高数习题第十一章习题黄立宏第4版
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题11-2
1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(,)d 0L
P x y x =⎰
,其中(),P x y 在L 上
连续.
证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，
则 L ：12x a
b t b y t =⎧≤≤⎨=⎩
，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
2.设L 为xOy 面内x 轴上从点(,0)a 到点(,0)b 的一段直线，证明：
(,)d (,0)d b
L
a
P x y x P x x =⎰
⎰,
其中(),P x y 在L 上连续.
证：L ：0x x
a x
b y =⎧≤≤⎨=⎩
，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d b
L
a
P x y x P x x =⎰⎰
3.计算下列对坐标的曲线积分: （1）2
2()d L
x
y x -⎰,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
（2）
d L
xy x ⎰
，其中L 为圆周()2
22x a y a -+=(0)a >及x 轴所围成的在第一象限内
的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；
（3）
d d L
y x x y +⎰,其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到π
2的一段弧； （4）
22()d ()d L
x y x x y y x y
+--+⎰,其中L 为圆周222
x y a +=（按逆时针方向绕行）； （5）
2d d d x x z y y z +-⎰Γ
,其中Γ为曲线,,x k y acos z asin θθθ===上对应θ从0
到π的一段弧；
（6） 322
d 3d ()d x x zy y x
y z ++-⎰Γ,其中Γ是从点3,2,1（）到点0,0,0（）的一段直线；
（7）
d d d x y y z -+⎰Γ,其中Γ
为有向闭折线ABCA ，这里A
B C 、、依次为点
1,0,0（
）、010（，，）、(001)，，；
（8）
22(2)d (2)d L
x xy x y xy y -+-⎰
,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)
的一段弧.
解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，
()()2
2
2
2
2
4
3500
1156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤
-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为
图11-1
cos 0πsin x a a t
t y a t =+⎧≤≤⎨
=⎩
L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故
()()()()()
1
2
π20
π
320
π
π
3
220
3
d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2
L
L L a
xy x xy x xy x
a a t a a t t x a t t t
a t t t t
a =+'=⋅++=-+=-+=-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
(3)()π20
π
2
20
π2
20
d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220
L
y x x y R t R t R tR t t R
t t
R t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦=⎰⎰⎰
(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故
()()()()()()22
2π
202π
220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2π
L
x y x x y y
x y
a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=
+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰
⎰⎰
(5)
()()(
)2π
22
0π3220
π
3320332d d d sin sin cos cos d d 131
ππ3
x x z y y z
k k a a a a k a k a k a Γ
θ
θθθθθ
θθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰
(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
x t y t z t t 从1→0．
故
()()3
2
2
3
2
2
10
3
1
4
1d 3d d 27334292d 87d 1
874874
x x zy y x y z t t t t t t
t t
t Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰
(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)
图11-2
1:0y x AB z =-⎧⎨=⎩
，x 从0→1
()0
1d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡
⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩
，z 从0→1