自动控制原理-第4章-课件
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自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理与应用 第4章
2) 稳态性能 由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系 统属1型系统，因而根轨迹上的K值就是静态误差系数。如果给 定了系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位 置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不 是开环增益，而是所谓根轨迹增益。 下面将要指出，开环增益和根轨迹增益之间仅相差一个比 例常数，很容易进行换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情 况是类似的。
图4-2 二阶系统的根轨迹
2. 根轨迹与系统性能 画出根轨迹的目的是利用根轨迹来分析系统的各种性能， 以图4-2为例进行说明。 1) 稳定性 当开环增益由零变到无穷时，图4-2上的根轨迹不会越过 虚轴进入右半s平面，因此图4-1所示系统对所有的K值都是稳 定的。在分析高阶系统的根轨迹图时，根轨迹若越过虚轴进入 s右半平面，则根轨迹与虚轴交点处的K值即为临界开环增益。
为了说明根轨迹的概念，我们以图4-1所示的二阶系统为 例，介绍根轨迹的基本概念。
图4-1 二阶系统结构图
由图4-1可知，系统的开环传递函数为
G(s) K 2K
(4-1)
s(0.5s 1) s(s 2)
开环传递函数有p1=0, p2=－2两个极点，没有零点, 式中K 为开环增益。系统的闭环传递函数为
即
m
(s zi )
i 1 n
开环有限零点到 根轨迹上点 s的矢量长度之积 开环极点到根轨迹上点 s的矢量长度之积
1
K*
(s p j )
j 1
和
(4-9)
m
n
m
n
(s zi ) (s p j ) i j
当K=∞时，s1=-1+j∞, s2=-1-j∞，沿上述直线趋于无穷远。 如图4-2所示，当K由0→∞变化时，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹就是系统的根轨迹，直观地表示了K变化时闭环特 征根的变化，给出了K变化时对闭环特征根在s平面上分布的影 响。因此，可通过根轨迹的变化趋势来判定系统的稳定性，确 定系统的品质。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法称 为解析法。
《自动控制原理》PPT课件
4
4-1 根轨迹的基本概念
4-1-1 根轨迹
闭环极点随开环根轨迹增益变化的轨迹
目标
系统参数 连续、运动、动态
开环系统中某个参数由0变化到 时，
闭环极点在s平面内画出的轨迹。一 个根形成一条轨迹。
5
例4-1 已知系统如图，试分析 Kc 对系统特征根分布的影响。
R(s)
_ Kc
1
C(s)
s(s+2)
解：开环传递函数 G(s) Kc 开环极点：p1 0
s(s 2)
开环根轨迹增益：K * Kc 闭环特征方程：s2 2s K * 0
闭环特征根
2 s1,2
4 4K* 1
2
1 K*
p2 2
6
研究K*从0～∞变化时，闭环特征根的变化
K*与闭环特征根的关系 s1,2 1 1 K*
引言
时域分析法
优点：可以直接分析系统的性能 缺点：不能在参数变化时，预测系统性能；
不能在较大范围内，给出参数优化设 计的预测结果
系统的闭环极点
系统的稳定性 系统的动态性能
系统闭环特征方程的根
高阶方程情形 下求解很困难
系统参数（如开环放大倍数）的变化会引起其 变化，针对每个不同参数值都求解一遍根很麻 烦。
1 绘制依据 ——根轨迹方程
R(s) _
C(s) G(s)
闭环的特征方程：1 G(s)H(s) 0
H(s)
即：G(s)H(s) 1 ——根轨迹方程（向量方程）
用幅值、幅角的形式表示：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s) [G(s)H(s)] 1(2k 1) G(s)H(s) (2k 1)
4-1 根轨迹的基本概念
4-1-1 根轨迹
闭环极点随开环根轨迹增益变化的轨迹
目标
系统参数 连续、运动、动态
开环系统中某个参数由0变化到 时，
闭环极点在s平面内画出的轨迹。一 个根形成一条轨迹。
5
例4-1 已知系统如图，试分析 Kc 对系统特征根分布的影响。
R(s)
_ Kc
1
C(s)
s(s+2)
解：开环传递函数 G(s) Kc 开环极点：p1 0
s(s 2)
开环根轨迹增益：K * Kc 闭环特征方程：s2 2s K * 0
闭环特征根
2 s1,2
4 4K* 1
2
1 K*
p2 2
6
研究K*从0～∞变化时，闭环特征根的变化
K*与闭环特征根的关系 s1,2 1 1 K*
引言
时域分析法
优点：可以直接分析系统的性能 缺点：不能在参数变化时，预测系统性能；
不能在较大范围内，给出参数优化设 计的预测结果
