研究四位数的雷劈数

研究四位数的雷劈数

首先，何为雷劈数呢？雷劈数：有位叫卡普利加的印度数学家。他在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，电闪雷鸣过后，他看到路边一块牌子，被雷电劈成了两半，一半上写着30，另一半写着25。这时，卡普利加的脑中忽然发现了一个绝妙的数学关系：30+25=55 55^2=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普利加数”或“雷劈数”。

现在我们来计算一下有哪些四位数是雷劈数：

设一个四位数是abcd,则由上面的定义可得，

(10a+b+10c+d)^2=1000a+100b+10c+d

(b+d)^2-d=10m(m∈Z)

（b,d）=(0,1),(0,5),(0,6),(4,4),(8,1)

下面分五种情况来讨论：

1.当(b,d)=(0,1)时，

(10a+10c+1)^2=1000a+10c+1

10(a+c)^2=98a-c

10|98a-c,2|c

又98a-c<900,所以a+c<10

则（a,c）所有可能的情况为(1,8),(2,6),(3,4),(4,2),经验证可知均不符合条件。

2．当(b,d)=(0,5)时，

10(a+c)^2=90a-9c-2

10|9c+2,推出c=2

a^2-5a+6=0,a=2或3

所以2025,3025是雷劈数。

3.当(b,d)=(0,6)时，

10(a+c)^2+3=11(8a-c)

a+c<9

又10|11(8a-c)-3

所以(a,c)所有情况为(1,5),(2,3),(3,1),经验证可知均不符合条件。4．当(b,d)=(4,4)时，

10(a+c)^2=84a-15c+34

10 | 84a-6

所以a=4或9，经验证可知均不符合条件。

5．当(b,d)=(8,1)时，

10(a+c)^2=82a-17c+72

10|82a-17c-8

2|c

所有可能的(a,c)为(4,0),(1,2),(3,4),(2,8),经验证可知均不符合条件。

综上可得，四位数的雷劈数只有2025和3025。