A∨ B))
h) P:控制台打字机作输入设备。 Q:控制台打字机作输出设备。 P∧Q
同理可记
b ） A； ┓A ；(┓ A∧ B) ；((┓A∧B)∧A)
Word 资料 .
c） A；┓ A ；B；(┓A→B) ； (B→ A) ；((┓ A→ B)→(B→A)) d） A；B；(A → B) ；(B→ A) ；((A → B)∨(B→A)) （ 3）解：
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
FTTTF NhomakorabeaF
F
F
F
T
F
T
T
T
F1:(Q→P)→R
F2:(P∧┓ Q∧┓ R)∨(┓P∧┓ Q∧┓ R)
F3:(P←→ Q)∧ (Q∨ R)
F4:(┓P∨┓ Q∨ R)∧(P∨┓ Q∨R) F5:(┓P∨┓ Q∨ R)∧(┓P∨┓ Q∨┓ R)
F6:┓(P∨ Q∨ R)
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
ＰＱ Ｒ
Ｑ∨Ｒ Ｐ∧（Ｑ ∨Ｒ）Ｐ ∧Ｑ Ｐ∧ Ｒ （Ｐ ∧Ｑ） ∨（Ｐ ∧Ｒ）
离散数学 答案 左孝凌 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳语创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳美创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)之欧阳与创编
1-1，1-2（1）（2）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（3）解：欧阳与创编 2021.03.08 欧阳与创编 2021.03.08原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（4）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（5）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
欧阳与创编 2021.03.08 欧阳与创编 2021.03.08(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓M欧阳与创编 2021.03.08 欧阳与创编 2021.03.08g)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳德创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案(左孝凌版)之欧阳育创编
离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学 左孝凌 课后习题解答 详细
第1章 习题解答
⑶ p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。 ⑷ p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。 5. 用符号形式写出下列命题。 ⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 ⑵我今天进城，除非下雨。 ⑶仅当你走，我将留下。 解：⑴ p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符 号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。 ⑵ p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。 ⑶ p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
2
第1章 习题解答
习题 1.2
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 ⑴ (p∧q→r) ⑵ (p∧(q→r) ⑶ ((p→q)↔(r∨s)) ⑷ (p∧q→rs) ⑸ ((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。 解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。 2.设 p：天下雪。
q：我将进城。 r：我有时间。 将下列命题符号化。 ⑴ 天没有下雪，我也没有进城。 ⑵ 如果我有时间，我将进城。 ⑶ 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。 解：⑴ p∧q ⑵ r→q ⑶ p∧r→q 3.设 p、q、r 所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。 ⑴ r∧q ⑵ ¬ (r∨q) ⑶ q↔ (r∧¬ p) ⑷ (q→r)∧(r→q) 解：⑴ 我有时间并且我将进城。 ⑵ 我没有时间并且我也没有进城。 ⑶ 我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。 ⑷ 如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。 4. 试把原子命题表示为 p、q、r 等，将下列命题符号化。 ⑴ 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。 ⑵ 如果张三和李四都不去，他就去。 ⑶ 我们不能既划船又跑步。 ⑷ 如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。 解：⑴ p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧ q)∨(p∧q)。 ⑵ p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。