系统的闭环极点
系统的稳定性 系统的动态性能
系统闭环特征方程的根
高阶方程情形 下求解很困难
系统参数（如开环放大倍数）的变化会引起其 变化，针对每个不同参数值都求解一遍根很麻 烦。
1 绘制依据 ——根轨迹方程
R(s) _
C(s) G(s)
闭环的特征方程：1 G(s)H(s) 0
H(s)
即：G(s)H(s) 1 ——根轨迹方程（向量方程）
用幅值、幅角的形式表示：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s) [G(s)H(s)] 1(2k 1) G(s)H(s) (2k 1)
《自动控制原理教学课件》第4章.ppt
i 1
j 1
135 90 225
不满足相角条件，s1不在根轨迹上
s1
j
(s2 p1) (s2 p1) (116.5) (63.5) 180
s1 p1
s1 p2
满足相角条件，s2在根轨迹上
135
p2 1 0.5
p1 0
G(s)H(s) 1
K
1
(s2 p1)(s2 p2 )
❖ 稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上对应的K值就是 Kv。
❖ 动态特性 当0< K<0.25时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态； 当 K=0.25时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统; 当 K>0.25时，闭环极点是共轭复数，为欠阻尼状态，单 位阶跃响应为衰减振荡过程。
-0.5
-0.5+j0.5 …… -0.5+j∞
-0.5
-0.5-j0.5 …… -0.5-j∞
所谓根轨迹图，即以
K 为参变量，当 K 由0→∞时，
系统闭环极点在s平面上变化 的轨迹。
通信技术研究所
3
根据此图可以分析参数变化对系统特性的影响。
❖ 稳定性 当增益K由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边，因此系统对所有的K值都是稳定的，
通信技术研究所
4
4.2 根轨迹方程
4.2.1 根轨迹方程 R(s)
C(s)
G(s)
闭环传递函数：
(s) G(s)
H (s)
1 G(s)H(s)
闭环特征方程：1 G(s)H (s) 0（根轨迹方程基本形式）
或
G(s)H(s) 1
通信技术研究所
5
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (4)
相等。当 k 时，根轨迹的解为 s z j ( j 1,2,3, m) 。这意味
着参变量 K 趋于无穷大时，闭环极点与开环零点相重合。如果开环 零点数目 m 小于开环极点数目 n ，则可认为有 n m 个开环零点处于 s 平面上的无穷远处。因此，在 m n 情况下，当 k 时，将有 n m 个闭环极点分布在 s 平面上的无穷远出。在实际物理系统中 m n，所以闭环极点数目与开环极点数目 n 相等。这样，起始于 n 个开环极点的 n 条根轨迹，便构成了反馈系统根轨迹的全部分支。
(0 3 1
j 1 4 1
j) (2)
1
第4章 根轨迹法
4.2.5 实轴上的根轨迹 绘制根轨迹的基本原则五：在实轴上任取一点，若在其右
侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段 构成实轴上的根轨迹。
此结论可用相角条件方程来说明。 若开环零、极点分布如图4－4所示。在实轴上任取一点s1， 连接所有的开环零、极点。由于复数零点、复数极点都对称于 实轴，因此，复数零点、复数极点的相角大小相等，符号相反。 可见，它们对于相角条件没有影响，即复数零、极点对实轴上 的根轨迹没有影响。因此只要分析位于实轴上的开环零、极点 情况即可。由于位于s1点左侧的零、极点到s1点的向量，总是 指向坐标原点，故它们所引起的相角总为零。只有s1右侧零、 极点构成的相角才为-180°,故根据相角条件，说明只有实轴 上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时，才能满 足相角条件。
开环零点 2 ，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。
（2）确定根轨迹的渐近线
渐近线的倾斜角为
a
(2l 1)
nm
(2l 1) 180 4 1
第4章 根轨迹法
取式中的l 0,1,2 ，得：
着参变量 K 趋于无穷大时，闭环极点与开环零点相重合。如果开环 零点数目 m 小于开环极点数目 n ，则可认为有 n m 个开环零点处于 s 平面上的无穷远处。因此，在 m n 情况下，当 k 时，将有 n m 个闭环极点分布在 s 平面上的无穷远出。在实际物理系统中 m n，所以闭环极点数目与开环极点数目 n 相等。这样，起始于 n 个开环极点的 n 条根轨迹，便构成了反馈系统根轨迹的全部分支。
(0 3 1
j 1 4 1
j) (2)
1
第4章 根轨迹法
4.2.5 实轴上的根轨迹 绘制根轨迹的基本原则五：在实轴上任取一点，若在其右
侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段 构成实轴上的根轨迹。
此结论可用相角条件方程来说明。 若开环零、极点分布如图4－4所示。在实轴上任取一点s1， 连接所有的开环零、极点。由于复数零点、复数极点都对称于 实轴，因此，复数零点、复数极点的相角大小相等，符号相反。 可见，它们对于相角条件没有影响，即复数零、极点对实轴上 的根轨迹没有影响。因此只要分析位于实轴上的开环零、极点 情况即可。由于位于s1点左侧的零、极点到s1点的向量，总是 指向坐标原点，故它们所引起的相角总为零。只有s1右侧零、 极点构成的相角才为-180°,故根据相角条件，说明只有实轴 上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时，才能满 足相角条件。
开环零点 2 ，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。
（2）确定根轨迹的渐近线
渐近线的倾斜角为
a
(2l 1)
nm
(2l 1) 180 4 1
第4章 根轨迹法
取式中的l 0,1,2 ，得：
《自动控制原理 》课件第4章
若n＞m，当Kg→∞时，有(n－m)条根轨迹将沿着与实
轴正方向夹角为ja，交点为σa的渐近线趋于无穷远处，其中：
渐近线与实轴正方向的夹角为
ja
(2k 1) π nm
(4-8)
k 0,1,2,,
渐近线与实轴正方向的交点为
n
m
pi z j
a
i1
j1
nm
(4-9)
设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：
式(4-3)也可写为以下形式：
n
s pi
Kg
i 1 m
(4-5)
szj
j 1
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必
定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角
条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值
条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条
图4-3 反馈控制系统
显然，满足Gk(s)＝－1的点，即满足
m
Kg(s z j )
j1 n
1
(s pi )
(4-2)
i1
的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称
式(4-2)为系统的根轨迹方程。
由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制
系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统
m
lim s
(s z j )
j1
n
(s pi )
lim
s
s
1
mn
lim Kg
1 Kg
0
i1
上式说明，当Kg→∞时，s→∞为闭环特征根。所以(n－m) 条根轨迹将终止于无穷远处。
通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从 这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。
轴正方向夹角为ja，交点为σa的渐近线趋于无穷远处，其中：
渐近线与实轴正方向的夹角为
ja
(2k 1) π nm
(4-8)
k 0,1,2,,
渐近线与实轴正方向的交点为
n
m
pi z j
a
i1
j1
nm
(4-9)
设系统的开环传递函数如式(4-1)，可将其展开为如下形式：
式(4-3)也可写为以下形式：
n
s pi
Kg
i 1 m
(4-5)
szj
j 1
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj，pi所组成的向量必
定满足上述两方程，而且幅值条件方程与Kg有关，而相角
条件方程与Kg无关。所以满足相角条件方程的s值代入幅值
条件方程中，可以求得一个对应的Kg值，即s若满足相角条
图4-3 反馈控制系统
显然，满足Gk(s)＝－1的点，即满足
m
Kg(s z j )
j1 n
1
(s pi )
(4-2)
i1
的点，都是系统的闭环特征根，必定在根轨迹上。所以称
式(4-2)为系统的根轨迹方程。
由式(4-2)可以看出，根轨迹法实质上是一种利用控制
系统开环传递函数求取系统闭环极点，从而分析闭环系统
m
lim s
(s z j )
j1
n
(s pi )
lim
s
s
1
mn
lim Kg
1 Kg
0
i1
上式说明，当Kg→∞时，s→∞为闭环特征根。所以(n－m) 条根轨迹将终止于无穷远处。
通常，称无穷远处的根轨迹终点为无限开环零点。从 这个意义上可以说，根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点。
自动控制原理4课件
2
3
4
5 10
