自动控制原理-第4章-课件
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(3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 K * 均有关。
根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的 开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过 图解的方法找出闭环极点,并根据闭环极点 的分布对系统性能进行分析。
4、根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。 系统的闭环特征方程为 1 G (s )H (s ) 0 即 G (s)H (s) 1
由根轨迹图确定闭极点位置的允许范
围。
P1 K r 0
-2
动态性能
j
当0＜Kr＜1时，所有闭环极点均位于实
Kr
[ s ] 轴上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃
响应为单调上升的非周期过程。
百度文库
K r 1
-1
P2 K r 0
0
当Kr=1时，特征方程有两个相等负实根， 系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为
(szi) (spj)
(s)
i1
n
j1 m
s (spi)K* (szj)
(45)
i1
j1
比较式（4-4）和式（4-5），可得以下结论：
(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根 轨迹增益。
(2)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈 通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统 闭环零点就是开环零点。
部趋向无穷远处 。
该系统特征方程的根随开环系统参数 K从r 零 变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图4-1所示。
Kr
j
[s]
P1 K r 0
-2
K r 1
-1
P2 K r 0
0
Kr
图4-1 例4-1的根轨迹
P1 K r 0
-2
二、根轨迹与系统性能
Kr
j
[s]
K r 1 P2 K r 0
响应速度最快的非周期过程。
当Kr>1时，特征方程有一对共轭复根，
系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻
Kr
尼振荡过程，振荡幅度或超调量随Kr值
的增加而加大，但调节时间不会有显著
变化。
➢ 由根轨迹可见：Kr值的变化对闭环系统特征方程的影响， 系统参数对系统性能的影响。
➢ 上例中，根轨迹图是用解析法作出的，二阶系统易于用 解析法求解，但求解高阶系统特征方程的根就较为困难。 若要研究高阶系统参数的变化对闭环系统特征方程根的 影响，需进行大量反复的计算。
设Kr的变化范围是〔0, ∞﹚， 当 Kr 0时, s10,s2 2;
当0Kr 1时，s 1 与s 2 为不相等的两个负实根；
当 Kr 1时，s1s21为等实根；
当1<K r <∞时，s1,21j为K 一r对1共轭复根，其 实部都等于-1，虚部随 值的增K加r 而增加；
当K→r ∞时， s、1 的s 2实部都等于-1，是常数，虚
➢ 1948年伊文斯（W·R·EVANS）解决了这个问题，提出 了根轨迹法。该方法是根据系统的开、闭环传递函数之 间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。
三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、 极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨 迹的绘制。 设控制系统如图4-2所示，其闭环传递函数为
-1
0
Kr
稳定性 如果系统特征方程的根都 位于S平面的左半部，系统是稳定的， 否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴 进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点 处的K值，就是临界稳定的开环增益 Kc。
稳态性能 开环系统在坐标原点有
一个极点，所以属Ⅰ型系统，因而根
轨迹上的K值就是静态速度误差系数。
如果给定系统的稳态误差要求，则可
nqh为开环系统的极点数。
将式（4-2）和（4-4）代入（4-1）可得
f
h
K* G
(szi) (spj)
(s)
i1
n
j1 m
s (spi)K* (szj)
i1
j1
(45)
f
l
(szi) (szj)
G(s)H(s)K*
i1 q
j1 h
sv (spi) (spj)
i1
j1
(44)
f
h
K* G
根轨迹方程是向量方程，可用模和相角的形式表示
|G(H s)(|esj )G(H s)(s)1ej(2k1) (k0,1 ,)2,
m
(s zj)
设系统的开环传递函数为
G(s)H(s) K*
j1 n
(s pi )
n
i1
模值条件
|s pi |
i1 m
K*
|s zj |
j1
相角条件
m
n
(szj) (spi)(2k1)
s(s2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数Kr 的变化在s平面上的分布情况。
解 系统的闭环传递函数
(s C R ) ( (1 s sG G ) ) H ((s s (s )) 2 s 2 K ) s r K r
系统的特征方程为 s22sK r0 特征方程的根是
s 1 1 1 K r,s 2 1 1 K r
j1
i1
(k0 ,1 ,2 , )
综上分析，可以得到如下结论：
⑴ 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 K的* 大 小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成 系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充分必要条 件。
⑵绘制根轨迹的模值条件与系统开环根轨迹增益K*值的大 小有关。即K*值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上 的位置。
第四章 线性系统的根轨迹法
• 4.1 根轨迹法的基本概念 • 4.2 常规根轨迹的绘制法则
4.1 根轨迹法的基本概念
一﹑根轨迹图
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数由 零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根 （即闭环极点）在S平面上变化的轨迹。
例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函 数为 G(sH ) (s) Kr
图4-2 控制系统
(s) G (s)
1G (s)H (s)
(41)
前向通路传递函数G(s)
f
f
(is1)
(szi)
G(s)KG
i1 q
KG *
i1 q
s (Tis1)
s (spi)
i1
i1
(42)
前向通 路增益
前向通路根 轨迹增益
反馈通路传递函数H(s)
l
l
(js1)
(szj)
H(s)KH
j1 h
KH *
j1 h
(Tjs1)
(spj)
反馈通
j1
j1
路增益
反馈通路根
轨迹增益
(43)
系统的开环传递函数为
f
l
(szi)(szj)
G(s)H(s)K*
i1 q
j1 h
