基础拓扑学讲义11的习题答案

习题

2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族

{}

1\A ,A S U U τ=⊂是E 的开集、

(1)验证τ就是R 上的拓扑;

(2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间;

(4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的;

(5)说明

(),R τ不满足2

C

公理。

证明:(1)○

1,A U R R U A ττ=∅=⎫⎫

⇒∅∈⇒∈⎬⎬=∅=∅⎭⎭

所以R 与∅都含在τ中 ○

2()U A U A λλλλλλλ∈Λ

∈Λ

∈Λ

-=

-

()0

000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ

λλλλλλλλλλ

λλλ∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

∀∈

-⇔∃∈Λ∈-⇔∈∉⇔∈

∉

⇔∈

-

使

U A λλλλτ∈Λ

∈Λ

-

∈

∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中

○3()

()()()

11221212\\\U A U A U U A A =

()

()()()

11221122

11221212121

2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ∀∈⇔∈-∈-⇔∈∉∈∉⇔∈∉⇔∈

()()1212\U U A A τ∈

∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑

(2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A

这样我们就可以在1

E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈

则22\U A 为b 的一个开邻域 且()

()1122\\U A U A =∅

∴(),R τ满足2T 公理

由题意可知S 就是闭集,a S ∀∉有理数

如果W 就是S 的任意一个开邻域

因为S 为全集,所以S 的开邻域W 总会与a 的开邻域相交 因此在(),R τ中,S 与a 不存在不想交的开邻域,故不满足3T 公理

(3)x R ∀∈,做x 的一组可数邻域{}11,n U x x x Q n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则{}n U 就是x 的一个可数邻域 对x 的任一开邻域U ,U 为R 中开集

(),\\x a b S U S ∈⊂

当n 充分大,(),\\n U a b S U S ⊂⊂

所以{}n U 就是x 的一个可数邻域基 说明(),R τ满足1C 公理 显然Q R ⊂

x R ∀∈,x 的任一开邻域\U S

()

\U S Q x Q

R Q

≠∅⇒∈⇒⊂

所以Q R =

所以Q 就是(),R τ的可数稠密子集,所以(),R τ就是可分的 (4)设A S ⊂

()\\R S A 就是(),R τ的开集

∴有()

\\R S A S A =就是(),S S τ的开集

∴S 的每个子集都就是(),S S τ的开集 ∴(),S S τ就是离散拓扑空间,S 不可数

∴从而(),S S τ就是不可分的 (5)假如(),R τ满足2C 公理

2C 公理具有遗传性

则(),S S τ也要满足2C 公理

2C 空间就是可分空间

则(),S S τ就是可分的与(),S S τ不可分矛盾了 ∴(),R τ不满足2C 公理

1、1、9 设A 与B 都就是拓扑空间X 的子集,并且A 就是开集、证明A B A B ⊂、

证明:对x A

B ∀∈,即x A ∈且x B ∈

令U 就是x 的任一开邻域 则U A 也就是x 的开邻域 因为x B ∈ 所以()U A B ≠∅ 即()U

A

B ≠∅

所以x A B ∈,所以A B A B ⊂

1、1、10 设12,,,n A A A 都就是X 的闭集,并且1

n

i i X A ==

、证明B X ⊂就是X 的闭集

⇔i B

A 就是()1,2,

,i A i n =的闭集、

证明:()⇒1,2,

,i n ∀=

有()C

i i i A B A B A -=

(),i i i i

C C

i

x A B

A x A x B

A x

B x B x B A ∀∈-⇔∈∉⇔∉⇔∈⇔∈

又

B 就是X 的闭集

∴C B 就是X 的开集 从而i B A 就是i A 的开集 ∴i B A 就是i A 的闭集 ()⇐因为i B

A 就是()1,2,

,i A n 的闭集

故1,2,

,i n ∀=,存在X 的闭集i B ,使i i

i B

A B A =,而

()()1

1

1111

n

n n n n n

i i

i i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

=

===

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

所以B 就是X 的闭集(有限多个闭集的并还就是闭集)

1、1、13 设{}n x 就是(),c R τ中的一个序列、证明:n x x →⇔存在正整数N ,使得当

n N >,n x x =、

证明:()⇐显然的

()⇒ 假设当n N >时,n x x =不成立

那么可找到{}n x 的无穷子序列{}k n x ,{}

()1,2,k n x x k ==

{}

\k n R x 为x 的一个开邻域 因为lim n x x x →∞

=

对x 的开邻域{}

\k n R x