s1 0 0.293 1 1 j7.07 1 j1 1 j1.414 1 j1.732 1 j2 1 j3 1 j
s2 2 1.707 1 1 j7.07 1 j1 1 j1.414 1 j1.732 1 j2 1 j3 1 j
根据表4－1绘出系统的根轨迹曲线示于图4－2。 分析：由根轨迹曲线可以看出 ：
渐近线与实轴的交点为
n
m
p j zi
a
j 1
i1
nm
式中p j 为开环传递函数极点，zi 为开环传递函数零点。
例 4-2 若开环系统传递函数为
GsH s
ss
K
1s
2
试画其实轴上的根轨迹和s→∞时的渐近线。
解
1) 在图4-6上标出开环传递函数极点： p1 0，p2 1，p3 2。
2)在实轴上(-1,0)和(-∞,-2)区间之右的实数 零极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是 根轨迹。
i1
j1
m n1 2 3 2k 1
i j 2k 1 k 0,1,2,
i1
j 1
p2
θ2
jω
s1 θ1
m
s pj
K
j 1 n
s zi
i 1
z
p1
0
σ
θ3 p3
K s1 s1 p2 s1 p3 s1 z
取s平面上任一点s1为实验点，画出由零点和极点至 s1的矢量，并计算各矢量的模和辐角，如果下式成立， 则s1是根轨迹上的一个点
可知，
当K 0时，s p j，故有n条根轨迹起始于 开环传递函数的极点；
当K 时，s zi，故有m条根轨迹终止于 开环传递函数的零点。
自动控制理论第四章.ppt
【例4-5】已知与开环传递函数为
其根轨迹与虚轴的
交点为s1,2= j1.414,试求交点处的临界K1值及第三个特征根
解 系统的特征方程为
第一张
上一张 下一张 最后一张
满足n-m 2的条件，利用式
结束授课
利用幅值条件可得K1=6
可得s3=-3
第13 页 【例4-6】已知反馈控制系统的开环传递函数为
第一张
上一张 下一张 最后一张
结束授课
第12页
规则8：闭环极点的和与积。根据代数方程的根与系数关系
当n>m时，有 闭环极点之和： 闭环极点之积：
特别地
当n-m2时，有:
即闭环极点之和等于开环极点之和。
这表明在开环极点确定的情况下，随着K1的变化，若有一些闭环特征根增大，则 另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。
起始点与终止点个数相等，均为n； 终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m条分支趋向开环零点；
（2）无限远终止点：n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和 走向。 （证明略） 规则3: 实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的开环实零点和开环实极点总数为奇 数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如上图所示。 （证明略）
系统,一般不便求出分离点或会合点,此时可用图解法等求解。
分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算
公式为：
式中r为分离点处根轨迹的分支数
。
重根法与极值法本质上相同
第一张
上一张 下一张 最后一张
结束授课
教材中介绍的牛顿余数法也很有意义，特别是高 次方程的情况。
第10页 规则6：根轨迹的出射角和入射角。
结束授课
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
天津大学812 自动控制原理课件 第4章 线性系统的根轨迹法
二、根轨迹方程
根轨迹：当系统某一参数由0变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平面上 的轨迹。 由（4-1）可得闭环系统的特征方程为 1 G(s) H (s) 0 由（4-3）式得
(s z )
j
m
K*
(s p )
i i
m
j n
1 1e j ( 2 k 1)
( k 0,1,2,
n m n * i j i i 1 j 1 i 1
例：要求系统闭环主导极点的阻尼比为0.5，试确定系统的根轨迹增益K*、 闭环主导极点和系统开环增益K。
K* G( s) H ( s) , s(s 3)(s 2 2s 2)
ξ =0.5
解：过原点作ξ=0.5的等阻尼线， 等阻尼线与根轨迹分支的交点 即为待求的一个闭环极点 0.41 j 0.71 ，另一共轭闭环极点为 0.41 j 0.71 ； 由根轨迹增益公式，可得2.63,； 由开环传函可得开环增益为 K K * 1 0;.44
j 1
m
z j pi
j 1, j i
n
Pj Pi
Pi 180o
同理可证终止角公式。
例4-3 P148 设系统的开环传递函数为
K * (s 1.5)(s 2 j )(s 2 j ) G( s) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 1.5 j )