sv (spi) (spj)
(44)
i1
j1
K* KG * KH * 为开环系统的根轨迹增益；
mf l 为开环系统的零点数，
根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的 开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过 图解的方法找出闭环极点,并根据闭环极点 的分布对系统性能进行分析。
4、根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。 系统的闭环特征方程为 1 G (s )H (s ) 0 即 G (s)H (s) 1
由根轨迹图确定闭极点位置的允许范
围。
P1 K r 0
-2
动态性能
j
当0＜Kr＜1时，所有闭环极点均位于实
Kr
[ s ] 轴上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃
响应为单调上升的非周期过程。
百度文库
K r 1
-1
P2 K r 0
0
当Kr=1时，特征方程有两个相等负实根， 系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为
(szi) (spj)
(s)
i1
n
j1 m
s (spi)K* (szj)
(45)
i1
j1
比较式（4-4）和式（4-5），可得以下结论：
(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根 轨迹增益。
(2)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈 通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统 闭环零点就是开环零点。
部趋向无穷远处 。
该系统特征方程的根随开环系统参数 K从r 零 变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图4-1所示。
Kr
j
[s]
P1 K r 0
-2
K r 1
-1
P2 K r 0
0
Kr
图4-1 例4-1的根轨迹
P1 K r 0
-2
二、根轨迹与系统性能
Kr
j
[s]
K r 1 P2 K r 0
响应速度最快的非周期过程。
当Kr>1时，特征方程有一对共轭复根，
系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻
Kr
尼振荡过程，振荡幅度或超调量随Kr值
的增加而加大，但调节时间不会有显著
变化。
➢ 由根轨迹可见：Kr值的变化对闭环系统特征方程的影响， 系统参数对系统性能的影响。
➢ 上例中，根轨迹图是用解析法作出的，二阶系统易于用 解析法求解，但求解高阶系统特征方程的根就较为困难。 若要研究高阶系统参数的变化对闭环系统特征方程根的 影响，需进行大量反复的计算。
设Kr的变化范围是〔0, ∞﹚， 当 Kr 0时, s10,s2 2;
当0Kr 1时，s 1 与s 2 为不相等的两个负实根；
当 Kr 1时，s1s21为等实根；
当1<K r <∞时，s1,21j为K 一r对1共轭复根，其 实部都等于-1，虚部随 值的增K加r 而增加；
当K→r ∞时， s、1 的s 2实部都等于-1，是常数，虚
➢ 1948年伊文斯（W·R·EVANS）解决了这个问题，提出 了根轨迹法。该方法是根据系统的开、闭环传递函数之 间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。
三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、 极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨 迹的绘制。 设控制系统如图4-2所示，其闭环传递函数为
-1
0
Kr
稳定性 如果系统特征方程的根都 位于S平面的左半部，系统是稳定的， 否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴 进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点 处的K值，就是临界稳定的开环增益 Kc。
稳态性能 开环系统在坐标原点有
一个极点，所以属Ⅰ型系统，因而根
轨迹上的K值就是静态速度误差系数。
如果给定系统的稳态误差要求，则可
nqh为开环系统的极点数。
将式（4-2）和（4-4）代入（4-1）可得
f
h
K* G
(szi) (spj)
(s)
i1
n
j1 m
s (spi)K* (szj)
i1
j1
(45)
f
l
(szi) (szj)
G(s)H(s)K*
i1 q
j1 h
sv (spi) (spj)
i1
j1
(44)
f
h
K* G
根轨迹方程是向量方程，可用模和相角的形式表示
|G(H s)(|esj )G(H s)(s)1ej(2k1) (k0,1 ,)2,
m
(s zj)
设系统的开环传递函数为
G(s)H(s) K*
j1 n
(s pi )
n
i1
模值条件
|s pi |
i1 m
K*
|s zj |
j1
相角条件
m
n
(szj) (spi)(2k1)
s(s2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数Kr 的变化在s平面上的分布情况。
解 系统的闭环传递函数
(s C R ) ( (1 s sG G ) ) H ((s s (s )) 2 s 2 K ) s r K r
系统的特征方程为 s22sK r0 特征方程的根是
s 1 1 1 K r,s 2 1 1 K r
j1
i1
(k0 ,1 ,2 , )
综上分析，可以得到如下结论：
⑴ 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 K的* 大 小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成 系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充分必要条 件。
⑵绘制根轨迹的模值条件与系统开环根轨迹增益K*值的大 小有关。即K*值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上 的位置。
第四章 线性系统的根轨迹法
• 4.1 根轨迹法的基本概念 • 4.2 常规根轨迹的绘制法则
4.1 根轨迹法的基本概念
一﹑根轨迹图
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数由 零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根 （即闭环极点）在S平面上变化的轨迹。
例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函 数为 G(sH ) (s) Kr
图4-2 控制系统
(s) G (s)
1G (s)H (s)
(41)
前向通路传递函数G(s)
f
f
(is1)
(szi)
G(s)KG
i1 q
KG *
i1 q
s (Tis1)
s (spi)
i1
i1
(42)
前向通 路增益
前向通路根 轨迹增益
反馈通路传递函数H(s)
l
l
(js1)
(szj)
H(s)KH
j1 h
KH *
j1 h
(Tjs1)
(spj)
反馈通
j1
j1
路增益
反馈通路根
轨迹增益
(43)
系统的开环传递函数为
f
l
(szi)(szj)
G(s)H(s)K*
i1 q
j1 h
sv (spi) (spj)
(44)
i1
j1
K* KG * KH * 为开环系统的根轨迹增益；
mf l 为开环系统的零点数，