离散数学课件15.2-3哈密顿图-货郎担问题
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离散数学图论基础知识文稿演示
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之 间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问 题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度 和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经 被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字 记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥 问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并 且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍 的判定法则。 这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
从哈密尔顿图到旅行货郎问题
从哈密尔顿图到旅行货郎问题1979年11月7日《纽约时报》出现一篇引人注目的文章，它的标题是：《苏联的发现震动数学界》（Soviet Discovery Rocks World of Mathematics），这文章介绍一个本是默默无闻的年青数学家卡倩（L．G．Khachian），他在线性规划理论上的一个发现使到美国数学界为之轰动。
由于记者在询问一些著名数学家时对数学问题了解不深，文章报导是有一些失实，但由这文章引起的轰动及误导是相当严重。
我以后会讨论这问题。
该文中说：“俄国人的发现建议用电子计算机处理一类和‘旅行货郎问题’（Travelling Salesman Problem）有关的数学上一个著名及难处理的问题。
‘旅行货朗问题’目的是决定一个货郎（或推销员或销货员）所要跑的最短路程──他要走遍市镇，但是不能再回到走过的地方。
表面上，这问题看来简单，事实上为了要解决这问题的实际应用，人们需要电子计算机来解决。
”在这点上这记者是说对了。
“旅行货郎问题”目前是许多国家（如西德、日本、苏联、英国、美国、法国）的运筹学工作者研究的热烈课题。
为了要了解这问题，我们可要知道目前在图论（Graph Theory）上许多人正在研究一种图──哈密尔顿图（Hemiltongraphs）。
一、哈密尔顿图的由来在17—18世纪时，欧洲宫庭及一些贵族很喜欢玩西洋象棋，西洋象棋中的骑士（knight）是对应我们中国象棋的“马”，而它通常是刻成一个马头，跑法也是和中国象棋的“马”一样，走“日”线──即从日的一角沿着对角线跃到另一角。
在1771年，就有一位名叫范德蒙（A．Vandermonde）的法国数学家，写了一篇文章研究所谓“棋盘的骑士问题”。
这问题是这样：在8×8的棋盘格的随意一个位置，我放一个骑士，然后我想法子使他跑遍棋盘的所有的格子，走过的不许再走，我能不能使骑士最后回到原来的位置？这个问题并不简单，许多象棋爱好者及数学家曾坐下来研究这个问题。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
《离散数学》课件-第15章欧拉图与哈密顿图
例如
彼得松图 彼得松图满足定理15.6，但不是哈密顿图。
例15.3 下图中三个图都是二部图，判断它们 哪些是哈密顿图，哪些是半哈密顿图？
G1
G2
G3
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>，
|V2||V1|。若|V2||V1|+2，则
G即不是哈密顿图，又不是半哈
G1
密顿图
（1）G1=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为V1={a,f},V2={b,c,d,e}。 则p(G1-V1)=|V2|=4，|V1|=2， p(G1-V1)>|V1|且p(G1-V1)>|V1|+1。 所以G1即不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
亚瑟王和他的骑士们
◼ 亚瑟王一次召见他的p个骑士，已知每一个 骑士在骑士中的仇人不超过p/2-1个。证明：能让 这些骑士围坐在圆桌旁，使每个人都不与他的仇 人相邻。
其它重要的定理
◼ 定理1 如果G是一个n（n3）阶简单图， 且n/2，则G是哈密顿图。
◼ 定理2 如果G是一个n（n3）阶完全图， 且n为奇数，则G是哈密顿图且图中有(n-1)/2个 边不相交的哈密顿回路。
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
点的回路称为欧拉回路 定义（欧拉图和半欧拉图）
具有欧拉回路的图称为欧拉图 具有欧拉通路无欧拉回路的图称为半欧拉图 规定平凡图是欧拉图
《离散数学之图论》课件
二分图
二分图是指一个图中的所有顶点可 以被分成两个不相交的集合，即两 个集合内的点之间没有边。
树
树是一种特殊的无向图，他是一个 无环连通图。
图的表示
1
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图的最直观的一种方法，它将图中的每个点与其他点之间的连接 关系用一个矩阵来表示。
2
邻接表
邻接表是图中比较常见的一种数据结构，用于存储有向图或无向图中顶点的邻接 关系。
Kruskal算法是一种贪心算
2 自反闭包
3 反对称闭包
在一个有向图中，如果由顶 点i到顶点j有路径，由顶点j 到顶点k有路径，则从i到k也 有路径。这种情况称为传递 闭包。
在一个有向图中，如果自己 只能到自己，则称之为自反 闭包。
在一个有向图中，如果存在 有向边从i到j，同时存在一 个从j到i的反向边，则称之 为反对称闭包。
3
关联矩阵
关联矩阵是一个图矩阵，它将图中的所有点和边都表示为元素，可以将和特定边 相关的点和总结点联系起来。
图的遍历
1 深度优先遍历
深度优先遍历是从图中的起始点开始，递归地访问所有可达的顶点。它通常用堆栈来实 现。
2 广度优先遍历
