2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)

2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)一、考情分析在高考数学中，集合是一个重要的考点，难度通常为中等或中等以下。

考查的主要形式是判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定，以及充分条件与必要条件的判断。

这些知识点常常与其他知识点交织考查，其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围是本节中的一个难点。

二、经验分享1.两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性。

2.注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别。

3.充分条件、必要条件的三种判定方法包括定义法、集合法和等价转化法。

4.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上。

解题时需要注意将条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，同时要注意区间端点值的检验。

5.对于“p∨q”、“p∧q”、“p”等形式命题真假的判断，需要确定命题的构成形式，判断其中命题p、q的真假，然后确定“p∧q”、“p∨q”、“p”等形式命题的真假。

6.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。

要判断特称命题是真命题，只需在限定集合内至少找到一个x＝x，使p(x)成立。

7.对全（特）称命题进行否定的方法包括找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词，以及对原命题的结论进行否定。

8.已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围。

含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决。

三、知识拓展1.从集合角度理解充分条件与必要条件，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件。

2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律1) 对于命题p∨q，只要p或q有一个为真，则p∨q为真，即真为真。

2) 对于命题p∧q，只有当p和q都为真时，XXX才为真，即真真为真。

3) 对于命题p，它与p的真假相反，即当p为真时，p 为假；当p为假时，p为真。

3.“否命题”与“命题的否定”的区别。

这两个概念是不同的，“否命题”是对原命题的条件和结论都进行否定，而“命题的否定”只是对原命题的结论进行否定。

题型分析一) 与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件可以理解为“若p则q”的命题真假，或者集合与集合之间的包含关系。

特别是在转化为集合间的关系后，可以利用集合知识进行处理。

例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】已知集合A={y|y=x2-2x+1,0≤x≤3}，集合B={x|x2-(2m-1)x+m(m-1)≤0}，命题p:x∈A，命题q:x∈B，且p是q的必要不充分条件。

求实数m的取值范围。

分析】先化简给定集合，再利用p是q的必要不充分条件，即有p⊆q且q⊈p。

解析】由已知得A={y|0≤y≤4}，B={x|m-1≤x≤m}。

因为p⊆q，所以当x∈A时，x∈B。

即当x=0或3时，有m-1≤x≤m，解得-1≤m≤4.因为q⊈p，所以当x∈B但x∉A时，即当x=1或2时，有m(m-1)≤0，解得m≤1或m≥2.综合可得，-1≤m≤1或2≤m≤4，即m∈[1,4]。

点评】在处理充分条件、必要条件或充要条件时，需要将其转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）进行求解。

同时，需要注意区间端点值的检验。

小试牛刀】【2019届河北辛集8月月考】已知f(x)是实数集R上的减函数，且f(0)=3，f(3)=-1.设集合P={x| |f(x+t)-1|<2}，集合Q={x|f(x)<-1}。

若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（）。

答案】C二) 与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关。

由这些逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题。

根据命题真假求参数的方法步骤如下：（1）先根据题目条件推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；（2）然后求出每个命题是真命题时参数的取值范围；（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。

例2】【XXX月考】已知命题函数$f(x)=\frac{1}{3}$，命题$q$：函数$mx+x^2+x$在区间$(1,2)$上单调递增；数$C$的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1.若“$p\vee(\neg q)$”为真命题，“$(\neg p)\vee q$”也为真命题，求实数$m$的取值范围。

分析】先确定$p,q$真值相同，再根据$p,q$同真时或同假确定实数$m$的取值范围。

解析】若$p$为真命题，则$f'(x)=mx^2+2x+1$在$x\in(1,2)$上恒成立，$m\geq-\frac{2}{3}$。

若$q$为真命题，则当$x>-1$时，$g'(x)=x-m+1>1$，$mx>-1$，所以$m<3$。

由已知可得，若$p$为真命题，则$q$也为真命题；若$p$为假命题，则$q$也为假命题。

当$p,q$同真时，$-\frac{2}{3}\leqm<3$；同假时$m$无解，故$m\in[-\frac{5}{4},3)$。

点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围。

然后再根据复合命题的真假列不等式（组）求参数范围。

小试牛刀】【2019届一轮复讲练测】已知命题函数的值域为$[-10,6]$，命题函数在区间$B$内单调递增。

若命题$C$为真命题，则实数$x$的取值范围是（$D$）。

解析】因为命题函数的值域为$[-10,6]$，所以在区间$B$内，$f(x)$取到最小值$-10$，最大值$6$。

由于命题函数在区间$B$内单调递增，所以当$x\in B$时，$f(x)$单调递增。

因为命题$C$为真命题，所以$f(x)\leq 0$在$x\in B$上恒成立。

因此，$x\in [a,b]$，其中$a$为区间$B$的左端点，$b$为$f(x)=0$的根的右端点。

由于$f(a)=-10<0$，所以根在区间$B$内，$b\leq 6$。

综上所述，$x\in [a,b]\subseteq B$，即$x\in [a,b]$，其中$a$为区间$B$的左端点，$b$为$f(x)=0$的根的右端点，$b\leq 6$。