连续变化，则根轨迹连续变化；由于代数方程的根关于 实轴对称，根轨迹也关于实轴对称。
法则3：根轨迹的渐近线：当开环极点数n大于开环零数m时，有n-m条根 轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a 的一组渐近线趋向无 穷远处，其中：
《自动控制原理》第4章
率ω的变化称相位频率特性，用υ(ω)表示。 两者统称为频率特
性或幅相频率特性。
第4章 控制系统的频域分析法 对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量 的幅值之比为幅频特性；定义输出量与输入量的相位差为相频 特性。 即 幅值频率特性：A(ω )=|G(jω )| 相位频率特性：υ (ω )=∠G(jω ) 将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起， 可得频率 特性或幅相频率特性为
惯性环节的低频渐近线为零分贝线。 ② 再绘制高频渐近线：高频渐近线是指当ω→∞时的L(ω)图 形（一般认为ω1/T）。此时有 -20 dB/dec的斜直线。 ， L（） 20lg （T 2 2 1 20lg T
因此惯性环节的高频渐近线为在ω=1/T处过零分贝线的、斜率为
第4章 控制系统的频域分析法 ③ 计算交接频率：交接频率是指高、低频渐近线交接处 的频率。高、低频渐近线的幅值均为零时，ω=1/T，因此交接
图4-12 惯性环节的伯德图
第4章 控制系统的频域分析法
图4-13 惯性环节的极坐标图
第4章 控制系统的频域分析法
4.2.5 比例微分环节
传递函数为 频率特性为
G ( s) s 1
G( j ) j 1
对数频率特性为
L( ) 20 lg 2 2 1 ( ) tg 1
② 频率特性的概念对系统、控制元件、部件、控制装置 均适用。 ③ 由频率特性的表达式 G(jω )可知，其包含了系统或元、 部件的全部结构和参数。 ④ 频率特性和微分方程及传递函数一样，也是系统或元 件的动态数学模型。 ⑤ 利用频率特性法可以根据系统的开环频率特性分析闭环 系统的性能。
第4章 控制系统的频域分析法
自动控制原理第4章-根轨迹
zl
1800
m
( zl
j 1 jl
zj)
n
( zl
j 1
p
j
)
第四章 根轨迹法
4.2.3 绘图示例
G(s)H (s)
K
s(s 1)(s 2)
闭环特征方程 : s3 3s2 2s K 0
按7个基本规则绘制根轨迹图：
首先，系统有三个无穷远
零点，有三个开环极点：
p1=0，p2=-1，p3=-2，将它们 标在复平面上。
第四章 根轨迹法
7、 根轨迹的出射角和入射角
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与正实轴的夹角称
为出射角，根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：
pi
1800
m
( pi
j 1
zj)
n
( pi
j 1
p
j
)
ji
根轨迹进入某个开环零点的切线与正实轴的夹角称为 入射角，根轨迹进入开环零点Zl的入射角为：
根据规则1)和2)，根轨
迹将有3支，分别开始于这
三个开环极点，趋向无穷
远。
第四章 根轨迹法
根据规则3)，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：
k
(2k
1)1800 3
,
k 0,1,2
0 600 ,1 1800 ,2 3000
所有渐近线交于实轴上 的一点，其坐标为：
0 1 2 1
3
1 K (s z1 )(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
m
上式变形： K (s zl )
l 1 n
1 0 ——典型根轨迹方程
(s pi )
《自动控制原理》PPT课件
i1
j1
i1
j1
f
G(s)
K G (1s 1)(22s2 22s 1) s (T1s 1)(T22s2 2T2s 1)
KG'
(s zi )
i1 q
(s pi )
i1
前向通道增益 前向通道根轨迹增益
KG'
KG
1 2 2 T1T2 2
反馈通道根轨迹增益
l
(s z j )
H(s) K H '
狭义根轨迹（通常情况）：
变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
G(s)H (s) K s(s 1)
(s) C(s) K R(s) s2 s K
D(s) s2 s K 0
s1,2
1 2
1 2
1 4K
K＝0时 s1 0 s2 1
0 K 1/ 4 两个负实根
K值增加 相对靠近移动
i1
i1
负实轴上都是根轨迹上的点！
m
n
(s zi ) (s pi ) | s2 p1 135
i1
i1
负实轴外的点都不是根轨迹上的点！
二、绘制根轨迹的基本规则
一、根轨迹的起点和终点 二、根轨迹分支数 三、根轨迹的连续性和对称性 四、实轴上的根轨迹 五、根轨迹的渐近线 六、根轨迹的分离点 七、根轨迹的起始角和终止角 八、根轨迹与虚轴的交点 九、闭环特征方程根之和与根之积
