非寿险精算课后习题答案(中精-主编-韩天雄)
保险精算课后习题答案
保险精算课后习题答案【篇一：保险精算李秀芳1-5章习题答案】给出生存函数s?x??ex22500，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
p(50?x?60)?s?50??s(60)10q50?s?50??s(60)s(50)p(x?70)?s(70)s?70?s(50)3/220p50?2.已知生存函数s(x)=1000-x,0≤x≤100，求（1）f（x）(2)f(x)(3)ft(t)(4)ft(f)(5)e(x)3. 已知pr［5＜t(60)≤6］=0.1895，pr［t(60)＞5］=0.92094，求q65。
5|q60?s?65??s(66)s?65?0.1895,5p600.92094s(60)s(60)s?65??s(66)q650.2058s(65)=0.70740/0.86786=0.815115.给出45岁人的取整余命分布如下表：求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.046.这题so easy就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）q80?d80l80?l810.07l80l80d80l80?l810.07 l80l80q80?9. q60?0.015，q61?0.017，q62?0.020，计算概率2p61，2|q60．2p61=（1-q61）(1-q62)=0.963342|q60=2p61．q62=0.0193710. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。
求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
非寿险精算
2011年春季中国精算师资格考试:非寿险精算A6《非寿险精算》考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于非寿险精算原理和实践的课程。
通过本科目的学习，考生应该了解风险度量的基本方法、统计方法在非寿险精算中的，了解非寿险的费率厘定和费率校正，理解非寿险的准备金评估和再保险安排。
考试内容：A、风险度量（分数比例15%）1. 风险的定义、特征及风险度量的性质2. 各种传统风险度量方法的定义、优缺点及计算3. VaR度量方法的定义、应用及优缺点4. CTE等其他风险度量的定义及计算B、非寿险精算中的统计方法（分数比例20%）1. 常用的损失理论分布和其数字特征及损失分布的拟合方法2. 贝叶斯估计的基本方法及后验分布的计算3. 随机模拟的基本方法及对损失理论分布的随机模拟4. 信度理论的基本方法及对非同质风险的识别C、非寿险费率厘定（分数比例20%）1. 费率厘定中的一些基本名词及概念2. 费率厘定的两种基本方法：纯保费法和损失率法3. 均衡已赚保费计算：危险扩展法、平行四边形法4. 最终损失计算：损失进展法，识别趋势5. 分类费率和冲销6. 费率厘定实例7. 效用理论与非寿险费率厘定：风险指数，最高保费和最低保费，最优保险D、非寿险费率校正（分数比例15%）1. 经验费率和信度保费的概念及运用信度理论厘定和校正非寿险费率的方法2. 计算贝叶斯保费的前提条件和基本方法及贝叶斯保费的近似计算3. Buhlmann信度模型及其结构参数估计方法及Buhlmann信度保费的计算4. Buhlmann-Straub信度模型及其结构参数的估计方法及Buhlmann-Straub信度保费的计算5. NCD的一般原理和数学模型及用转移概率矩阵表示一个NCD系统和计算其平稳分布的方法E、非寿险准备金（分数比例15%）1. 未到期责任准备金评估的方法和保费不足准备金及其充分性检验2. 未决赔款准备金评估的方法：链梯法、分离法、案均法、准备金进展法、预算IBNR 方法3. 理赔费用准备金评估4. 未决赔款准备金评估合理性检验F、再保险的精算问题（分数比例15%）1. 再保险的基本知识：比例再保险和非比例再保险2. 再保险的费率厘定和准备金评估：损失分布法和劳合社比例法，再保险未到期责任准备金，再保险未决赔款准备金，S-B法3. 最优再保险的主要研究方法及基本原理考试指定学习教材：中国精算师资格考试用书《非寿险精算》：韩天雄主编，刘乐平主审，中国财政经济出版社 2010版第I部分中国精算师资格考试准精算师部分A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
保险精算课后习题答案
保险精算课后习题答案保险精算学是一门应用数学和统计学原理来评估风险和确定保险费率的学科。
它通常包括概率论、统计学、金融数学和经济学的相关知识。
以下是一些保险精算课后习题的答案示例：1. 问题：某保险公司提供一种寿险产品，保险期限为20年。
假设年利率为4%，保险公司需要为每位投保人准备的总金额为100,000元。
请计算每年需要缴纳的保费。
答案：使用等额年金的公式，我们可以计算出每年需要缴纳的保费。
首先计算现值因子PVIFA，公式为：\[ PVIFA = \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \]其中，\( r \) 是年利率，\( n \) 是保险期限。
将给定的数值代入：\[ PVIFA = \frac{1 - (1 + 0.04)^{-20}}{0.04} \]计算得到PVIFA后，用总金额除以PVIFA得到每年需要缴纳的保费：\[ \text{年保费} = \frac{100,000}{PVIFA} \]2. 问题：某保险公司希望评估一个30岁男性的寿险风险。
假设该男性的死亡率为0.0015，保险公司希望在10年内每年支付1,000元的保险金。
