弹性碰撞模型及应用(一)

弹性碰撞模型及其应用（1）

动量和能量最常出现的问题是碰撞问题。碰撞问题可分为两大类：弹性碰撞和非弹性碰撞。非弹性碰撞又分为一般非弹性碰撞和完全非弹性碰撞，我们重点讨论一下弹性碰撞。 弹性碰撞特点：（1）碰撞前后动量、动能都守恒；（2）碰撞过程中系统机械能守恒。严格的弹性碰撞在自然界中是很难找到的，原因是碰撞中总会有内能的生成，但是常见的弹性球、光滑的钢球及分子、原子等微观粒子的碰撞都可以看做是弹性碰撞。掌握这一模型，可轻松解决这一类题，切实提高学生推理能力和分析解决问题能力。

（一）弹性碰撞模型

已知A 、B 两个钢性小球质量分别是m 1、m 2，小球B 静止在光滑水平面上，A 以初速度v 0与小球B 发生弹性碰撞，求碰撞后小球A 的速度v 1，

物体B 的速度v 2大小和方向 解析：取小球A 初速度v 0的方向为正方向，因发

生的是弹性碰撞，碰撞前后动量守恒、动能不变有：

m 1v 0= m 1v 1+ m 2v 2 ① 2222112012

12121v m v m v m += ② 由①②两式得：210211)(m m v m m v +-= ， 2

10122m m v m v += 结论：（1）当m 1=m 2时，v 1=0，v 2=v 0，显然碰撞后A 静止，B 以A 的初速度运动，两球速度交换，并且A 的动能完全传递给B ，因此m 1=m 2也是动能传递最大的条件；

（2）当m 1＞m 2时，v 1＞0，即A 、B 同方向运动，因2121)(m m m m +- ＜2

112m m m +，所以速度大小v 1＜v 2，即两球不会发生第二次碰撞；

若m 1>>m 2时，v 1= v 0，v 2=2v 0 即当质量很大的物体A 碰撞质量很小的物体B 时，物体A 的速度几乎不变，物体B 以2倍于物体A 的速度向前运动。

（3）当m 1＜m 2时，则v 1＜0，即物体A 反向运动。

当m 1<

以上弹性碰撞以动撞静的情景可以简单概括为：（质量）等大小，（速度和动能）交换了；小撞大，被弹回；大撞小，同向跑。

(二) 经典例题1

质量为 M 的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和圆弧的轨道均光滑，如图3如图所示，一个质量为m 的小球以速度v 0水平冲向小车，

冲上又返回；讨论

1、 小球上升的最大高度是多少？

2、 小球返回左端脱离小车时，可能做何种运动？

[解析]：1系统水平方向动量守恒，由于是4

1圆弧，即使小球从顶端飞出小车仍与车保持相同的水平速度，不

影响计算高度，此时可看作是完全非弹性碰撞，动能损失最大，全部转化为重力势能。

(2)小球水平冲上小车，又返回左端，到离开小车的整个过程中，系统动量守恒、机械能守恒，相当于小球与小车发生弹性碰撞的过程，如果m ＜M ，小球离开小车向左平抛运动，m=M ，小球离开小车做自由落体运动，如果m ＞M ，小球离开小车向右做平抛运动.所以答案有三种可能。

弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，我们应广义地理解 “碰撞”模型。这一模型的关键是抓住系统“碰撞”前后动量守恒、系统机械能守恒（动能不变），具备了这一特征的物理过程，可理解为“弹性碰撞”。我们对物理过程和遵循的规律就有了较为清楚的认识，问题就会迎刃而解。

经典例题2

（1）在光滑水平面上有相隔一定距离的A 、B 两球，质量相等，假定它们之间存在恒定的斥力作用，原来两球被按住，处在静止状态。现突然松开两球，同时给A 球以速度v 0，使之沿两球连线射向B 球，B 球初速度为零；若两球间的距离从最小值（两球未接触）到刚恢复到原始值所经历的时间为t 0，求：B 球在斥力作用下的加速度

[解析]：A 球射向B 球过程中，A 球一直作匀减速直线运动，B 球由静止开始一直作匀加速直线运动，当两球速度相等时相距最近，当恢复到原始值时相当于发生了一次弹性碰撞，，由于A 、B 质量相等，A 、B 发生了速度交换，系统动量守恒、机械能守恒。

设A 、B 速度相等时速度为v ，恢复到原始值时A 、B 的速度分别为v 1、v 2，

mv 0= 2mv ①

2mv=mv 1+ mv 2 ②

2221202

12121mv mv mv += ③ 由①式得v=2

0v ，由②③解得v 1=0，v 2= v 0 （另一组解v 1= v 0，v 2= 0舍去） 则B 的加速度a=0

00022t v v t v v -=-=002t v 练习题

（1）如图4所示,光滑水平地面上静止放置两由弹簧相连木块A 和B,一质量为m 子弹,以速度v 0,水平击中木块A,并留在其中,A 的质量为3m,B 的质量为4m.

(1)求弹簧第一次最短时的弹性势能

(2)何时B 的速度最大，最大速度是多少？

（2）如图2所示，两单摆的摆长不同，已知B 的摆长是A 摆长的4倍,A 的

周期为T ,平衡时两钢球刚好接触，现将摆球A 在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，两球发生弹性碰撞,碰撞后两球分开各自做简谐运动，以m A ，m B 分别表示两摆球A ，B 的质量，则下列说法正确的是；

A ．如果m A =m

B 经时间T 发生下次碰撞且发生在平衡位置

B ．如果m A >m B 经时间T 发生下次碰撞且发生在平衡位置

C ．如果m A >m B 经时间T/2发生下次碰撞且发生在平衡位置右侧

D ．如果m A