货郎担问题
货郎担问题讲稿
贪心算法 送报线路安排 一个送报员从送报中心出发到五个小区 送报，最后要回到送报中心。 送报，最后要回到送报中心。送报中心到各 小区的距离及各小区间的距离均已知（ 小区的距离及各小区间的距离均已知（见表 问送报员应按怎样的线路行驶较好？ 1），问送报员应按怎样的线路行驶较好？ ），问送报员应按怎样的线路行驶较好 距离单位为千米） （距离单位为千米）
阶段指标函数d : 设从城市1出发，第k-1阶段到达到城市j,
ji
则城市j与下一阶段（第k阶段）的目的地城市i之间的距离为d ji 最优指标函数 fk (S, i) ：从城市1出发，经过S中k个城市,到 达城市i的最短距离.
则动态规划的顺序递推关系为:
m { fk1(S \ j, j) + d ji} in fk (S, i) = j∈S f0 (φ, i) = d1i , i = 2,3,, n, k =1,2,, n 1.
f1(S,2) = m f0 (φ,3) + d32, f0 (φ,4) + d42} in{
= m 7 + 8,9 + 5} =14, in{
* x2 ({4},2) = 4
即从城市1出发，途经1个城市去城2，应先到4，再到2。
城 城 市 1 2 3 4 0 8 5 6 6 0 8 5 7 9 0 5 9 7 8 0 市 1 2 3 4
当k=3时，从城市1出发，途经3个城市到达城市1的最短距离
f3({2,3,4},1) = m f2 ({2,3},4) + d41, f2 ({2,4},3) + d31, f2 ({3,4},2) + d21} in{ = m 22 + 6,18 + 5,20 + 8} = 23 in{
求解货郎担问题的量子进化算法
（ 甘肃民族师范学院计算机科学系
．
甘肃 合作 ７ ４ ７ ０ ０ ０ ）
摘 要
货 郎担 问题属于 Ｎ Ｐ完全 问题 ， 对 它的近似求解方法 主要是智 能算法及线性规划 ， 但其 中的基本量 子进 化算法 易陷于局
．
部最优解。为此 ， 提 出一种新 的量子进化算法 ， 结合 乡村货 郎运输 问题 ， 对算法进行测试 。结果表 明， 该 算法在全 局寻优 能力及 种群
０ 引 言 Biblioteka 传统 的“ 货郎担” 问题 属于典 型的 Ｎ Ｐ完全 问题 ， 最早 由德
国著名数 学家卡尔 ・ 门格 尔 （ Ｋ ． Ｍｅ ｎ ｇ ｅ ｒ ） 于１ ９ ３ ２年提 出。对 该 问题的基 本描述是 ： 某售货员要到若 干个 村庄售 货 ， 各村 庄之 间的路程 是已知的 ， 售货员从他所在的商 店 （ 始 发地 ） 出发 ， 到 各村庄售货一次然后返回商店 （ 原地 ） ， 为 了提 高效率 ，求 出他
Ｅ ｘ ｐ ｅ ｉ ｒ ｍｅ ｎ ｔ ｌ ａ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｄ ｅ ｍｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｉ ｓ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｉ ｎ ｐ ｏ ｐ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｃ ａ ｐ ａ ｃ ｉ ｔ ｙ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｅ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ — ｖ ｅ ｎ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｌｇ ａ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍｓ ，ａ ｎ ｄ ｉ ｓ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｉ ｎ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ Ｔ Ｓ Ｐ．
货郎问题
int main()
{
int i, j, k;
while(scanf("%d", &n) && n)
{
for(i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", d + i);