请计算保险公司需要收取的保费。
答案：首先，我们需要计算10年内该男性死亡的期望值。
这可以通过以下公式计算：\[ \text{期望死亡次数} = 1 \times (1 - (1 - 0.0015)^{10}) \]然后，将期望死亡次数乘以每次死亡的保险金，得到保险公司需要准备的总金额：\[ \text{总保险金} = 1,000 \times \text{期望死亡次数} \]最后，将总保险金除以生存概率的现值因子，得到每年需要收取的保费：\[ \text{年保费} = \frac{\text{总保险金}}{PVIF} \]3. 问题：考虑一个保险公司提供的年金产品，客户在退休后每年领取10,000元，直到去世。
如果客户现在50岁，预期寿命为85岁，年利率为5%，计算客户需要一次性缴纳的保费。
非寿险精算课后习题答案(中精-主编 韩天雄)
第一章 1T0.09811S ==2T5.6569σ== 3T[]{}()14%,25%, 1.1,()12.5%,20.2%, 2.6%()0.1036()0.456()()0.0051p p p m m F p Fp p Fpp F p m F E R E R R E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R σβσβσβ======-==-=='=-+-=度量值度量值度量值4T[]{}()0.099()0.4091()()()()0m Fm m Fmm F m m F m m E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R E R E R βσβ-==-=='=-+-=-=度量值度量值度量值5T[]{}()() 1.2%p F p m F Jensen s alpha E R R E R R β'=-+-=-度量值 6T0.950.90.810,10,0ξξξ===7T0.990.990.990.990.99()0.9933330.99109109330.99109332.326109286.53P X X P ξξξξξ≤=--⎛⎫≤= ⎪⎝⎭-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-== 8T222()331()109(1)(2)39.65992.2018E X r r Var X r r r θθθ⎧==⎪-⎪⎨⎪==⎪--⎩=⎧⎨=⎩ 0.950.950.990.99()110.95114.9510.99281.48rrrF x x Q Q Q Q θθθθθθ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=9T()[]011()11pprQ Q p r pE X QF x dx dx x r Q θθθθθ-⎛⎫∧=-= ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-⎪ ⎪-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰111()()111111111p p p r p pr p pCTE Q E X E X Q p Q p r r Q Q p r Q θθθθθθθ--⎡⎤=+-∧⎣⎦-⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=+-- ⎪⎨⎬ ⎪---+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫=+∙∙⎪ ⎪--+⎝⎭0.950.990.950.9939.66, 2.20,114.95,281.48243.60548.70r Q Q CTE CTE θ====∴==15T()222212112212|111111p p p p p p x Q x x Q Q Q CTE E X X Q dxp dx dx p p pμσμμσσμσμ-⎛⎫-+∞⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫--+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤=>⎣⎦=-⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎣⎦=+--⎰⎰⎰ 0.950.950.950.950.95()0.95330.9510933 1.645109212.29257.89P X Q Q Q Q CTE ≤=-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-==∴=第二章 2T（1）从表中可以得出索赔额组中值i i f X 和索赔频率1841600121610122101====∑∑=-=i i i i i i f x X f x X由题知)(~2σ，u LN X ，对数正态分布的期望和方差如下：()()()122222-==++σσσeeX Var X E u u根据矩估计法可知：()2222248.605)(111216222=--=-=++X X n ne e eu u σσσ由此可以求得：47.099.6==∧∧σu（2）()()%27.0748.214000ln 4000ln =-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛->-=>φσσu u P P x x3T每份保单赔款次数X 服从泊松分布，X 的概率密度函数为： ())32,10(!