河北省香河县第一中学2024届高三下学期第三次月考试卷(数学试题文)
2024届河北省高三下册高考数学模拟试题(三模)附解析
2024届河北省高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（ ）102x A x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z {B x y ==()R A B =I ðA ．B ．C ．D ．{}0{}0,1{}1,0-{}1,0,1-2．设复数满足，则（ ）z ()1i 3i z +⋅=-1z -=A ．1B ．2C ．3D 3．已知非零向量，的夹角为，，，则（ ）a b π312a ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭1a b -=r r a b += A ．1B C D 4．某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．122710211215．已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲O M ()222210,0x ya b a b -=>>M 线的切线，与其渐近线交于A ，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为B AOB 212b（ ）A B C D ．26．已知函数在区间内没有零点，则周期的()()sin cos 0,f x x x x ωωω=->∈R π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭()f x 最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12π2π12π54π7．已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球S ABC -SA ⊥ABC 2AB AC ==120BAC ∠=︒的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）28πA ．1B ．2C ．3D ．48．已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ）(),,1,a b c ∈+∞8ln ln10a a =7ln ln11b b =6ln ln12c c =A ．B ．C ．D ．c b a>>a b c>>b c a>>c a b>>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．根据中国报告大厅对2023年3月～10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：月份3456发电量/亿千瓦时242.94230.87240.59259.33月份78910发电量/亿千瓦时258.9269.19246.06244.31关于2023年3月～10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）A ．中位数是259.115B ．极差是38.32C ．第85百分位数是259.33D ．第25百分位数是240.5910．已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚3cm 16cm 度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水PQ 面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是ABNM CBQ ∠θ=（ ）A ．当30θ=︒B ．当椭圆的离心率最大时，1tan 2θ=C ．当椭圆的焦距为4时，3tan 4θ=D ．当时，椭圆的焦距为645θ=︒11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函()f x ()f x 'R ()()g x f x '=()32f x +数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ）()1g x +A ．的图象关于直线对称．B ．的图象关于点对称．()g x 1x =()g x ()3,0C ．D ．()202411i f i ==∑()20230g =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知一个基因由若干个碱基对组成，而一个碱基对由，，，四种碱基中任取两A T C G 个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配对．如果个碱基对组成一个基A T C G n 因，那么个碱基对组成的基因个数为．n 13．已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，ABC A B C a b c AD ABC 2AD =且，则面积的最大值为 ．()222cos cos b c bc b C c B ++=+ABC 14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是．()11200,1xa x a a -<>≠()0,x ∈+∞a 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知椭圆：是椭圆的短轴的一个顶点．C ()222210x y a b a b +=>>((1)求椭圆的方程．C (2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设O 2222x y a b +=+O P C A B 两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求1k 2k 12k k 出定值．16．某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑14雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等．(1)记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望．X X (2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查()∈*N n n n 的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生Y Y 不喜欢滑雪运动的概率．17．已知函数．()cos 2f x x x=+(1)当时，证明：．(),0x ∈-∞()e xf x <(2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小()()()ln 1e x g x x f x =++-()g x 值；若不存在，请说明理由．18．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng ）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形ABCD 、为两个全等的等腰梯形，，，，P 是线段AD 上一ABFE CDEF //EF AB 4AB =2EF AD ==点.(1)若点P 是线段AD 上靠近点A 的三等分点，Q 为线段CF 上一点，且，证明：25FQ FC=平面；//PF BDQ (2)若E 到平面的距离为，与平面AP 的长.ABCD 32PF BCF 19．已知和数表，其中.若()00000,,,a b c d α=111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=数表满足如下两个性质，则称数表由生成.A A 0α①任意中有三个，一个3；{}11110,1,2,,,,i i i i i i i ii a a b b c c d d ++++∈----1-②存在，使中恰有三个数相等.{}1,2,3k ∈,,,k k k k a b c d (1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭()06,7,7,3α=(2)是否存在数表由生成？说明理由；A ()06,7,7,4α=(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.A ()007,12,3,d α=0d 1．A【分析】解不等式化简集合A ，求定义域化简集合B ，然后进行补集和交集的运算即可.【详解】因为，{}{}121,0,1A x x =∈-≤<=-Z 或，则,{{}210{|1B x y x x x x ===-≥=≥1}x ≤-{}|11B x x =-<<R ð所以，(){}0A B ⋂=R ð故选：A.2．B【分析】根据题意，由复数的运算可得，再由复数的模长公式代入计算，即可得到12z i =-结果.【详解】因为，则，()1i 3i z +⋅=-()()()()3i 1i 3i 34i 112i 1i 1i 1i 2z -----====-++-则，所以.12i z -=-12z -=故选：B 3．D【分析】分析可知，向量，的夹角为，根据结合数量积的1a =a ab - π3()2a b a a b+=-- 运算求解.【详解】因为，则，12a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 1a =且非零向量，的夹角为，，可知向量，的夹角为，ab π31a b -= a a b - π3则，()111122a a b⋅-=⨯⨯=所以.()2a b a a b +=--==故选：D.4．A【分析】记甲队被选出为事件，乙队被选出为事件，利用条件概率公式计算可得.A B 【详解】记甲队被选出为事件，乙队被选出为事件，则，，A B ()3647C C P A =()2547C C P AB =所以.()()()254275336647C C C 1|C C 2C P AB P B A P A ====故选：A 5．C【详解】不妨设是双曲线在第一象限的一点，00(,)Mx y 不妨设，得，得，所以21a =2221y x b -=y =y '=则在的切线斜率，00(,)M x y 200b x y y '=所以在点处的切线方程为，00(,)M x y 20000()b x y y x x y -=-又由，可得切线方程为，所以与x 轴交点坐标为220021y x b -=0021y y x x b -=01(0)D x ，不妨设是切线与渐近线在第一象限的交点，11(,)A x y 是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是，22(,)B x y y bx ±=联立，解得，0021y y x x b y bx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩20000(,b b A bx y bx y --联立，解得，0021y y x x b y bx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩20000(,b b B bx y bx y -++所以，22220222000000002111||222AOBbx b b b S b b x bx y bx y x b x y =⋅⋅+=⋅==-+- 解得，所以，所以2b =2225c a b =+=c e a ===故选：C.6．C【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值．ω【详解】，()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令得，所以，，()0f x =ππ4x k ω-=ππ4k x ω+=Z k ∈因为在区间内没有零点，()f x π3π(,)22所以，只需且，解得，πππ42k ω+≤5ππ3π42k ω+≥1252236k k ω+≤≤+令得，得，0k =1526ω≤≤1k =-3126ω-≤≤因为，所以的取值范围，0ω>ω1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦所以周期的最小值是，()f x 2π12π556=故选：．C 7．B【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由ABC r R 平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得.SA ⊥ABC 2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭SA 【详解】因为，，所以，2AB AC ==120BAC∠=︒30ABC ACB∠=∠=︒，11sin 2222ABC S AB AC BAC =∠⨯⨯⋅== 设外接圆的半径为，则，即，ABC r 2241sin 2AB r ACB ===∠2r=设三棱锥外接球的半径为，，解得；R 24π28πR =R =因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）；SA ⊥ABC 2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2742SA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭SA =所以.11233ABC S ABC V S SA -=⋅== 故选：B 8．B【分析】等价变形已知条件，，构造两个函数ln 8ln10ln 7ln11ln 6ln12a a b b c c ===，，，利用求导判断单调性即可求解.()()()ln 18ln f x x x g x x x==-，【详解】设，()()()()()ln 118ln 10f x x x x g x x x x =>=-≥，因为，，，8ln ln10a a =7ln ln11b b =6ln ln12cc =所以ln 8ln10ln 7ln11ln 6ln12a a b b c c ===，，即，()()()()()()101112f a g f b g f c g ===，，，()()()()1818ln 18ln ln 1g x x x x x x x '''=-+-=-+-，在上单调递减，()21180g x x x ''=--<()g x '[)10+∞，，所以在上单调递减，()()100g x g ''<<()g x [)10+∞，所以，即，()()()101112g g g >>()()()f a f b f c >>，当时，，所以在上单调递增，()ln 1f x x '=+1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以,a b c >>故选：B.9．BC【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】将数据从小到大排序可得，230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19共8个数据，所以中位数是，故A 错误；244.31246.06245.1852+=极差是，故B 正确；269.19230.8738.32-=因为，所以第85百分位数是第7个数，即，故C 正确；80.85 6.8⨯=259.33因为，所以第25百分位数是，故D 错误；80.252⨯=240.59242.94241.7652+=故选:BC 10．AD【分析】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A ，由离心率最大MNE θ∠=MN 6知长轴最长可得求解判断B ，由离心率求出即可判断C ，由求出，再得MN AC =MN θMN 出焦距判断D.【详解】过作于，如图，M ME BN ⊥E由，当时，在中，，CBQ MNE ∠θ=∠=30θ=︒Rt MNE △612sin sin 30ME MN θ===︒所以椭圆中，A 正确；212,26a b ==e =因为椭圆的短轴长为定值6，e =由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B 错误；AC 63tan tan 168ACB θ=∠==当椭圆的焦距为4时，，a ===MN =所以，所以，故C 错误；4NE ===63tan tan 42ME MNE EN θ=∠===当时，，所以，45θ=︒6tan tan 1ME MNE EN EN θ=∠===6EN =由勾股定理可得，即MN ==2a =a =所以，所以焦距，故D 正确.3c ===26c =故选：AD 11．BD【分析】对于A ，直接得到即可判断；对于B ，由为偶函数，()()110g x g x ++-=()32f x +所以，求导可得即可判断；对于D ，求出()()3232f x f x +=-()()32320g x g x ++-=的周期为，再根据即可判断；对于C ，由题意举出反例即可淘汰.()g x 4()30g =【详解】对于A ，因为为奇函数，所以，即，()1g x +()()11g x g x +=--()()110g x g x ++-=所以的图象关于中心对称，故A 错误；()g x ()1,0对于B ，由为偶函数，所以，()32f x +()()3232f x f x +=-所以，即，()()232232f x f x +=--''()()232232g x g x +=--即，则，()()32320g x g x ++-=()()330g x g x ++-=所以的图象关于中心对称，故B 正确；()g x ()3,0对于D ，由，，知，()()11g x g x +=--()10g =()()2g x g x +=--又，，所以，()()330g x g x ++-=()30g =()()6g x g x -=-+所以，即，()()26g x g x +=+()()4g x g x =+所以为周期是的函数，即，故D 正确.()g x 4()()()20235054330g g g =⨯+==对于C ，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且，()g x 4()()10,30g g ==不妨设，所以，周期均为且()()πcos2f x g x x =='()2πsin π2f x x =4，()()()()221,20,3,40ππf f f f ===-=所以，所以C 错误；()1202422506000ππi f i =⎛⎫∑=+-+= ⎪⎝⎭故选：BD.关键点点睛：对于选项C ，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以()()πcos2f x g x x=='，所以周期为，且，所以()2πsin π2f x x =4()()()()221,20,3,40ππf f f f ===-=.()1202422506000ππi f i =⎛⎫∑=+-+= ⎪⎝⎭12．4n【分析】因为一个碱基对是由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中A T C G 只能与配对，只能与配对，依题意解出碱基对个数即可.A T C G 【详解】因为一个碱基对是由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，A T C G 其中只能与配对，只能与配对，A T C G 所以碱基对有共有个，A T,T A,C G,G C ----222A 4=若个碱基对组成一个基因，那么个碱基对组成的基因个数为.n n 4n故答案为.4n13．【分析】利用正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式化简，结合余弦定理求出，最后根A 据，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的1122AD AB AC=+ bc 最大值.【详解】因为，()222cos cos b c bc b C c B ++=+由正弦定理可得，()222sin sin sin sin sin cos sin cos B C B C B C C B ++=+又，()()sin cos sin cos sin sin πsin B C C B B C A A+=+=-=所以，222sin sin sin sin sin B C B C A ++=由正弦定理可得，222b c bc a ++=由余弦定理，所以，2222cos a b c bc A =+-1cos 2A =-又，所以，()0,πA ∈2π3A =因为是中边上中线，则，AD ABC BC 1122AD AB AC=+ 即，所以，2AD AB AC =+ 22242AD AB AC AB AC =++⋅所以，可得，当且仅当时等号成立，22162b c bc bc bc =+-≥-16bc ≤4b c ==故1sin 2ABC S bc A==≤△即面积的最大值为ABC 故14．12e 0,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后l ln n 2a x x <()ln g x x x=()g x 解不等式即可.()min2ln g x a <【详解】因为，，1120xa x -<()0,x ∈+∞所以，即，1l ln 1n 2a xx <l ln n 2a x x <设，，()ln g x x x=()ln 1g x x '=+令，，即在上单调递增，()0g x '>1e x >()g x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭令，，即在上单调递减，()0g x '<10e x <<()g x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()min 1111e e e e ln g x g ⎛⎫===-⎪⎝⎭所以，12ln e a <-解得.12e0ea -<<故答案为.12e 0,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)；22132x y +=(2)是，．121k k =-【分析】（1）根据离心率和得到方程，求出，得到椭圆方程；(,b a （2）设，先得到，，设过点与椭圆相切的直线为(),P m n 23m ≠225m n +=(),P m n ，联立椭圆方程，由得到，由两根之积得()y n k x m -=-Δ0=()2223220mk mnk n --+-=到2122213n k k m -==--【详解】（1）由题意得，c b a ==222a b c =+解得，故椭圆方程为；1,c a ==22132x y +=（2）是，，理由如下：121k k =-设，当时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去，(),P m n 23m =故，，23m ≠2222325m n a b +=+=+=设过点与椭圆相切的直线为，(),P m n ()y n k x m -=-与联立得，22132x y +=()()222222236636360k x k m nk x k m nkm n +--+-+-=由得，，Δ0=()()()2222226642336360k m nkk k mnkm n --+-+-=整理得，()2223220mk mnk n --+-=过点与椭圆相切的两直线斜率分别为，，(),P m n 1k 2k 所以22122223133n m k k m m --===---定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.16．(1)．()34E X =(2)13,0143,4kk nk n k n +⎧≤≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）由题意服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解；X （2）由题意可知，时，前次取到是不爱好滑雪的人，第次取到爱好滑雪()Y k k n =<k 1k +得的人，利用独立事件的乘法公式求解，当时，取到的所以人都不爱好滑雪，(1)k n +≤k n =活动结束.【详解】（1）由题意，，13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，3311()C 1(0,1,2,3)44kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.13()344E X np ==⨯=（2）由题意，的可能取值为，Y 0,1,2,3,,n，，1(0)4P Y ==113(1)14416P Y ⎛⎫==-⨯=⎪⎝⎭，，2119(2)14464P Y ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭334113(3)1444P Y ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭L，11113(1)1444n n nP Y n --⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，3()4nP Y n ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上，.13,014()3,4kk nk n P Y k k n +⎧≤≤-⎪⎪==⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩17．