高中函数及其性质

高中函数及其性质

一、函数的基本性质：

1. 函数图像的对称性

（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；

偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。 若某一函数与其反函数表

示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

（3） 若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足

()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。

（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。 2．函数的单调性

函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导

数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）

特别提示：函数(0)a

y x a x

=+>的图像和单调区间。 3．函数的周期性

对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有

()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中

存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为

T

a

的周期函数。 （3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。 4.函数的最值：

常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5．Gauss(高斯)函数

对于任意实数x ，我们记不超过x 的最大整数为[]x ，通常称函数[]y x =为取整函数。又称高斯函数。又记{}[]x x x =-，则函数{}y x =称为小数部分函数，它表示的是x 的小数部分。

高斯函数的常用性质：

（1） 对任意,1[][]1x R x x x x ∈-<≤<+均有 （2） 对任意x R ∈，函数{}y x =的值域为[0,1) （3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意121212,,,[][]x x R x x x x ∈≤≤若则

（4） 若,,[][],{}{}n Z x R x n n x n x x ∈∈+=++=则有，后一个式子表明{}y x =是周期为1的函数。

（5） 若,,[][][][][]1x y R x y x y x y ∈+≤+≤++则 （6） 若*

,,[][]n N x R nx n x ∈∈≥则

二、应用举例：

例1．已知)(x f 是一次函数，且10231024)(10+=x x f ．求)(x f 的解析式．

例2．已知.,,2

))1(()2(;)1.()1()(),2,(21)(b a k

f f k k x f x f ab b a a x bx x f 求若求且是常数，==≠++=

例3．函数⎩

⎨⎧<+≥-=1000)),5((10003

)(n n f f n n n f ，求)84(f

函数迭代中的”穿脱”技巧

设函数y=f(x),并记f n (x)=f(f(f …(fx)…),其中n 是正整数, f n (x)叫做函数f(x)的n 次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或f n (x)的表达式”穿上”或”脱去”n -1个函数符号得出f n (x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1程序化穿脱

“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱

去f,往往是一种程序化的模式,

例 已知f(x)=

2

1x

x + ,求f n (x).

2实验法穿脱

许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.

例函数定义在整数集上,且满足 f(n)= n-3 (n ≥1000)

f[f(n+5)](n ＜1000求f(84)

例21 对任意的正整数k,令f 1(k)定义为k 的各位数字和的平方.对于n ≥2令f n (k)=f 1(f n-1(k)),求f 1988(11). 3周期性穿脱

在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程. 例定义域为正整数的函数,满足: f(n)= n-3 (n ≥1000)

f[f(n+7)](n ＜1000. 试求f(90) 练习

1.设n 是自然数,f(n)为n 2+1(十进制)的数字之和,f 1(n)=f(n),求的f 100(1990)值.

2.已知f(x)=

1

1

2+-x x .设f 35(x)=f 5(x),求f 28(x). 例4．求函数232+-+

=x x x y 的值域。

0232322≥-=+-⇒+-+=x y x x x x x y

两边平方得2)32(2

-=-y x y ，从而23≠y 且3

22

2--=y y x 。

由23

103223032222<≤⇒≥-+-⇒≥---=-y y y y y y y x y 或y ≥2。

任取y ≥2，由3

22

2--=y y x ，易知x ≥2，于是0232≥+-x x 。

任取231<≤y ，同样由3

22

2--=y y x ，易知x ≤1。

于是0232≥+-x x 。

因此，所求函数的值域为),2[)2

3,1[+∞ 。

例5（1）设x,y 是实数，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2004

)1(1)1(2004

)1(3

3

y y x x ，求x+y 的值 （2） 若方程0)sin(cos 22

2=+-a x a x 有唯一解，求a

例6：解方程、不等式：（1）2log (231)5x x +-= （2）(x ＋8)2007＋x 2007＋2x ＋8＝0 （3）2323(2038)415284x x x x x -+++<+

Ex1.

求(31)(21)y x x =-+-的图象与x 轴交点坐

标。

解：(31)(21)y x x =-+-