，，==-k k ex f kλλ由极大似然估计可以得到：X nXni ==∑=∧1iλ而且1965.01==∑=ni i i f x X所以1965.0=∧λ 5T韦伯分布的分布函数为：()rcx e X F --=1令7.012.01=-=---rrcx cx ee解得韦伯分布的20%和70%分位数：()()rrc x c x 17.012.03.0ln 8.0ln ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=根据观测数据可以知道 ：8.02.07.02.0==x x令()()8.03.0ln 2.08.0ln 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-rrc c 解得12.135.1==r c7T指数分布的概率密度函数为()xex f λλ-=，由极大似然估计得到220011==∧Xλ 2x 分布检验的检验假设：0H ：赔款额分布服从参数22001=λ的指数分布 1H ：赔款额分布不服从参数22001=λ的指数分布显著水平005.0=α，查自由度为41161=--=--k n 的2x 分布表， 得到分位数14.86，所以拒绝域为86.142≥x 赔款额落在0~100的理论概论为：()3653.0220011000022001000==≤≤-⎰dx e X P x同理可得8.2312=E 2.1473=E 4.934=E 3.595=E 1036=E()86.1489.3316122≥=-=∑=i ii i E E Q x在拒绝域范围内，所以拒绝原假设0H ，不能用指数分布模拟个别理赔分布。
20XX中国准精算师考试《非寿险精算》经典习题1第2页-精算师考试.doc
2013中国准精算师考试《非寿险精算》经典习题1第2页-精算师考试整理了2013年中国准精算师考试《非寿险精算》经典习题，望给广大考友带来帮助，预祝大家取得优异的成绩！第1页：单项选择题第3页：多项选择题第4页：综合解答题第5页：单线选择题答案第7页：多项选择题答案第页：综合解答题答案11.已知发生在某时期的经验损失与可分配损失调整费用为：2300万元同时期的均衡已经保费为：3200万元假设目标损失率为：0.659求指示费率整体水平变动量。
A.0.0907B.1.0907C.11.0254D.0.9168E.0.92612.已知各发生年的预测最终索赔次数如下：计算1989年预测索赔次数与1988年预测索赔次数之比。
A.1.05B.1.06C.1.07D.1.08E.1.0913.设三类风险在5年内观测值的一些有关数据如下：试估计最小平方信度因子。
A.0.01B.11C.1D.0.553E.014.在经验估费法中，关于不同规模风险的信度的陈述，下列选项中正确的是哪一项?①规模较大的风险在估费时更为可信;②不同规模风险的信度公式仍具有形式;③公式是建立在风险方差与风险规模成反比的基础上的。
A.仅①正确B.仅②正确C.仅③正确D.①、②正确E.全部正确15.有关贝叶斯方法的陈述，下列选项中正确的是哪一项?①在0-1损失函数下，贝叶斯方法得到的信度因子的估计与最小平方信度是一致的;②在估计非线性问题时，贝叶斯方法比最小平方信度更有优越性;③贝叶斯方法含有主观的成分，此主观成分主要表现在对先验分布及损失函数的选取上。
A.仅①正确B.仅②正确C.仅③正确D.②、③正确E.全部正确16.对于一个NCD系统，其转移概率矩阵如下：0%35%45%其中，P0表示无索赔概率，且0若全额保费是1000元，试计算某投保人在35%折扣组别时，发生一次事故即索赔或不索赔的临界值(假设发生一次事故后再也没有赔案发生)。
A.550B.650C.1000D.350E.45017.关于准备金计算的陈述，下列选项哪一项是正确的?①保费已缴付但尚未出险的索赔案件的可能赔付额，为此目的设置的准备金为IBNR准备金;②对于重要员工离职设置的准备金称为未决赔款准备金;③为应付承保风险发生巨灾损失而设置的准备金称为巨灾准备金。
非寿险精算课后习题答案(中精-主编-韩天雄)
第一章 1T0.09811S ==2T5.6569σ== 3T[]{}()14%,25%, 1.1,()12.5%,20.2%, 2.6%()0.1036()0.456()()0.0051p p p m m F p Fp p Fpp F p m F E R E R R E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R σβσβσβ======-==-=='=-+-=度量值度量值度量值4T[]{}()0.099()0.4091()()()()0m Fm m Fmm F m m F m m E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R E R E R βσβ-==-=='=-+-=-=度量值度量值度量值5T[]{}()() 1.2%p F p m F Jensen s alpha E R R E R R β'=-+-=-度量值 6T0.950.90.810,10,0ξξξ===7T0.990.990.990.990.99()0.9933330.99109109330.99109332.326109286.53P X X P ξξξξξ≤=--⎛⎫≤= ⎪⎝⎭-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-== 8T222()331()109(1)(2)39.65992.2018E X r r Var X r r r θθθ⎧==⎪-⎪⎨⎪==⎪--⎩=⎧⎨=⎩ 0.950.950.990.99()110.95114.9510.99281.48rrrF x x Q Q Q Q θθθθθθ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=9T()[]011()11p prQ Q p r pE X QF x dx dx x r Q θθθθθ-⎛⎫∧=-= ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰111()()111111111p p p r p pr p pCTE Q E X E X Q p Q p r r Q Q p r Q θθθθθθθ--⎡⎤=+-∧⎣⎦-⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=+-- ⎪⎨⎬ ⎪---+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫=+••⎪ ⎪--+⎝⎭0.950.990.950.9939.66, 2.20,114.95,281.48243.60548.70r Q Q CTE CTE θ====∴==Q15T()222212112212|111111p p p p p p x Q x x Q Q Q CTE E X X Q dxp dx dx p p pμσμμσσμσμ-⎛⎫-+∞⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫--+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤=>⎣⎦=-⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎣⎦=+--⎰⎰⎰ 0.950.950.950.950.95()0.95330.9510933 1.645109212.29257.89P X Q Q Q Q CTE ≤=-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-==∴=第二章 2T（1）从表中可以得出索赔额组中值i i f X 和索赔频率1841600121610122101====∑∑=-=i i i i i i f x X f x X由题知)(~2σ，u LN X ，对数正态分布的期望和方差如下：()()()122222-==++σσσeeX Var X E u u根据矩估计法可知：()2222248.605)(111216222=--=-=++X X n ne e eu u σσσ由此可以求得：47.099.6==∧∧σu（2）()()%27.0748.214000ln 4000ln =-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛->-=>φσσu u P P x x3T每份保单赔款次数X 服从泊松分布，X 的概率密度函数为： ())32,10(!，，==-k k ex f kλλ由极大似然估计可以得到：X nXni ==∑=∧1iλ而且1965.01==∑=ni i i f x X所以1965.0=∧λ 5T韦伯分布的分布函数为：()rcx e X F --=1令7.012.01=-=---rrcx cx ee解得韦伯分布的20%和70%分位数：()()rrc x c x 17.012.03.0ln 8.0ln ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=根据观测数据可以知道 ：8.02.07.02.0==x x令()()8.03.0ln 2.08.0ln 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-rrc c 解得12.135.1==r c7T指数分布的概率密度函数为()xex f λλ-=，由极大似然估计得到220011==∧Xλ 2x 分布检验的检验假设：0H ：赔款额分布服从参数22001=λ的指数分布 1H ：赔款额分布不服从参数22001=λ的指数分布显著水平005.0=α，查自由度为41161=--=--k n 的2x 分布表， 得到分位数14.86，所以拒绝域为86.142≥x 赔款额落在0~100的理论概论为：()3653.0220011000022001000==≤≤-⎰dx e X P x同理可得8.2312=E 2.1473=E 4.934=E 3.595=E 1036=E()86.1489.3316122≥=-=∑=i ii i E E Q x在拒绝域范围内，所以拒绝原假设0H ，不能用指数分布模拟个别理赔分布。
保险精算习题答案
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最新非寿险精算答案作业
一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为)0();(>=-x ex f xλλ其中，λ为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为),(21n x x x ，求参数λ的极大似然估计。
二：假设某保险业务的累积损失S 服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。
加二：某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。
三：假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设λ的先验分布为4.0)2(,6.0)1(====λλp p ，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率λ的后验分布。
四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布。
五：假设某保险人签发了两份保单A 和B ，每份保单可能发生的损失额及相应的概率如下表：求累积损失概率。