(1)证明见解析(2)存在；极小值为0．【分析】（1）构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得证；（2）对函数求导，并构造新函数，结合零点存在性定理及函数的单调性即可求解.【详解】（1）证明：函数定义域为,()cos 2f x x x =+R 令，则，()e 2cos x F x x x =--()e 2sin (e 1)(sin 1)x xF x x x '=-+=-+-当时，，且，所以，(,0)x ∈-∞0e 1e 10x -<-=sin 10x -≤()0F x '<函数在上单调递减，故，()e 2cos xF x x x =--(,0)-∞()(0)0F x F >=即，故得证，.e 2cos 0x x x -->e ()xf x >（2）由题意，则，()ln(1)e 2cos ,1xg x x x x x =++-->-1()e 2sin ,11x g x x x x '=+-+>-+令，则1()()e 2sin ,11x h x g x x x x '==+-+>-+21()e cos ,1(1)x h x x x x '=-+>-+当时，，故函数在单调递增，则，即，π(0,2x ∈()0h x '>()h x π(0,)2()(0)0h x h >=()0g x '>所以在单调递增；()g x π(0,2当时，单调递增，且，又，(1,0)x ∈-()h x '(0)10h '=>1211()e cos()4022h -'-=+--<故，使得，01(,0)2x ∃∈-0()0h x '=所以当时，，即函数在上单调递增，即，0(,0)x x ∈0()0h x '>()h x 0(,0)x ()()(0)0h x g x h '=<=所以函数在上单调递减；()g x 0(,0)x 当时，，即，π[,)2x ∈+∞π3221e e 2.74,01x x ≥>>>+1()e 2sin 01x g x x x '=+-+>+所以函数在上单调递增.()g x π[,)2+∞综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增，()g x 0(,0)x (0,)+∞因此，当时，函数有极小值，极小值为.0x =()g x (0)0g =故存在，极小值为0.18．(1)证明见解析(2)1AP =1AP =+【分析】（1）连接交于点，通过比例线段证明，可得平面；CP BD H //PF HQ //PF BDQ （2）建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点的位置即可.P 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，CP BD H HQ因为，且，所以，//AD BC 23PD AD =23PH PD PD HC BC AD ===因为，所以，25FQ FC=23FQ QC =所以，所以，FQ PHQC HC =//PF HQ 因为平面，平面，HQ ⊂BDQ PF ⊄BDQ 所以平面；//PF BDQ （2）分别取的中点，连接，则，且，,AD BC ,I J EI IJ FJ ,,//IJ AB IJ AB =因为四边形与四边形为全等的等腰梯形，所以，ABFE CDEF EA ED FB FC ===四边形为等腰梯形，且，，EIJF //EF IJ 1122EF AB IJ ==，，又，所以，EI AD ⊥FJ BC ⊥//AD BC FJ AD ⊥因为平面，且为两条相交直线，所以平面，,EI FJ ⊂EIJF EI FJ ,AD ⊥EIJF 平面，所以平面平面.AD ⊂ABCD ABCD ⊥EIJF 平面平面,ABCD ⋂EIJF IJ =过在平面内作的垂线，垂足为，则平面，E EIJF IJ M EM ⊥ABCD ，.32EM =()112IM IJ EF =-=过作，易得两两垂直，M //MK AD MK MJ ME ,,以为坐标原点，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图M MK MJ ME ,,所示），则，，，30,2,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,3,0B ()1,3,0C -设（），所以，，.(),1,0P a -11a -≤≤3,3,2PF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 31,1,2FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 31,1,2FC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 设平面的一个法向量，则 ，BCF (),,n x y z = 302302n FB x y z n FC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩令，解得，，所以，2z =0x =3y =()0,3,2n=设PF 与平面所成角的大小为，则BCF θ，sin cos ,PF n PF n PF nθ⋅====⋅解得a =所以1AP =1AP =19．(1)是(2)不存在，理由见解析(3)3，7，11.【分析】（1）根据数表满足的两个性质进行检验，即可得结论；A （2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的，{}1,2,3k ∈中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；,,,k k k k a b c d （3）判断出的所有可能的值为3，7，11，一方面说明取这些值时可以由0d 0d 生成数表A ，另一方面，分类证明的取值只能为3，7，11，由此可得所()007,12,3,d α=0d 0d 有可能的值.【详解】（1）数表是由生成；566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭()06,7,7,3α=检验性质①：当时，，共三个，一个3；0i =561,671,671,633-=--=--=--=1-当时，，共三个，一个3；1i =451,561,561,963-=--=--=--=1-当时，，共三个，一个3；2i =341,853,451,891-=--=-=--=-1-任意中有三个，一个3；{}11110,1,2,,,,i i i i i i i ii a a b b c c d d ++++∈----1-检验性质②：当时，，恰有3个数相等.1k =11115,6,6,6a b c d ====（2）不存在数表由生成,理由如下:A ()06,7,7,4α=若存在这样的数表A ，由性质①任意中有三个，{}11110,1,2,,,,i i i i i i i ii a a b b c c d d ++++∈----1-一个3，则或-1，总有与的奇偶性相反，13i i a a +-=1i a+i a类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；1i b +i b 1i c +i c 1i d +i d 因为中恰有2个奇数，2个偶数，00006,7,7,4a b c d ====所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，{}1,2,3k ∈,,,k k k ka b c d 此时中至多有2个数相等，不满足性质②；,,,k k k k a b c d 综上，不存在数表由生成；A ()06,7,7,4α=（3）的所有可能的值为3，7，11.0d 一方面，当时，可以生成数表；03d =(71233),,,611265105541344A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭当时，可以生成数表；07d =(71237),,,611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭当时，可以生成数表；011d =(712311),,,611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭另一方面，若存在数表A 由生成，()007,12,3,d α=首先证明：除以4余3；0d 证明：对任意的，令，0,1,2,3i =i i i a b ∆=-则，()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---分三种情况：（i ）若，且，则；11i i a a +-=-11i i b b +-=-10i i +∆∆=-（ii ）若，且，则；11i i a a +-=-13i i b b +=-14i i +∆-=-∆（iii ）若，且，则；13i i a a +-=11i i b b +-=-14i i +∆∆=-均有与除以4的余数相同.1i +∆i ∆特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k a b =00,a b 类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k a c =00,a c“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k a d =00,a d “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k b c =00,b c “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k b d =00,b d “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；{}1,2,3k ∈k k c d =00,c d 所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是{}1,2,3k ∈,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.,,,k k k k a b c d 注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.07a =03c =012b =0d 其次证明：；0{3,7,11,15}d ∈证明：只需证明；015d ≤由上述证明知若可以生成数表A ，则必存在，()007,12,3,d α={}1,2,3k ∈使得；k k k a c d ==若，则，，015d >0015312d c ->-=()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->所以，对任意，均有，矛盾；{}1,2,3k ∈0k k d c ->最后证明：；015d ≠证明：由上述证明可得若可以生成数表A ，()007,12,3,d α=则必存在，使得，{}1,2,3k ∈k k k a c d ==，，0015312d c =--=()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥欲使上述等号成立，对任意的，，{}1,2,3k ∈113,1k k k k c c d d ++-=-=-则，，111,1k k k k a a b b ++-=--=-611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭经检验，不符合题意；d综上，所有可能的取值为3，7，11.d难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定所有可能的取值，解答时要根据数表A满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
2023-2024学年河北省部分学联考高二下学期3月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省部分学校联考高二下册3月月考数学模拟试题一、单选题1．若()sin f x x =，则0(2)(0)limt f t f t→-=（）A ．0B ．12C ．1D ．2【正确答案】D【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.【详解】由题意可知，()cos f x x '=，()01f '=020(2)(0)(02)(0)lim2lim 2(0)22t t f t f f t f f t t→→-+-'===.故选：D.2．已知等比数列{}n a 的公比为12，且5342a a a =，则6a =（）A ．2B ．1C ．12D ．14【正确答案】C【分析】利用等比数列下标和性质可得4a ，由等比数列通项公式可求得结果.【详解】253442a a a a == ，42a ∴=，2641112242a a ⎛⎫∴=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故选：C.3．一质点做直线运动，它所经过的路程s 与时间t 的关系为()321s t t t =++，若该质点在时间段[]1,2内的平均速度为1v ，在2t =时的瞬时速度为2v ，则12v v +=（）A ．10B ．16C ．26D ．28【正确答案】C 【分析】利用()()2121s s --计算1v ，利用()2s '计算2v ，相加可得答案.【详解】由题，()()323212122111110211s s v -++---===-.由题()232s t t t '=+，()222322216v s '==⨯+⨯=.则1226v v +=.故选：C4．已知()f x '是函数()f x 的导函数，若()()23f x x x f '=-⋅，则()1f =（）A ．1-B ．2-C ．2D ．3【正确答案】B【分析】求导后，代入3x =可求得()3f '，从而求得()f x ，代入1x =即可得到结果.【详解】()()23f x x f ''=- ，()()363f f ''∴=-，解得：()33f '=，()23f x x x ∴=-，()1132f ∴=-=-.故选：B.5．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若2015S =，6075S =，则40S =（）A ．40B ．45C ．50D ．55【正确答案】A【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解.【详解】由等差数列的性质得：20S ，4020S S -，6040S S -成等差数列，所以()()40402151575S S -=+-，解得4040S =.故选：A6．已知0a >，0b >，实数12,,,a x x b 成等差数列，12,,,a y y b 成等比数列，则()21212x x y y +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【正确答案】B【分析】根据等差数列、等比数列性质可化简所求式子为2a bb a++，利用基本不等式可求得结果.【详解】12,,,a x x b 成等差数列，12,,,a y y b 成等比数列，12x x a b ∴+=+，12y y ab =，()()222212122224x x a b a b a b y y abab b a +++∴==+=++≥=（当且仅当a b =时取等号），()21212x x y y +∴的最小值为4.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111012a =，1221012n n n n a a a +++++=，则2023S =（）A ．675B ．674C ．1384D ．2023【正确答案】A【分析】采用并项求和的方式，结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】()()()()20231234567201820192020202120222023S a a a a a a a a a a a a a =+++++++⋅⋅⋅++++++()67512023147202020236751012101210121012101221012⨯+=+++⋅⋅⋅++==⨯.故选：A.8．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2cos πn n a a n n ++⋅=，20355S =，则1a =（）A ．0B ．2C ．4D ．6【正确答案】B【分析】当n 为奇数时，利用累加法可求得()2114nn a a -=+；当n 为偶数时，可求得偶数项的和，由此得到奇数项的和，由此可构造方程求得1a .【详解】当n 为奇数时，2n n a a n +-=，()()()()22453311n n n n n a a a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅+-+-+()()()()21111121224124n n n n n a a a -+-⨯-=-+-+⋅⋅⋅++=+=+；当n 为偶数时，2n n a a n ++=，246202610141850a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=++++=，又20355S =，13519305a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=；()22211111241810149162536496481444a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++⋅⋅⋅++=+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭110285305a =+=，解得.12a =故选：B.9．下列运算错误的是（）A ．'2(2)2log ex x=B ．'=C ．(sin1)cos1'=D ．31(log )ln 3x x '=【正确答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，(2)2ln 2x x '=，A 错误；对于B ，11221()2x x -'=='=B 正确；对于C ，(sin1)0'=，C 错误；对于D ，31(log )ln 3x x '=，D 正确.故选：AC10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1(1)n n n S nS ++<，2023202220232021a S a S <，202320210S S -<，则（）A ．数列{}n a 的公差小于0B ．20220a <C ．n S 的最小值是2023S D ．使0n S >成立的n 的最小值是4045【正确答案】BD【分析】根据给定条件，结合等差数列前n 项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答.【详解】在等差数列{}n a 中，由1(1)n n n S nS ++<，得111(1)((1)(22))n n n n a a n n a a +++++<，即1n n a a +<，因此等差数列{}n a 为递增数列，公差大于0，A 错误；又2023202220232021a S a S <，即202320222021()0a S S -<，整理得202320220a a <，因此20220a <，20230a >，n S 的最小值是2022S ，B 正确，C 错误；因为21404440442022203202320212022()2022(04044())2S a a S a a S ==-=+<+，1404540452023404504045()2S a a a +==>，所以使0n S >成立的n 的最小值是4045，D 正确.11．已知数列{}n a 满足12a =，()121n n n a a a n *+=-∈N ，1420b a =，()1n n n b a b n *+=∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对n *∀∈N ，2400n T n λ+≥恒成立，则（）A ．445a =B ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列C ．16n b n =D ．λ的最大值为225【正确答案】BD【分析】根据递推关系式可推导得到4a ，知A 错误；根据121n n na a a +-=可推导得到111111n n a a +=+--，可知B 正确；利用累乘法可求得n b ，知C 错误；利用等差数列求和公式可求得n T ，结合基本不等式可求得λ的最大值，知D 正确.【详解】对于A ，由()121n n n a a a n *+=-∈N 得：21121a a a =-，即223a =，解得：232a =；23221a a a =-，即3322a =，解得：343a =；34321a a a =-，即44533a =，解得：454a =，A 错误；对于B ，由()121n n n a a a n *+=-∈N 得：121n n na a a +-=，121111n n n n na a a a a +--∴-=-=，1111111111n n n n n n a a a a a a +-+∴===+----，又1111a =-，∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，B 正确；对于C ，由B 得：11=-n n a ，111n n a n n +∴=+=，11n n n b n++∴=，又1452020254b a ==⨯=，则当2n ≥时，1321122113225251221n n n n n b b b b n n b b n b b b b n n ----=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯=--，125b = 满足25n b n =，()25n b n n *∴=∈N ，C 错误；对于D ，由C 得：()()251251232n n n T n +=⨯+++⋅⋅⋅+=，由2400n T n λ+≥得：()251400n n n λ++≥，400252525n λ∴≤++，40025200n n +≥ （当且仅当40025n n =，即4n =时取等号），min4002525225n n ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，则225λ≤，λ∴的最大值为225，D 正确.故选：BD.12．已知数列{}n a 是斐波那契数列，121a a ==，21n n n a a a ++=+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，n T 是数列{}2n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．222023202220242021a a a a -=⋅B ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．202320251S a =-D ．202320232024T a a =⋅【正确答案】ACD【分析】由平方和公式，结合已知关系式可知A 正确；将B 式中的1a 替换为2a ，结合已知关系式推导可知B 错误；由21n n n a a a ++-=可推导得到C 正确；根据已知关系式可得21121n n n n n a a a a a ++++=-，加和整理即可知D 正确.【详解】对于A ，21n n n a a a ++=+ ，202320222024a a a ∴+=，202320222021a a a -=，()()2220232022202320222023202220242021a a a a a a a a ∴-=+-=⋅，A 正确；对于B ，121a a == ，13520232352023452023a a a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=202220232024a a a +=，B 错误；对于C ，21n n n a a a ++-= ，()()()20231232023324354S a a a a a a a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+()202520242025220251a a a a a -=-=-，C 正确；对于D ，21n n n a a a ++=+ ，12n n n a a a ++∴=-，()2112121n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++∴=-=-，()()2222202312320231223123423T a a a a a a a a a a a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+()202320242022202320232024a a a a a a -=，D 正确.