for(i = 0; i <= n; i++)
for(ห้องสมุดไป่ตู้ = 0; j <= n; j++)
{
ans = Min(ans, dp[n][i] + abs(d[i] - d[n]));
}
printf("%d\n", ans);
}
}
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
const int inf = 1000000000;
int n;
int d[128];
int dp[128][128];
int Min(int a, int b)
{
return a < b ? a : b;
dp[i][j] = inf;
dp[0][0] = dp[1][0] = 0;
for(i = 2; i <= n; i++)
{
for(j = i - 1; j >= 0; j--)
dp[i][i - 1] = Min(dp[i][i - 1], dp[i - 1][j] + (j == 0 ? 0 : abs(d[j] - d[i])));
TSP问题
lb=((1+3)+(3+6)+(1+2)+(3+4)+(2+3))/2=14
于是，得到了目标函数的界[14, 16]。 需要强调的是，这个解并不是一个合法的选择（可能没有 构成哈密顿回路），它仅仅给出了一个参考下界。
d(1, {2, 3})=min{c12+d(2, {3}), c13+ d(3, {2})}=min{2+5, 3+11}=7(1→2) d(2, {1, 3})=min{c21+d(1, {3}), c23+ d(3, {1})}=min{4+6, 2+12}=10(2→1) d(3, {1, 2})=min{c31+d(1, {2}), c32+ d(2, {1})}=min{7+8, 5+9}=14(3→2) 最后有：
③ 边(u, v) 加入解集合S后，S中不产生分枝；
∞3 3 2 6
C= 3 ∞ 7 3 2 3 7 ∞2 5
2 3 2∞3
6 2 5 3∞
1
52
2
4
3
(a) 5城市的代价矩阵 (b) 城市1→城市4
1
2 5
22
4
3
(c) 城市5→城市2
货郎担问题 其他应用
用微分法可求得上式当x1=s1/3=3时，有最大值：f1（s1）= 3 3 3 3 因此，原问题的最优解为： x1= x2= x3= 3，最优值为：
例9 求解四个城市的推销员问题，其距离矩阵如下表所示：
i
j 1 2 3 4
1
2
3
4
0 8 5 6 6 0 8 5 7 9 0 5 9 7 8 0
解：k=0 f0(2,φ)=8, f0(3,φ)=5, f0(4,φ)=6 k=1 f1(2,｛3｝)= f0(3,φ)+d32=5+9=14; f1(2,｛4｝)= f0(4,φ)+d42=6+7=13 f1(3,｛2｝)= f0(2,φ)+d23=8+8=16; f1(3,｛4｝)= f0(4,φ)+d43=6+8=14 f1(4,｛2｝)= f0(2,φ)+d24=8+5=13; f1(4,｛3｝)= f0(3,φ)+d34=5+5=10
k=2 f2(2,｛3,4｝)=min{ f1(4,｛3｝)+ d42, f1(3,｛4｝)+d32} =min｛10+7,14+9｝=17 p2(2,｛3,4｝)=4 f2(3,｛2,4｝)=min{ f1(4,｛2｝)+ d43, f1(2,｛4｝)+d23} =min｛13+8,13+8｝=21 p2(3,｛2,4｝)=2或4 f2(4,｛2,3｝)=min{ f1(2,｛3｝)+ d24, f1(3,｛2｝)+d34} =min｛14+5,16+5｝=19 p2(4,｛2,3｝)=2 k=3 f 3(1,｛2,3,4｝) =min{f2(2,｛3,4｝)+d21, f2(3,｛2,4｝)+d31, f2(4,｛2,3}+d41) =min｛17+6,21+7,19+9｝=23 员最短路线为 1→3→4→2→1 ，最短距离为23。 实际中很多问题都可以归结为货郎担问题，如物资运输中汽车 应走怎样的路线使路程最短；工厂中机床应如何布置，可使零件所 经过的路线最短等等。
动态规划求解TSP问题
f5(i, )=min{Cij+f6(1, )}=Ci1, d5(i, 1), i=2, 3, 4, 5 f5(i, )的值列表如下：