六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，2000年为200千元，2001年为250千元，2002年为300千元，最近几次的费率调整如下表，请计算以该表最新的费率水平表示的2000-2003年的已赚保费。
七：假设每一个风险单位的纯保费是175元，固定费用是12.5元，可变费用的比例是17.5%，而预期利润附加是5%，请计算每一个风险单位的毛保费。
八：假设汽车第三者责任险保单的索赔频率是0.03.平均赔付额是1500元，赔付额的方差是360000元，试问当保单组合的索赔次数为多大时就可以赋予完全可信性？保单组合应该包含多少份保单？（k=0.1，p=0.9）384)(2=ky p十：假设某险种的保险期限为1年，新费率的生效日期是2005年7月1日，目标赔付率为60%，如果每年按5%的速度增长，请根据下表计算费率的调整幅度。
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一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为)0();(>=-x e x f x λλ其中，λ为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为),(21n x x x ，求参数λ的极大似然估解：利用极大似然估计的方法，可以得到xxnni i1ˆ1==∑=λ二：假设某保险业务的累积损失S 服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。
解：[]400000)100100(20)()()()()(200010020)()(222=+=+==⨯==X E N VAR N E X VAR S VAR X E S E λ分位数=3471)(326.2)(=⨯+S VAR S E加二、某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。
解： 令⎩⎨⎧≥-≤=2020200X X X Y ，，为保险人的赔款随机变量4202.052.0)20()2020()(-∞-=-=>-=⎰e dx e x X X E Y E x三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设λ的先验分布为4.0)2(,6.0)1(====λλp p ，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率λ的后验分布。
解：λλλ-==e x P !4)4(41241)14(-===e x P λ 22416)24(-===e x P λ 2031.04.024166.0246.024)41(211=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ7969.04.024166.0246.02416)42(212=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ=)(λE 1)41(⨯==x P λ+2)42(⨯==x P λ=1.7969四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布 解：为简化计算，假设一个货币单位为5000元，解：818731.0)0(2.0===--e e f s λ ，130997.08.02.0)0()1()1(2.0=⨯⨯==-e f f f S X s λ043229.0))0()2(2)1()1((2)2(=+=S X S X s f f f f f λ五：假设某保险人签发了两份保单六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，2000解：如果把1998年生效的相对费率看做是1，则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为1772.19.01*8.01=，2000年的相对费率为7.01.5%87*8.01.5%12*1=+，2001年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，将所有年费的已赚保费调整到2002年的水平，可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28 八：某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示，假设A 为基础类别，经验数据的可信度为40%，如果整体保费需要上调15%，请计算调整后的相对费率。
非寿险精算答案整理
一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为)0();(>=-x e x f x λλ其中，λ为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为),(21n x x x ，求参数λ的极大似然估解：利用极大似然估计的方法，可以得到xxnni i1ˆ1==∑=λ二：假设某保险业务的累积损失S 服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。
解：[]400000)100100(20)()()()()(200010020)()(222=+=+==⨯==X E N VAR N E X VAR S VAR X E S E λ分位数=3471)(326.2)(=⨯+S VAR S E加二、某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。