《离散数学》(左孝凌李为鉴刘永才编著)课后习题集标准答案上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学课后习题答案左孝凌版
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)^j)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：、-a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：&a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)<e)设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qf)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qg)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)\h)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Ri)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q 1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（d)）e)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）f)/g)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。
左孝凌离散数学课后题答案
左孝凌离散数学课后题答案1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为t。
b)不是命题。
c)就是命题，真值必须根据具体情况确认。
d)不是命题。
e)是命题，真值为t。
f)是命题，真值为t。
g)是命题，真值为f。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我快乐北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓p∧r)→qb)q→rc)┓pd)p→┓q（4）求解：a)设q:我将去参加舞会。
r:我有时间。
p:天下雨。
q?(r∧┓p):我将回去出席舞会当且仅当我存有时间和天不下雨。
b)设r:我在玩游戏。
q:我在吃苹果。
r∧q:我在玩游戏边吃苹果。
c)设q:一个数是奇数。
r:一个数不能被2除。
（q→r）∧(r→q):一个数就是奇数，则它无法被2相乘并且一个数无法被2相乘，则它就是奇数。
(5)求解：a)设p：王强身体很好。
q：王强成绩很好。
p∧qb)设p：小李看书。
q：小李听音乐。
p∧qc)设p：气候很好。
q：气候很热。
p∨qd)设p：a和b就是偶数。
q：a+b就是偶数。
p→qe)设p：四边形abcd是平行四边形。
q：四边形abcd的对边平行。
p?qf)设p：语法错误。
q：程序错误。
r：停机。
（p∨q）→r(6)求解：a)p:天气炎热。
q:正在下雨。
p∧qb)p:天气炎热。
r:湿度较低。
p∧rc)r:天正在下雨。
s:湿度很高。
r∨sd)a:刘英上山。
b:李进上山。
a∧be)m:老王就是革新者。
n:小李就是革新者。
m∨nf)l:你看看电影。
m:我看看电影。
┓l→┓mg)p:我不看电视。
q:我不外出。
r:我在睡觉。
p∧q∧rh)p:控制器打字机并作输出设备。
q:控制器打字机并作输出设备。
p∧q1-3（1）解：a)不是合式公式，没规定运算符次序（若规定运算符次序后一般会作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不接合）d)不是合式公式（r和s之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）a就是合式公式，(a∨b)就是合式公式，(a→(a∨b))就是合式公式。
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１-1,1－２
（1）解:
a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题,真值为T。
f)是命题,真值为Ｔ。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解:
原子命题:我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操,我就出外旅游拉。