故选：ACD.三、填空题13．在公差不为0的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若()30510532k S a a a =++，则正整数k =___________.【正确答案】29【分析】利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造等式求得k 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由()30510532k S a a a =++得：()1111302930543272212a d a d a d a k d ⨯+=+++++-⎡⎤⎣⎦，即()116876229a d a k d +=++，22987k ∴+=，解得.29k =故答案为.2914．设等差数列{}n a 满足14a =，512a =，且12b =，()1n n n b b a n *+-=∈N ，则100b =___________.【正确答案】10100【分析】利用等差数列通项公式可求得公差d 和n a ，采用累加法可求得n b ，代入100n =即可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则5144412a a d d =+=+=，解得：2d =，()42122n a n n ∴=+-=+，则()12221n n b b n n +-=+=+，∴当2n ≥时，()()()()()1122332211n n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+()()()()121222212n n n n n n n +=+-+-+⋅⋅⋅++=⨯=+⎡⎤⎣⎦，又12b =满足()1n b n n =+，()()1n b n n n *∴=+∈N ，10010010110100b ∴=⨯=.故答案为.1010015．若曲线e x y a =与曲线y ==a __________.【分析】令()e xf x a =，()g x =()00,x y ，结合导数几何意义可构造方程组()()()()0000f x g x f x g x ⎧==''⎪⎨⎪⎩，由此可解得0x ，进而求得a 的值.【详解】令()e x f x a =，()g x =()e xf x a '=，()g x '=设()f x 与()g x 的公共点为()00,x y ，()f x 与()g x 在公动点处有相同的切线，()()()()0000f x g x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩，即00e e x x a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩012x =，12e a ∴=，解得.2e a =故答案为.2e16．某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金4000万元，到年底资金增长了40%，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金800万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为na 万元，若16000k a ≥，则正整数k 的最小值为_____________.（取lg 70.845≈，lg 50.699≈）【正确答案】6【分析】根据n a 与1n a -的关系可推导证得数列{}2000n a -为等比数列，利用等比数列通项公式可得n a ，进而解不等式可求得k 的范围.【详解】由题意知：()14000140%8004800a =⨯+-=；当2n ≥时，()117140%8008005n n n a a a --=+-=-，()17200020005n n a a -∴-=-，又120002800a -=，∴数列{}2000n a -是以2800为首项，75为公比的等比数列，17200028005n n a -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭，则17280020005n n a -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，令1728002000160005k k a -⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭，则1755k -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，75lg 50.6991log 5 4.8lg 7lg 50.8450.699k ∴-≥=≈≈--，解得： 5.8k ≥，∴正整数k 的最小值为6.故答案为.6四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，413a =，7113S a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：是等差数列．【正确答案】(1)25n a n =+(2)证明见详解【分析】（1）根据题意列方程组，从而解得1a ，d ，进而即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）结合（1）可得到的通项公式，进而即可证明其为等差数列．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由413a =，7113S a =，得1313a d +=，11767132a d a ⨯+=，解得17a =，2d =，所以1(1)25n a a n d n =+-=+．（2）结合（1）可得221(1)762n n n S na d n n n n n -=+=+-=+，3n ==+，134=+=(4)(3)1n n +-+=，所以数列是以4为首项，以1为公差的等差数列．18．已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列，且5256a =，34220a a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)14n n a -=(2)24133n n T n n =+--【分析】（1）根据等比数列通项得2311120a q a q a q +=，解出q ，1a 的值，即可得出其通项；（2）1422n n b n -=+-，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由34220a a a +=，得2311120a q a q a q +=，{}n a 是由正数组成的等比数列，则10a >，0q >，则2200q q +-=，解得4q =或5q =-（舍），又5256a =，所以41256a q =，解得11a =，所以1114n n n a a q --==.（2）11122log 4log 4422n n n n n n b a a n ---=+=+=+-，所以()1(10)(42)(164)422n n T n -=++++++++- ()114164(02422)n n -=+++++++++- ()2114(022)4114233nnn n n n ⨯-+-=+=+---.19．已知各项均不为0的数列{}n a 满足11a =，11n n n n a a a a ++-=.(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，求证.1n S <【正确答案】(1)证明见解析，1n a n=；(2)证明见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，变形推理即可，再求出通项公式作答.（2）由（1）结合裂项相消法求和即可作答.【详解】（1）因为数列{}n a 的各项均不为0，则10n n a a +≠，将11n n n n a a a a ++-=两边同时除以1n n a a +，得1111n n a a +-=，又111a =，因此数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则1nn a =，所以数列{}n a 的通项公式是1n a n=.（2）由（1）得1111(1)1n n n n a n a n +==-++，于是1111111122311n n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为101n >+，则1111n -<+，所以1n S <.20．在数列{}n a 中，16a =，()()12142n n n a n a --=+，2n ≥且n *∈N .(1)设21n n a b n =+，证明：{}n b 是等比数列；(2)设n T 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在互不相等的正整数,,m n t 满足2n m t =+，且2m T -，2n T -，2t T -成等比数列?若存在，求出所有满足要求的,,m n t 的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用已知递推关系式可推导得到12n n b b -=，由此可得结论；（2）假设存在满足题意的,,m n t ，由等比数列定义可构造方程，结合2n m t =+可化简整理得到m t =，由此可得结论.【详解】（1）当2n ≥时，1121n n a b n --=-，由()()12142n n n a n a --=+得：122121n n a a n n -=+-，即12n n b b -=，又1123a b ==，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得：221n n n a b n ==+，()212n n a n ∴=+⋅，()()1231325272212212n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，()()23412325272212212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，()()()31134112126212222621212n n n n n T n n -+++-∴-=-+⋅+++⋅⋅⋅+=-+⋅+-()()1216212282122n n n n n +++=-+⋅+-=-+-⋅，()12122n n T n +∴=-⋅+；假设存在互不相等的正整数,,m n t 满足2n m t =+，且2m T -，2n T -，2t T -成等比数列，则()()()22211212212212n m t n m t +++-⋅=-⋅⋅-⋅，即()()()222221221212n m t n m t +++-⋅=--⋅，又2n m t =+，()()()212121m t m t ∴+-=--，整理可得：()20m t -=，即m t =，与,,m n t 互不相等矛盾，∴不存在互不相等的正整数,,m n t 满足2n m t =+，且2m T -，2n T -，2t T -成等比数列.21．已知无穷等差数列{}n a 和{}n b 中，111a b ==，332b a =+，5522a b +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)证明：1321,,,n b b b -⋅⋅⋅均是{}n a 中的项，242,,,n b b b ⋅⋅⋅均不是{}n a 中的项；(3)若定义集合{n M x x a ==或}n x b =，将集合M 中的元素从小到大排列组成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前4n 项和4n S .【正确答案】(1)21n a n =-，32n b n =-(2)证明见解析(3)2412n S n n=+【分析】（1）利用等差数列通项公式可构造方程组求得两个等差数列的公差，由此可得,n n a b ；（2）设21n b -是数列{}n a 的第()*∈N k k 项，2n b 是数列{}n a 的第()m m *∈N 项，利用通项公式可构造方程求得,k m ，根据,k m **∈∉N N 可得结论；（3）根据数列{}n c 的定义可推导得到43424142411n n n n c c c c n ---+++=-，由此可知数列{}4342414n n n n c c c c ---+++为等差数列，利用等差数列求和公式可求得4n S .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为1d ，等差数列{}n b 的公差为2d ，由3355222b a a b =+⎧⎨+=⎩得：211212122141422d d d d +=++⎧⎨+++=⎩，解得：1223d d =⎧⎨=⎩，()12121n a n n ∴=+-=-，()13132n b n n =+-=-.（2）由（1）知：2165n b n -=-，262n b n =-，设21n b -是数列{}n a 的第()*∈N k k 项，则6521n k -=-，解得：32k n *=-∈N ，则21n b -是数列{}n a 的第32n -项，1321,,,n b b b -∴⋅⋅⋅均是数列{}n a 中的项；设2n b 是数列{}n a 的第()m m *∈N 项，则6221n m -=-，解得：132m n *=-∉N ，则2n b 不是数列{}n a 中的项，242,,,n b b b ∴⋅⋅⋅均不是数列{}n a 中的项.（3）由（2）知：322165n n a b n --==-，又3163n a n -=-，361n a n =-，262n b n =-，则3132,,n n n a a b -互不相同，且65636261n n n n -<-<-<-，4365n c n -∴=-，4263n c n -=-，4162n c n -=-，461n c n =-，43424142411n n n n c c c c n ---∴+++=-，∴数列{}4342414n n n n c c c c ---+++是以13为首项，24为公差的等差数列，()()()4123456784342414n n n n n S c c c c c c c c c c c c ---∴=++++++++⋅⋅⋅+++()211324122n n n n n -=+⨯=+.。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
2020年河北省廊坊市香河县第一中学高三数学理月考试题含解析
2020年河北省廊坊市香河县第一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法错误的是( )A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”B．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C．若命题：，则；D．“”是“”的充分不必要条件；参考答案：D2.参考答案：B略3. 已知“命题p：”为真命题，则实数a的取值范围是( )A.B. C.D.参考答案：B略4. 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布585尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（）A．尺B．尺C．1尺D．尺参考答案：C5. 设满足约束条件若目标函数的最大值是12，则的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：D6. 设抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线相交于A、B 两点，且点P恰为AB的中点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M，若|MF|=4，则直线l的方程为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，抛物线的准线方程为y=﹣1，M（2，3），P的横坐标为2，设直线方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立，可得x2﹣4kx﹣4=0，利用韦达定理，求出k，即可得出结论、【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为y=﹣1，M（2，3），P的横坐标为2，设直线方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立，可得x2﹣4kx﹣4=0，∴4=4k，∴k=，∴直线l的方程为y=x+1．故选B．7. 函数的零点所在的区间为( )A．(-1,0) B．( 0,1) C．(1,2) D．( 2,3)参考答案：B8. 已知复数,是的共轭复数,则等于( )A.16B.4C.1D.参考答案：C9. 已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同实数解的充要条件是( )A．b＜﹣2且c＞0 B．b＞﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=0参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；充要条件．【专题】计算题；压轴题．【分析】题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f （x）=某个常数有4个不同实数解且必有一个根为0，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，当f（x）等于何值时，它有四个根．从而得出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解．【解答】解：∵题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有﹣个根．且f（x）=﹣b时有四个根，由图得：﹣b＞2，∴b＜﹣2．充要条件是b＜﹣2且c=0，故选C．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．10. 函数的定义域是（）（）A．B．C D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为．参考答案：（，8]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，设P（x，y）、M（﹣1，0），可得（x+1）2+y2=|QP|2表示M、P两点距离的平方，因此运动点P并加以观察得到|MP|的最大、最小值，即可得到（x+1）2+y2的取值范围．【解答】解：画出表示的平面区域如图：，而（x+1）2+y2的表示区域内点P（x，y）与点M（﹣1，0）的距离的平方，由图知：|MC|2=（1+1）2+22=8最大；M到直线2x+y﹣2=0的距离的平方：最小．由于2x+y﹣2＞0不取等号，所以不是最小值，故答案为：（，8]．【点评】本题给出二元一次不等式组，求（x+1）2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．12. 若x，y满足不等式则z=x﹣y的取值范围是．参考答案：[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2）．联立，解得B（2，4）．化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.则函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)(x∈[－2,2])的最大值等于________．(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)参考答案：6由定义知，，f(x)在区间[－2,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为6.14. 的展开式中的系数为（用数字作答)．参考答案：20【知识点】二项式定理与性质解：通项公式为:令12-3r=3，r=3．所以系数为：故答案为：15. 设函数，则= ．参考答案：略16. 已知是互不相同的正数，且，则的取值范围是；参考答案：考点：函数图象分段函数，抽象函数与复合函数试题解析：因为由图可知，，所以，的取值范围是17. 如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为 ;参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河北省石家庄2024届高三下学期“三诊”模拟考试数学试题
河北省石家庄2024届高三下学期“三诊”模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π4．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+6．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧7．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．39．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．65,2⎛-- ⎝⎭B ．665,,533⎛⎛- ⎝⎭⎝C ．6,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．665,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知向量()34OA =-，，()15OA OB +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ）A ．255-B ．255C ．25-D ．2511．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥12．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．223D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届河北省香河县第一中学高三压轴卷数学试卷含解析
2025届河北省香河县第一中学高三压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++3．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．8B ．7C ．4D ．34．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2xf x m =-，则()2019f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-27．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积为3，则p=（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．38．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=9．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1 B 3C ．±1D ．310．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2B ．1C ．2D 511．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 12．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试(3月)数学试题
河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)求A ；
(2)若
2a =，求2b c -的范围
.