1
i 2
f5(i, ) 2
5 3
5 1 2 7
2
2 3 3
3
4 5
7
2 5
6
4 4
5
7
对于k=4, 有
f4(i, S4)=min{Cij+f5(j, S5)}, jS4, f4(i, S4。并且有 xn=(i, ), i=2, 3, …, n,
xn+1=(1, )
4
动态规划模型构造
决策变量：dk=(i, j), 其中i为当前所在的城市, j为下一站将要到达的城市。 状态转移方程：若当前的状态为 xk=(i, Sk) 采取的决策为 dk=(i, j) 则下一步到达的状态为 xk+1=T(xk, dk)=(j , Sk\{j})
9
(i, S3) (2, {3, 4}) (2, {3, 5})
J {3} {4} {3} {5}
Cij 3 5 3 1
S4 {4} {3} {5} {3}
Cij+f4(j, S4) 3+f4(3, {4})=3+6=9* 5+f4(4, {3})=5+11=16 3+f4(3, {5})=3+11=14* 1+f4(5, {3})=1+13=14*
(1, S1) (1, {2, 3, 4, 5})
J {2} {3} {4} {5}
Cij 2 7 2 5
S2 {3, 4, 5} {2, 4, 5} {2, 3, 5} {2, 3, 4}
TSP问题分析
太 原
南 昌
呼 和 浩 特
最短路程路线
为了得到任意两城市之间的路程，需 要34个城市的地理坐标，经纬度；
得到了，经纬度，知道了地球半径， 通过球面距离公式：
Dis(i,j)=2Rarcsin{sin[ Lat(i) Lat( j)]2 2
+sin[
Lon(i)
Lon(
j)
]2
1
cos[Lat(j)cos(Lat(j))]}2
5．End Do 6. 输出当前最优解，计算结束
1)产生一个初始路径X=randperm(34)
23 14 ........ 19 18 34 26 1；
2)计算初始路径总长D(X)；
3)设置始末温度T0,Te ，降温率Decay； 4)对初始路径经行局部扰动，得到新路径Xn ，
计算D(Xn)； 5)T=T0 * Decay Te ，如果T<= Te ，继续循环，
2
算出任意两个城市之间的球面距离
最经济路线
价格来源： ，中国票价网 价格组合： 全部乘火车、全部乘飞机、火车飞机两种混 合
模型的假设
假设两个城市间的旅行距离就为两个目标点 的球面距离； 假设选最短路线时，在前一阶段决策路线时 不受下一阶 段距离的影响，两者相互独立； 假设交通工具的票价在周先生旅行的近三个 月间保持不变。
LINGO求解：
决策变量是 xij 0 或1（0表示不连接，1表示连接）
目标函数与约束条件：
min s
D1(i , j ) xij
i , jV
xij 1
jV
s.t
xij 1iVຫໍສະໝຸດ (i V ), (i V ),
xi
,
货郎担问题
以一个例题来加以说明
设有5个工件需要在机床A,B上加工,加工的顺序是先A后 B,每个工件所需加工时间(单位:小时) 如下表. 问如何安 排加工顺序可使机床连续加工完所有的加工总时间最少?
机床 加工时间 工件号码
A 3 7 4 5
B 6 2 7 3
1 2 3 4
5
7
4
(2) 在工时矩阵M中找到最小的元素(若最 小的不止一个，可任选其一);若它在上行, 则将相应的工件排在最前面的位置;若它在 下行,则将相应的工件排在最后面的位置.
这是因为：1，各城市之间可能是复线2，两地之间可能会 使用不同的交通工具从而费用不同。
实际中很多问题都可以归结为货郎担这类问题. 如: 1,物资运输路线中,汽车应该走怎样的路线使路程 最短; 2,工厂里在钢板上要挖一些小圆孔,自动焊接机的 割咀应走怎样的路线使路程最短; 3,城市里有一些地方铺设管道时,管子应走怎样 的路线才能使管子耗费最少,等等 比如说，前面曾经遇到的排序问题，以前我们 是用0-1整数规划来解决这类问题的。 在这里，我们同样可以使用动态规划的方法。 而且相对简单了很多。
排序问题 一，问题的提出:设有n个工件要在机床A,B上加 工,每个工件都必须经过先A后B的两道加工工序,
以ai,bi分别表示工件i(1<=i<=n) 在A,B上的加工 时间.问应如何在两机床上安排工件加工的顺序,
使在机床A上加工第一个工件开始到在机床B上
将最后一个工件加工完为止,所用的加工时间 最 少?