解： 令⎩⎨⎧≥-≤=2020200X X X Y ，，为保险人的赔款随机变量4202.052.0)20()2020()(-∞-=-=>-=⎰e dx e x X X E Y E x三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设λ的先验分布为4.0)2(,6.0)1(====λλp p ，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率λ的后验分布。
解：λλλ-==e x P !4)4(41241)14(-===e x P λ 22416)24(-===e x P λ 2031.04.024166.0246.024)41(211=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ7969.04.024166.0246.02416)42(212=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ=)(λE 1)41(⨯==x P λ+2)42(⨯==x P λ=1.7969四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布 解：为简化计算，假设一个货币单位为5000元，解：818731.0)0(2.0===--e e f s λ ，130997.08.02.0)0()1()1(2.0=⨯⨯==-e f f f S X s λ043229.0))0()2(2)1()1((2)2(=+=S X S X s f f f f f λ五：假设某保险人签发了两份保单六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，2000解：如果把1998年生效的相对费率看做是1，则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为1772.19.01*8.01=，2000年的相对费率为7.01.5%87*8.01.5%12*1=+，2001年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，将所有年费的已赚保费调整到2002年的水平，可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28 八：某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示，假设A 为基础类别，经验数据的可信度为40%，如果整体保费需要上调15%，请计算调整后的相对费率。
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第一章 1T0.09811S ==2T5.6569σ== 3T[]{}()14%,25%, 1.1,()12.5%,20.2%, 2.6%()0.1036()0.456()()0.0051p p p m m F p Fp p Fpp F p m F E R E R R E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R σβσβσβ======-==-=='=-+-=度量值度量值度量值4T[]{}()0.099()0.4091()()()()0m Fm m Fmm F m m F m m E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R E R E R βσβ-==-=='=-+-=-=度量值度量值度量值5T[]{}()() 1.2%p F p m F Jensen s alpha E R R E R R β'=-+-=-度量值 6T0.950.90.810,10,0ξξξ===7T0.990.990.990.990.99()0.9933330.99109109330.99109332.326109286.53P X X P ξξξξξ≤=--⎛⎫≤= ⎪⎝⎭-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-== 8T222()331()109(1)(2)39.65992.2018E X r r Var X r r r θθθ⎧==⎪-⎪⎨⎪==⎪--⎩=⎧⎨=⎩ 0.950.950.990.99()110.95114.9510.99281.48rrrF x x Q Q Q Q θθθθθθ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=9T()[]011()11p prQ Q p r pE X QF x dx dx x r Q θθθθθ-⎛⎫∧=-= ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰111()()111111111p p p r p pr p pCTE Q E X E X Q p Q p r r Q Q p r Q θθθθθθθ--⎡⎤=+-∧⎣⎦-⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=+-- ⎪⎨⎬ ⎪---+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫=+••⎪ ⎪--+⎝⎭0.950.990.950.9939.66, 2.20,114.95,281.48243.60548.70r Q Q CTE CTE θ====∴==Q15T()222212112212|111111p p p p p p x Q x x Q Q Q CTE E X X Q dxp dx dx p p