16．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面､的先进技术，形成的技术原理先进具有新技术新结构的汽车､､.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：单位：人
()()211,2,,j m j P Y j p p j m +-==+=L ，证明：()()H X H Y >.
要使在区间[]
0,π上有且仅有两个不相等的实数
即使
2sin
y t
=
在区间
ππ
[,ωπ+]
33
上必须恰好出现
由图知，5π9
πππ
232
w
£+<，解得
13
6
w
£。
河北高三高中数学月考试卷带答案解析
河北高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知复数满足，则（）A．B．41C．5D．252.已知集合，则的子集的个数为（）A．2B．4C．6D．83.在等差数列中，，公差，则（）A．14B．15C．16D．174.如图，在中，为线段的中点，依次为线段从上至下的3个四等分点，若，则（）A．点与图中的点重合B．点与图中的点重合C．点与图中的点重合D．点与图中的点重合5.分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则（）A．4B．3C．D．26.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则（）A．B．C．D．7.已知点是平面区域内的任意一点，则的最小值为（）A．-3B．-2C．-1D．08.若，则（）A．B．C．D．9.设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（）A．B．C．D．10.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）11.已知多面体的每个顶点都在球的表面上，四边形为正方形，，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（）A．B．C．D．12.若函数恰有4个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施，为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组2，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为__________．2.设椭圆的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为__________．3.若是公比为2的等比数列，且，则__________．（用数字作答）4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．三、解答题1.的内角所对的边分别为.已知，且.（1）求的面积；（2）若，求的周长.2.如图，在底面为矩形的四棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）若，平面平面，求三棱锥与三棱锥的表面积之差.3.共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量（千辆）每天一辆车平均成本（元）根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:①完成下表(计算结果精确到0.1)(备注: ,称为相应于点的残差(也叫随机误差));租用单车数量 (千辆)23458每天一辆车平均成本 (元)估计值残差估计值残差②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及,并通过比较的大小,判断哪个模型拟合效果更好.(2)这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放.根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.4.如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.（1）证明：抛物线与圆相切；（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.5.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）若在上有最小值，求的取值范围；（2）当时，若关于的不等式有解，求的取值范围.6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；（2）求.7.【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的图象在上与轴有3个不同的交点，求的取值范围.河北高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知复数满足，则（）A．B．41C．5D．25【答案】C【解析】，故选C。
2024-2025学年河北省部分校高三数学暑期自测试卷(三)参考答案及解析
河北省2024-2025学年度高三暑期自测模拟练习卷（三）数学一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.【答案速对】 1 2 3 4 5 6 7 8 CDAABBBD【详解详析】1．【解析】由题意，{}{}2,1,ln1,12,1,0,1M =−−=−−，{}{}02,1,21,1,2N =−=−，所以M N ∪={}2,1,0,1,2−−． 2．【解析】由复数()()()()123i 1i 3i 12i,i (2i)12i 1i 1i 1i z z +++===+=⋅+=−+−−+，可得1,2a b ==， 所以13i z =+，所以13i z =−在复平面内的对应点为()1,3−，位于第四象限．3．【解析】设向量,a b 夹角为θ，a + 2225a b a b ++⋅= ，又a=，即2121cos 5θ++×=，解得cos θ=4．【解析】当1q =时，1n S na =，因为10a >，所以此时数列{S n }递增，存在11S a =是最小项，当0q >且1q ≠，()1111111n n n a q a a q S q q q−==−−−−，当q ＞1，a 1＞0时，可知数列{S n }递增，存在11S a =是最小项， 当01q <<，10a >时，可知数列{S n }还是递增，存在11S a =是最小项， 综上“0q >”是“数列{S n }存在最小项”的充分条件； 当10q −<<，10a >，不妨取：11a =，12q =−，则123451111311151111111,1,1,1,1+,2224424882481616S S S S S ==−==−+==−+−==−+−=611111211+,248163232S =−+−−=⋅⋅⋅，1122123333222nn n S− =−=−−, 当n →+∞时，23n S →，即此时212S =是最小项， 即“0q >”不是“数列{}n S 存在最小项”的必要条件，综上可知：“0q >”是“数列{}n S 存在最小项”的充分不必要条件.5．【解析】在ΔABC 中，由正弦定理及()()()sin sin sin sin c A C a b A B −=−+， 得()()()c a c a b a b −=−+，即222a cb ac +−=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +−==，则sin B ABC1sin 2ac B=1ac =， 由222a c b ac +−=，得22()3a c b ac +−=，又2a c b +=，因此1b =， 令AC 边上的高为h，则12bh =h =6．【解析】0.20.201110.1e e e 101010a b ==>==，0.10.1011110.2e e e 55510c b ==>=>=， 而0.11e 2a c =，因为10e 2<，所以0.1e 2<，所以0.111e 2122a c =<×=，故a c <，所以b ac <<. 7．【解析】对①：连接AC ，取AC 中点O ，连接OE 、OF ，由题意可得OE 、OF 为同一直线，A 、E 、C 、F 四点共面，又AE EC CF FA ===，故四边形AECF 为菱形，故//AE CF ，故异面直线AE 与BF 所成的角等于直线CF 与BF 所成的角，即异面直线AE 与BF 所成的角等于60CFB ∠= ，故①错误； 对②：由四边形ABCD 为正方形，有2222222AC BC AB EC AE a =+=+=， 故四边形AECF 亦为正方形，即点O 到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为O，半径为R = 设此八面体的内切球半径为r ，则有2211122333E ABCD F E ABCD V S r V a r −−−=×==××=×表，化简得r =，则此八面体的外接球与内切球的体积之比为33R r = 确；对③：将AEB △延EB 折叠至平面EBC 中，如图所示。
河北省部分示范性高中2024届高三下学期一模数学试题含答案
数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知M ，N 是全集U 的两个非空子集，若()U M N M = ð，则下列说法可能正确的是（）A ．()U M N U = ðB ．()U M N M= ðC ．M N ≠∅ D ．M N U= 2．已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（）A ．22a b >B ．()2lg lg a ab <C ．aba a <D ．2b aa b+<3．若2i 1i z -=+，i 为虚数单位，则1i z z +=+（）A ．iB ．i-C ．1D ．1-4．2023年10月31日，神州十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x ，众数为y ，则（）A ．88x =，90y =B ．83x =，90y =C ．83x =，85y =D ．88x =，85y =5．已知()sin 2cos x x x ϕ-=+，则22sin 2cos ϕϕ-=（）A ．15B ．25C ．35D ．456．如图，已知圆柱12O O 的底面半径和母线长均为1，B ，A 分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线1O B 与2O A 所成角为3π，则AB =（）A ．1B ．C ．1或2D ．27．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，左顶点是A ，左、右焦点分别是1F ，2F ，M 是C 在第一象限上的一点，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．若2MF AN ∥，则直线MN 的斜率为（）A ．52B ．311C ．12D ．1578．已知实数a ，()1,b ∈+∞，且()22e 2ln 1aa b b +=++，e 为自然对数的底数，则（）A ．1b a<<B ．2a b a<<C ．2e aa b <<D ．2e e a ab <<二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（）A ．4为()f x 的一个周期B ．()2110f =C ．由()()()()()012342f f f f f ++++=，可知()22f =D ．函数()lg y f x x =+的所有零点之和为010．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，ϕ∈R ）在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足5412f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．03f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为23πC ．关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解D ．若()f x 在区间11,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦11．在数列{}n a 中，对于任意的*n ∈N 都有0n a >，且211n n n a a a ++-=，则（）A ．对于任意的2n ≥，都有1n a >B ．对于任意的10a >，{}n a 不可能为常数列C ．若102a <<，则{}n a 为递增数列D ．若12a >，则当2n ≥时，12n a a <<第II 卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量()3,2OA = ，()2,1OB = ，O 为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得AM BM ⋅取最小值，则点M 的坐标是________．13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23442a a a ++=，则5S =________．14．若一个两位正整数m 的个位数为4，则称m 为“好数”，若22m p q =-，且p ，q 为正整数，则称数对(),p q 为“友好数对”，规定：()q H m p =，例如222451=-，称数对()5,1为“友好数对”，()1245H =，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的()H m 的最大值为________．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb -=．（1）求A ；（2）若线段BC 上一点D 满足1AD BD ==，3CD =，求AB 的长度．16．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AB AC =，11AA AC =．（1）若M ，N 分别为11AC ，1BB 的中点，证明：MN ∥平面1A BC ；（2）当直线1A B 与平面11ACC A 所成角的正弦值为23时，求平面1A BC 与平面111A B C 夹角的余弦值．17．（15分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的离心率为，实轴长为4．（1）求C 的方程；（2）如图，A 为C 的下顶点，直线l 过点()0,P t 且垂直于y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若O ，A ，N ，M 四点共圆，求点P 的坐标．18．（17分）某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲、乙两地的一些小白鼠体内，小白鼠血样的某项指标X 值满足12.221.8X ≤≤时，小白鼠产生抗体．从注射过疫苗的小白鼠中用分层随机抽样的方法抽取了210只进行X 值检测，其中甲地120只小白鼠的X 值平均数和方差分别为14和6，乙地90只小白鼠的X 值平均数和方差分别为21和17，这210只小白鼠的X 值平均数与方差分别为μ，2σ（μ与2σ均取整数）．用这210只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设()2~,X N μσ．（1）求μ，2σ；（2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N 只小白鼠中有102只产生抗体，试估计N 的可能值（以使得()102P K =最大的N 的值作为N 的估计值）；（3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X 值进行分组检测，若每组()50n n ≤只小白鼠混合血样的X 值在特定区间内，就认为这n 只小白鼠全部产生抗体，否则要对n 只小白鼠逐个检测．已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为10元，n 只小白鼠混合血样的检测费用为9n +元．试给出n 的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到0.1元）．附：若()2~,X N μσ，则()0.68P X μσ-≤≈，()20.95P X μσ-≤≈．21 4.6≈22 4.7≈23 4.8≈24 4.9≈．19．（17分）已知函数()()211ln 2f x ax a x x =+++，a ∈R ．（1）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）已知()212f x ax x =+有两个解1x ，()212x x x <．（i ）直接写出a 的取值范围（无需过程）；（ii ）λ为正实数，若对于符合题意的任意1x ，2x ，当()12s x x λ=+时，都有()0f s '<，求λ的取值范围．参考答案及解析一、选择题1．D 2．B3．B4．D 5．B6．D7．A8．D二、选择题9．ABD10．ABD11．ACD三、填空题12．5,02⎛⎫⎪⎝⎭13．7014．1517四、解答题15．解：（1）由1cos 2a C c b -=及正弦定理可得1sin cos sin sin 2A C CB -=，因为A BC π++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C -=+，即1sin cos sin 2C A C -=，因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-，因为()0,A π∈，所以23A π=．（2）由题设ABC BAD θ∠=∠=，20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则23DAC πθ∠=-，3C πθ=-，2ADC θ∠=，在ADC △中，sin sin AD CDC DAC=∠，即132sin sin 33ππθθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin 3sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13cos sin cos sin 2222θθθθ+=-，所以2sin θθ=，即tan 2θ=，所以0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得sin 7θ=，cos 7θ=，在等腰三角形ABD 中，取AB 的中点E ，连接DE ，则DE AB ⊥，则22cos 7AB BE BD θ===．16．（1）证明：如图，取AC 的中点P ，连接MP ，交1AC 于点Q ，连接QB ，因为M 是11AC 的中点，N 是1BB 的中点，所以1BN AA PM ∥∥，BN QM =，所以四边形MNBQ 是平行四边形，所以QB MN ∥．又QB ⊂平面1A BC ，MN ⊂/平面1A BC ，所以MN ∥平面1A BC ．（2）解：因为AB AC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11ACC A ，所以直线1A B 与平面11ACC A 所成角为1AA B ∠，则12sin 3AA B ∠=．在1Rt BAA △中，不妨设2AB AC ==，则13A B =，1AA =CM ．因为111AA AC CC ==，所以11CM AC ⊥，又平面ABC ∥平面111A B C ，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C ，且平面11ACC A 平面11111A B C AC =，CM ⊂平面11ACC A ，故CM ⊥平面111A B C ．设11B C 的中点为E ，连接ME ，以M 为坐标原点，ME ，1MC ，MC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,0A -，()0,0,2C ，()12,1,0B -，()10,1,0C ，则()10,1,2A C = ，()112,2,0BC B C ==-．设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0,A C n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,220,y z x y +=⎧⎨-+=⎩不妨取2x =，则()2,2,1n =- ．