a
(2k 1)180 nm
渐近线与实轴交点的坐标值：
n
m
pi zi
a＝ i1
i1
nm
证明
G(s)H (s) K '
m
(s zi )
i 1 n
自动控制原理第三版第四章
(s)
KG*
K
* H
i 1 q
j 1 l
(s pi ) (s p j )
i 1
i 1
f
l
m
(s zi ) (s z j )
(s zj )
Kg
i 1 q
j 1 h
Kg
j 1 n
(s pi ) (s p j )
(s pi )
i 1
j 1
i 1
m
Kg
j 1
j
n
K
——开环根轨迹增益，与开环增益K成正比
第四章 根轨迹分析法
1
主要内容
常规根轨迹法 根轨迹的平滑性原理 广义根轨迹和零度根轨迹 多闭环控制系统的根轨迹 应用根轨迹法分析控制系统的性能 应用matlab的根轨迹分析
2
基本要求
1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以 及主导极点、偶极子等概念。
2. 正确理解和熟记根轨迹方程(幅值方程及辐 角方程)。熟练运用幅值方程计算根轨迹上 任一点的根轨迹增益和开环增益。
②闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通 道的极点组成；
③闭环系统的极点与开环系统的极点、零点 以及开环根轨迹增益有关。
根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布 的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。
16
三、根轨迹方程
闭环特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
（1）
闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。
存在根轨迹
2
1 0
∑m
在区间(- ∞, -2): - ∠(s p j ) -360
j 1
不存在根轨迹
对于实轴以外区域： 只有两个开环极点中垂线上存在 根轨迹。
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
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图4-2 控制系统
(s) G (s)
1G (s)H (s)
(41)
前向通路传递函数G(s)
f
f
(is1)
(szi)
G(s)KG
i1 q
KG *
i1 q
s (Tis1)
s (spi)
i1
i1
(42)
前向通 路增益
前向通路根 轨迹增益
反馈通路传递函数H(s)
l
l
(js1)
(szj)
H(s)KH
j1
i1
(k0 ,1 ,2 , )
综上分析，可以得到如下结论：
⑴ 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 K的* 大 小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成 系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的充分必要条 件。
⑵绘制根轨迹的模值条件与系统开环根轨迹增益K*值的大 小有关。即K*值的变化会改变系统的闭环极点在sБайду номын сангаас面上 的位置。
s(s2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数Kr 的变化在s平面上的分布情况。
解 系统的闭环传递函数
(s C R ) ( (1 s sG G ) ) H ((s s (s )) 2 s 2 K ) s r K r
系统的特征方程为 s22sK r0 特征方程的根是
s 1 1 1 K r,s 2 1 1 K r
nqh为开环系统的极点数。
将式（4-2）和（4-4）代入（4-1）可得
f
h
K* G
(szi) (spj)
(s)
i1
n
j1 m
s (spi)K* (szj)
i1
j1
(45)
f
l
(szi) (szj)
G(s)H(s)K*
i1 q
j1 h
sv (spi) (spj)
i1
j1
(44)
f
h
K* G
➢ 1948年伊文斯（W·R·EVANS）解决了这个问题，提出 了根轨迹法。该方法是根据系统的开、闭环传递函数之 间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。
三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、 极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨 迹的绘制。 设控制系统如图4-2所示，其闭环传递函数为
部趋向无穷远处 。
该系统特征方程的根随开环系统参数 K从r 零 变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图4-1所示。