因此，答案为$D$。

点评】全称命题和特称命题从逻辑结构而言是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的。

在解决与全称命题、特称命题真假有关的参数问题时，要根据命题的真假情况来确定参数的取值范围。

2.已知 $m\in R$，设 $p:\forall x\in [-1,1]。

x^2-2x-4m^2+8m-2\geq 0$，$q:\exists x\in [1,2]。

\log_1x^2-mx+1<-1$。

若 $p\lor q$ 为真，$p\land q$ 为假，求 $m$ 的取值范围。

分析】首先根据已知条件求出 $p$ 和 $q$ 的参数范围，然后求它们的交集，即可得到 $m$ 的取值范围。

解答】命题 $p$ 是恒成立问题，命题 $q$ 是有解问题。

对于命题 $p$，由于 $x^2-2x-4m^2+8m-2\geq 0$，即 $(x-1)^2-4m^2+8m-3\geq 0$，所以 $(x-1)^2\geq 4m^2-8m+3$，又因为 $x\in [-1,1]$，所以 $|x-1|\leq 1$，即 $(x-1)^2\leq 1$。

因此，$4m^2-8m+3\leq 1$，即 $2m^2-4m+1\leq 0$，解得 $m\in [\frac{1}{2},1]$。

对于命题 $q$，由于 $\log_1x^2-mx+1\ln 2$，$mx-2\leq \ln e^m$，解得 $m\in (-\infty。

\frac{\ln 2+2}{x}]$。

注意到这里的$m$ 取值范围与 $x$ 有关，因此需要进一步讨论。

若 $m\in [\frac{1}{2},1]$，则 $mx-2\geq \frac{1}{2}x-2\geq -\frac{3}{2}$，所以 $\ln 2<mx-2\leq \ln e^m$，即 $\ln2<mx-2\leq m$，解得 $m\in [\frac{\ln 2+2}{2},1]$。

若 $m<\frac{1}{2}$，则 $mx-2<-\frac{1}{2}$，所以$e^{mx-2}<e^{-\frac{1}{2}}$，即 $x^2<e^{-\frac{1}{2}}$，矛盾。

因此，此时 $q$ 为假命题。

综上所述，$m\in [\frac{\ln 2+2}{2},1]$。

答案：B。

4.已知方程 $x^2+mx+n=0$ 有实数根，则 $m^2-4n\geq0$ 是非为真命题的充分不必要条件。

因为如果 $m^2-4n<0$，则方程的判别式小于 $0$，无实数根，与已知条件矛盾；而如果 $m^2-4n\geq 0$，则方程有实数根，符合已知条件。

因此，实数 $m$ 的取值范围是 $m^2-4n\geq 0$，即 $m\in (-\infty。

-2]\cup [2,+\infty)$。

选项 A 正确。

5.已知命题函数 $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ 的值域为 $(-\infty。

2]$，在区间 $(-\infty。

1)$ 内单调递增。

若命题“$f(x)\leq 2$”是真命题，则实数 $x$ 的取值范围是 $(-\infty。

2]$。

因为当 $x\leq 1$ 时，$f(x)$ 单调递增，所以 $f(x)\leqf(1)=2$；当 $x>1$ 时，$f(x)\leq 2$ 已经成立。

因此，实数$x$ 的取值范围是 $(-\infty。

2]$。

选项 D 正确。

6.记命题为“点 $P(x,y)$ 满足 $x^2+y^2\leq 1$”，记命题为“点 $P(x,y)$ 满足 $x+y\geq 0$”，若命题“$\exists P(x,y)$ 满足两个命题”是真命题，则实数的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

因为两个命题的交集是在第四象限的一个扇形区域，其边界是$x+y=0$ 和 $x^2+y^2=1$，而最大的满足条件的点是$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，其 $x$ 和 $y$ 坐标的最大值都是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。