易知平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1m =．设平面1A BC 与平面111A B C 的夹角为θ，则1cos cos ,3n n nm m m θ⋅===，所以平面1A BC 与平面111A B C 夹角的余弦值为13．17．解：（1）因为实轴长为4，即24a =，2a=，又ca=c =2224b c a =-=，故C 的方程为22144y x -=．（2）由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=，又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠，故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=，设()11,G x y ，()22,H x y ，(),M M M x y ，由题意可知()0,2A -，则直线AG ：1122y y x x +=-，直线AH ：2222y y x x +=-，因为点M 在直线l 上，所以M y t =，代入直线AG 的方程，可知()1122M t x x y +=+，故点M 的坐标为()112,2t x t y ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，所以()()1122OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，1AN OM k k ⋅=，所以()()12122212t y y t x x ++⋅=+，整理可得()()1212222y y t t x x +++=，当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线GH ：y kx t =+，代入C 的方程可得()2221240k x ktx t -++-=，所以12221ktx x k -+=-，212241t x x k -=-，又()()()()()()()2212121212222222y y kx t kx t k x x k t x x t ++=++++=+++++()()()222222224222111t t kt k k t t k k k -+--=⋅++⋅++=---，所以()()()()()()22212221222222221204421t y y t t t k t t t x x t t k -+++-+-++-====+≠----，故2t t =-，即1t =，所以点P 的坐标为()0,1．18．解：（1）解法一：记甲地小白鼠样本的X 值平均数为x ，方差为21s ，记乙地小白鼠样本的X 值平均数为y ，方差为22s ，则14x =，21y =，216s =，2217s =，所以1209012014902117210210x y μ+⨯+⨯===，()()222212212090210s x s y μμσ⎡⎤⎡⎤+-++-⎣⎦⎣⎦=()()224614173172117237⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦=≈．解法二：记甲地小白鼠样本的X 值分别为1x ，2x ，…，120x ，平均数为x ，方差为21s ，记乙地小白鼠样本的X 值分别为1y ，2y ，…，90y ，平均数为y ，方差为22s ，因为14x =，21y =，216s =，2217s =，所以1209012014902117210210x y μ+⨯+⨯===．由()1202211120kk xx s=-=∑，()12010kk xx =-=∑，可得()()()()()()12012012022221112k k k k k k k x x x x x x x x x x μμμμ===⎡⎤-=-+-=-+--+-⎣⎦∑∑∑()()()()()1201201202222111121201203060k k k k k x x x x x x s x μμμ====-+--+-=+-=⨯∑∑∑，同理()()902222190903099k k y s y μμ=-=+-=⨯∑，于是()()120902221113060309923210210k k k k s x y μμ==⨯+⨯⎡⎤=-+-=≈⎢⎥⎣⎦∑∑．（2）解法一：因为 4.8σ=≈，所以()()12.221.80.68P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+≈．从注射过疫苗的小白鼠中取出N 只，其中产生抗体的有K 只，则()~,0.68K B N ，()10217C 0.328kN N P K k ⎛⎫== ⎪⎝⎭（0k =，1，2，…，N ）．当102N <时，()1020P K ==；当102N ≥时，()10210217102C 0.328NNP K ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()10210217C 0.328N N N α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()()1021021C 10110.32C 0.321N N N N N N αα+-==++．由()()11N N αα<+等价于()1010.321N N -<+，当且仅当101.321490.68N <=，知当103148N ≤≤时，()()1N N αα<+；当149N =时，()()1N N αα=+；当149N >时，()()1N N αα>+．故当149N =或150N =时，()N α最大，所以N 的估计值为149或150．解法二：因为 4.8σ=≈，所以()()12.221.80.68P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+=．从注射过疫苗的小白鼠中取出N 只，其中产生抗体的有K 只，则()~,0.68K B N ，()10217C 0.328kN N P K k ⎛⎫== ⎪⎝⎭（0k =，1，2，…，N ）．当102N <时，()1020P K ==；当102N ≥时，()102102171020.328NNP K C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若102N =，则()()()171021011018102P K P K P X ===<=⨯．若103N ≥，则10210210210211102102102102111717C 0.32C 0.32,881717C 0.32C 0.32,88N N N N N N N N ++--⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩化简得()0.321101,0.32102,N N N N ⎧+≤-⎨≥-⎩解得149150N ≤≤．综上，N 的估计值为149或150．（3）记n 只小白鼠的检测费用为Y 元，当n 只小白鼠全部产生抗体时，9Y n =+，当n 只小白鼠不都产生抗体时，119Y n =+，则()90.991nP Y n =+=，()1191 1.991nP Y n =+=-．因此()()()()()90.99111910.9919111010.009n n nn n E Y nnn+++-==-⨯-+，因为50n ≤，所以()11223310.0091C 0.009C 0.009C 0.00910.009nn n nn -=-+-+≈- ，故()90.0911 2.8E Y n nn =++≥+=，当且仅当10n =时取等号，故平均每只小白鼠的检测费用的最小值约为2.8元，n 的估计值为10．19．解：（1）因为()()()211ln 02f x ax a x x x =+++>，所以()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x+++++'=+++==，因为1x =是()f x 的极值点，所以()10f '=，即110a a +++=，故1a =-．此时()()()11x x f x x -+'=，则当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以当()0,1x ∈时，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减，则1x =是()f x 的极值点，满足题意．综上，1a =-．（2）由（1）知，当0a ≥时，()()()110ax x f x x ++'=>，故()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，令()0f x '>，得10x a <<-，令()f x '<0，得1x a >-，所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（3）（i ）由()212f x ax x =+，得ln 0ax x +=，即ln 0ax x +=有两个解1x ，()212x x x <．令()()ln 0g x ax x x =+>，则()11ax g x a x x +'=+=，且()g x 在()0,+∞上有两个零点．当0a ≥时，()10ax g x x +'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，则()g x 在()0,+∞上没有两个零点，不满足题意；当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a >-，所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x 的极大值为1g a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，为使()g x 在()0,+∞上有两个零点，则10g a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即11ln 0a a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10e a -<<．当10x a <<-时，易知1e a->，因为()1ln10g a a =+=<，所以()110g g a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．又()g x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有唯一零点；当1x a>-时，令()()2e 1x x x x ϕ=->，则()e 2x x x ϕ'=-，再令()()e 21x u x x x =->，则()1e 2e 20x u x '=->->，所以()u x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 20u x u >=->，即()0x ϕ'>，故()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 10x ϕϕ>=->，因为1e 1a ->>，所以10a ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即211e 0a a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即121e a a->，即12e 1a a ->，故12e 10a a -->，所以1111121e 1e e ln e e 0a a a a a a g a a a a -----⎛⎫-=+=-=< ⎪⎝⎭，故11e 0a g g a -⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()g x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点．综上，当10e a -<<时，()g x 在()0,+∞上有两个零点，即()212f x ax x =+有两个解1x ，()212x x x <时，10e a -<<，即1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（ii ）由（i ）得，1210x x a <<-<，1122ln 0,ln 0,ax x ax x +=⎧⎨+=⎩故2121ln ln x x a x x -=--，又()0f s '<，所以()()110as s s++<，即1s a >-，即()211221ln ln x x x x x x λ-+>-，故()()2211211222111ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x λ-->=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令()211x t t x =>，则()11ln t t t λ->+，故1ln 1t t t λ->+，设()1ln 1t s t t t λ-=-+，则()()()2221211t s t t t t t λλ⎡⎤'=-=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，当1t >时()22211212t t t t =<+++，故当12λ≥时，()0s t '>恒成立，故()s t 在()0,+∞上单调递增，故()()10s t s >=，即1ln 1t t t λ->+在()1,+∞上恒成立；当102λ<<，()1102s λ'=-<，而()()()22221t t s t t t λλλ+-+'=+，当11t λλ-+>>时，()0s t '>，故存在01t >，使得()01,t t ∀∈，使得()0s t '<，故()s t 在()01,t 为减函数，故()()10s t s <=，矛盾，舍．综上，12λ≥，即λ的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
河北省保定市名校协作体2024届高三下学期三模试题 数学含答案
2024届高三年级五月适应性考试数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分命审题：高三数学备课组一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}(){}42,lg 10A x x B x x =-≤≤=-<，则A B ⋂=（）A.{}42x x -≤< B.{}42x x -≤≤C.{}12x x << D.{}12x x <≤2.函数()()ln e 12xx f x =+-（）A.是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增B.是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减C.是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D.既不是奇函数，也不是偶函数3.如图，一个电路中有,,A B C 三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为12，这个电路是通路的概率是（）A.18B.38C.58D.144.已知数列{}n a ，则“()2223,n n n a a a n n -*++=≥∈N ”是“数列{}na 是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若32,2a b B A ==，则cos B =（）A.716-B.716C.18-D.186.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线在第一象限交于点A ，与y 轴交于点C ，若AF FC =，则直线l 的斜率为（）A.3B.3C.7.若函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间[],a b 上是减函数，且()()1,1,πf a f b b a ==--=，则ω=（）A.13 B.23C.1D.28.已知ABC 是边长为P 是ABC 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.83二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别为棱111,,,AA A D AB DC 的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.,,,E F M P 四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.EF ∥平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知复数12,z z 满足：1z 为纯虚数，22124z z -=-，则下列结论正确的是（）A.2211z z =- B.237z ≤≤C.12z z -的最小值为3D.123i z z -+的最小值为311.已知函数()f x 的定义域为R ，对()()()(),,21x y f x y f x y f x f y ∀∈+--=-R ，且()()11,f f x ='为()f x 的导函数，则（）A.()f x 为偶函数B.()20240f =C.()()()1220250f f f +++'''= D.()()2211f x f x +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.己知圆锥曲线221mx ny +=的焦点在y 轴上，且离心率为2，则mn=______.13.已知矩形ABCD中2AB BC ==，以AC 所在直线为旋转轴，将矩形ABCD 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______.14.一只口袋装有形状､大小完全相同的3只小球，其中红球､黄球､黑球各1只.现从口装中先后有放回地取球2n 次()*n ∈N ，且每次取1只球，X 表示2n 次取球中取到红球的次数，,0,X X Y X ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则Y 的数学期望为______（用n 表示）.二､解答题：本题共5小题，共77分.15.（本小题满分13分）己知函数()(0)ax f x x =>.（1）求函数()f x 的单调区间.（2）若函数()f x 有最大值12，求实数a 的值.16.（本小题满分15分）（1）假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为()()()1122,,,,n n x y x y x y ，两个变量满足一元线性回归模型()()20,Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩，请写出参数b 的最小二乘估计；（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量w （万），其中年份对应的年份代码t 为1-5.已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述.年份代码t 12345销量w （万）49141825令变量,w x t t y w =-=-，则变量x 与变量y 满足一元线性回归模型()()20,Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩，利用（1）中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面,ABCD AC 与BD 相交于点E ，点F 在PC 上，,4,2EF PC AC BD EF ⊥===.（1）证明：DF ⊥平面PBC ；（2）若PA 与平面BDF 所成的角为α，平面PAD 与平面PBC 的夹角为β，求αβ+.18.（本小题满分17分）己知圆22:(6)32E x y ++=，动圆C 与圆E 相内切，且经过定点)6,0F （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）若直线:l y x t =+与（1）中轨迹交于不同的两点,A B ，记OAB 外接圆的圆心为M （O 为坐标原点），平面上是否存在两定点,C D ，使得MC MD -为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分17分）对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的.