（3）解:
a)(┓P ∧R)→Ｑ
b)Q→R
c)┓Ｐ
d)P→┓Q
（4）解:
a)设Q：我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c）设Q：一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
(Q→R)∧(R→Ｑ)：一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：
a)设P：王强身体很好。
Ｑ:王强成绩很好。
P∧Q
b)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Q
c)设Ｐ:气候很好。
Q:气候很热。
Ｐ∨Q
d)设Ｐ：ａ和b是偶数。
Q:ａ+ｂ是偶数。
P→Q
e)设P：四边形AＢCD是平行四边形。
Ｑ :四边形AＢCＤ的对边平行。
P↔Q
f)设P:语法错误。
Q:程序错误。
Ｒ：停机。
(P∨Q）→R
（6) 解:
a)P：天气炎热。
Q：正在下雨。
Ｐ∧Q
b)Ｐ:天气炎热。
R：湿度较低。
P∧R
c)Ｒ:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨S
d)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Ｂ
e)M:老王是革新者。
Ｎ:小李是革新者。
M∨N
f)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓M
g)P：我不看电视。
Ｑ:我不外出。
Ｒ:我在睡觉。
P∧Q∧R
h)Ｐ：控制台打字机作输入设备。
Ｑ：控制台打字机作输出设备。
P∧Q
1-3
（1）解：
a)不是合式公式,没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式)
b)是合式公式
c)不是合式公式（括弧不配对）
d)不是合式公式（R和Ｓ之间缺少联结词)
e)是合式公式。
(２）解:
a）Ａ是合式公式，(A∨B）是合式公式,(A→(A∨Ｂ)) 是合式公式。
这个过程可以简记为:
A;(A∨B)；(A→(A∨B）)
同理可记
b）A;┓A ;（┓Ａ∧Ｂ) ；（(┓A∧Ｂ)∧A)
c）Ａ；┓A ；B;(┓A→Ｂ）;(Ｂ→A） ;((┓A→B)→(B→A）)
d）A;B;(A→B) ;（B→A);((Ａ→B)∨(B→A）)
(3）解:
a）((((A→C)→((B∧Ｃ)→A))→(（B∧C)→A))→(A→Ｃ))
b）(（Ｂ→A)∨(A→B))。
（４)解:
ａ) 是由c) 式进行代换得到,在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q．
d）是由ａ) 式进行代换得到,在a）中用Ｐ→(Ｑ→P)代换Ｑ．
ｅ) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q， Q代换R, P代换S．
(5)解:
a ） P: 你没有给我写信。
R: 信在途中丢失了。
P Q ｂ) Ｐ: 张三不去。
Q: 李四不去。
R: 他就去。
(P∧Ｑ)→R c ） P ： 我们能划船。
Q: 我们能跑步。
┓（P∧Q) d) P ： 你来了。
Q: 他唱歌。
Ｒ： 你伴奏。
P→(Q ↔R) （６)解:
P:它占据空间。
Q ：它有质量。
R:它不断变化。
S:它是物质。
这个人起初主张:(P∧Q∧Ｒ) ↔ S 后来主张:（P∧Q ↔Ｓ)∧（Ｓ→R）
这个人开头主张与后来主张的不同点在于:后来认为有P∧Q 必同时有R,开头时没有这样的主张。
(7)解：
a) P: 上午下雨。
Q:我去看电影。
R:我在家里读书。
S:我在家里看报。
（┓P→Q)∧（P→（R∨S))
b) P ： 我今天进城。
Q:天下雨。
┓Ｑ→P c ） P: 你走了。
Q ：我留下。
Q→Ｐ 1－4 (4)解：a ）
所以,P∧(Q∧R) ⇔ (Ｐ∧Q）∧R b ）
所以,Ｐ∨(Q∨R) ⇔ (P∨Ｑ)∨R c ）
所以，P∧(Q∨R) ⇔ (P∧Q)∨(P∧Ｒ）
∨
ｄ)
所以,┓(P∧Q) ⇔┓P∨┓Q, ┓（P∨Ｑ) ⇔┓P∧┓Ｑ （5)解:如表，对问好所填的地方,可得公式F １～F 6,可表达为
F1:(Q→P)→Ｒ
F2:（Ｐ∧┓Q∧┓Ｒ）∨（┓Ｐ∧┓Q∧┓R) Ｆ3:(P←→Ｑ)∧(Ｑ∨R)
F4:(┓P∨┓Ｑ∨R)∧（P∨┓Q∨R) F5:(┓P∨┓Q∨R)∧（┓P∨┓Q∨┓R)
F6：┓(Ｐ∨Q∨R)
(6)
解：由上表可得有关公式为
１.F 2.┓(P∨Ｑ) ３.┓（Q→Ｐ) 4．┓P
5.┓(P→Q) ６．┓Q ７．┓(Ｐ↔Ｑ) 8.┓（P∧Q) 9.P∧Ｑ 10．Ｐ↔Ｑ １1.Q １２.P→Ｑ
13.Ｐ 14．Ｑ→P 15．P∨Q 16.T （7) 证明:
a) A →（B →A)⇔ ┐Ａ∨（┐B ∨A)
⇔ Ａ∨(┐A ∨┐Ｂ） ⇔ A ∨(A →┐B) ⇔┐Ａ→（A →┐Ｂ）
b) ┐(A ↔B ） ⇔┐(（Ａ∧B)∨（┐A ∧┐B))
⇔┐(（A ∧Ｂ)∨┐(A ∨Ｂ)) ⇔（Ａ∨Ｂ）∧┐(A∧B)
或 ┐(Ａ↔Ｂ) ⇔┐（(A →Ｂ)∧(B →Ａ)）
⇔┐((┐Ａ∨B ）∧(┐B ∨A))
⇔┐(（┐Ａ∧┐B)∨(┐Ａ∧Ａ）∨(B ∧┐B)∨（B ∧A)) ⇔┐((┐A∧┐B)∨（B ∧A ）) ⇔┐(┐（Ａ∨Ｂ)）∨（A∧Ｂ)。