Vj 距离 Vi
1 2 3 4
1 0
8 5 6
2 6
0 8 5
3 7
9 0 5
4 9
7 8 0
解：K=0 由边界条件知: f0(2,空集)=d12=6 f0(3,空集)=d13=7 f0(4,空集)=d14=9
【算法复习二】货郎担（旅行售货商）动态规划
【算法复习二】货郎担（旅行售货商）动态规划一，问题由来货郎担问题也叫旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），是数学领域中著名问题之一。
二，问题描述1）货郎担问题提法：有n个城市，用1，2，…，n表示，城i,j之间的距离为dij，有一个货郎从城1出发到其他城市一次且仅一次，最后回到城市1，怎样选择行走路线使总路程最短？2）旅行商问题的提法：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
三，问题求解1）动态规划解例题：设v1，v2，……..，vn是已知的n个城镇，城镇vi到城镇vj的距离为dij，现求从v1出发，经各城镇一次且仅一次返回v1的最短路程。
分析：设S表示从v1到vi中间所可能经过的城市集合，S实际上是包含除v1和vi两个点之外的其余点的集合，但S中的点的个数要随阶段数改变。
建模：状态变量（i，S）表示：从v1点出发，经过S集合中所有点一次最后到达vi。
最优指标函数fk（i，S）为从v1出发，经过S集合中所有点一次最后到达vi。
决策变量Pk（i，S）表示：从v1经k个中间城镇的S集合到vi 城镇的最短路线上邻接vi的前一个城镇，则动态规划的顺序递推关系为：fk（i，S）= min{ fk-1（j，S、{ j }+dji} j属于Sf0（i，空集）=d1i （k=1，2，…,n-1,i=2,3,…n)求解：K=0f0(2,空集)=d12=6f0(3,空集)=d13=7f0(4,空集)=d14=9当k=1时:从城市V1出发,经过1个城镇到达Vi的最短距离为:f1(2,{ 3 }) = f0 (3,空)+d 32 =7+8=15f1(2,{ 4 }) = f0 (4,空)+d 42 =9+8=14f1(3,{ 2 }) = f0 (2,空)+d 23 =6+9=15f1(3,{ 4 }) = f0 (4,空)+d 43 =9+5=14f1(4,{ 2 }) = f0 (2,空)+d 24 =6+7=13f1(4,{ 3 }) = f0 (3,空)+d 34 =7+8=15当k=2时,从城市V1出发,中间经过2个城镇到达Vi的最短距离.f2(2,{ 3,4 }) = min[ f1(3,{4})+d32, f1(4,{3})+ d42] =min[14+8,15+5]=20P2(2,{3,4})=4f2(3,{ 2,4 })= min[14+9,13+5]=18P2(3,{2,4})=4f2(4,{ 2,3})= min[15+7,15+8]=22P2(4,{2,3})=2当k=3时:从城市V1出发,中间经过3个城镇最终回到Vi的最短距离.f3(1,{ 2,3,4 })= min[f2(2,{ 3,4 }) + d 21,f2(3,{ 2,4})+ d31,f2(4,{ 2,3 }) + d41]=min[20+8,18+5,22+6]=23P3(1,{2,3,4})=3逆推回去,货郎的最短路线是1 2 4 3 1,最短距离为23.四，源码[html] view plaincopyprint?1.#include<iostream>2.#include<iomanip>ing namespace std;4.5.int n;6.int cost[20][20]={};7.bool done[20]={1};8.int start = 0; //从城市0开始9.10.int imin(int num, int cur)11.{12.if(num==1) //递归调用的出口13.return cost[cur][start]; //所有节点的最后一个节点，最后返回最后一个节点到起点的路径14.15.int mincost = 10000;16.for(int i=0; i<n; i++)17.{18.cout<<i<<" i:"<<done[i]<<endl;19.if(!done[i] && i!=start) //该结点没加入且非起始点20.{21.if(mincost <= cost[cur][i]+cost[i][start])22.{23.continue; //其作用为结束本次循环。