（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的.（2）记()2*11Δ,ΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列.（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且1233,4,6a a a ===，求{}n a 的通项公式.数学试题参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案CABBDCAC二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.题号91011答案BDABDBCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.1313.56π914.233nn n+选择题与填空题详解：1.【答案】C【解析】()()()lg 10,011,12,1,2,1,2x x x B A B -<∴<-<∴=⋂<<∴= ，故正确选项为C 2.【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，()()()()()ln e 1ln e 1ln e 1222xx x x x xf x x f x --=++=+-+=+-=()f x ∴为偶函数；当0x >时，()()()e 1e 10,e 122e 1x x xx f x f x '-=-=>∴++在区间()0,+∞上单调递增，故正确选项为A 3.【答案】B【解析】 这个电路是通路，∴原件A 正常工作，且元件B ，C 至少有一个正常工作，其概率为11131112228P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯---= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故正确选项为B 4.【答案】B【解析】先判断充分性：22222,n n n n n n n a a a a a a a -++-+=∴-=- ，令()2n k k *=∈N，则22222242,k k k k aa a a a a +--=-==-∴ 数列{}n a 的偶数项成等差数列，令()*21n k k =-∈N，则2121212331,k k k k aa a a a a +----=-==-∴ 数列{}n a 的奇数项成等差数列，但数列{}n a 不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，∴“()*2223,n n n a a a n n -++=≥∈N ”不是“数列{}na 是等差数列”的充分条件；再判断必要性：若数列{}n a 是等差数列，则22221122222n n n n n n n n n n a a a a a aa a a a -+-+-+++=+=+=++，222,n n n a a a -+∴=+∴“()*2223,n n n a a a n n -++=≥∈N ”是“数列{}n a 是等差数列”的必要条件；综上，“()*2223,n n n a a a n n -++=≥∈N”是“数列{}na 是等差数列”的必要不充分条件，故正确选项为B5.【答案】D【解析】()32,3sin 2sin ,2,3sin 2sin24sin cos ,0,πa b A B B A A A A A A =∴==∴==∈ ，22331sin 0,cos ,cos cos22cos 121448A A B A A ⎛⎫∴≠∴===-=⋅-= ⎪⎝⎭，故正确选项为D.6.【答案】C【解析】AF FC F =∴为AC 的中点，过点A 作AA '垂直于y 轴于点,A OF '∴为AA C ' 的中位线，则,AA p A '=∴的坐标为()p ，则直线l的斜率为12k p == C.7.【答案】A【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，依题意，()()π5ππ7π2π,2π3636a k kb k k ωω+=+∈+=+∈Z Z 两式相减得()π1,π,33b a b a ωω-=-=∴= ，故正确选项为A8.【答案】C【解析】（方法一）设ABC △的重心为G ，则33AP BP CP AG BG CG GP GP ++=+++=，3,1,AP BP CP GP ++=∴=∴点P 的轨迹是以G 为圆心，1为半径的圆，AP ∴ 的最小值是13AG -=，故正确选项为C（方法二）以AC 所在直线为x 轴，以AC 中垂线为y轴建立直角坐标系，则()()(),0,6,A B C -，设(),,3,P x y AP BP CP ++=∴点P 的轨迹方程为22(2)1x y +-=，设圆心为G ，由圆的性质可知当AP 过圆心时AP最小，最小值为1413AP -=-=，故正确选项为C.9.【答案】BD【解析】易得经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面,QGMN EF 显然不平行平面,QGMN ∴选项C 错误，同时,,EM MN EM MG EM ⊥⊥∴⊥ 平面,PMN ∴平面MEF ⊥平面,PMN ∴选项D 正确.综上，正确选项为BD.10.【答案】ABD【解析】1z 为纯虚数，∴设()222111i 0,,z b b z b z =≠∴=-=-∴选项A 正确；22124z z -=- ，则2z 所对应点的轨迹是以()5,0为圆心，以2为半径的圆，237z ∴≤≤，∴选项B 正确；1z 为纯虚数，1z ∴对应点在y 轴上（除去原点），12z z ∴-的取值范围为()3,+∞，12z z ∴-无最小值，选项C 错误；()()()1223i 3i ,3i 0z z b z b b -+=+-+≠ 为纯虚数或0，对应的点在y 轴上（除去点()0,3），∴当3b =-时123i z z -+取得最小值3，∴选项D 正确，故正确选项为ABD.11.【答案】BCD【解析】令0x =，则()()()()()()()()212,f y f y f f y f y f y f y f x --==∴=--∴为奇函数，故选项A 不正确；令0x y ==，则()00f =，令1y =，则()()()()()()1121121,f x f x f x f f x f x +--=-=- 为奇函数()()()()()1111,f x f x f x f x f x ∴-=--∴+=--∴的周期为4，()()202400f f ∴==，故选项B 正确；()f x 为奇函数，()()()()(),,f x f x f x f x f x ∴=--∴=-∴'''为偶函数；()()11f x f x +=-- ()()()11,f x f x f x ∴+=-'∴''-的周期为4，且()()()()12340f f f f ''''+++=，()()()()()1220251,f f f f f x ∴++=''+''' 为偶函数，()()11f x f x ∴-='-'，()()()11,f x f x f x ∴+=-'∴'-'关于()1,0对称，()()()()10,1220250f f f f ∴=∴+'+'''+= ，故选项C 正确；令1x y =-，则()()()21122f f y f y --=，即()()()21122f f x f x --=①，令1y x =-，则()()()212121f f x f x --=-②，由①+②得()()()()()()()()222222121122121211fx f x f f x f x f f x f x +-=----==∴+-=，故选项D 正确，故正确选项是BCD.12.【答案】13-【解析】 圆锥曲线的离心率为2,∴该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在y 轴上的标准形式22111y x n m-=-，则1114,13m n m n m m n n--==∴=-.13.【答案】56π9【解析】如图，以AC 所在直线为旋转轴，ABC 旋转一周形成两个共底面的圆锥，ADC 旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为1V ，这两个几何体重叠部分是以圆O 为底面，,A C 为顶点的两个小圆锥，其体积记为2V ，则所求几何体体积221211235622π(3)4π4π3339V V V ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯=⎪⎝⎭14.【答案】233nn n+【解析】由题知12,,0,1,0,3,0,21,03X B n Y n ⎛⎫~∴=- ⎪⎝⎭()()12132321113212221212121C 3C 21C 333333n n n n nnnE Y n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12132321122221C 23C 221C 23n n n n n n n n ---⎡⎤=+++-⎣⎦ ()()102122322122121212122C 2C ,C 2C 2C 23k k n n n n n n n n n n k n E Y --------=∴=+++ 210211222232212102121212121(21)C 2C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n n -----------+=+++++ 210211222232212102121212121(21)C 2C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n n ------------=-+++- ()2121021223221212121231231C2C2C2,232n n n n n n n n n n E Y --------++∴+++=∴=⋅233nn n =+四､解答题：15.【解析】（1）()e (0)ax ax ax f x x =+=>'1°当0a ≥时()()0,f x f x >'∴在区间()0,+∞上单调递增.2°当0a <时，10,2x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()0,f x f x >'∴单调递增1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x <'∴单调递减综上，当0a ≥时，()f x 的增区间是()0,+∞，当0a <时，()f x 的增区间是10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间是1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知当0a ≥时，()f x 无最大值.当0a <时，12max11()22f x f a -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，平方有112e 4a -=，解得22,e e a a =-∴=-.16.【解析】（1）()()2222222211111122n nnnn niii ii i iii i i i i i i i i Q e ybx y bx y b xb xb x y y ========-=-+=-+∑∑∑∑∑∑要使残差平方和最小，当且仅当121ˆniii nii x ybx===∑∑；（2）,x t t y w w =-=- ，由（1）知()()()551155221151ˆ 5.110i ii i i i ii i i x y ttw w bxt t ====--====-∑∑∑∑，y ∴关于x 的经验回归方程为 5.1y x =，()()5.1,3,14, 5.1 5.1 1.3w w t t t w w t t w t ∴-=-==∴=-+=- ，当7, 5.17 1.334.4t w ==⨯-=（万），因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆.17.【解析】（1）证明： 底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，PA ⊥ 平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD PA BD ∴⊥，又,AC PA A BD =∴⊥ 平面,PAC PC ⊂ 平面,PAC BD PC ∴⊥，又,EF PC PC ⊥∴⊥ 平面BDF ，DF ⊂ 平面,,2,90BDF PC DF EF ED EB DFB ∴⊥===∴∠=︒即,DF FB DF ⊥∴⊥平面PBC .（2）（方法一）由（1）知PC ⊥平面DBF ，延长,PA FE ，相交于点G ，则PGF ∠即为PA 与平面BDF 所成的角,45,45PGF PCA PGF PCA α∴∠=∠=︒∴=︒∽过P 作l AD ∥，作DH l ⊥于点H ，连接,FH DF ⊥ 平面PBC ，,,,DF BC BC AD l AD l BC ∴⊥∴ ∥∥∥DF l ∴⊥，又,DH l l ⊥∴⊥ 平面,DFH l FH∴⊥DHF ∴∠即为平面PBC 与平面PAD 的夹角221,sin ,30242DF DH βββ===∴=︒，453075αβ∴+=︒+︒=︒（方法二）以E 为原点，以EA 为x 轴，EB 为y 轴，过点E 且平行PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()(2,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,2A C D F --，(()2,2,2,2,2,0DF AD ∴==--,2,2,45EF PC EF EC ACP ⊥===︒ ，2,45PA AC APC ∴==∴∠=︒PC ⊥ 平面,BDF PA ∴与平面BDF 所成的角为9045APC α=︒-∠=︒DF ⊥ 平面,PBC DF ∴是平面PBC 的一个法向量，又 平面PAD ⊥平面ABCD ，设(),,0n x y = 只需n AD ⊥ ，则n ⊥平面()(),,,02,2,0220PAD n AD x y x y ⋅=--=--=令()2,0n =- ，则323cos ,30,4530752322n DF n DF ββαβ⋅===∴=︒∴+=︒+︒=︒⋅⋅ 18.【详解】（1）设圆E 的半径为r ，圆E 与动圆C 内切于点Q . 点F 在圆E 内部，∴点C 在圆E 内部.26CE CF CE CQ r EF ∴+=+===∴点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为22182x y +=.（2）（方法一）联立y x t =+与椭圆方程，消y 得2258480x tx t ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212848,55t t x x x x -+=-=，OA 的中垂线方程为：111122y x x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即21111122x x y y x y y =-++①同理可得OB 的中垂线方程为：22222222x x y y x y y =-++②由①②两式可得2211122211222222x x y x x y x x y y y y -++=-++，OAB ∴△外接圆圆心M 的横坐标()()222112*********M x y x y y y y y x x y x y -+-=-，其中()()()2112211221x y x y x x t x x t t x x -=+-+=-()()()()()()22222112211221122112x y x y y y y y x x t x x t x x x tx t -+-=+-++-++()()()()()22222112212112x x x x t x x x x x t x t =-+-+-++()()()()21122112x x x x t x x x t x t =-+++++⎡⎤⎣⎦()()221122122x x x x t x x t ⎡⎤=-+++⎣⎦()()()()222112211221122121222238222105M x x x x t x x t x x t x x t x x t t x x x t x x t t t⎡⎤-++++++⎣⎦∴==+++=---，又AB 的中垂线方程为121222y y x x y x ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即35t y x =--，∴圆心M 的纵坐标为383381055105M t t y t t t ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭，2222383848,10510525M M t t x y t t ⎛⎫⎛⎫∴-=----+=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心M 在双曲线224825x y -=上，∴存在定点,0,,055C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得MC MD -=（定值）（方法二）设OAB 外接圆方程为220x y dx ey +++=，联立y x t =+与圆的方程消y 得()22220x t d e x t et +++++=，则2212122848,2525t d e t t et t x x x x +++-+=-=-==22168162,55t t t d e t et -∴++=+=，解得316316,5555t t d e t t =+=-，设圆心坐标为(),M x y ，则3838,2105105d t t x y t t =-=--=-+，2222383848,10510525t t x y t t ⎛⎫⎛⎫∴-=----+=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆心M 在双曲线224825x y -=上，∴存在定点,0,,055C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得MC MD -=（定值），19.【解析】（1）{}n a 是等差数列，∴设()()111111n a a n d a n d =+-=-+-+⎡⎤⎣⎦，令()111,1n n b a n d c =-+-=，则{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，所以数列{}n a 是“优分解”的.（2）因为数列{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c qc q -=+-=≠≠，则()12121111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a ad c qq a a a c q q --++=-=+-=-=-.当1q =时，()2*Δ0n a n =∈N ；当1q ≠时，{}2Δn a 是首项为21(1)c q -，公比为q 的等比数列.（3）一方面， 数列{}n S 是“优分解”的，设()*n n n S B C n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=≠≠，由（2）知2121Δ(1)n n S C Q Q -=-因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2121ΔΔΔ2S S S =-=.{}221(1)2,1,Δn C Q Q S ∴-=∴≠∴是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列.另一方面，因为{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，()2111211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+-{}2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列，0,1q q ∴≠≠，且()()()2222213ΔΔΔS S S =⋅，()()()223111111d c q q d c q q d c q q ⎡⎤⎡⎤∴+-=+-⋅+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦化简得()311111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=≠≠≠∴=∴=-=- ，即数列{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列.又232Δ2,2a a a q =-=∴= ，又()211Δ2,12,0,2,S d c q q d q =∴+-===∴ 解得11111,312c b a c =∴=-=-=，综上所述，()1111122n n n a b n d c q --=+-+=+.。