Kr
j
[s]
P1 K r 0
-2
K r 1
-1
P2 K r 0
0
Kr
图4-1 例4-1的根轨迹
P1 K r 0
-2
二、根轨迹与系统性能
Kr
j
[s]
K r 1 P2 K r 0
-1
0
Kr
稳定性 如果系统特征方程的根都 位于S平面的左半部，系统是稳定的， 否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴 进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点 处的K值，就是临界稳定的开环增益 Kc。
稳态性能 开环系统在坐标原点有
一个极点，所以属Ⅰ型系统，因而根
轨迹上的K值就是静态速度误差系数。
如果给定系统的稳态误差要求，则可
(szi) (spj)
(s)
i1
n
j1 m
s (spi)K* (szj)
(45)
i1
j1
比较式（4-4）和式（4-5），可得以下结论：
(1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根 轨迹增益。
(2)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈 通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统 闭环零点就是开环零点。
j1 h
KH *
j1 h
(Tjs1)
(spj)
反馈通
j1
j1
路增益
反馈通路根
轨迹增益
(43)
系统的开环传递函数为
f
l
(szi)(szj)
G(s)H(s)K*
i1 q
j1 h
sv (spi) (spj)
(44)
i1
j1
K* KG * KH * 为开环系统的根轨迹增益；
mf l 为开环系统的零点数，
设Kr的变化范围是〔0, ∞﹚， 当 Kr 0时, s10,s2 2;
当0Kr 1时，s 1 与s 2 为不相等的两个负实根；
当 Kr 1时，s1s21为等实根；
当1<K r <∞时，s1,21j为K 一r对1共轭复根，其 实部都等于-1，虚部随 值的增K加r 而增加；
当K→r ∞时， s、1 的s 2实部都等于-1，是常数，虚
根轨迹方程是向量方程，可用模和相角的形式表示
|G(H s)(|esj )G(H s)(s)1ej(2k1) (k0,1 ,)2,
m
(s zj)
设系统的开环传递函数为
G(s)H(s) K*
j1 n
(s pi )
n
i1
模值条件
|s pi |
i1 m
K*
|s zj |
j1
相角条件
m
n
(szj) (spi)(2k1)
第四章 线性系统的根轨迹法
• 4.1 根轨迹法的基本概念 • 4.2 常规根轨迹的绘制法则
4.1 根轨迹法的基本概念
一﹑根轨迹图
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数由 零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根 （即闭环极点）在S平面上变化的轨迹。
例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函 数为 G(sH ) (s) Kr
由根轨迹图确定闭极点位置的允许范
围。
P1 K r 0
-2
动态性能
j
当0＜Kr＜1时，所有闭环极点均位于实
Kr
[ s ] 轴上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃
响应为单调上升的非周期过程。
K r 1
-1
P2 K r 0
0
当Kr=1时，特征方程有两个相等负实根， 系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为
响应速度最快的非周期过程。
当Kr>1时，特征方程有一对共轭复根，
系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻
Kr
尼振荡过程，振荡幅度或超调量随Kr值
的增加而加大，但调节时间不会有显著
变化。
➢ 由根轨迹可见：Kr值的变化对闭环系统特征方程的影响， 系统参数对系统性能的影响。
➢ 上例中，根轨迹图是用解析法作出的，二阶系统易于用 解析法求解，但求解高阶系统特征方程的根就较为困难。 若要研究高阶系统参数的变化对闭环系统特征方程根的 影响，需进行大量反复的计算。
(3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 K * 均有关。
根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的 开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过 图解的方法找出闭环极点,并根据闭环极点 的分布对系统性能进行分析。
4、根轨迹方程
根轨迹是系统所有闭环极点的集合。 系统的闭环特征方程为 1 G (s )H (s ) 0 即 G (s)H (s) 1