算法分支限界法货郎担问题解法
标题：算法分支限界法在货郎担问题中的应用摘要：分支限界法是一种高效的解决组合优化问题的算法，本文将详细介绍分支限界法在货郎担问题中的应用，包括问题的描述、算法原理、实现步骤以及案例分析等内容。
一、问题描述货郎担问题，又称为旅行商问题（TSP），是一个经典的组合优化问题。
问题的描述为：有n个城市，货郎担需要从一个城市出发，经过所有的城市且只经过一次，最后回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。
这是一个NP-hard问题，传统的穷举法在城市数量较大时难以找到最优解。
二、算法原理分支限界法是一种以深度优先搜索为基础的优化算法。
其核心思想是根据当前问题状态的下界（或上界）对搜索空间进行剪枝，从而减少搜索空间，提高搜索效率。
在货郎担问题中，分支限界法通过动态规划的方式记录已经访问过的城市，从而避免重复计算，同时利用启发式信息（如最近邻居、最小生成树等）进行路径选择，不断更新路径的下界，直至找到最优解或者搜索空间被完全剪枝。
三、实现步骤1. 初始化：设置初始的城市路径、已访问城市集合、路径长度、下界等参数。
2. 搜索：利用深度优先搜索，根据当前路径确定下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。
3. 剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，对搜索空间进行剪枝。
4. 回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。
5. 结束条件：当所有城市都被访问过一次后，得到一条完整的路径，更新最优解。
四、案例分析假设有5个城市，它们的坐标为：A(0, 0)、B(1, 2)、C(3, 1)、D(5, 3)、E(4, 0)利用分支限界法求解货郎担问题，我们按照以下步骤进行计算：（1）初始化：选择一个城市作为出发点，并初始化已访问城市集合、路径长度和下界。
（2）搜索：根据当前路径选择下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。
（3）剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，进行搜索空间的剪枝。
（4）回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。
运筹答辩货郎担问题
求解结果与分析
原问题最短行走路线为 1→2→4→5→6→3→11→9→10→8→7→1，总 路径长度为：13986公里
算法②分支定界法
总结起来基本思想是：
Step1 将边权由小至大排序，初始界d0→∞。
Step2 在边权序列中依次选取n条边，判断是否构成H
圈，若是，d0←d(S)，结束。
旅游路线设计ຫໍສະໝຸດ 小组成员选题-------
远离繁荣都市的喧嚣，品味自然的乐趣和历史的沉淀
北京 烟台 大连 连云港 苏州 西安 三亚 海口 珠海 湛江 桂林
北京 烟台 大连 连云 苏州 西安 三亚 海口 珠海 湛江 桂林 港
0 730 938 1004 1379 1159 3396 3065 2313 2655 2126 0 1805 592 1408 1703 3731 3368 2204 2504 2415 0 1795 2170 2228 4485 4122 3180 3798 3174 0 755 1050 2528 2938 1782 2653 1810 0 1425 3017 2672 1576 2221 1675 0 3267 2603 1825 2186 1957 0 308 845 614 1415 0 576 330 930 0 406 642 0 629 0
即最短路径为北京→烟台→连云港→苏州→西安→大连→桂 林→珠海→湛江→海口→三亚→北京
总结
本报告中，所旅游的城市数目较多，用传统动 态规划方法求解且手工计算的话，工作量相当 大。为此，我们通过软件编程来简化工作量。 此外，我们还进一步通过化货郎担问题为指派 问题的方法进行求解，加深了我们对该问题的 了解。