2023-2024学年全国高中高三下数学人教A版(2019)月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国高三下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，若，则集合可能是（ ）A.B.C.D.2. 已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是A.B.C.D.3. 已知，为空间两条不同直线，，，为不同的平面，则下列命题正确的是( )A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则4. 随机变量的分布列如表所示，若，则随机变量的方差等于 A ={x|y =}x −√A ∩B =A B {x|y =lnx}{y|y =}e x {y|y =lnx}{y|y =}1x l M(−,)3–√2–√N(,−)2–√3–√l ()π32π3π43π4m n αβγm ⊥αm//n n//βα⊥βα⊥γβ⊥γα//βα//βa ⊂αb ⊂βa //bα⊥βa ⊂αa ⊥βξE(ξ)=53ξD(ξ)()A.B.C.D.5. 已知函数 ，记 ，则，，的大小关系为( )A. B. C.D.6. 在中，，点为边上一点，且 ， ，，，则( )A.B.C.D.7. 三棱锥的四个顶点在球○的球面上， ，三棱锥的平面展开图是，如图所示，且．，，分别是 ，，的中点，则球○的表面积为（ ）19395979f (x)=lg(|x|+1)a =f (),b =f (3),c =f(1)50.2log 0.2a b c b <c <aa <b <cc <a <b c <b <a△ABC AB =2BC =2D AC AC =2AD AC =2BD =2CM −→−MB −→−=AN −→−NB −→−⋅+⋅=AM −→−AB −→−CN −→−BC −→−592723P −ABC AB =,BC =2,AC =3–√5–√P −ABC △DEF A B C DE EF DFA.B.C.D.8. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题中正确的是( )A.若，，则B.若，，则，C.若，，则D.若，，则10. 我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的球称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为，则下列说法中正确的有( ).A.正方体的棱切球的半径为3π6π12π24πE :x 2=2py(p >0)F AB CD P Q(1,2)+=1|AB |1|CD |14|P F |+|P Q |( )1234a >bc >d ac >bda >b >c a +b +c =0a >0c <0a >b >0m >0>b +m a +m b a a >b ab >0<1a 1b12–√πB.正四面体的棱切球的表面积为C.等长正六棱柱的棱切球的体积为D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为11. 在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行，国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则（ ）A.B.从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为C.不到名职工倾向于继续申请休假D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过名12. 若函数在上恰有三个零点，则（）A.的取值范围为B.在上恰有两个极大值点C.在上无极小值点D.在上单调递增卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数，则________.14. 若，，则向量在向量方向上的投影为________．π24π357π121000x =34.80.17850600f (x)=2sin(ωx −)+1(ω>0)π3[0,π]ω[,)13672f (x)[0,π]f (x)[0,]π2f (x)[0,]π4z =3−4i1+2i |z|==(2,1)a →=(3,4)b →a →b →15. 如图，过椭圆上的动点引圆的两条切线与，其中，分别为切点，，若椭圆上存在点，使四边形为正方形，则该椭圆离心率的范围为________．16. 已知一张纸上画有半径为的圆，在圆内有一个定点，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为，则曲线上的点到圆上的点的最大距离为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 的内角，，的对边分别为，，，且满足，．求角的大小；求周长的范围． 18. 北京冬季奥运会将于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事．北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核．为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取名志愿者的考核成绩，根据这名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示．女志愿者考核成绩频率分布表分组频数频率20.130.80.ab 0.男志愿者考核成绩频率分布直方图若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2M O :+=x 2y 2b 2MA MB A B M OAMB 2O O A OA =1A ′A A ′O A ′C C O △ABC A B C a b c a =2a cosB =(2c −b)cosA (1)A (2)△ABC 20222420222208080[75,80)050[80,85)325[85,90)450[90,95)m [95,100]075[90,100]秀．分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为，求的分布列及期望． 19. 如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于．求证：；若平面平面，，求点到平面的距离． 20. 已知数列满足： ，.求的通项公式；求 的前项和.21. 已知抛物线与抛物线有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆 于两点．(Ⅰ)求抛物线和椭圆的方程；(Ⅱ)若为椭圆的左顶点，直线的斜率分别为，求征：为定值，并求出该定值．22. 已知函数，其中常数.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；若，且时，求证：.(1)(2)3X X P −ABC P BC 2M N AB AP MN P BC EF (1)MN//EF (2)P BC ⊥ABC AB =AC =3M P AC {}b n =3b 1=+(2n +3)(n ∈)b n+1b n N ∗(1){}b n (2){}1b n n S n E :=2p(p >0)y 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F (,)2326–√3F k(k ≠0)l C M ，N E C A C AM ，AN ，k 1k 2+k k k k 2f (x)=−a e x x 2a ∈R (1)x ∈(0,+∞)f (x)>0a (2)a =1x ∈[0,+∞)f (x)>+4x −14x 2参考答案与试题解析2023-2024学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，集合，，∴，选项；选项；选项；选项.故选.2.【答案】C【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的斜率直线的倾斜角【解析】先根据条件和斜率公式求出直线的斜率，由垂直关系可得直线的斜率，进而可得其倾斜角．【解答】解：∵直线过点，，∴直线的斜率为，A ={x|x ≥0}A ∩B =A A ⊆B A :{x|x >0}B :{y|y >0}C :{y|y ∈R}D :{y|y ≠0}C MN M(−,)3–√2–√N(,−)2–√3–√MN =−1−(−)2–√3–√−−3–√2–√l由垂直关系可得直线的斜率为，∵直线的倾斜角满足，解得.故选．3.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：，若，，，面内一定存在直线与直线平行，则，故正确；，∵，，与即可以平行，也可以相交，故错误；，若，，，则、平行或异面，故错误；，只有和交线垂直，才能得线面垂直，故错误.故选.4.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，解得l 1l αtanα=1α=π4C A m ⊥αm//n n//ββm α⊥βB α⊥γβ⊥γαβC α//βa ⊂αb ⊂βa bD A a +b +=1，16E(ξ)=1⋅a +2⋅b +3×=a +2b +=，161253 a =，12b =，13(ξ)=(1−×+(2−×5151.故选.5.【答案】A【考点】对数值大小的比较函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查指数对数函数的性质，依题意为偶函数，在递增确定，，的大小即可．【解答】解：为偶函数，且时，递增，，，．又．∴．故选．6.【答案】D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】利用已知条件，判断三角形的形状，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求解向量的数量积即可．【解答】解：在中，点为边上一点，，且 ， ，∴D(ξ)=(1−×+(2−×53)21253)213+(3−×=53)21659C f (x)(0,+∞)50.2log 351f (x)=lg(|x|+1)x >0f (x)=lg(x +1)a =f ()50.2b =f (3)=f (3)log 0.2log 5c =f (1)>1>50.2log 35a >c >b A △ABC D AC AB =2BC =2AC =2AD AC =2BD 2,=−→−−→−−→−−→−，如图：三角形是直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，， ， ，， ，, , ，则.故选.7.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积类比推理直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】【解答】8.【答案】C【考点】抛物线的性质直线与抛物线结合的最值问题=2,=CM −→−MB −→−AN −→−NB −→−ABC A(2,0)N (1,0)C (0,1)M (0,)13=(−2,0)AB −→−=(−2,)AM −→−13=(1,−1)CN −→−=(0,1)BC −→−⋅+⋅=4−1=3AM −→−AB −→−CN −→−BC −→−D【解析】由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理，得，因为，所以直线的斜率为，所以，所以，解得.设点到准线的距离为，由抛物线的性质，得，则当轴时，的值最小，最小值为.【解答】解：由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程消去，得.设，，∴，.由抛物线的性质，得.∵，∴直线的斜率为，∴，∴，即，解得，∴抛物线方程为，准线方程为.设点到准线的距离为，由抛物线的性质，得，则当轴时，的值最小，最小值为，∴的最小值为.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】AB 0AB k AB y =kx +p 2|AB |=++p =2p +2p y 1y 2k 2AB ⊥CD CD −1k |CD |=2p(−+2p =+2p =1k )22p k 22p +2p k 2k 2+=+==1|AB |1|CD |12p +2p k 2k 22p +2p k 2+1k 22p +2p k 214p =2P y =−1d |P F |+|P Q |=d+|P Q |QP ⊥x d+|P Q |2+1=3AB 0AB k AB y =kx +p 2{ y =kx +,p 2=2py,x 2y −2pkx −=0x 2p 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=2pk x 1x 2+=k(+)+p =2p +p y 1y 2x 1x 2k 2|AB |=2p +2p k 2AB ⊥CD CD −1k |CD |=2p(−+2p 1k )2=+2p 2p k 2=2p +2p k 2k 2+1|AB |1|CD |=+12p +2p k 2k 22p +2p k 2=+1k 22p +2p k 2=142p +2p =4+4k 2k 2p =2=4y x 2y =−1P y =−1d |P F |+|P Q |=d+|P Q |QP ⊥x d+|P Q |2+1=3|P F |+|P Q |3C不等式的基本性质不等式比较两数大小【解析】利用不等式性质，分别对四个选项逐一进行判断，即可得到答案.【解答】解：由题意，若，，则由不等式性质可知，故错误；若，，则有，即，即，，故正确；若，，则，即，故正确；若，，则由不等式性质可知，即，故正确.故选.10.【答案】B,C,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积球内接多面体【解析】利用新定义，对选项逐个判断即可.【解答】解：，由新定义可知，正方体的棱切球的半径为正方体的中心到各棱的距离，故半径为，故错误；，由新定义可知，正四面体的棱切球的球心为正四面体的中心，球心到正四面体的顶点的距离为，故半径为，故棱切球的表面积为，故正确；，由新定义可知，等长正六棱柱的棱切球的球心为等长正六棱柱的中心，故半径为，棱切球的体积为，故正确；，由新定义可知，棱切球在每个面的截面即为该面的棱切圆，0>a >b 0>c >d ac <bd A a >b >c a +b +c =0c +c +c <a +b +c <a +a +a 3c <0<3a a >0c <0B a >b >0m >0−=>0b +m a +m b a m(a −b)a(a +m)>b +m a +m b a C a >b ab >0>a ab b ab <1a 1b D BCD A =+()122()122−−−−−−−−−−−−√2–√2A B ×=−12(×)3–√2232−−−−−−−−−−−−−−√346–√4=−()6–√42()122−−−−−−−−−−−−−−√2–√44π×=()2–√42π2B C 1×=4π3134π3C D ×=2×=2故底面的截面面积为，侧面的截面面积为，故截面面积之和为，故正确.故选.11.【答案】A,B,D【考点】扇形统计图【解析】根据表格中提供的数据正确计算未知数.【解答】解：，，故该选项正确;，倾向于在家办公的人员占比为，对应概率为，故该选项正确;，倾向于继续申请休假的人数为人，故该选项错误;，倾向于在家办公或在公司办公的职工人数人，故该选项正确.故选.12.【答案】A,C【考点】正弦函数的图象利用导数研究函数的极值函数的零点函数y=Asin （ωx+φ）的性质【解析】利用三角函数的性质，结合零点，极值点定义逐项判定即可.【解答】解：，当时 ，， ，∴， 当时，，，，，......π×=()122π4π×=(×)3–√2132π12+4×=π4π127π12D BCD A x =100−5.1−17.8−42.3=34.8B 17.8%0.178C 1000×5.1%=51D 1000×(17.8%+42.3%)=601ABD A x ∈[0,π]ωx −∈[−,πω−]π3π3π3f (x)=2sin(ωx −)+1=0π3sin(ωx −)=−π312ωx −≥−π3π3ωx −=−π3π67π611π619π6ωx −<11π19π∴当时恰好三个零点， ∴，故正确； ，当，，，......时，取极大值，∴当时，只有一个极大值，故错误；，当时 ，，∵，∴，∴的极小值点在在区间内无解，∴在上无极小值点，故正确；，当时 ，，，∴，∴在上不单调，故错误.故选三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模【解析】利用结合模长公式求解即可.【解答】解：.故答案为：.14.【答案】【考点】≤ωx −<11π6π319π6≤ω<13672A B ωx −=π3π25π29π2f (x)≤ωx −<11π6π35π2f (x)B C x ∈[0,]π2ωx −∈[−,ω−]π3π3π2π3ω∈[,)13672ω−∈[,)π2π33π417π12f (x)ωx −=−+2nπ(n ∈Z)π3π2[,)3π417π12f (x)[0,]π2C D x ∈[0,]π4ωx −∈[−,ω−]π3π3π4π3ω∈[,)13672ω−∈[,)π4π35π2413π24f (x)[0,]π4D AC.5–√|z|=|3−4i||1+2i||z|====|3−4i||1+2i|+32(−4)2−−−−−−−−−√+1222−−−−−−√55–√5–√5–√2向量的投影平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，所以，，则向量在向量方向上的投影为．故答案为：．15.【答案】【考点】圆与圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率【解析】由及圆的性质，可得，故，，由此可得到椭圆离心率的取值范围．【解答】解：根据题意可知，圆的半径为，由是正方形，可得此正方形的边长为，则，∴，又，∴，∴，解得，．故答案为：16.【答案】=(2,1)a →=(3,4)b →⋅=2×3+1×4=10a →b →||==5b →9+16−−−−−√a →b →==2⋅a →b →||b →1052[,1)2–√2∠AMB =90∘|OM |=b 2–√|OM =2≤|2b 2a 2≤2a 2c 2O b OAMB b |OM |=b 2–√|OM =2≤|2b 2a 2=+a 2b 2c 2≤2a 2c 2≥e 212≤e <12–√2[,1)2–√272【考点】直线与圆的位置关系轨迹方程【解析】由题意，作出满足条件的图象，数形结合得到点的轨迹为椭圆，结合椭圆的基本性质进行求解即可.【解答】解：已知一张纸上画有半径为的圆，在圆内有一个定点，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与点重合，连接，当折叠使得，两点重合时，作出其垂直平分线交于点，此时折痕所在直线如下所示：′此时，而 ，所以点的轨迹到点和点的距离为定值，为，而点的轨迹为椭圆，其中，，即，，其到左焦点距离最远的点为右顶点，距离，即，而点在圆上，此时的距离最远，所以.故答案为：四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由已知，得，由正弦定理，得，即，因为，所以．因为，所以．因为，所以． 由余弦定理得，B 2O O A OA =1A ′A A A ′A A ′A A ′B B =AB A ′OB +B =OB +BA =R =2A ′B O A 2B 2a =22c =1a =1c =12d =a +c =32O =C max 32C'C C ′C =OC +O =+2=C ′C ′327272(1)a cosB +bcosA =2c cosA sinAcosB +sinBcosA =2sinC cosAsin(A +B)=2sinC cosA sin(A +B)=sinC sinC =2sinC cosA sinC ≠0cosA =120<A <πA =π3(2)=+−2bc cosA a 2b 2c 2bc +4=+22得，即．