广度优先遍历是从图中的起始点开始访问每一层可达的顶点。它通常用队列来实现。
最短路径
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用来求图中单个源点到其他所有点 的最短路径的平均算法。
Floyd算法
Floyd算法是一种用于发现非负权重图中所有点对之间 的最短路径的算法。
最小生成树
1
Prim算法
Prim算法用于寻找加权无向连通图的最小生
Kruskal算法
2
成树，该树包含了关键点并且保证了所有点 都连通。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
3
课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
20
NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，
2至021/今6/18沿用。
2
哈密顿
1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都 柏林．力学、数学、光学．哈密顿的父亲阿其巴德 (Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师． 哈密顿自幼聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算术； 五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗； 九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都 柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V，vi,vj都在C上， 因而vi,vj连通，所以G为连通图。 又vi∈V，vi在C上每出现一次获得2度， 若出现k次就获得2k度，即d(vi)＝2k， 所以G中无奇度顶点。
数学的研究，口述了好几本书和400余
篇的论文。
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音
乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等
是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标
准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永
远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设
并从回C路上C的i，某i顶＝点1,v2r,开…始,s行，遍最，后每回遇到到vr，v*ji，就行遍G i中的欧拉 得回路vr…v*j1…v*j1…v*j2…v*j2…v*js…v*js…vr， 此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍G中所有顶点，
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哈密尔顿通路(回路)、哈密尔顿图
经过图中每个顶点一次且仅一次 的通路(回路)称为哈密尔顿通路 (回路).存在哈密尔顿回路的图称 为哈密尔顿图.
是不是哈密尔顿图?
图中 (1), (3),不是哈密尔顿图,(2) 为哈密尔顿图.
哈密尔顿图的判定
定理(必要条件1) 设无向图G=<V,E>是 哈密尔顿图,V1是V的任意的非空子集,
定理6. G有n个顶点，m条边，如果
m 1（n2－3n＋6），则G是Hamilton图。
2
证明.任取不相邻的两个顶点u，v∈G，
G中去掉u，v后导出子图G’,G’有n－2个
顶点，至多
C2n－2＝
(n－2)(n－3) 2
条边,u,v到G’
的边数有 m－C2n－2
n2－3n＋6 － (n－2)(n－3)＝n
设x表示最新加到这条路径上的点,从不在路径上的 所有点中,选一个与x最邻近的点,把连接x与此点的边 加到这条路径中。
重复这一步,直至G中所有顶点包含在路径中。 把始点和最后加入的顶点之间的边放入,这样就得出
一个回路。
图 15.2
例如,对于上面所示的图,如果我们从a 点开始,根据最邻近算法构造一个哈密尔 顿回路,过程如图(b)到(e)所示,所得回路 的总距离是44,
定理(充分条件1)设G＝<V，E>是简单无向图。 如果对任意两个不相邻的结点u，vV，均有： deg(u)+deg(v)|V|-1，
则G中存在哈密尔顿通路； 如果对任意两个不相邻的结点u，vV，均有：
deg(u)+deg(v)|V|， 则G中存在哈密尔顿回路，即G是哈密尔顿图。
例
在图中，任意两个结点的度数之和为4，结点 数为6，即有46，，但它仍然是哈密尔顿图。
其实图15.2 (a)的最小哈密尔顿回路应 如(f)所示,总距离是43。
练习 P328: 21 作业 P328: 22,23
一般说来,V1中的顶点在C上既有相 邻的,又有不相邻的,因而总有
p(C-V1)≤ V1. 又因为C是G的生成子图,故
p(G-V1)≤ p(C-V1)≤ V1.
(1)图不是哈密尔顿图. (3) 图也不是哈密尔顿图.
例
在 图 中 ， 虽 然 对 任 意 的 结 点 集 合 V1 ， 都 满 足 p(GV1)|V1|，但它仍然不是哈密尔顿图。
数学问题:
用图论术语叙述就是:G=〈V,E,W〉是n个顶点 的无向完全图,其中W是从E到正实数集的一个函 数,对在V中任意三点 vi, vj, vk 满足
W(i,j)+W(j,k)≥W(i,k) 试求出赋权图上的最短哈密尔顿回路。
至今未找出有效的方法,但已找到了若干近似算 法. 最邻近算法,它为巡回售货员问题得出近似解。 选任意点作为始点,找出一个与始点最近的点,形成 一条边的初始路径。
推论 n(n≥3)阶有向完全图为哈密尔顿 图.
练习 P327:12, 作业: P327: 9,13,14
思考:
一个售货员希望去访问n个城市的每 一个,开始和结束于v1城市。每两城市间 都有一条直接通路,我们记vi城市到vj城市 的距离为W(i,j),问题是去设计一个算法, 它将找出售货员能采取的最短路径。
2Байду номын сангаас
2
D(u)+D(v)≥n.