pμσμμσσμσμ-⎛⎫-+∞⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫--+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤=>⎣⎦=-⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎣⎦=+--⎰⎰⎰ 0.950.950.950.950.95()0.95330.9510933 1.645109212.29257.89P X Q Q Q Q CTE ≤=-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-==∴=第二章 2T（1）从表中可以得出索赔额组中值i i f X 和索赔频率1841600121610122101====∑∑=-=i i i i i i f x X f x X由题知)(~2σ，u LN X ，对数正态分布的期望和方差如下：()()()122222-==++σσσeeX Var X E u u根据矩估计法可知：()2222248.605)(111216222=--=-=++X X n ne e eu u σσσ由此可以求得：47.099.6==∧∧σu（2）()()%27.0748.214000ln 4000ln =-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛->-=>φσσu u P P x x3T每份保单赔款次数X 服从泊松分布，X 的概率密度函数为： ())32,10(!，，==-k k ex f kλλ由极大似然估计可以得到：X nXni ==∑=∧1iλ而且1965.01==∑=ni i i f x X所以1965.0=∧λ 5T韦伯分布的分布函数为：()rcx e X F --=1令7.012.01=-=---rrcx cx ee解得韦伯分布的20%和70%分位数：()()rrc x c x 17.012.03.0ln 8.0ln ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=根据观测数据可以知道 ：8.02.07.02.0==x x令()()8.03.0ln 2.08.0ln 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-rrc c 解得12.135.1==r c7T指数分布的概率密度函数为()xex f λλ-=，由极大似然估计得到220011==∧Xλ 2x 分布检验的检验假设：0H ：赔款额分布服从参数22001=λ的指数分布 1H ：赔款额分布不服从参数22001=λ的指数分布显著水平005.0=α，查自由度为41161=--=--k n 的2x 分布表， 得到分位数14.86，所以拒绝域为86.142≥x 赔款额落在0~100的理论概论为：()3653.0220011000022001000==≤≤-⎰dx e X P x同理可得8.2312=E 2.1473=E 4.934=E 3.595=E 1036=E()86.1489.3316122≥=-=∑=i ii i E E Q x在拒绝域范围内，所以拒绝原假设0H ，不能用指数分布模拟个别理赔分布。
8T假设实际赔款平均额为美元12000=u ，正态分布假设检验：0H ：12000≤u1H ：12000≤u2σ 量未知的大样本检验统计为：-uX Z s =，假定05.0=α 则645.1=a Z ，拒绝域为645.1>Z根据样本数据得到： n=1243 u=1200 s=1497.31 7.1283=X1283.7-12001.971 1.6451497.13Z ==>即拒绝原假设，实际赔款额大于假定的平均赔款额，也就是说有证据说明该公司假定的平均赔款额太低了。
9Tθ的先验分布为Bate(2,200)，损失随机变量的分布服从参数为θ的二项分布则θ的后验分布为：)(∑∑+-+βi i X nm a X Bate ，， 即)20033005(+-，Bateθ的后验分布均值为参数θ的贝叶斯估计：5025)(=+++==∑∧nma x a X E i βθθ10T)(~λP X i ),(~βαλGamma 由此可得：()()202.06.0βαλβαλ====Var E 解得3018==βα λ的后验分布为)70,36(),(Gamma n X Gamma i =++∑βα平方损失下λ的贝叶斯估计为后验分布的数学期望5143.07036)(==X E λ11T（1）赔款次数服从二项分布：()()kn kk n C x f --=θθ1 因为()1,0~U θ ()1=θπ所以因为()()533811|)|(θθθθ-=∏==C x f x f i ni则()()()()⎰⎰--==1053385338111)|()|()|(θθθθθθθπθθπθθπd C C d x f x f x()()()641115353，Beta d =--=⎰θθθθθ（2）当()()θθθ-=12~f 11<<θ时()()()()()⎰⎰---==163385338112112)|()|()|(θθθθθθθθπθθπθθπd C C d x f x f x()()()741116363，Beta d =--=⎰θθθθθ第三章非寿险费率厘定1T该保单期限为6个月，所以所投保的车辆是0.5个危险单位。
由于该保单是在2009年签订的，所以2010年的已签危险量为0。
2009年10月1日参加保险则在2010年的有效期间为3/6=0.5，因此2010年已承担危险量为0.5*0.5=0.25。
另外，该保单到2010年仍然有效，因而有效危险量为0.5。