因为，所以，即(当且仅当时等号成立).又因为，即，所以，即周长的范围为 ．【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知，得，由正弦定理，得，即，因为，所以．因为，所以．因为，所以． 由余弦定理得，得，即．因为，所以，即(当且仅当时等号成立).又因为，即，所以，即周长的范围为 ．18.【答案】（①）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为…因为，所以 ，所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为．因为被抽取的志愿者人数是，所以被抽取的男志愿者人数是bc +4=+b 2c 2(b +c =3bc +4)2bc ≤(b +c 2)2(b +c ≤(b +c +4)234)2b +c ≤4b =c =2b +c >a 2<b +c ≤44<a +b +c ≤6(4,6](1)a cosB +bcosA =2c cosA sinAcosB +sinBcosA =2sinC cosAsin(A +B)=2sinC cosA sin(A +B)=sinC sinC =2sinC cosA sinC ≠0cosA =120<A <πA =π3(2)=+−2bc cosA a 2b 2c 2bc +4=+b 2c 2(b +c =3bc +4)2bc ≤(b +c 2)2(b +c ≤(b +c +4)234)2b +c ≤4b =c =2b +c >a 2<b +c ≤44<a +b +c ≤6(4,6]2÷0.05=400.050+0.325+0.450+m +0.075=1m =0.10040×(0.100+0.075)=78080−40=40.由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为由题意可知的可能取值为，，，．， ．的分布列为0123P 故 …【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】在第一问中，也可以先求出被抽取的女志愿者的人数，再求出的值，即考核等级为优秀的女志愿者的人数；在第二问中，没有分别求出对应取值的概率，直接写出的分布列19.【答案】证明：因为，分别为，的中点，所以.又平面，所以平面.因为平面平面，所以．解：取中点，连接，.因为是等边三角形，所以.因为平面平面，所以平面.因为，所以.(0.010+0.015)×5=0.12540×0.125=5X 0123P (X =0)===,P (X =1)===C 35C 31210220122C 25C 17C 31270220722P (X =2)=C C 15C21C 31220=2144P (X =3)===C 37C 31235220744X X 1227222144744EX =0×+1×+2×+3×=122722214474474a +b X X (1)M N AB AP MN//P B MN ⊂P BC MN//P BC MNFE∩P BC =EF MN//EF (2)BC O P O AO △P BC P O ⊥BC P BC ⊥ABC P O ⊥ABC AB =AC =3AO ⊥BC BC =2M AB又，为中点，易得，，.在中，，所以，所以，，所.设点到平面的距离为.因为，所以，解得，所以点到平面的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算两条直线平行的判定【解析】【解答】证明：因为，分别为，的中点，所以.又平面，所以平面.因为平面平面，所以．解：取中点，连接，.因为是等边三角形，所以.因为平面平面，所以平面.因为，所以.又，为中点，易得，，.在中，，BC =2M AB P O =3–√AO =22–√P A =11−−√△P AC cos ∠P CA ==P +A −P C 2C 2A 22P C ⋅AC 16sin ∠P CA =35−−√6=P C ⋅AC sin ∠P CA =S △PAC 1235−−√2==×BC ×AO =S △AMC 12S △ABC 12122–√=××=V P−AMC 132–√3–√6–√3M P AC d =VM−PAC V P−AMC ×d =1335−−√26–√3d =2210−−−√35M P AC 2210−−−√35(1)M N AB AP MN//P B MN ⊂P BC MN//P BC MNFE∩P BC =EF MN//EF (2)BC O P O AO △P BC P O ⊥BC P BC ⊥ABC P O ⊥ABC AB =AC =3AO ⊥BC BC =2M AB P O =3–√AO =22–√P A =11−−√△P AC cos ∠P CA ==P +A −P C 2C 2A 22P C ⋅AC 16∠P CA =−−√所以，所以，，所.设点到平面的距离为.因为，所以，解得，所以点到平面的距离为．20.【答案】解：∵,,,,·······，以上各式相加得：，又∵，．由得,．【考点】数列的求和数列递推式【解析】无无【解答】解：∵,,sin ∠P CA =35−−√6=P C ⋅AC sin ∠P CA =S △PAC 1235−−√2==×BC ×AO =S △AMC 12S △ABC 12122–√=××=V P−AMC 132–√3–√6–√3M P AC d =V M−PAC V P−AMC ×d =1335−−√26–√3d =2210−−−√35M P AC 2210−−−√35(1)=+(2n +3)b n+1b n ∴−=5b 2b 1−=7b 3b 2−=9b 4b 3−=2(n −1)+3=2n +1b n b n−1−=5+7+9+⋯+2n +1b n b 1=3b 1∴=n ×3+b n n(n −1)×22=+2n =n(n +2)n 2(n ∈)N ∗(2)(1)==(−)1b n 1n(n +2)121n 1n +2S n =[(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)]1213121413151n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=−342n +32(n +1)(n +2)(1)=+(2n +3)b n+1b n ∴−=5b 2b 1−=7b b,,·······，以上各式相加得：，又∵，．由得,．21.【答案】【考点】圆锥曲线的综合问题抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解：由题意知当时，不等式恒成立，即恒成立，设，则．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的最小值为，故实数的取值范围为；证明：由题意得，要证成立，即证成立.令，其中，则.设，则，令得；令得，−=7b 3b 2−=9b 4b 3−=2(n −1)+3=2n +1b n b n−1−=5+7+9+⋯+2n +1b n b 1=3b 1∴=n ×3+b n n(n −1)×22=+2n =n(n +2)n 2(n ∈)N ∗(2)(1)==(−)1b n 1n(n +2)121n 1n +2S n =[(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)]1213121413151n 1n +2=(1+−−)12121n +11n +2=−342n +32(n +1)(n +2)(1)x ∈(0,+∞)f(x)=−a >0e x x 2a <e x x 2h(x)=(x >0)e x x 2(x)=h ′(x −2)e x x 3x ∈(0,2)(x)<0h ′h(x)x ∈(2,+∞)(x)>0h ′h(x)h(x)h(2)=e 24a (−∞,)e 24(2)f(x)>+4x −14x 2−>+4x −14e x x 2x 2g(x)=−2−4x +14e x x 2x ∈[0,+∞)(x)=−4x −4g ′e x h(x)=−4x −4e x (x)=−4h ′e x (x)>0h ′x >2ln2(x)<0h ′0≤x <2ln2h(x)(2ln2,+∞)[0,2ln2)所以函数在上单调递增；在上单调递减．设曲线与轴的交点为，因为，，，所以，且，故当时，；当时，，所以，由于，所以，即．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】答案未提供解析．答案未提供解析．【解答】解：由题意知当时，不等式恒成立，即恒成立，设，则．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的最小值为，故实数的取值范围为；证明：由题意得，要证成立，即证成立.令，其中，则.设，则，令得；令得，所以函数在上单调递增；在上单调递减．设曲线与轴的交点为，因为，，，所以，且，故当时，；当时，，所以，h(x)(2ln2,+∞)[0,2ln2)y =h(x)x (m,0)h(0)=−3<0h(2)=−12<0e 2h(3)=−16>0e 32<m <3=4m +4e m x ∈[0,m)(x)<0g ′x ∈(m,+∞)(x)>0g ′g(x)≥g(m)=−2−4m +14e m m 2=18−2m 22<m <3g(x)≥2(9−)>0m 2f(x)>+4x −14x 2(1)x ∈(0,+∞)f(x)=−a >0e x x 2a <e x x 2h(x)=(x >0)e x x 2(x)=h ′(x −2)e x x 3x ∈(0,2)(x)<0h ′h(x)x ∈(2,+∞)(x)>0h ′h(x)h(x)h(2)=e 24a (−∞,)e 24(2)f(x)>+4x −14x 2−>+4x −14e x x 2x 2g(x)=−2−4x +14e x x 2x ∈[0,+∞)(x)=−4x −4g ′e x h(x)=−4x −4e x (x)=−4h ′e x (x)>0h ′x >2ln2(x)<0h ′0≤x <2ln2h(x)(2ln2,+∞)[0,2ln2)y =h(x)x (m,0)h(0)=−3<0h(2)=−12<0e 2h(3)=−16>0e 32<m <3=4m +4e m x ∈[0,m)(x)<0g ′x ∈(m,+∞)(x)>0g ′g(x)≥g(m)=−2−4m +14e m m 2=18−2m 2由于，所以，即．2<m <3g(x)≥2(9−)>0m 2f(x)>+4x −14x 2。
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河北省香河县第一中学2024届高三下学期第三次月考试卷（数学试题文）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．82．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2±3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强4．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A 2B ．2C 10D ．105．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．126．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >7．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1368．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，9．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10 B ．3C ．5D ．210．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠12．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知222,1()5,13log ,3x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，则[](4)f f 的值为______.14．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.15．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:①()D x 的值域为[]01，;②()(),x R D x D x ∀∈-=; ③()(),T R D x T D x ∀∈+=;④(1)(2020)45;D D D D ++++=其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)16．已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为______. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.18．（12分）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，213AB =，4AC =，3AD =.（1）求边BC 的长；（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积.19．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ； （2）若直线AB 与直线MN 所成角为4π，求二面角A PC B --的余弦值． 20．（12分）设函数()()1f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围． 21．（12分）已知函数()2xe xf x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.22．（10分）已知等差数列的前n 项和为，且，．求数列的通项公式； 求数列的前n 项和．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解题分析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【题目详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=，,OA a OB b ==，且()(),0,0,A m B n ，由于5a c b c -=-=，所以[],4,6m n ∈.()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--.所以2222222cos cos sin 252sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()()()()()222a b a c b c a c a c b c b c-=---=---⋅-+-482cos 2sin m n θθ=++222m n mn =+≥.当且仅当m n =时取得最小值，此时由22482cos 2sin m n m n θθ+=++得()22482sin cos 4822sin 4m m m πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为4822m -，即224822m m =-，22240m m +-=，解得32m =.所以当且仅当532,4m n πθ===时a b -有最小值为()22326⨯=.故选：B【题目点拨】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 2．B 【解题分析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f . 【题目详解】()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=故选：B 【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 3．D 【解题分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【题目详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=，乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确；对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D 【题目点拨】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 4．A 【解题分析】根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出212z z =-可计算出2z ，由此可计算出2z . 【题目详解】由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，122z z ⋅=-，()()()2121221111i z i i i i z +∴=-===+--+，因此，2z ==故选：A. 【题目点拨】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 5．B 【解题分析】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 6．C 【解题分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B ={|2}x x >.【题目详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B ={|2}x x >，故选C.【题目点拨】本题考查集合的交运算，属于容易题. 7．A 【解题分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-， 所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A. 【题目点拨】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题. 8．B 【解题分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【题目详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【题目点拨】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 9．A 【解题分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c =-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【题目点拨】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．B 【解题分析】 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B11．B 【解题分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【题目详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【题目点拨】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 12．C 【解题分析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M 落在区域2Ω内的概率，只要求A 、B 所表示区域的面积，然后代入概率公式21P Ω=Ω区域的面积区域的面积，计算即可得答案．【题目详解】根据题意可得集合22{(,)|16}A x y x y =+所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合{(,)|40B x y x y =+-，0x ，0}y 表示的平面区域即为图中的Rt AOB ∆，14482AOB S ∆=⨯⨯=， 根据几何概率的计算公式可得81162P ππ==， 故选：C ． 【题目点拨】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。