《理论力学》武清玺第五章_点的运动_习题全解

第五章 点的运动 习题全解

[习题5-1] 一点按2123

+-=t t x 的规律沿直线动动(其中t 要s 计,x 以m 计).试求:(1)最初s 3内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初s 3内经过的路程;(4)s t 3=时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动. 解:(1)求最初s 3内的位移.

m x 220120)0(3

=+⨯-= m x 723123)3(3-=+⨯-=

)(927)0()3(m x x x -=--=-=∆ (动点的位移为9m,位移的方向为负x 方向). (2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时,动点的速度为零.即: 01232=-==

t dt

dx

v , 亦即:当s t 2=时,动点改变运动方向.此时动点所在的位置为: )(1422122)2(3

m x -=+⨯-= (3)求最初s 3内经过的路程.

)(23716|)14(7||214|)3~2()2~0()3~0(m S S S =+=---+--=+= (4)求s t 3=时的速度和加速度

1232-==

t dt dx v )/(151233)3(2s m dt dx v =-⨯== t dt

dv a 6== )/(1836)3(2s m a =⨯=

(5)求动点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动.

若v 与a 同号,则动点作加速运动; 若v 与a 异号,则动点作减速运动.即: 同号时有:

0)2)(2(18)4(18)6)(123(22>+-=-=-=t t t t t t t va

0)2)(2(>+-t t t

20<

即当s t 20<<时,动点作加速动动.

O

x

y

图

题25-异号时有:

0)2)(2(<+-t t t

2>t

即当s t 2>时,动点作减速运动.

[习题5-2] 已知图示机构中,l AB OA ==,a AC DM CM ===,求出t ωϕ=时,点M 的动动方程和轨迹方程。

解:设动点M 的坐标为),(y x M ,则由图中的几何关系可知,运动方程为: t l x ωcos =

t a l t a t l y ωωωsin )2(sin 2sin -=-= 把上式两边分别平方后相加,得到轨迹方程:

1)

2(2

222=-+a l y l x [习题5-3] 跨过滑轮C 的绳子一端挂有重物B,另一端A 被人拉着沿水平方向运动,其速度为

s m v /10=,A 点到地面的距离保持常量m h 1=.滑轮离地面的高度m H 9=,其半径忽略不

计.当运动开始时,重物在地面上0B 处,绳AC 段在铅直位置C A 0处.求重物B 上升的运动方程和速度方程,以及重物B 到达滑轮处所需的时间.

解:从图中可知,绳子的原长约为16m.在任一瞬时,绳子的长度为:BC l t +⨯+22)1(8.即:

16822≈++BC l t 22816t l BC +-=

B 点的y 坐标,即重物B 上升的运动方程为:

86464168822-+=++-=-=t t l y BC B

重物B 上升的速度方程为:

222646422)864(t

t

t t t dt d dt dy v B B +=

+=-+==

重物到达滑轮时,所走过的路程为8m,即:

dt t

t vdt dy 2

64+=

=

C t t t d dt t t y ++=++=+=⎰

⎰

22

22

64642)64(64

当0=t 时,0=y ,8-=C ,故:

8642-+=t y ,依题意:

88642=-+t ,解得:s t 9.13=

[习题5-4] 偏心轮半径为r ,转动轴到轮心的偏心距d OC =,坐标轴Ox 如图所示.求杆AB 的运动方程,已知t ωϕ=,ω为常量.

解:AB 杆作竖向平动.A 点的运动代表AB 杆的运动.由图中的几何关系可知,A 点的坐标,即AB 杆的运动方程为:

A

d

t r sin sin =

ω t r

d

A ωsin sin =

t d r r t r

d A A ωω222

2222

sin 1sin 1sin 1cos -=-=-=

t d r t d A r t d x A ωωω222sin cos cos cos -+=+=

[习题5-5] 半圆形凸轮以匀速s mm v /10=沿水平方向向左运动,活塞杆AB 长l 沿铅直方向运动.挡运动开始时,活塞杆A 端在凸轮的最高点上.如凸轮的半径mm R 80=,求活塞B 的运动方程和速度方程.

解:活塞杆AB 作竖向平动.以凸轮圆心为坐标原点,铅垂向上方向为x 轴的正向,则由图中的

几何关系可知,任一时刻,B 点的坐标,即活塞B 的运动方程为:

)(64)()(cos 2222

2cm t l vt R l R

vt R R l R l x B -+=-+=-⋅+=+=ϕ

活塞B 的速度方程为:

)/(646422122s cm t

t

t t dt dx v B B --=--==

[习题5-6] 已知杆OA 与铅直线夹角6

t πϕ=

(ϕ以rad 计,t 以s 计),小环M 套在杆OA,CD

上,如图所示.铰O 至水平杆CD 的距离mm h 400=.求小环M 的速度方程与加速度方程,并求s t 1=时小环M 的速度及加速度.

解:以OA 铅垂时小环M 的位置为坐标原点,水平向右方向为x 轴的正向.任一瞬时, M 的坐标,即运动方程为: )(6

tan 400tan mm t

h x M πϕ==

小环M 的速度方程为:

)/)(6

(sec 32006)6(sec 400)6tan 400(22s mm t

t t dt d dt dx v M M πππππ=⋅===

)/(279)/)(6

(sec 3200)1(2s mm s mm v M ==

π

π 小环M 加速度方程为:

6

sec 3200)6sec 3200(22t dt d t dt d dt dv a M M ππππ===

)/(6

tan 6sec 920066tan 6sec 6sec 23200222s mm t t t t t ππππππππ⋅⋅=⋅⋅⋅=