2T（1）2006年至2008年在2009年7月1日费率下各年均衡已赚保费分别为：2006年：1.9×3570+3.2×1620+1.2×5820+2.3×1280=21895元2007年：1.9×4230+3.2×1910+1.2×6320+2.3×1320=24769元2008年：1.9×5100+3.2×2200+1.2×6930+2.3×1500=28496元则均衡已赚保费之和为：21895+24769+28496=75160元（2）依题意可知：W=L/ER=54867/75160=0.73 而T=0.6则调整因子为A=W/T=0.73/0.6=1.21673T费率水平相对值：2006年之前：12006年10月1日至2007年10月1日：1.12007年10月1日至2008年10月1日：1.1882008年10月1日以后：1.306820469×1.30273+23543×1.2161+28300×1.11983=86987.39元4T将相邻年间的进展因子求算术平均，即为选定因子5T6TG=40000/500000=0.08V=(200000+20000+50000)/1000000+45000/900000=0.32Q=0.05则目标损失率T=(1-V-G)/(1+G)=(1-0.32-0.05)/(1+0.08)=0.58337T1.42868/1.65)=1.0526冲销因子为1/f=1/1.0526=0.9500285 (2)各级别下的新费率级别1 1.2×1.15×1.0526=1.452588 级别2 1.452588×1.28915=1.8726 级别1 1.452588×1.4287=2.07528第四章非寿险费率校正2T由E（X3）=β0+β1E(X1)+β2E(X2)Cov (X1,X3)= β1Cov (X1,X1)+ β2 Cov (X1,X2)Cov (X2,X3)= β1 Cov (X1,X2)+ β2Cov (X2,X2)可得：4=β0+β1+2β2①2=β1+ β2②3=β1+2β2③联立以上各式，求得β0=β1=β2=1所以第三年的信度保费为1+X1+X23T依题意可设X1、X2分别为两份保单的赔款的随机变量，则由它们三年的观测值可计算得到：X=(6+12+9)/3=9X=(3+5+7)/3=5 21结构参数的估计μ =(5+9)/2=7ν=((3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(6-9)^2+(12-9)^2+(9-9)^2)/((3-1) ×2)=6.5 a=((5-7)^2+(9-7)^2)/(2-1)-6.5/3=35/6信度因子z=n/(n+v/a)=3/(3+6.5×6/35)=0.729则两份保单的Buhlmann保费的估计值分别为：P1=(1-0.729)×7+0.729×5=5.542P2=(1-0.729)×7+0.729×9=8.4585T设X1、X2分别为两份保单赔款次数的随机变量，则X= (14+17+16+17)/4=161X= (7+13+11+9)/4=10 2结构参数的估计μ =(10+16)/2=13ν=((7-10)^2+(13-10)^2+(11-10)^2+(9-10)^2+(14-16)^2+(17-16)^2+(16-16) ^2+(17-16)^2)/((4-1)×2)=13/3a=((10-13)^2+(16-13)^2)/(2-1)-13/3/4=203/12信度因子z=n/(n+v/a)=4/(4+13×12/(203×3))=0.9398则两份保单的信度保费的估计值分别为：P1=1000×((1-0.9398)×13+0.9398×10)=10180.6P2=1000×((1-0.9398)×13+0.9398×16)=15819.17Tr=2,n1=n2=3x11=9000/30=300 x12=12000/50=240 x13=18200/70=260m11=30 m12=50 m13=70m1=m11+m12+m13=150X=（9000+12000+18200）/150=261.331x21=25000/100=250 x22=26000/130=200 x23=30000/120=250m21=100 m22=130 m23=120m2=m21+m22+m23=350X=(25000+26000+30000)/350=231.432结构参数的估计μ =(261.33×150+231.43×350)/(150+350)=240.4ν=(30*(300-261.33)^2+50*(240-261.33)^2+70*(260-261.33)^2+100*(250-2 31.43)^2+130*(200-231.43)^2+120*(250-231.43)^2)/((3-1)+(3-1))=68004.7 625a=(150*(261.33-240.4)^2+350*(231.43-240.4)^2-(2-1)*68004.7625)/(500-( 150^2+350^2)/500) =123.1728则第一组的信度因子和第四年的信度保费分别为：Z1=m1/(m1+v/a)=150/(150+68004.7625/123.1728)=0.2136P1=80×((1-0.2136)×240.4+0.2136×261.33)=19589.65第二组的信度因子和第四年的信度保费分别为：Z2=m2/(m2+v/a)=350/(350+68004.7625/123.1728)=0.388P1=100×((1-0.388)×240.4+0.388×231.43)=23691.96410T转移概率矩阵：一年后等级0% 30% 50%初始0% 1-p0p0 0等级30% 1-p0 0 p050% 0 1-p0p011T无赔款发生的概率P0=P(X=0|=)05.0=λ=λ05.0-=0.9512若有10000个投保人投保，且全部享受最高折扣率优待，则一年后仍然享有50%折扣率的人数为1000095129512.0=⨯人，在30%折扣率上的人数有10000-9512=488人。