总结
考虑到实际问题的复杂性，该模型有待改进。 我们小组认为，在选定交通工具后，两城市之 间的旅行时间就大致确定了，这样花费也会相 应确定，或许，根据时间参数建立模型，计算 最佳旅游路线更符合实际，也更实用。
货郎担问题的近似算法
货郎担问题的近似算法
货郎担问题的近似算法是一类解决复杂优化问题的方法，它主要是利用近似的
算法来解决货郎担问题，以达到最大化权值的目的。
首先，关于货郎担问题，需要注意到的是它的约束条件，货物的数量有限，可
行的货郎担路径也有限，这意味着对于一条货郎担路径，货物不能超重，大于可行路径中的限制总距离，这就涉及到了旅行商问题。
因此，为了使权值最大化，采用近似算法就可以解决此问题。
其次，除此之外，还可以使用穷举法，也就是枚举法来解决货郎担问题。
它将
所有可能的货郎担设置依次列出来，并且计算每个设置的权值，最后得出最优的方案。
但是，由于货郎担路径的可能性太多，因此这种方法的效率很低，因此需要采取近似来求解。
为此，我们可以采用基于模拟退火的算法来解决货郎担问题。
这种算法的思想是，在初始时，选定一个初始解，并不断优化权值，最后得出一个接近最优解的方案，此过程类似于模拟热力学中的退火过程。
这种方法可以获得更高的收敛精度，更快的运算速度，从而较快地解决货郎担问题。
此外，还可以采用蚁群算法来解决货郎担问题。
蚁群算法的思想是通过模拟蚂
蚁通过视觉传感器寻找最佳路径的模式，来寻找最优货郎担路径，以得到最大权值。
这种算法因其快速卓越的收敛性能而得到广泛应用于复杂优化问题中。
综上所述，货郎担问题的近似算法可以分为两大类：基于模拟退火的算法和基
于蚁群算法。
这些算法都能较快地找出最优解，而且有更高的收敛精度和计算速度，由此可以有效解决货郎担问题。
寻求中国货郎担问题最短回路的多项式时间算法
寻求中国货郎担问题最短回路的多项式时间算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：货郎担问题是一种经典的组合优化问题，旨在寻找一条路径，将货物从起点送达终点，并返回原位，使得路径中的总权值最小。
在中国货郎担问题中，货郎担通常是指一种人力车，货郎担问题也被称为旅行商问题或者是商旅者问题。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，例如物流配送、电路设计、航空航线规划等领域。
为了寻找中国货郎担问题的最短回路，数学家和计算机科学家们一直在寻找高效的算法。
多项式时间算法是一种能在多项式时间内完成的算法，它的时间复杂度随问题规模的增长而多项式增加。
在中国货郎担问题中，一种基于动态规划思想的多项式时间算法被广泛应用。
动态规划是一种常用的解决最优化问题的算法思想，它将一个大问题分解为多个子问题，通过保存已解决子问题的解来避免重复计算，从而减少时间复杂度。
在中国货郎担问题中，可以通过构建状态转移矩阵，来快速寻找最优解。
具体来说，对于n个城市的货郎担问题，我们可以定义一个二维状态转移矩阵dp[i][j]，其中i表示当前访问的城市集合，j表示当前所在的城市。
dp[i][j]的含义是，从起点出发，经过城市i中的所有城市一次后，在城市j处的最短路径长度。
初始时，dp[0][0]=0，表示从起点出发到起点的路径长度为0。
接下来，我们通过状态转移方程来更新dp数组。
假设当前状态为dp[S][j]，表示已访问过城市集合为S，当前在城市j处。
我们可以遍历所有可能的下一个城市k，计算从S∪{k}经过j到k的距离，即dist[j][k]。
则状态转移方程为：dp[S∪{k}][k] = min{dp[S][j]+dist[j][k]} (j∈S)最终，我们寻找dp[All][0]的最小值，其中All表示所有城市的集合，即找到从起点出发，经过所有城市一次后返回起点的最短路径长度。
通过动态规划的思想，我们可以在多项式时间内计算出中国货郎担问题的最短回路。
旅行商问题
旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录1简介“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。
货郎担问题
实际中很多问题都可以归结为货郎担这类问题.