由充分条件1得，G是Hamilton图。
推论 n阶简单无向图G中， n>2,任意 顶 点 的 度 数 大 于 等 于 n/2 ， 则 G 有 Hamilton回路。
充分条件2
完全图Kn，n>2，是Hamilton 图。
归纳可证。
定理 在n(n≥2)阶有向图D=<V,E>中,如 果所有有向边均用无向边代替,所得 无向图中含生成子图Kn,则有向图D 中存在哈密尔顿通路.
p(G-V1)≤V1.
其中, p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中 各顶点及关联的边)后所得图的连通分支 数.
证明:设C为G中的一条哈密尔顿回路. (1)若V1中的顶点在C上彼此相邻,则
p(C-V1)=1≤ V1
(2)设V1中的顶点在C上存在r(2≤r≤ V1) 个互不相邻,则 p(C-V1)= r≤V1
经过图中每个顶点一次且仅一次 的通路(回路)称为哈密尔顿通路 (回路).存在哈密尔顿回路的图称 为哈密尔顿图.
是不是哈密尔顿图?
图中 (1), (3),不是哈密尔顿图,(2) 为哈密尔顿图.
哈密尔顿图的判定
定理(必要条件1) 设无向图G=<V,E>是 哈密尔顿图,V1是V的任意的非空子集,
定理6. G有n个顶点，m条边，如果
m 1（n2－3n＋6），则G是Hamilton图。
2
证明.任取不相邻的两个顶点u，v∈G，
G中去掉u，v后导出子图G’,G’有n－2个
顶点，至多
C2n－2＝
(n－2)(n－3) 2
条边,u,v到G’
的边数有 m－C2n－2
n2－3n＋6 － (n－2)(n－3)＝n
设x表示最新加到这条路径上的点,从不在路径上的 所有点中,选一个与x最邻近的点,把连接x与此点的边 加到这条路径中。
重复这一步,直至G中所有顶点包含在路径中。 把始点和最后加入的顶点之间的边放入,这样就得出
一个回路。
图 15.2
例如,对于上面所示的图,如果我们从a 点开始,根据最邻近算法构造一个哈密尔 顿回路,过程如图(b)到(e)所示,所得回路 的总距离是44,
定理(充分条件1)设G＝<V，E>是简单无向图。 如果对任意两个不相邻的结点u，vV，均有： deg(u)+deg(v)|V|-1，
则G中存在哈密尔顿通路； 如果对任意两个不相邻的结点u，vV，均有：
deg(u)+deg(v)|V|， 则G中存在哈密尔顿回路，即G是哈密尔顿图。
例
在图中，任意两个结点的度数之和为4，结点 数为6，即有46，，但它仍然是哈密尔顿图。
其实图15.2 (a)的最小哈密尔顿回路应 如(f)所示,总距离是43。
练习 P328: 21 作业 P328: 22,23
一般说来,V1中的顶点在C上既有相 邻的,又有不相邻的,因而总有
p(C-V1)≤ V1. 又因为C是G的生成子图,故
p(G-V1)≤ p(C-V1)≤ V1.
(1)图不是哈密尔顿图. (3) 图也不是哈密尔顿图.
例
在 图 中 ， 虽 然 对 任 意 的 结 点 集 合 V1 ， 都 满 足 p(GV1)|V1|，但它仍然不是哈密尔顿图。
数学问题:
用图论术语叙述就是:G=〈V,E,W〉是n个顶点 的无向完全图,其中W是从E到正实数集的一个函 数,对在V中任意三点 vi, vj, vk 满足
W(i,j)+W(j,k)≥W(i,k) 试求出赋权图上的最短哈密尔顿回路。
至今未找出有效的方法,但已找到了若干近似算 法. 最邻近算法,它为巡回售货员问题得出近似解。 选任意点作为始点,找出一个与始点最近的点,形成 一条边的初始路径。
推论 n(n≥3)阶有向完全图为哈密尔顿 图.
练习 P327:12, 作业: P327: 9,13,14
思考:
一个售货员希望去访问n个城市的每 一个,开始和结束于v1城市。每两城市间 都有一条直接通路,我们记vi城市到vj城市 的距离为W(i,j),问题是去设计一个算法, 它将找出售货员能采取的最短路径。
2Байду номын сангаас
2
D(u)+D(v)≥n.
由充分条件1得，G是Hamilton图。
推论 n阶简单无向图G中， n>2,任意 顶 点 的 度 数 大 于 等 于 n/2 ， 则 G 有 Hamilton回路。
充分条件2
完全图Kn，n>2，是Hamilton 图。
归纳可证。
定理 在n(n≥2)阶有向图D=<V,E>中,如 果所有有向边均用无向边代替,所得 无向图中含生成子图Kn,则有向图D 中存在哈密尔顿通路.
p(G-V1)≤V1.
其中, p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中 各顶点及关联的边)后所得图的连通分支 数.
证明:设C为G中的一条哈密尔顿回路. (1)若V1中的顶点在C上彼此相邻,则
p(C-V1)=1≤ V1
(2)设V1中的顶点在C上存在r(2≤r≤ V1) 个互不相邻,则 p(C-V1)= r≤V1