如: 1,物资运输路线中,汽车应该走怎样的路线使路 程最短;
2,工厂里在钢板上要挖一些小圆孔,自动焊接机 的割咀应走怎样的路线使路程最短;
3,城市里有一些地方铺设管道时,管子应走怎样 的路线才能使管子耗费最少,等等
比如说，前面曾经遇到
的排序问题，以前我们是 用0-1整数规划来解决这类 问题的。
货郎担问题当城市数目增加时,用动态规划方 法求解,无论是计算量还是存储量都会大大增加, 所以本方法只适用于n较小的情况.
在很多货郎担问题中，经常会看到dij不等于dji的情 况。
Vj
距离
1
2
3
4
Vi
1
0
6
7
9
2
8
0
9
7
3
5
8
0
8
4
6
5
5
0
• 这是因为：1，各城市之间可能是复线2，两地之 间可能会使用不同的交通工具从而费用不同。
以一个例题来加以说明
设有5个工件需要在机床A,B上加工,加工的顺序是先A后 B,每个工件所需加工时间(单位:小时) 如下表. 问如何安 排加工顺序可使机床连续加工完所有的加工总时间最少?
机床 加工时间 工件号码
1 2 3 4 5
A
B
3
6
7
2
4
7
5
3
7
4
: 解:工件的加工工时矩阵为
• 根据最优排序规则,最优加工顺序为: • 13542
建立动态规划模型：
设S表示从v1到vi中间所可能经过的城市集 合，S实际上是包含除v1和vi两个点之外的其余点 的集合，但S中的点的个数要随阶段数改变。 阶段： S中的点的个数
货郎担问题
赵勇 2015072014
一，问题由来 货郎担问题也叫旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem),是数学领域中著名问题之一。 二，问题描述 1，货郎担问题提法：有n个城市，用1,2，...，n表示，城市i,j之间的 距离为d(i,j),有一个货郎从城市1出发到其他城市一次且仅一次，最后 回到城市1，怎样选择行走路线使总路程最短？ 2，旅行商问题的提法：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须 选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后 要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有 路径之中的最小值。 身边实例：快递小哥。
例 4.17 矩阵C 0 10 5 0 6 13 8 8 g(2, ɸ)=c21=5
15 9 0 920 10 12 0g(3, ɸ)=c31=6
g(4, ɸ)=c41=8
由（4.20）式得 g(2,{3})=c23+g(3, ɸ)=15 g(2,{4})=18 g(3,{2})=18 G(3,{4})=20 g(4,{2})=13 g(4,{3})=15 接着，计算在|S|=2且i不等于1,1不属于S,i不属于S情况下的g(i,S): g(2,{3,4}=min{c23+g(3,{4}),c24+g(4,{3})}=25 g(3,{2,4}=min{c32+g(2,{4}),c34+g(4,{2})}=25 g(4,{2,3}=min{c42+g(2,{3}),c43+g(3,{2})}=23 最后，由(4.19)式得 g(1,{2,3,4})=min{c12+g(2,{3,4}),c13+g(3,{2,4}),c14+g(4,{2,3})} =min{35,40,43}=35
货郎担问题分支与限界法
货郎担问题分支与限界法货郎担问题是一个经典的优化问题，涉及到如何在给定负重限制下，选择携带的物品，使得总价值最大。
该问题有多种解决方法，其中分支与限界法是一种常用的方法。
以下是对分支与限界法的详细解释：一、问题的概述货郎担问题（Knapsack Problem）是一种组合优化问题，旨在确定给定一组物品，如何选择才能使得在满足负重限制的前提下获得最大的总价值。
这个问题在现实生活中有很多应用，如资源分配、时间安排、物流配送等。
二、分支与限界法分支与限界法是一种启发式搜索方法，用于求解复杂的组合优化问题。
货郎担问题可以通过构建状态树来表示，其中每个节点表示一种可能的物品组合，树的深度表示总重量，节点的价值表示该组合的总价值。
分支与限界法通过不断分支和剪枝来缩小状态树的搜索范围，从而提高求解效率。
1. 分支：在状态树的搜索过程中，每次将当前节点进行拆分，生成两个或多个子节点，每个子节点表示一种可能的物品组合。
分支的依据是选择哪种物品继续搜索，或者选择哪些物品组合起来作为一个整体进行搜索。
2. 限界：在分支过程中，对每个子节点设置一个界限值，用于判断是否需要继续搜索该子节点。
界限值的计算方法有多种，常见的有最大价值界限和最小重量界限。
最大价值界限是将当前节点的价值与子节点的价值进行比较，如果子节点的价值小于当前节点的价值，则剪枝该子节点。
最小重量界限是将当前节点的重量与子节点的重量进行比较，如果子节点的重量大于当前节点的重量，则剪枝该子节点。
3. 回溯：在搜索过程中，如果发现当前节点的总价值小于已找到的最优解，则回溯到上一个节点，继续搜索其他分支。
三、算法流程1. 初始化：设置根节点作为初始节点，将其加入到待搜索节点列表中。
2. 主循环：重复以下步骤直到待搜索节点列表为空：a. 从待搜索节点列表中取出一个节点；b. 如果该节点已经搜索过（即其总价值小于已找到的最优解），则跳过该节点；c. 否则，对该节点进行分支；d. 将分支生成的子节点加入到待搜索节点列表中；e. 如果该节点的总价值大于已找到的最优解，则更新最优解；f. 将该节点标记为已搜索；3. 输出最优解。
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《计算复杂性分析》实验报告
实验序号：6实验项目名称：货郎担问题
学 号
13
姓 名
魏倩
专业、班级
2011级信息与计算科学
实验地点
214年6月11日
一、实验目的及要求
1.理解掌握动态规划的基本思想
2.了解货郎担问题
3.用动态规划实现货郎担问题
4.分析动态规划的时间复杂性
六、教师评语
签名:
日期： 年 月 日
成绩
d=min(k(4,2)+h(2,3),k(4,3)+h(3,2));
v=min(a+k(1,2),b+k(1,3));
l=min(v,d+k(1,4));
四、实验结果与数据分析
输入城市数目：4
n =
4
输入城市间的距离：[0 6 7 9;8 0 9 7;5 8 0 8;6 5 5 0]
k =
0 6 7 9
8 0 9 7
5 8 0 8
6 5 5 0
>> a
a =
17
>> b
b =
21
>> d
d =
19
>> v
v =
23
>>
五、分析与讨论
动态规划的实质是分治思想和解决冗余，动态规划是一种将问题实例分解为更小的，相似的字问题。其所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题呈现大量的重复。动态规划法的关键就在于，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必重新求解。动态规划在最好的情况下的时间复杂性是O（n^2），最坏的情况下是O（n^2）。此次试验不足的地方是该程序只能解决4个城市之间的问题，有待改进。
for i=2:n
h(i,1)=k(i,1);
end
% abs(s)=1
for i=2:n
for j=2:n
if (i~=j)
h(i,j)=k(i,j)+h(j,1);
end
end
end
% abs(s)=2
a=min(k(2,3)+h(3,4),k(2,4)+h(4,3));
b=min(k(3,2)+h(2,4),k(3,4)+h(4,2));
二、实验设备（环境）及要求
1.硬件：win7系统
2.软件：MATLAB7.0编程软件。
三、实验内容及步骤
货郎担问题：一个货郎从某个城镇出发，经过若干个城镇一次，且仅经过一次，最后仍回到原出发的城镇，问应如何选择行走路线可使总行程最短。
n=input('输入城市数目：')
k=input('输入城市间的距离：')